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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结，方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为：
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究：如何建立椭圆的方程？
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾，引入新知
圆是如何绘制的？如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板，绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义：
注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
三、椭圆方程的求法：定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本：北师大版 学 科：数学 年 级：高二年级 学 期：上
椭圆及其标准方程ppt课件
课后作业
1.必做题：P51 练习4,5.
2.选做题：求与圆(x 2)2 y2 1 外切，且与圆 (x 2)2 y2 49 内切的动圆圆心的轨迹方程 3.思考题：Ax2 By 2 1什么时候表示椭圆？焦 点在哪个轴？
椭圆光学性质欣赏及探索
感谢大家的指导 谢谢
椭圆及其标准方程
01
圆锥曲线
现场演示观察
用一个圆锥形杯子，往杯子里倒入有色的 液体，然后倾斜杯子，请观察液体的水平 面是什么形状？
圆锥曲线
用一个平面去截圆锥面，当圆锥的 轴与截面所成的角不同时，可以得到不 同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、 抛物线和双曲线，我们这些曲线统称为 圆锥曲线.
生活中的椭圆
实例（-2，0）,（2，0),
，并且 并解由2所解由2所解由2所aaa：=：=椭以椭以且：=椭以经由由圆圆由圆bb((经b(552222522于于的的过 于的===过aa椭椭定定22a椭定222))2－－)点 22点－圆圆义义2圆义ccc的的知知((22的知(2===(焦焦2323焦cc236652c6))==..)=22点点.2点222,，，，在在在(((2355xx225x2轴轴)轴222， 上上))上)22求2，，，(((椭可可可232323设设))圆设)222其其其的22标标2标标11准准1准000，，方方准，方程程程方解解解为为为得得程得aaxxax2222aa.22a===
图形
标准方程 x2 y2 = 1(a>b>0)
a2 b2
y2 a2
x2 b2
=
1(a>b>0)
a, b, c的关系
a2__b2=c2
焦点
(－c, 0)，(c, 0)
(0, －c)，(0, c)
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
人教A版高中数学选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程课件
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
课件13：2.2.1 椭圆及其标准方程
P到两焦点的距离和为26；
3
(2)经过点P(1， )，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
2
解：(1)∵椭圆的焦点在 y 轴上，
y 2 x2
所以设它的标准方程为：a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝26，∴a＝13，又 c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
x2
y2
∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
x 2 y2
即所求椭圆的方程为10＋15＝1.
命题方向3
⇨椭圆的焦点三角形
x2 y2
典例 3 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为
椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积.
解：由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，
而在△F1PF2中，由余弦定理得，
方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点
x2 y 2
在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况，方程可变形为 1 ＋ 1
A B
＝1.
核心素养 椭圆的其他方程形式
1 1
①当A>B，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；
1 1
②当A<B，即 B<A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆．
x2
y2
焦点的椭圆方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0，λ>－b2)；与椭
a ＋λ b ＋λ
y2 x2
y2
圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2
＋
a ＋λ
x2
2
＝1(a>b>0，λ>－b
3
(2)经过点P(1， )，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
2
解：(1)∵椭圆的焦点在 y 轴上，
y 2 x2
所以设它的标准方程为：a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝26，∴a＝13，又 c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
x2
y2
∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
x 2 y2
即所求椭圆的方程为10＋15＝1.
命题方向3
⇨椭圆的焦点三角形
x2 y2
典例 3 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为
椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积.
解：由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，
而在△F1PF2中，由余弦定理得，
方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点
x2 y 2
在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况，方程可变形为 1 ＋ 1
A B
＝1.
核心素养 椭圆的其他方程形式
1 1
①当A>B，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；
1 1
②当A<B，即 B<A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆．
x2
y2
焦点的椭圆方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0，λ>－b2)；与椭
a ＋λ b ＋λ
y2 x2
y2
圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2
＋
a ＋λ
x2
2
＝1(a>b>0，λ>－b
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆及其标准方程(24张PPT)
知识生成
• (1)取一条细绳 • (2)把它的两端固定在图板上的两
点F1、F2 • (3)用铅笔尖把细绳拉紧，在图板上
慢慢移动看看画出的图形
知识生成
思考1
（1）在画图的过程中，F1、F2的位置是固定的
还是运动的？
固定的
F11
（2）在画图的过程中，绳子的长度变了没有？
说明了什么？
|MF1|+|MF2|为定值
x2
y2
(4) 1
m2 m2 1
焦点坐标为： F1(0,1)，F2 (0,1)
应用拓展
2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
y
并且经过点P
5 ， 3 2 2
，求它的标准方程.
