第二章第二节平面体系的自由度和约束
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结构力学第二章-平面体系的几何组成分析
14
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ1
Ⅰ A
Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
Ⅰ Ⅰ1
虚铰O O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
A Ⅱ
(a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
Ⅰ
A Ⅱ
(b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称 作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。
平面内一刚片
平面内一点 n=2 n=3
x
y
8
2.3 约束
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ1
Ⅰ A
Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
Ⅰ Ⅰ1
虚铰O O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
A Ⅱ
(a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
Ⅰ
A Ⅱ
(b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称 作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。
平面内一刚片
平面内一点 n=2 n=3
x
y
8
2.3 约束
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
第02章--平面机构及自由度计算PPT课件
由度，故平面机构的自由度F为
F3 n2P LP H
10
2.3.2 计算平面机构自由度时应注意的事项
实际工作中，机构的组成比较复杂，运用公式 计算 F3n2PLPH 自由度时可能出现差错，这是由于机构中常常存在一些特 殊的结构形式，计算时需要特殊处理。
(1) 复合铰链 (2) 局部自由度 (3) 虚约束
图2-3 构件的自由度 4
1.1.3 课程任务
❖ 机构由若干个相互联接起来的构件组成。机构中两构件之间 直接接触并能作确定相对运动的可动联接称为运动副。如图 2-1(b)所示的内燃机的轴与轴承之间的联接，活塞与汽缸之 间的联接，凸轮与推杆之间的联接，两齿轮的齿和齿之间的 联接等。
❖ 两个构件构成运动副后，构件的某些独立运动受到限制，这 种运动副对构件的独立运动所加的限制称为约束。运动副每 引入一个约束，构件就失去一个自由度。
平面机构及自由度计算
所有构件均在同一平面或相互平行的平面内运动的机构 称为平面机构。工程中常用机构大多数都是平面机构。如图 2-1(a)所示的卡车自动卸料机构、如图2-1(b)所示的内燃机 中的机构都属于平面机构。
图2-1 平面机构 1
平面机构及自由度计算
2.1 平面机构的组成 2.2 平面机构运动简图 2.3 平面机构的自由度计算
11
2.3.3 平面机构具有确定运动的条件
机构相对机构是由构件和运动副组成的系统，机构要实 现预期的运动传递和变换，必须使其运动具有可能性和确 定性。
如图2-14(a)所示的机构，自由度F=0；如图2-14(b)所 示的机构，自由度F=-1，机构不能运动。
如图2-15所示的五杆机构，自由度F=2，若取构件1为 主动件，当只给定主动件1 的位置角1时，从动件2、3、 4的位置既可为实线位置，也可为虚线所处的位置，因此其 运动是不确定的。若取构件1、4为主动件，使构件1、4都 处于给定位置1、4时，才使从动件获得确定运动。
F3 n2P LP H
10
2.3.2 计算平面机构自由度时应注意的事项
实际工作中，机构的组成比较复杂，运用公式 计算 F3n2PLPH 自由度时可能出现差错，这是由于机构中常常存在一些特 殊的结构形式，计算时需要特殊处理。
(1) 复合铰链 (2) 局部自由度 (3) 虚约束
图2-3 构件的自由度 4
1.1.3 课程任务
❖ 机构由若干个相互联接起来的构件组成。机构中两构件之间 直接接触并能作确定相对运动的可动联接称为运动副。如图 2-1(b)所示的内燃机的轴与轴承之间的联接，活塞与汽缸之 间的联接，凸轮与推杆之间的联接，两齿轮的齿和齿之间的 联接等。
❖ 两个构件构成运动副后，构件的某些独立运动受到限制，这 种运动副对构件的独立运动所加的限制称为约束。运动副每 引入一个约束，构件就失去一个自由度。
平面机构及自由度计算
所有构件均在同一平面或相互平行的平面内运动的机构 称为平面机构。工程中常用机构大多数都是平面机构。如图 2-1(a)所示的卡车自动卸料机构、如图2-1(b)所示的内燃机 中的机构都属于平面机构。
图2-1 平面机构 1
平面机构及自由度计算
2.1 平面机构的组成 2.2 平面机构运动简图 2.3 平面机构的自由度计算
11
2.3.3 平面机构具有确定运动的条件
机构相对机构是由构件和运动副组成的系统，机构要实 现预期的运动传递和变换，必须使其运动具有可能性和确 定性。
如图2-14(a)所示的机构，自由度F=0；如图2-14(b)所 示的机构，自由度F=-1，机构不能运动。
如图2-15所示的五杆机构，自由度F=2，若取构件1为 主动件，当只给定主动件1 的位置角1时，从动件2、3、 4的位置既可为实线位置，也可为虚线所处的位置，因此其 运动是不确定的。若取构件1、4为主动件，使构件1、4都 处于给定位置1、4时，才使从动件获得确定运动。
