直角三角形斜边上的中线性质练习

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．

一、有直角、有中点，连线出中线，用性质

例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．

二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质 例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900

，AD ∥BC ，∠CBE=1

2

∠ABE ，

请同学们试一试吧！

1．如图5，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ， 求证：CD=1

2

BE ．

2．如图6，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的 中点，求证：AB=2DM ．

直角三角形斜边上中线性质的应用

直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中线的

图1

B

A

D

C

E

F

图2

B

图5

A

C

B

D M · 图6

性质及应用。

一、直角三角形斜边上中线的性质

1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt △BAC 中，∠BAC=?90，D 为BC 的中点，则BC 21AD =

。

2、性质的拓展：如图1：因为D 为BC 中点，

所以

BC 21DC BD =

=，

所以AD=BD=DC=BC

21

，

所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠3=2∠4， ∠ADC=2∠1=2∠2。

因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、求值

例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．

2、证明线段相等

例2、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =

，

点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。

（1）求证：DF=BE ；

（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G 。求证：AG=DG 。

3、证明角相等及角的倍分关系

例3、已知，如图5，在△ABC 中，∠BAC>90°，BD 、CE 分别为AC 、AB 上的高，F 为BC 的中点，求证：∠FED=∠FDE 。

E

C

B

例4、（2003年上海市中考题）已知：如图6，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线。DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足。

求证：（1）G 是CE 的中点；（2）∠B=2∠BCE 。

4、证明线段的倍分及和差关系

例5、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在△ABC 中，∠C=2∠B ，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，连AE 。求证：（1）∠AEC=∠C ；（2）求证：BD=2AC 。

5、证明线段垂直

例6、如图9，在四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、DC 边上的中点。求证：MN ⊥DC 。

三、尝试训练

1、（黑龙江中考）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为 ．

2、（2006年重庆市中考）如图11所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB 的中线把这张纸张剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形（如图12所示），将纸张△AC 1D 1沿直线D 2B （AB ）方向平移（点A ，D 1，D 2，B 始终在同一条直线上），当点D 1与点B 重合时，停止平移，在平移过程中，C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P 。

（1）当△AC 1D 1平移到如图13所示时，猜想图中D 1E 与D 2F 数量关系，并证明猜想：

B