椭圆及其标准方程ppt课件
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24
随堂练习
例1.椭圆
x2
y2
的1 焦点坐标是（
25 169
）C
A.(±5,0) B(0, ±5) C(0, ±12) D(±12,0)
例2.
椭圆上
x2 25
y2 9
一1 点P到一个焦点的距离为5，则P
到另一个焦点的距离为（ ）A
A.5 B.6 C.4 D.10
25
作业
课本p64 练习1 1、3
1
a b 0
F(0，±c)在Ｙ轴上
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
注:
哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
23
练一练： 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上， 并指明a2、b2，并写出焦点坐标
答：在 x 轴。（ - 3，0）和（3，0） 答：在 y 轴。（0，- 5）和（0，5）
分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。
2
2
2
2
27
所以 a 10 .
又因为 c 2,所以
b2 a2 c2 10 4 6.
能用其他方 法求它的方
程吗？
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
28
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的ax标22 准by方22 程 为1 :(a b 0).
21
【提升总结】
椭圆的标准方程有哪些特征呢？
22
两类标准方程的对照表：
定义 图形
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
方程
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
焦点坐标、位置 F(±c，0)在Ｘ轴上
y2 x2 a2 b2
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
20
1.我们把形如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也把形如
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)叫做椭圆的标准方程，
y
它表示焦点在y轴上的椭圆.
F2 M
ox
F1
（2）写出点集；
（3）列出方程； （4）化简方程；
（5）检验.
14
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的 对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？
y M
F1 O
F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
15
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为 F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等
11
椭圆的概念：平面内与两个定点 F1, F2 的距离的和
等于定长的点的轨迹叫做椭圆，其中两定点F1, F2 叫椭圆的 焦点，定点间的距离叫椭圆的焦距。(定长大于两定点间的距
离)
讨论：若把绳长记为2a，两定点间
的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 椭圆 ；|MF1|+ |MF2|＞|F1F2|
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
2
3
4
5
通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见 椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那
么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？
6
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、 难点）
y M
O F1
F2 x
17
由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 | 2a.
因为 | MF1 | ( x c)2 y2 ,| MF2 | ( x c)2 y2 ,
所以 ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
移项，再平方
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2,
7
8
9
10
探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的
还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明
了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系？
思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？
于2a(2a>2c>0) . 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
16
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距 为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常
数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是 (c,0)、(c,0) .
a2 cx a ( x c)2 y2 ,
18
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
整理得(a2 c2 )x2 Βιβλιοθήκη Baidua2 y2 a2(a2 c2 ),
两 边 同 除 以 a 2 (a 2 c 2 )， 得 ：
（2）当2a=2c时，轨迹
是
；
（3）以当F21a,F<22为c时端，点的直 线段 ；|MF1|+ |MF2|=|F1F2|
不存在
|MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
12
13
探究点2 椭圆的标准方程 回顾圆的画法根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？
思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点;
x2
y2
a2 a2 c2 1.
19
请看图片：你能从图中找出表示a, c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b2 a 2 - c 2 (a b 0),
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
又∵焦点的坐标为(2, 0), (2, 0)，
a2 b2 4.
26
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点5 (,
3 )
.求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的ax标22 准 方by2程2 为1 (a b 0).
由椭圆的定义知
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
随堂练习
例1.椭圆
x2
y2
的1 焦点坐标是（
25 169
）C
A.(±5,0) B(0, ±5) C(0, ±12) D(±12,0)
例2.
椭圆上
x2 25
y2 9
一1 点P到一个焦点的距离为5，则P
到另一个焦点的距离为（ ）A
A.5 B.6 C.4 D.10
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作业
课本p64 练习1 1、3
1
a b 0
F(0，±c)在Ｙ轴上
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
注:
哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
23
练一练： 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上， 并指明a2、b2，并写出焦点坐标
答：在 x 轴。（ - 3，0）和（3，0） 答：在 y 轴。（0，- 5）和（0，5）
分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。
2
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2
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所以 a 10 .
又因为 c 2,所以
b2 a2 c2 10 4 6.
能用其他方 法求它的方
程吗？
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
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另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的ax标22 准by方22 程 为1 :(a b 0).
21
【提升总结】
椭圆的标准方程有哪些特征呢？
22
两类标准方程的对照表：
定义 图形
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
方程
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
焦点坐标、位置 F(±c，0)在Ｘ轴上
y2 x2 a2 b2
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
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1.我们把形如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也把形如
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)叫做椭圆的标准方程，
y
它表示焦点在y轴上的椭圆.
F2 M
ox
F1
（2）写出点集；
（3）列出方程； （4）化简方程；
（5）检验.
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第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的 对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？
y M
F1 O
F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
15
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为 F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等
11
椭圆的概念：平面内与两个定点 F1, F2 的距离的和
等于定长的点的轨迹叫做椭圆，其中两定点F1, F2 叫椭圆的 焦点，定点间的距离叫椭圆的焦距。(定长大于两定点间的距
离)
讨论：若把绳长记为2a，两定点间
的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 椭圆 ；|MF1|+ |MF2|＞|F1F2|
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
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通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见 椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那
么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？
6
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、 难点）
y M
O F1
F2 x
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由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 | 2a.
因为 | MF1 | ( x c)2 y2 ,| MF2 | ( x c)2 y2 ,
所以 ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
移项，再平方
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2,
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探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的
还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明
了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系？
思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？
于2a(2a>2c>0) . 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
16
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距 为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常
数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是 (c,0)、(c,0) .
a2 cx a ( x c)2 y2 ,
18
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
整理得(a2 c2 )x2 Βιβλιοθήκη Baidua2 y2 a2(a2 c2 ),
两 边 同 除 以 a 2 (a 2 c 2 )， 得 ：
（2）当2a=2c时，轨迹
是
；
（3）以当F21a,F<22为c时端，点的直 线段 ；|MF1|+ |MF2|=|F1F2|
不存在
|MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
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13
探究点2 椭圆的标准方程 回顾圆的画法根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？
思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点;
x2
y2
a2 a2 c2 1.
19
请看图片：你能从图中找出表示a, c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b2 a 2 - c 2 (a b 0),
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
又∵焦点的坐标为(2, 0), (2, 0)，
a2 b2 4.
26
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点5 (,
3 )
.求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的ax标22 准 方by2程2 为1 (a b 0).
由椭圆的定义知
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10