第二章平面体系的几何组成分析
第二章平面体系的几何组成分析学习要求：掌握自由度及约束的概念。
能够利用简单的几何组成规则分析体系的几何组成性质。
学习重点：三个简单几何组成规则的灵活应用。
常见问题解答1、什么是几何不变体系？在任意荷载作用下，若不考虑材料的变形，其几何形状与位置均保持不变，这样的体系称为几何不变体系。
2、什么是几何可变体系？即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，也会引起其几何形状的改变，这样的体系称为几何可变体系。
3、什么是自由度？所谓自由度，是指体系运动时可以独立变化的几何参数的数目，即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
一个点在平面内的自由度等于2，一个刚片在平面内的自由度等于3。
4、什么是约束？体系的自由度将因为加入限制运动的装置而减少。
这种减少自由度的装置称为约束。
一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束，一个刚结点相当于三个约束。
5、什么是多余约束？如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此减少，则称此约束为多余约束。
一个平面体系的计算自由度等于零，则该体系一定是几何不变体系？这个说法是错误的。
一个平面体系的计算自由度有以下三种情况：⑴W≥0，表示体系缺少足够的联系，因此体系一定是几何可变的。
⑵W=0，表示体系有成为几何不变体系所需的最少约束数。
如果布置合理，体系将是没有多余约束的几何不变体系。
如果布置不合理，体系是几何可变的。
⑶W≤0，表示体系有多余的约束，而体系是否几何不变还是要看约束布置是否合理。
6、什么是两刚片规则？两个刚片用不全平行也不全交于一点的三根链杆相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
或者：两个刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
什么是三刚片规则？三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
7、什么是二元体规则？在一个体系上添加或去掉一个二元体不会改变原体系的几何组成性质。
[精品]平面体系的几何组成分析
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三、点、刚片、结构的自由度
四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
平面机构及自由度计算
低副的形状简单，容易制造，而
且在承受相同的荷载时，低副接触处 的压强较小，所以低副耐磨损，承载 能力较强，寿命较长，高副则相反。
2.1.2 运动链和机构
1. 运动链
两个以上的构件通过运
动副联接而成的系统称 为运动链。若运动链中 各构件组成首末封闭的 系统，称为闭式传动链 (简称闭链)；否则称为开 式运动链(简称开链)，各 种机械中，一般多采用 闭式传动链。
3. 虚约束
在机构中与其他约束作用重复而对机构运动不 起独立限制作用的约束，称为虚约束。
在工程实际中，虽然虚约束不影响机构的运动， 但它却可以保证机构顺利运动，或增加机构的刚性， 改善机构的受力情况，所以虚约束的应用十分广泛。
虚约束是在特定的几何条件下形成的，计算机构 的自由度时，应将其除去不计。
平面机构运动简图明确地反映出机构中各个构 件之间的相对运动关系
2.2.2 运动副和构件的表示方法
1. 运动副的表示方法
(1) 转动副
转动副用一个小圆圈表示， 其圆心代表相对转动的轴线。图 (a)表示组成转动副的两个构件都 是活动构件，称为活动铰链；图 (b)左图表示组成运动副的两个构 件之一为机架，在代表机架的构 件上画短斜线，称为固定铰链， 习惯上用右图形式来表示固定铰 链。
2-3 简答
1. 机构具有确定运动的条件？ 2. 计算机构的自由度时需要注意哪些问题？
2-4 试计算下列图示机构的自由度(若有复合铰链、局部自由度或虚约束， 必须明确指出)。
(2) 移动副
下图是两个构件组成移动副的表示方法。在组成 移动副的两个构件中，习惯上将长度较短的块状构件 称为滑块，而将长度较长的杆状或槽状构件称为导杆 或导槽。其中图 (a)表示导杆1与滑块2组成移动副；图 (b)表示滑块2与导槽1组成移动副；图 (c)表示导杆2与 导槽1组成移动副。
且在承受相同的荷载时，低副接触处 的压强较小，所以低副耐磨损，承载 能力较强，寿命较长，高副则相反。
2.1.2 运动链和机构
1. 运动链
两个以上的构件通过运
动副联接而成的系统称 为运动链。若运动链中 各构件组成首末封闭的 系统，称为闭式传动链 (简称闭链)；否则称为开 式运动链(简称开链)，各 种机械中，一般多采用 闭式传动链。
3. 虚约束
在机构中与其他约束作用重复而对机构运动不 起独立限制作用的约束，称为虚约束。
在工程实际中，虽然虚约束不影响机构的运动， 但它却可以保证机构顺利运动，或增加机构的刚性， 改善机构的受力情况，所以虚约束的应用十分广泛。
虚约束是在特定的几何条件下形成的，计算机构 的自由度时，应将其除去不计。
平面机构运动简图明确地反映出机构中各个构 件之间的相对运动关系
2.2.2 运动副和构件的表示方法
1. 运动副的表示方法
(1) 转动副
转动副用一个小圆圈表示， 其圆心代表相对转动的轴线。图 (a)表示组成转动副的两个构件都 是活动构件，称为活动铰链；图 (b)左图表示组成运动副的两个构 件之一为机架，在代表机架的构 件上画短斜线，称为固定铰链， 习惯上用右图形式来表示固定铰 链。
2-3 简答
1. 机构具有确定运动的条件？ 2. 计算机构的自由度时需要注意哪些问题？
