哥德巴赫猜想研究(六)

素数定理 设 a 为任意实数
( x)
x x ， x ln x a ln x
(2.6)
( x) 表示不超过 x 的素数的个数，其中 a 为常数。上述公式是著名
的素数定理，其证明参见数论书籍[2]。素数定理实际上就是把不规 则的非连续函数表达式（2.2） ，在特定条件下用一个连续函数表达 式表达了出来，为用连续函数估算 ( x) 的值提供了便利。

又因为
x ( x ) v ( n ) ，设 b x , t 2 ，而 n 1
t
1 为可微分的连续函数， ln(2 x n)
对（3.12）运用 Abel 恒等式则有
5
2x 1 D(2x) v(n)v(2x n) 2 v(n) n1 bnx ln(2x n)
Abel 恒等式 设 a(n) 是一算术函数，其和函数
A( x) a (n)
(2.7)
再设 1 y x ， f (t ) 是区间
y n x
y, x
n x
a ( n) f ( n)
上的连续可微函数，则有
x
A( x) f ( x) A( y ) f ( y ) A(t ) f / (t )dt
（1.3）
其中 N p1 p2 , t 2 为正实数，从而证明了 Goldbach 猜想。
&2 定义 1 函数
引理
1 v(n) 0 其中 n 0,1,2,3..... 为自然整数
定义 2 函数
n 为素数 其他
（2.1）
(k ) v(n)
n 1
k
(2.2)
其中 n 0,1,2,3..... 为自然整数。这个等式的含义是非常清楚的，即在不 大于 k 的自然数中，所含素数的个数为 ( k ) 个。 显然： v( n) (n) ( n 1) (2.3) 定义 3 函数
（3.14）
因为

x
1
(t )
dt
ln(2 x t ) 2 x t
2
0
所以有
x x 1 , x ,t 2 D(2x) 2 2 ln x t ln x ln 2x x t t 设 D ( N ) D (2 x) ，则有：
n 1 x n b
b 1
x
2 v ( n ) (2 x n ) (2 x n 1)
n b x 2x n 2x n 1 2 v ( n) n b ln(2 x n ) ln(2 x n 1) x 2x n 2 x n cn 2 v ( n) n b ln(2 x n ) ln(2 x n ) x cn 2 v ( n) n b ln(2 x n ) x 1 2 v ( n) , b n b ln(2 x n )
4
D (2 x ) v ( n )v (2 x n )
n 1
2x
2 v ( n ) (2 x n ) (2 x n 1)
n 1
x
2 v ( n ) (2 x n ) (2 x n 1) 2 v ( n ) (2 x n ) (2 x n 1)
文献： [1] 潘承洞 潘承彪《素数定理的初等证明》上海科学技术出版社 1988 年 [2] 潘承洞 潘承彪《歌德巴赫猜想》 科学出版社 1984 年 [3] 王元 《歌德巴赫猜想研究》 黑龙江教育出版社 1987 年
7
2
)
p ｜ Ｎ p2
p 1 p 2
(1.2)
其中 D( N ) 是指表示满足 N p1 p2 的素数对 ( p1 , p2 ) 的数目， p 为素 数，这就是 Hardy-Littlewood 猜想[1]，已有的大量的经验数据强 有力地支持该猜想。如果 Hardy-Littlewood 猜想成立，则哥德巴赫 猜想。80 多年过去了，人们对 D(N)虽进行了大量的研究，但仍未能
n 1
由于 (k ) 是非连续函数，并且只在特定条件下有渐进表达式，因此 我们只能在特定条件下求上述方程的解。由素数定理（2.3）知， 当
k 时，有渐进式 (k )
k k k ，我们设定当 k b 时 (k ) ln k ln k a ln k
，
其中 b 可以为充分大，则有
D (2 k ) v ( n ) v (2 k n )
n )
n 1
k
n k 1