F1 O
解：因为椭圆的焦点在x轴上，设 由椭圆的定义知
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
2a
椭得圆，的b焦2 x距2 为a22 yc，2 则a有2bF2 1(-c，0)、F2(c，0).
化 两边同又除设以Ma与2bF2得1，axF222的 距by22离的1.和(a等于b 2a0)
构建方程
焦点在 x 轴上,椭圆的 标准方程
y
M (x, y)
F1 O
F2
x
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当2a<2c时，即距离之和小于焦距时
知识生成
1.当2a 2c时，M点的轨迹是 椭圆 2.当2a 2c时，M点的轨迹是 线段F1F2 3.当2a 2c时，M点的轨迹是 不存在
知识深化
思考3
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为
10,则M点的轨迹是什么？
椭圆及其标准方程ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
（3）
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第20页
已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9. 动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆
心轨迹．
动圆满足条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外 切．依据两圆相切充要条件建立关系式，可求出动圆 圆心轨迹方程，进而拟定出轨迹图形．
灵活应用．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第26页
3．利用待定系数法拟定椭圆原则方程
求椭圆原则方程惯用待定系数法，要恰当地选择方 程形式，假如不能拟定焦点位置，那么有两种办法来 处理问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆 方程普通式．
(1)假如明确了椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上， 那么所求椭圆一定是原则形式，那么能够利用待定系
答案： D
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第4页
2．椭圆2x52＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则
点 P 到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析： 由椭圆定义知点P到另一个焦点距离是10－ 2＝8.
答案： D
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第5页
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26. (2)求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3， 1)两点．
第11页
解析： 设椭圆方程为xa22＋yb22＝1， ac＝ 22，故 ba22＝12.
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋ |AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故 a＝4.
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（2）当2a=2c时，轨迹
是
；
（3）以当F21a,F<22为c时端，点的直 线段 ；|MF1|+ |MF2|=|F1F2|
不存在
|MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
12
13
探究点2 椭圆的标准方程 回顾圆的画法根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？
思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点;
y M
O F1
F2 x
17
由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 | 2a.
因为 | MF1 | ( x c)2 y2 ,| MF2 | ( x c)2 y2 ,
所以 ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
移项，再平方
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2,
x2
y2
a2 a2 c2 1.
19
请看图片：你能从图中找出表示a, c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b2 a 2 - c 2 (a b 0),
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
2
3
4
5
通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见 椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那
么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？
6
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、 难点）
26
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点5 (,
3 )
.求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的ax标22 准 方by2程2 为1 (a b 0).
由椭圆的定义知
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
2
2
2
2
27
所以 a 10 .
又因为 c 2,所以
b2 a2 c2 10 4 6.
能用其他方 法求它的方
程吗？
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
28
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的ax标22 准by方22 程 为1 :(a b 0).
（2）写出点集；
（3）列出方程； （4）化简方程；
（5）检验.
14
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的 对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？
y M
F1 O
F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
15
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为 F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等
11
椭圆的概念：平面内与两个定点 F1, F2 的距离的和
等于定长的点的轨迹叫做椭圆，其中两定点F1, F2 叫椭圆的 焦点，定点间的距离叫椭圆的焦距。(定长大于两定点间的距
离)
讨论：若把绳长记为2a，两定点间
的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 椭圆 ；|MF1|+ |MF2|＞|F1F2|
1
a b 0
F(0，±c)在Ｙ轴上
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
注:
哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
23
练一练： 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上， 并指明a2、b2，并写出焦点坐标
答：在 x 轴。（ - 3，0）和（3，0） 答：在 y 轴。（0，- 5）和（0，5）
分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
20
1.我们把形如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也把形如
y2 a2
பைடு நூலகம்
x2 b2
1(a
b
0)叫做椭圆的标准方程，
y
它表示焦点在y轴上的椭圆.
F2 M
ox
F1
于2a(2a>2c>0) . 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
16
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距 为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常
数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是 (c,0)、(c,0) .