2-4 试计算下列图示机构的自由度(若有复合铰链、局部自由度或虚约束， 必须明确指出)。
(2) 移动副
下图是两个构件组成移动副的表示方法。在组成 移动副的两个构件中，习惯上将长度较短的块状构件 称为滑块，而将长度较长的杆状或槽状构件称为导杆 或导槽。其中图 (a)表示导杆1与滑块2组成移动副；图 (b)表示滑块2与导槽1组成移动副；图 (c)表示导杆2与 导槽1组成移动副。
平面体系自由度和约束
平面体系自由度和约束自由度：所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐标（或参变量）的个数。
如果一个体系的自由度大于零，则该体系就是几何可变体系。
（1）点的自由度：平面内一动点A，其位置需用两个坐标x和y来确定，所以一个点在平面内有两个自由度。
1.swf（2）刚片的自由度：一个刚片在平面内运动时，其位置将由其上任一点A的坐标x、y 和过点A的任一直线AB的倾角φ来确定，因此，一个刚片在平面内有三个自由度。
2.swf约束：约束是指能够减少自由度的装置（又称联系）。
减少一个自由度的装置，就称为一个约束（或联系）。
约束有两大类：支座约束和刚片间的约束。
1. 支座约束（1）滚轴支座：能限制刚片A点在垂直方向移动，但不能限制其水平方向移动和绕A 点的转动，减少了一个自由度，相当于一个约束。
3.swf（2）铰支座：能限制刚片A点在水平方向和竖直方向移动，但不能限制其绕A点的转动，减少了两个自由度，相当于两个约束。
4.swf（3）固定支座：能限制刚片在水平、竖直方向的移动和转动，使刚片的自由度减少为零，相当于三个约束。
5.swf2. 刚片间的联结约束（1）单铰约束：联结两个刚片的铰称为单铰。
两刚片在平面内独立的自由度个数为六个，用一个铰将刚片Ⅰ、Ⅱ联结起来，对刚片Ⅰ而言，其位置可由A点的坐标x、y和AB 线的倾角φ1来确定，因此其有三个自由度，刚片Ⅱ相对刚片Ⅰ只能绕A点转动，即两刚片间只保留了相对转角φ2，则由刚片Ⅰ、Ⅱ所组成的体系在平面内有四个自由度，则一个单铰约束减少了二个自由度。
一个单铰相当于两个约束。
6.swf（2）复铰约束：用一个铰同时联结三个或三个以上的刚片，则这种铰称为复铰。
设其中一刚片可沿x、y向移动和绕某点转动，则其余两刚片都只能绕其转动，因此各减少两个自由度。
象这种联结三刚片的复铰相当于两个单铰的作用，由此可见，联结n个刚片的复铰，相当于（n－1）个单铰的作用。
7.swf。
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
2-2平面体系的计算自由度
§2 体系计算自由度
一、体系计算自由度公式
根据自由度和约束的概念，一个体系的计 算自由度在数值上等于组成体系的刚片或点具 有的总自由度与体系总约束的差。
计算自由度=组成体系的刚片或点具有的 总自由度-体系总约束数
yluo@
§2 体系计算自由度
一、体系计算自由度公式
1.一般体系的计算自由度公式
⑴ W>0,表明体系缺少足够的约束， 因此是几何可变的。
W=1
yluo@
W=1
§2 体系计算自由度
三、计算自由度与体系可变性
计算自由度W可用于判断体系所具有 的约束在数量上是否足够维持体系为几何 不变。
⑵ W=0,表明体系具有成为几何不变 所必需的最少约束数目。
几何 不变
yluo@
§2 体系计算自由度
例题2.7 试求图示体系的计算自由度。
体系为一般体系 刚片＋约束
刚片数 m=7 单铰数 h=9 支座约束数 r=3 yluo@
W 3m (2h r )
3 7 (2 9 3) 0
§2 体系计算自由度
例题2.8 试求图示体系的计算自由度。 比较
例题2.5 试求图示体系的计算自由度。
把体系视为一般体系 刚片＋约束
刚片数 m=17 单铰数 h=24 支座约束数 r=3 yluo@W 3m Fra bibliotek(2h r )
3 17 (2 24 3) 0
§2 体系计算自由度
例题2.5 试求图示体系的计算自由度。
按铰接链杆体系计算 点＋约束
若不考虑体系与地基之间的支承关系， 而只研究体系自身的几何不变性时：
•W>3,表明体系缺少足够的约束，因此 是几何可变的。 •W=3,表明体系具有成为几何不变所必 需的最少约束数目。 •W<3,表明体系具有成为几何不变所必 需的约束外，尚有多余联系。
建筑工程技术 教材 平面体系的自由度和约束
由此可见，两根链杆的约束作用相当于一个单 铰，不过，这个铰的位置是在链杆轴线的延长线 上，且其位置随链杆的转动而变化，该铰与一般 的铰不同，称为虚铰。
第三页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰
当连接两个刚片的两根链杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链 杆方向的无穷远处。
连接两个刚片的两根链杆相交，那么是虚铰的另一种形式 。
第四页，共六页。
平面体系的几何组成分析
四、多余约束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而 减少，那么此约束称为多余约束。
分清必要约束和非必要约束。
第五页，共六页。
内容总结
但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说它相当于一个约束。单 铰是连接两个刚片的铰。平面体系的几何组成分析。复铰是连接三个或三个以上刚片的铰。两刚片用 两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚 片Ⅰ的运动情况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。当连接两个刚片的两根链 杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链杆方向的无穷远处
