高三数学基础训练题2

高三数学基础训练题（2） 2013/8/16
一：选择题（5分一题，每题只有一个正确选项）
1．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋1
6
，c ∈Z }，则A 、B 、
C 之间的关系是________．
A ．A
B ＝
C B ．B A C C ．B =C A
D ．B C A
2．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x
y
，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C
的所有元素之和为________
A ．6
B ．8
C ．10
D ．18
3．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．
A ．0
B ．2
C ．无数
D ．0或无数
4．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．
A ．3
B ．8
C ．13
D ．18
5. 已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．-1
6.已知函数图象C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，且图象C ′关于 点(2，－3)对称，则a 的值为__________．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．-1 二．填空题（5分一题）
7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋3
2
)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…
＋f (2009)＋f (2010)＝________.
8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________． 三．解答题（每题12分）
9．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b
x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：
(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．
10．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．
11．已知函数f(x)满足f(log a x)＝a
a2－1
(x－x－1)，其中a>0且a≠1.
(1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合；
(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证：(1)a >0且－3<b a <－3
4
；(2)函数f (x )
在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<57
4
.
高三数学基础训练题（2）答案解析 2013/8/16
一：选择题（5分一题，每题只有一个正确选项）
1．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋1
6
，c ∈Z }，则A 、B 、
C 之间的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C
2．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x
y
，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C
的所有元素之和为________．
解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18
由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.
解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；
再令x ＝0与x ＝1得⎩
⎪⎨⎪⎧
－1＝1＋b 1＋b 2＋b 3
3＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0.答案：(－1,0，－1)
3．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个． 解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数 4．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．
解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为
⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤9，1≤x 2
≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：13
5. 已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．
解析：作f (x )的图象，如图，g (x )=f (x )-a =0，即f (x )=a ，当a =1时，g (x )有无数个零点；当a >1时，g (x )有2个零点；∴a 的最小值为1.答案：1
6. (2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，且图象C ′关于点(2，－3)对称，则a 的值为__________．
解析：∵C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，
∴C ′为x (y ＋a ＋1)＝ay ＋a 2＋1.整理得，y ＋1＋a ＝1－a
x －a
.
∵C ′关于点(2，－3)对称，∴a ＝2.答案：2 二．填空题（5分一题）
7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋3
2
)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…
＋f (2009)＋f (2010)＝________.
解析：f (x )＝－f (x ＋3
2
)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)
＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：0
8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．
解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．
三．解答题（每题12分）
9．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b
x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：
(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．
解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 3
1＋a ＋b
1
＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b
x 2
恒成立．
由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )
x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.
设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )
x 3x 4
＜0恒成立．
∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．
10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．
解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)， 又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.
(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．
(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－3x ＋15， 4≤x ≤6
2(x －7)2
－5， 6<x ≤9.
11．已知函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1
(x －x －
1)，其中a >0且a ≠1.
(1)对于函数f (x )，当x ∈(－1,1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的集合； (2)x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．
解：令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝a a 2－1
(a t －a －
t )，
∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )．∵f (－x )＝a a 2－1
(a －
x －a x )＝－f (x )，∴f (x )是R 上的奇函数．
当a >1时，a a 2－1>0，a x 是增函数，－a －
x 是增函数，∴f (x )是R 上的增函数；
当0<a <1，a a 2－1
<0，a x 是减函数，－a －
x 是减函数，∴f (x )是R 上的增函数．
综上所述，a >0且a ≠1时，f (x )是R 上的增函数．
(1)由f (1－m )＋f (1－m 2)<0有f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m <m 2
－1，－1<1－m <1，－1<m 2－1<1.
解得m ∈(1，2)．
(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴f (x )－4也是R 上的增函数，由x <2，得f (x )<f (2)， ∴f (x )－4<f (2)－4，要使f (x )－4的值恒为负数，只需f (2)－4≤0，
即a a 2－1
(a 2－a －
2)－4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3， ∴a 的取值范围是2－3≤a ≤2＋3且a ≠1.
12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证：(1)a >0且－3<b a <－3
4
；(2)函数f (x )
在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<57
4
.
证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a
2
，∴3a ＋2b ＋2c ＝0.
又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0，∴a >0，b <0.又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ，
∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－3<b a <－3
4
.
(2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c ，
①当c >0时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a
2
<0，∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点．
②当c ≤0时，∵a >0，∴f (1)＝－a
2
<0且f (2)＝a －c >0，∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零
点．综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．
(3)∵x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－b
a
，
x 1x 2＝c a ＝－32－b a ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ (－b a )2－4(－32－b a )＝ (b a ＋2)2＋2.∵－3<b a <
－34，∴2≤|x 1－x 2|<574.。