又∵焦点的坐标为(2, 0), (2, 0)，
a2 b2 4.
24
随堂练习
例1.椭圆
x2
y2
的1 焦点坐标是（
25 169
）C
A.(±5,0) B(0, ±5) C(0, ±12) D(±12,0)
例2.
椭圆上
x2 25
y2 9
一1 点P到一个焦点的距离为5，则P
到另一个焦点的距离为（ ）A
A.5 B.6 C.4 D.10
25
作业
课本p64 练习1 1、3
7
8
9
10
探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的
还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明
了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系？
思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？
a2 cx a ( x c)2 y2 ,
18
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
整理得(a2 c2 )x2 a2 y2 a2(a2 c2 ),
两 边 同 除 以 a 2 (a 2 c 2 )， 得 ：
21
【提升总结】
椭圆的标准方程有哪些特征呢？
22
两类标准方程的对照表：
定义 图形
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
方程
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
焦点坐标、位置 F(±c，0)在Ｘ轴上
y2 x2 a2 b2
是
；
（3）以当F21a,F<22为c时端，点的直 线段 ；|MF1|+ |MF2|=|F1F2|
不存在
|MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
12
13
探究点2 椭圆的标准方程 回顾圆的画法根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？
思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点;
y M
O F1
F2 x
17
由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 | 2a.
因为 | MF1 | ( x c)2 y2 ,| MF2 | ( x c)2 y2 ,
所以 ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
移项，再平方
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2,
x2
y2
a2 a2 c2 1.
19
请看图片：你能从图中找出表示a, c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b2 a 2 - c 2 (a b 0),
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
2
3
4
5
通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见 椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那
么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？
6
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、 难点）
26
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点5 (,
3 )
.求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的ax标22 准 方by2程2 为1 (a b 0).
由椭圆的定义知
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
2
2
2
2
27
所以 a 10 .
又因为 c 2,所以
b2 a2 c2 10 4 6.
能用其他方 法求它的方
程吗？
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
28
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的ax标22 准by方22 程 为1 :(a b 0).
（2）写出点集；
（3）列出方程； （4）化简方程；
（5）检验.
14
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的 对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？
y M
F1 O
F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
15
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为 F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等
11
椭圆的概念：平面内与两个定点 F1, F2 的距离的和
等于定长的点的轨迹叫做椭圆，其中两定点F1, F2 叫椭圆的 焦点，定点间的距离叫椭圆的焦距。(定长大于两定点间的距
离)
讨论：若把绳长记为2a，两定点间
的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 椭圆 ；|MF1|+ |MF2|＞|F1F2|
1
a b 0
F(0，±c)在Ｙ轴上
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
注:
哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
23
练一练： 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上， 并指明a2、b2，并写出焦点坐标
答：在 x 轴。（ - 3，0）和（3，0） 答：在 y 轴。（0，- 5）和（0，5）
分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
20
1.我们把形如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也把形如
y2 a2
பைடு நூலகம்
x2 b2
1(a
b
0)叫做椭圆的标准方程，
y
它表示焦点在y轴上的椭圆.
F2 M
ox
F1
于2a(2a>2c>0) . 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
16
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距 为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常
数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是 (c,0)、(c,0) .
又∵焦点的坐标为(2, 0), (2, 0)，
a2 b2 4.
24
随堂练习
例1.椭圆
x2
y2
的1 焦点坐标是（
25 169
）C
A.(±5,0) B(0, ±5) C(0, ±12) D(±12,0)
例2.
椭圆上
x2 25
y2 9
一1 点P到一个焦点的距离为5，则P
到另一个焦点的距离为（ ）A
A.5 B.6 C.4 D.10
25
作业
课本p64 练习1 1、3
7
8
9
10
探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的
还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明
了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系？
思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？
a2 cx a ( x c)2 y2 ,
18
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
整理得(a2 c2 )x2 a2 y2 a2(a2 c2 ),
两 边 同 除 以 a 2 (a 2 c 2 )， 得 ：
21
【提升总结】
椭圆的标准方程有哪些特征呢？
22
两类标准方程的对照表：
定义 图形
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
方程
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
焦点坐标、位置 F(±c，0)在Ｘ轴上
y2 x2 a2 b2