连接n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，也就相当于2n-1个约束。
４刚性连接 一个刚性连接相当于三个约束。
第二页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰 两刚片用两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么 刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚片Ⅰ的运动情 况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。
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平面体系的几何组成分析
二、约束 但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说 它相当于一个约束。
１链杆
链杆是两端以铰与别的物体相连的刚性杆。 一根链杆相当于一个约束。
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平面体系的几何组成分析
三、虚铰
当连接两个刚片的两根链杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链 杆方向的无穷远处。
连接两个刚片的两根链杆相交，那么是虚铰的另一种形式 。
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平面体系的几何组成分析
四、多余约束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而 减少，那么此约束称为多余约束。
分清必要约束和非必要约束。
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内容总结
但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说它相当于一个约束。单 铰是连接两个刚片的铰。平面体系的几何组成分析。复铰是连接三个或三个以上刚片的铰。两刚片用 两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚 片Ⅰ的运动情况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。当连接两个刚片的两根链 杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链杆方向的无穷远处
连接n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，也就相当于2n-1个约束。
４刚性连接 一个刚性连接相当于三个约束。
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平面体系的几何组成分析
三、虚铰 两刚片用两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么 刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚片Ⅰ的运动情 况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。
第六页，共六页。
平面体系的几何组成分析
二、约束 但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说 它相当于一个约束。
１链杆
链杆是两端以铰与别的物体相连的刚性杆。 一根链杆相当于一个约束。
结构力学课件 §2-3
W 2 j (b r)
j——铰结点数； b——链杆数
r——支杆数
b r)
解： j = 7， b = 11， r = 3， W ＝ 2×7－(11＋3)＝0
例 试求图示体系的计算自由度W。
W 2 j (b r)
解： j = 11， b = 18， r = 3， W＝2×11－(18＋3)＝1
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 9， g = 5， h = 6， r = 5， W＝3×9－(3×5＋2×6＋5)＝﹣5
2、铰接链杆体系的计算自由度 铰结链杆体系——由两端铰结的杆件相互连接而成的体系
以铰结链杆体系为运动物体，地基为参照物，则铰接链 杆体系相对于地基的计算自由度为
以刚片系为运动物体，地基为参照物，则刚片系相对于地 基的计算自由度为：
W 3m (3g 2h r)
m—刚片数; g—单刚结数; h—单铰结数; r—支杆数;
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 4， g = 0， h = 4， r = 4， W＝3×4－(3×0＋2×4＋4)＝0
三、 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
W＝1＞0
体系缺少必要的约束 具有运动自由度
W＝0
具有成为几何不变体系 所必需的最少约束数目
W＝﹣1＜0
体系有多余约束但 不一定几何不变
若W ＞0，体系一定是几何可变； 若W ≤0，只表明体系具有成为几何不变体系的必要条件，但不是
充分条件。
§2-3 平面体系的计算自由度
一、体系的实际自由度S与计算自由度W
体系是由部件(刚片或铰结点)加上约束组成的。
体系的实际自由度S = 各部件的自由度总数－必要约束数 体系的计算自由度W = 各部件的自由度总数－全部约束数
j——铰结点数； b——链杆数
r——支杆数
b r)
