数学分析3试题2及答案(

三、（10
分）证明：函数
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x,
y)
( x 2
y2 ) sin
0,
1, x2 y2
x2 y2 0 在 (0, 0) 点连续，偏导数存在，且可微。
x2 y2 0
四、（10 分）求曲面 y e2xz 0 在点(1,1,2)处的切平面与法线。 。
五、（10 分）计算第二型曲线积分 I (esin y x)dy ( y 1)dx ，其中 L 为由位于第一象限中直线段 x y 1与位于第二
切平面方程是： 2(x 1) ( y 1) (z 2) 0 即 2x y z 1 0 法线方程式： x 1 y 1 z 2
2
五、（10 分）解：连接有向线段 CA : y 0, x : 1 1，则 L CA 构成封闭的正向闭曲线，围成区域 D ，由格林公式得
(esin y x)dy ( y 1)dx (11)dxdy 2(1 ) 1
(5,1,2)
yz
(5,1,2)
2, u y
(5,1,2)
xz
(5,1,2)
10, u z
(5,1,2)
xy
(5,1,2) 5 ，函数在该点的梯度为 gradu(5,1, 2) (2,10,5)
uuur AB (4,3,12) 的方向余弦为 cos
4
,
cos 3 ,
cos
12
，所以在
Fy (x,
y,
z)
x
z y
,
点（0,1,1）的某邻域内连续，而且
F (0,1,1) 0, Fx (0,1,1) 2 0, Fy (0,1,1) 1 0,
Fz (x, y, z) ln y xexz Fz (0,1,1) 0
又隐函数存在唯一性定理知，在点（0,1,1）的某邻域内方程能确定隐函数 x f ( y, z), y g(x, z) 。
y
1
(x, y)
y x2
x1 x 2 y 2v 1 x
D (x, y) x y 4x,1 xy 2 :1 v 4,1 u 2
所以
f (xy)dxdy
得分 一、 计算或证明下列各题：（5 分×6=30 分）
1、设 u x sin(x y), 求 2u ； xy
2、求函数 z ln(x y ) 在点（1,0）的全微分； 2x
uuur 3、求函数 u xyz 在点 A(5,1, 2) 的梯度以及沿着该点到点 B(9, 4,14) 的方向 AB 上的方向导数。
ea0xdx
0
1 ，由魏尔斯特拉斯 M 判别法知 a0
0
e x
sin
xdx
在[a0 , ](a0
0)
上一致收敛。
6、解：
S
x2
1
y2
dS
1 R2
S
dS
2 H R
二、（10 分）解：设 F (x, y, z) xy z ln y exz 1 ，则
F (x, y, z),
Fx (x, y, z) y zexz ,
x z x y xy z , y y zexz y( y zexz )
y ln y xexz y(ln y xexz )
z
x z
xy z
y
三、（10 分）证明：因为 lim f (x, y) lim (x2 y2)sin 1 0 ，所以 f (x, y) 在 (0, 0) 点连续。
( x, y)(0,0)
( x, y)(0,0)
x2 y2
因为 lim x0
f (x, 0) x
f (0, 0)
lim x sin x0
1 x
0 ，所以
fx (0, 0) 0,
同理
f y (0, 0) 0
又因为 lim z f y (0, 0)x f y (0, 0)y lim x2 y2 sin 1 0
为正向。
八、（10 分）求体积一定而表面积最小的长方体； 。
一、（30 分）
1、解： u sin(x y) x cos(x y), 2u cos(x y) x sin(x y)
x
xy
2、解： dz
(1,0)
(1
y 2x2
)dx
1 2x
dy
x y
(1,0)
dx 1 dy 2
2x
3、解： u x
LCA
2
D
24
2
(esin y x)dy ( y 1)dx 1 1 dx 1,
CA
2
1 2
于是，I (esin y x)dy ( y 1)dx
L
22
六、（10 分）解：设T 1 : u xy, v y , x
则J (u, v) (x, y) (u, v)
1 (u, v)
L
2
象限中的圆弧 x2 y2 1构成，方向由 A(1, 0)到B(0,1)再到C(1, 0) 。
六、（10 分）计算二重积分 f (xy)dxdy, D (x, y) x y 4x,1 xy 2
D
。
七、（10 分）计算第二型曲面积分 x2dydz y2dzdx z2dxdy ，其中 S 是球面 (x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 ，并取外侧 S
0
x y ( x, y)(0,0) 2
2
x2 y2
所以 f (x, y) 在 (0, 0) 点可微。 四、（10 分）解：F(x, y, z) y e2xz , Fx 2e2xz , Fy 1, Fz e2xz ，则曲面在点(1,1,2)处的切平面的法向量是 nr (2,1,1) ， 于是
4、设 F( ) ln(1 x)dx,求F() ；
0
x
5、
e x
0
sin
xdx
在[a0 , ](a0
0) 上一致收敛；
6、
S
x2
1
y2
dS
，其中 S
是柱面
x2
y2
R2
被平面
z
0, z
H
所截取的部分；
二、（10 分）方程 xy z ln y exz 1在点（0,1,1）的某邻域内能否确定隐函数 x f ( y, z), y g(x, z) ，若能，求 x , y y z
uuur A(5,1, 2) 处沿 AB
上的方向导数为
13
13
13
u l
(5,1,2)
u x
(5,1,2)
cos
u y
(5,1,2)
cos
u z
(5,1,2) cos
98 13
4、解： F( ) 1 dx ln(1 2 ) 2 ln(1 2 )
0 1x
5、证明：对 [a0, ), x (0, ), ex sin x ea0x ，因为无穷积分