2k
v ( n ) v (2 k n ) 2 D ( k )
(2.5)
（2.5）式一个很有用的公式，在以后的证明中要用到。 显然 （2.4）是整个证明过程中的核心公式，因为只要证明 D ( k ) 1 实际 上就证明 Goldbach 猜想。
1
获得 D(N)下界大于 0 的一般算式， 因此证明 Hardy-Littlewood 猜想 就成了证明哥德巴赫猜想的一个强有力的研究方向。本人的研究证 明，在 N 充分大时有：
1 N ，N D(N ) 1 ln 2 N ln t 2t 1 ln ( N / 2 )
6
N N t D(N ) 2 N N ln ( N / 2 ) ln ln N 2t 2t N 1 1 2 ln ( N / 2 ) t ln N / 2 1 ln t ln N 2 ln N / 2 2 N 1 1 2 ln t ln ( 2 1 / t ) ln ( N / 2 ) t 1 1 ln N / 2 ln ( N / 2 ) N 1 1 2 ln N 2 t 1 ln t ln N / 2 N ,t 2
当 b , x 时有
x n x t
v(n) ln(2 x n)
x

1


ln x
2
x x du 1 (u) 2 / x t x x ln(2 x u) 2 x u t ln ln 2 x t t
1 2 v(n) x ln(2x n) nx
t
（3.13）
2(x)
x 1 1 du x 2 2 (u) 2 x t / ln x t ln 2x x ln(2x u) 2x u t
1 t
（3.17）
其中
N
ln( N / 2)
2

N
ln N
2
， 1


ln(2 1/ t ) 2 ln( N / 2)
至此，定理证毕。
作者联系方式：电 子 邮 件：sfwxxx@ 电 话 0906-2133128 0906-2125212
歌德巴赫猜想的一个证明方法
苏法王
摘 要： 本文对哥德巴赫猜想证明的一个均值估值方法进行了讨论， 证明歌德巴赫猜想在特殊情况下成立，只提供一个证明思路，并不 具有普遍意义，希望研究者注意。 关键词：素数表达 数学猜想 特殊函数 数学方法
歌德巴赫猜想：1724 年，德国中学数学教师歌德巴赫发现，每 一个不小于 6 的偶数都是两个素数之和，由于这个结论没有得到证 明，所以这个猜想被称之为歌德巴赫猜想。
（3.15）
N N 2t , N , t 2 （3.16） D( N ) 2 2 2 ln( N / 2) ln N ln N N 2t 2t
简化（3.16） ，则有
（3.10）
其中 N p1 p2 , t 2 为正实数。 证明：结合（2.5） （2.3）得知：
D (2k )

2k
v (n )v (2 k n )
n 1

2k
v ( n ) ( 2 k n ) ( 2 k n 1)
k
（3.11）
u 1
2 v ( n ) ( 2 k n ) ( 2 k n 1)
D ( k ) v ( n ) v (2 k n )
n 1
k
(2.4)
其中 n 0,1,2,3..... 为自然整数。这个等式的含义也是十分非常清楚的， 即在不大于 2k 的自然数中， n ， 2k n 同时为素数的个数。 D (k ) 是 指表示满足 2k p1 p2 的素数对 ( p1 , p2 ) 的数目，具有计算和记数功 能，比如
&1
引言
1923 年， 英国数学家 Hardy 和 Littlewood 运用其发明的 “圆法” 对哥德巴赫猜想给出了一个猜测的渐近公式，对大偶数 N 应该有
D( N ) 2 ( N ) N ，N ln 2 N
(1.1)
其中
2 ( N ) 2 (1
p2
1 (1 p )
y
(2.8)
特别的,取 y=1,则有
3
y n x
a ( n) f ( n)
x / 1
A( x) f ( x) A(t ) f (t )dt
(2.9)
具体证明参考[3]
& 3 定理 当 N 充分大时有：
定理的证明
N 1 ， N , D (N ) 1 N )2 ( l n ln t t 2 1 ln ( N / 2 )
（3.12）
其中
（2 x n 1 ）ln ( 2 x n ) cn = 2x n ln ( 2 x n 1) （2 x n 1 ）ln ( 2 x n ) lim c n = lim 2 x n n x n x ln ( 2 x n 1) x x （x 1 ）ln ( x ) lim x ln ( x 1) x （x 1 ） lim x 1 x 1 ln 1 x 1
D (2) 1, D(3) 1, D (4) 1, D (5) 2, D (6) 1.......
2
这是由素数变化的不规则性决定的。 D (k ) 函数的变化是不规则的， 所以 D (k ) 是非连续函数，所以不可能给出 D (k ) 的精确连续函数表达 式，只能给出一个渐进的连续表达式。 其中