解： j = 7， b = 11， r = 3， W ＝ 2×7－(11＋3)＝0
例 试求图示体系的计算自由度W。
W 2 j (b r)
解： j = 11， b = 18， r = 3， W＝2×11－(18＋3)＝1
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 9， g = 5， h = 6， r = 5， W＝3×9－(3×5＋2×6＋5)＝﹣5
2、铰接链杆体系的计算自由度 铰结链杆体系——由两端铰结的杆件相互连接而成的体系
以铰结链杆体系为运动物体，地基为参照物，则铰接链 杆体系相对于地基的计算自由度为
以刚片系为运动物体，地基为参照物，则刚片系相对于地 基的计算自由度为：
W 3m (3g 2h r)
m—刚片数; g—单刚结数; h—单铰结数; r—支杆数;
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 4， g = 0， h = 4， r = 4， W＝3×4－(3×0＋2×4＋4)＝0
三、 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
W＝1＞0
体系缺少必要的约束 具有运动自由度
W＝0
具有成为几何不变体系 所必需的最少约束数目
W＝﹣1＜0
体系有多余约束但 不一定几何不变
若W ＞0，体系一定是几何可变； 若W ≤0，只表明体系具有成为几何不变体系的必要条件，但不是
充分条件。
§2-3 平面体系的计算自由度
一、体系的实际自由度S与计算自由度W
体系是由部件(刚片或铰结点)加上约束组成的。
体系的实际自由度S = 各部件的自由度总数－必要约束数 体系的计算自由度W = 各部件的自由度总数－全部约束数
《结构力学》第二章 平面体系的机动分析
常变体系
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
平面体系的自由度及约束
平面体系的自由度及约束
教学课题
教学目的
教学重点
主要教学方法
教具
平面体系的自由度及约束
（《建筑力学》下册、第16.2平面体系的自由度及约束）
1.了解自由度、约束的概念
2.掌握几种约束的作用
3.通过教学使学生树立起“世上无难事，只要肯登攀”的学习信心
几种约束的作用
举例、演示、推导、总结
粉笔、教鞭、实物、幻灯
16.2.1自由度
概念：所谓自由度是指确定体系位置所必须的独立的坐标数。
所谓自由度是指体系独立的运动方式。
16.2.2约束
概念：能使体系减少自由度的装置称为约束（或称为联系）
几种约束的作用：
1.链杆：一个链杆可以减少一个自由度。
2.铰
1）.单铰：一个单铰减少两个自由度。
3-2=1
2）.复铰：一个复铰减少2（n-1）个自由度。
一个复铰相当于（n-1）个单铰。
9-6=3即：9-2×3=3
或：9-2×（4-1）=3
3.刚性连接
简单的刚性连接：一个简单的刚性连接减少三个自由度。
3-3=0
复杂的刚性连接：一个复杂的刚性连接减少3（n-1）个自由度。
一个复杂的刚性连接相当于（n-1）个简单的刚性连接。
6-6=0即：6-3×2=0
或：6-3×（3-1）=0
总结：一个复杂的刚性连接相当于（n-1）个简单的刚性连接。
举例
举例、推导
教学过程
时间分配
教学内容
教学方法的运用
总结
（5分钟）
作业
（1分钟）
1、自由度
2、约束
3、几种常见的约束作用
1）链杆
2）铰
3）刚性连接
教学课题
教学目的
教学重点
主要教学方法
教具
平面体系的自由度及约束
（《建筑力学》下册、第16.2平面体系的自由度及约束）
1.了解自由度、约束的概念
2.掌握几种约束的作用
3.通过教学使学生树立起“世上无难事，只要肯登攀”的学习信心
几种约束的作用
举例、演示、推导、总结
粉笔、教鞭、实物、幻灯
16.2.1自由度
概念：所谓自由度是指确定体系位置所必须的独立的坐标数。
所谓自由度是指体系独立的运动方式。
16.2.2约束
概念：能使体系减少自由度的装置称为约束（或称为联系）
几种约束的作用：
1.链杆：一个链杆可以减少一个自由度。
2.铰
1）.单铰：一个单铰减少两个自由度。
3-2=1
2）.复铰：一个复铰减少2（n-1）个自由度。
一个复铰相当于（n-1）个单铰。
9-6=3即：9-2×3=3
或：9-2×（4-1）=3
3.刚性连接
简单的刚性连接：一个简单的刚性连接减少三个自由度。
3-3=0
复杂的刚性连接：一个复杂的刚性连接减少3（n-1）个自由度。
一个复杂的刚性连接相当于（n-1）个简单的刚性连接。
6-6=0即：6-3×2=0
或：6-3×（3-1）=0
总结：一个复杂的刚性连接相当于（n-1）个简单的刚性连接。
举例
举例、推导
教学过程
时间分配
教学内容
教学方法的运用
总结
（5分钟）
作业
（1分钟）
1、自由度
2、约束
3、几种常见的约束作用
1）链杆
2）铰
3）刚性连接
3-1-2平面体系的自由度及约束
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A
(b)
体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而
使自由度减少。以后我们把能减少一个自由度的装
置称为一个约束。
(1) 一根链杆相当于一个约束
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江苏建筑职业技术学院
如果用一根链杆将刚片与基础
相联结，则刚片在链杆方向的运动
将被限制。但此时刚片仍可进行两
y
I
种独立的运动，即链杆 AC 绕C 点的
共线的链杆将点 A 与基础相联结［图 (a) ］，则点 A
减少两个自由度，即被固定。
A
(a)
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江苏建筑职业技术学院
如果用三根不共线的链杆将点 A与基础相联结 ［图(b)］，实际上仍只减少两个自由度。 如果在一个体系中增加一个约束，
而体系的自由度并不因此而减少，则
此约束称为多余约束。图(b)三根链杆 中有一根是多余约束。 多余约束对体系的自由度没有影 响。
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y
IHale Waihona Puke A x江苏建筑职业技术学院
(3)一个固定端支座相当于三个约束 如果在点 A 处再加一个阻止刚片转动的约束， 则点 A 处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于 零。可见一个固定端支座相当于三个约束。
y
I
A o
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x
江苏建筑职业技术学院
(4) 一个单铰相当于两个约束 如果用一个铰 A将刚片Ⅰ与刚 片Ⅱ相联结，设刚片Ⅰ的位置可 以由点 A的坐标x、y和倾角1确定， 由于点A是两刚片的共同点，则刚 片Ⅱ的位置只需用倾角 2 就可以 确定。
y
x y o 国家共享型教学资源库 x
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A
(b)
体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而
使自由度减少。以后我们把能减少一个自由度的装
置称为一个约束。
(1) 一根链杆相当于一个约束
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如果用一根链杆将刚片与基础
相联结，则刚片在链杆方向的运动
将被限制。但此时刚片仍可进行两
y
I
种独立的运动，即链杆 AC 绕C 点的
共线的链杆将点 A 与基础相联结［图 (a) ］，则点 A
减少两个自由度，即被固定。
A
(a)
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如果用三根不共线的链杆将点 A与基础相联结 ［图(b)］，实际上仍只减少两个自由度。 如果在一个体系中增加一个约束，
而体系的自由度并不因此而减少，则
此约束称为多余约束。图(b)三根链杆 中有一根是多余约束。 多余约束对体系的自由度没有影 响。
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y
IHale Waihona Puke A x江苏建筑职业技术学院
(3)一个固定端支座相当于三个约束 如果在点 A 处再加一个阻止刚片转动的约束， 则点 A 处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于 零。可见一个固定端支座相当于三个约束。
y
I
A o
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x
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(4) 一个单铰相当于两个约束 如果用一个铰 A将刚片Ⅰ与刚 片Ⅱ相联结，设刚片Ⅰ的位置可 以由点 A的坐标x、y和倾角1确定， 由于点A是两刚片的共同点，则刚 片Ⅱ的位置只需用倾角 2 就可以 确定。
y
x y o 国家共享型教学资源库 x
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结构力学第2章 平面体系机动分析
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后，只剩基础。故该体系为 无多余约束的几何不变体系。
2 如上部体系与基础的联结符合两刚片原则，可去掉基础， 只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两刚片用两平行 杆相连，几何可变。
3 当杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆 形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
几何组成分析小结
机动分析先化简 依次拆除二元体 确认刚片是关键 等效代换灵活用
撤去基础三支杆 再为组成找条件 增加两元再扩展 按照规则连成片
§2-6 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何
不变
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
刚片：不计材料变形，将杆件或已知是几何不变的部 分看作刚片，注意：不是“钢片”。
可表示为：
刚片(rigid plate)——平面刚体。
内部是稳定的,几何形状和位置不发生任何改变。（梁、柱、杆、 几何不变体、基础）
形状可任意替换
§2-2 平面体系的计算自由度
1.自由度--确定物体位置所需的独立坐标数目
虽然 W=0, 但其上部有多余联系， 而下部又缺少联系，仍为几何可变。
小结
W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。
W=0, 具备成为几何不变体系所需的最少约束 的数目。必要非充分条件
W<0， 体系具有多余联系
W> 0 W< 0
体系几何可变
体系几何不变 ？
§2-3 几何不变体系的组成规则
3-1-2平面体系的自由度及约束
体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而
使自由度减少。以后我们把能减少一个自由度的装
置称为一个约束。
(1) 一根链杆相当于一个约束
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如果用一根链杆将刚片与基础
相联结，则刚片在链杆方向的运动
将被限制。但此时刚片仍可进行两
y
I
种独立的运动，即链杆 AC 绕C 点的
国家共享型教学资源库
y
I
A x
江苏建筑职业技术学院
(3)一个固定端支座相当于三个约束 如果在点 A 处再加一个阻止刚片转动的约束， 则点 A 处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于 零。可见一个固定端支座相当于三个约束。
y
I
A o
国家共享型教学资源库
x
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(4) 一个单铰相当于两个约束 如果用一个铰 A将刚片Ⅰ与刚 片Ⅱ相联结，设刚片Ⅰ的位置可 以由点 A的坐标x、y和倾角1确定， 由于点A是两刚片的共同点，则刚 片Ⅱ的位置只需用倾角 2 就可以 确定。
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（a）
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图（ b ）中，刚片Ⅰ与刚片 Ⅱ由两根不平行的链杆相联结， 链杆的延长线交点为 O ，两刚片
可绕虚铰O发生相对转动。
虚国家共享型教学资源库
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(7)多余约束对体系的自由度没有影响 平面内一个点 A 有两个自由度，如果用两根不
y
x y o 国家共享型教学资源库 x
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平面内一个刚片的位置可由它上面的任一个点 A的坐标 x、y和过点A的任一直线 AB的倾角 来确定。 平面内一个刚片有3个自由度。
y
x y o
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§2—2 平面体系的自由度和约束
一、刚片：本身几何不变的构件。 二、自由度： 确定一物体或体系的位置所需的独立几何参数的数目， 称为这一物体或体系的运动自由度，简称自由度。
平面内一点自由度为2 (有2个自由度)
y x A x y O x O A y
一个刚片在平面内有3个自由度
y B A'
q
q'
B' x
= 3×11 —3×7 —2×5 —5 =—3
体系具有3个“多余约束”
能否把支杆也看成刚片？
√
例：试计算体系的内部可变度
各杆都 看成1个刚片 M =9 R =2 H =9
V =3M —3R —2H —3
= 3×9 —3×2 —2×9 —3 =0
体系内部可变度=0
把AC、CB分别 看成1个刚片
M =7
链杆数： B=23 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —23 —3 = —2
看成6根杆件 M =6 R =6
H =0
V =3M —3R —2H —3 = 3×6 —3×6 —2×0 —3 = —3 体系具有3个“多余约束”
√
整体看成1个刚片 M =1 R =0 H =0 V =3M —3R —2H —3 = 3×1 —3×0 —2×0 —3 =0 体系没有“多余约束”
×
体系内部 3个“多余约束”没有反映出来
例：试计算图示体系的自由度
结点数： 链杆数：
J=14 B=25
支杆总数： S=3 自由度数： W=2J —B —S = 2×14 —25 —3 =0
例：试计算图示体系的内部可变度
结点数：
J=12
结点数：
J=12
链杆数： B=21 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —21 —3 =0
①支杆
y x A O
B
q
x
平面内：刚片有三个自由度。 用一根支杆把与基础相联系， 自由度＝2，即丧失一个自由度 (一根支杆相当于一个约束)
②铰
y A O
B
y
x 2
A
q
x
q1 q2
1 y x
O
刚片用一铰固定于A 自由度＝1 (一个铰相当于2个约束)
y x 3 q3 O 2 A
单铰 自由度＝4 (一个单铰相当于2个约束) 复铰 自由度＝5 (连接三根杆复铰相当于4个约束) (2个单铰)
q1
q2
1
y
x
一般，连接 n 个刚片的复铰，相当于 n—1 个单铰 或 2(n—l) 个约束。 注意完全铰与不完全铰的区别
A B C
③刚结点(刚性连接)
自由度＝3(一体) 单刚结点——3个约束
自由度＝3（6个约束） 复刚结点—— n－1单刚结点 或 3(n—l) 个约束
④链杆(直杆或曲杆，两端具有两个铰)
结构必须是几何不变体系，故其自由度应等于零(必要条件) 凡是自由度大于零的体系都是可变体系。
三、约束（联系） 1．约束：限制物体或体系运动的各种装置。 2．外部约束：体系与基础之间的联系——支座 内部约束：体系内部各杆间或结点间的联系 ——铰结点、刚结点和链杆等。 3．约束的效用 对一体系施加某种约束，就可减少若干自由度。使体系减少 一个自由度的装置，就是一个约束 对体系施加 n 个约束，就可减少 n 个自由度。
y xB B
B
l A x
xA A
O yA
yB
平面内两点 A， B，有 4 个自由度。 链杆连接 自由度＝3 一根链杆相当于 1 个约束
同一刚片上两点
四、平面刚片系的自由度和约束 刚片数： M 单刚结点数：R 单铰结点数：H 支杆总数： S 自由度数： W=3M —3R —2H —S 体系的内部可变度： 体系内各个刚片相互之间的运动自由度 V=W —3 (V=3M —3R —2H —3) 注： (1) 如W(或V)计算结果为“—”，则表明体系具有“多余约束”； (2) 计算刚片数M时，每个刚片都应当是“无多余约束”的。
例：试计算体系的自由度
把基础也 看成1个刚片? M =8
与基础组成的体系内部可变度
√
R =0
H =10
W =3M —3R —2H —3 = 3×8 —3×0 —2×10 —3
=1
体系内部可变度=1
例：试计算体系的自由度
各杆都 看成1个刚片 M =11 R =7 H =5 S =5
W =3M —3R —2H —S
R =0
H =9
V =3M —3R —2H —3 = 3×7 —3×0 —平面链杆系的自由度和约束 可以用刚片系的自由度计算公式 。
平面链杆系的自由度专用公式 结点数： J 链杆数： B 支杆总数： S 自由度数： W=2J —B —S 体系的内部可变度： V=W —3 (V= 2J —B —3) 注意点：(P26)
例：试计算体系的自由度
各杆都 看成1个刚片 M =10 R =3 H =7 S =6
W =3M —3R —2H —S
= 3×10 —3×3 —2×7 —6 =1
自由度: 1
M =7 R =0 H =7 S =6
W =3M —3R —2H —S = 3×7 —3×0 —2×7 —6 =1
自由度: 1
一、刚片：本身几何不变的构件。 二、自由度： 确定一物体或体系的位置所需的独立几何参数的数目， 称为这一物体或体系的运动自由度，简称自由度。
平面内一点自由度为2 (有2个自由度)
y x A x y O x O A y
一个刚片在平面内有3个自由度
y B A'
q
q'
B' x
= 3×11 —3×7 —2×5 —5 =—3
体系具有3个“多余约束”
能否把支杆也看成刚片？
√
例：试计算体系的内部可变度
各杆都 看成1个刚片 M =9 R =2 H =9
V =3M —3R —2H —3
= 3×9 —3×2 —2×9 —3 =0
体系内部可变度=0
把AC、CB分别 看成1个刚片
M =7
链杆数： B=23 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —23 —3 = —2
看成6根杆件 M =6 R =6
H =0
V =3M —3R —2H —3 = 3×6 —3×6 —2×0 —3 = —3 体系具有3个“多余约束”
√
整体看成1个刚片 M =1 R =0 H =0 V =3M —3R —2H —3 = 3×1 —3×0 —2×0 —3 =0 体系没有“多余约束”
×
体系内部 3个“多余约束”没有反映出来
例：试计算图示体系的自由度
结点数： 链杆数：
J=14 B=25
支杆总数： S=3 自由度数： W=2J —B —S = 2×14 —25 —3 =0
例：试计算图示体系的内部可变度
结点数：
J=12
结点数：
J=12
链杆数： B=21 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —21 —3 =0
①支杆
y x A O
B
q
x
平面内：刚片有三个自由度。 用一根支杆把与基础相联系， 自由度＝2，即丧失一个自由度 (一根支杆相当于一个约束)
②铰
y A O
B
y
x 2
A
q
x
q1 q2
1 y x
O
刚片用一铰固定于A 自由度＝1 (一个铰相当于2个约束)
y x 3 q3 O 2 A
单铰 自由度＝4 (一个单铰相当于2个约束) 复铰 自由度＝5 (连接三根杆复铰相当于4个约束) (2个单铰)
q1
q2
1
y
x
一般，连接 n 个刚片的复铰，相当于 n—1 个单铰 或 2(n—l) 个约束。 注意完全铰与不完全铰的区别
A B C
③刚结点(刚性连接)
自由度＝3(一体) 单刚结点——3个约束
自由度＝3（6个约束） 复刚结点—— n－1单刚结点 或 3(n—l) 个约束
④链杆(直杆或曲杆，两端具有两个铰)
结构必须是几何不变体系，故其自由度应等于零(必要条件) 凡是自由度大于零的体系都是可变体系。
三、约束（联系） 1．约束：限制物体或体系运动的各种装置。 2．外部约束：体系与基础之间的联系——支座 内部约束：体系内部各杆间或结点间的联系 ——铰结点、刚结点和链杆等。 3．约束的效用 对一体系施加某种约束，就可减少若干自由度。使体系减少 一个自由度的装置，就是一个约束 对体系施加 n 个约束，就可减少 n 个自由度。
y xB B
B
l A x
xA A
O yA
yB
平面内两点 A， B，有 4 个自由度。 链杆连接 自由度＝3 一根链杆相当于 1 个约束
同一刚片上两点
四、平面刚片系的自由度和约束 刚片数： M 单刚结点数：R 单铰结点数：H 支杆总数： S 自由度数： W=3M —3R —2H —S 体系的内部可变度： 体系内各个刚片相互之间的运动自由度 V=W —3 (V=3M —3R —2H —3) 注： (1) 如W(或V)计算结果为“—”，则表明体系具有“多余约束”； (2) 计算刚片数M时，每个刚片都应当是“无多余约束”的。
例：试计算体系的自由度
把基础也 看成1个刚片? M =8
与基础组成的体系内部可变度
√
R =0
H =10
W =3M —3R —2H —3 = 3×8 —3×0 —2×10 —3
=1
体系内部可变度=1
例：试计算体系的自由度
各杆都 看成1个刚片 M =11 R =7 H =5 S =5
W =3M —3R —2H —S
R =0
H =9
V =3M —3R —2H —3 = 3×7 —3×0 —平面链杆系的自由度和约束 可以用刚片系的自由度计算公式 。
平面链杆系的自由度专用公式 结点数： J 链杆数： B 支杆总数： S 自由度数： W=2J —B —S 体系的内部可变度： V=W —3 (V= 2J —B —3) 注意点：(P26)
例：试计算体系的自由度
各杆都 看成1个刚片 M =10 R =3 H =7 S =6
W =3M —3R —2H —S
= 3×10 —3×3 —2×7 —6 =1
自由度: 1
M =7 R =0 H =7 S =6
W =3M —3R —2H —S = 3×7 —3×0 —2×7 —6 =1
自由度: 1