必修4--三角函数知识点归纳总结

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高中数学必修4《三角函数》知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈锐角：{}090αα<< 小于90的角：{}90αα<任意角的概念弧长公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k所以2α在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒=π8、角度与弧度对应表：角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒90120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π2π9、弧长与面积计算公式弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.二、任意角的三角函数1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα=其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+.2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号度0 30 45 60 90 120 135 150 180︒270360弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2πsin α 01222 32132 22121 0cos α132 221212- 22-32-1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-无ry)(x,αP口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0,4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， c o s 1x x x OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳

高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳知识点（一）任意角和弧度制1．与θ终边相同的角的集合是；第一或第三象限角的集合是；x 轴上的角的集合是；2.若α是锐角，则πα-是第象限角；πα+是第象限角；2πα-是第象限角；α-是第象限角；32πα-是第象限角；2πα+是第象限角。

3.180°=π；1°= 弧度； 1弧度= ；圆心角α弧度数的绝对值||α= ；扇形面积公式S = 。

4.角ααcos 2=-，则2α角是象限角。

知识点二．任意角的三角函数1.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，(,)P x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin α= ，cos α= ,tan α= 。

2.如图，三角函数线：正弦线是、余弦线是、正切线是；4.已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin tan αα+的值为； 5．函数sin cos tan |sin ||cos ||tan |y αααααα=++的值域是； 6．sin cos θθ<⇔ ；sin cos θθ>⇔ 。

知识点三．同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.平方关系：22sin cos αα+= ；商数关系：tan α= ；2.已知tan 2α=，则ααααcos sin cos 3sin +-＝；sin cos αα⋅＝；4.1419costan()34ππ+-的值为； 5.化简23sin (180)cos(360)sin(270)cos (180)cos(90)tan(180)αααααα+⋅-⋅-=--⋅+⋅+ 。

yTA xα B SO M P知识点四．正弦、余弦、正切公式及倍角公式1.基本公式及变式()()22222sin sin cos cos sin sin 22sin cos 1sin 2(sin cos )cos cos cos sin sin cos2cos sin 2cos 112sin t αβαβαβαβαβαααααααβαβαβααααα==±=±−−−→=⇒±=±±=−−−→=-=-=-↓↓令令　()222tan tan 2tan 1+cos21cos2an tan 2cos sin 1tan tan 1tan 22αβααααβααααβα±-±=→=- ＝　,＝变式：1tantan tan tan()(1tan tan),tan()1tan4απαβαβαβαα++=+⋅-⋅=+-；sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436πππθθθθθθθθθ±=±±=±±=±2.4411111212cos sin ππ-= ；sin163sin 223sin 253sin313+= ； 3.在ABC ∆中，53sin ,cos 135A B ==,则cos C = ； 4.在直角ABC ∆中，sin sin A B ⋅的最大值为；5.已知等腰三角形的一个底角的正弦值为13，则这个三角形的顶角的余弦值是。

(完整版)高一数学必修4三角函数知识点及典型练习

第一、任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算，弧长lr α=、扇形面积21122s lr r α==，二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切xya =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。

三角函数值在各象限的符号：三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：22sincos 1αα+= 2. 商数关系：sin tan cos ααα=3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

正弦余弦正切4. 两角和与差公式：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧⎪±=±⎪⎪±=⎨⎪±⎪±=⎪⎩m m5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα⎧⎪=⎪=-=-=-⎨⎪⎪=-⎩余弦二倍角公式变形： 222cos1cos2,2sin 1cos2αααα=+=-第二、三角函数图象和性质基础知识:1、三角函数图像和性质2、熟练求函数sin()y A x ωϕ=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等，会用五点法作sin()y A x ωϕ=+简图：五点分别为：、、、、。

3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ϕ=⇒=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ϕωϕ=+⇒=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ωϕωϕ=+⇒=+ 4、求函数sin()y A x ωϕ=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。

【精品】高中数学必修4_三角函数的诱导公式_讲义知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】要点一：诱导公式诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值：（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭．（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=．两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=．类型二：利用诱导公式化简例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三：【变式1】化简（1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈；（3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】常见的一些关于参数k 的结论：（1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈；（2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈；（3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈；（4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈．类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立．举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证：（1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=；（3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证．（2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证．（3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证．【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-．证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证．类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值．（3）若313πα=-，求()f α的值．【解析】（1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=．（3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-．【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三：【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。

高中数学必修三角函数知识点归纳总结经典

高中数学必修三角函数知识点归纳总结经典一、正弦函数、余弦函数、正切函数的定义1. 正弦函数：在单位圆上，对于任意角度θ，都存在一个点P(x,y)，其中x=cosθ，y=sinθ。

则y=sinθ称为角θ的正弦函数。

2. 余弦函数：在单位圆上，对于任意角度θ，都存在一个点P(x,y)，其中x=cosθ，y=sinθ。

则x=cosθ称为角θ的余弦函数。

3. 正切函数：在单位圆上，对于任意角度θ，都存在一个点P(x,y)，其中x=cosθ，y=sinθ。

则y/x=tanθ称为角θ的正切函数。

二、基本性质1.周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数的周期都是2π。

2.奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

3.值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R。

三、基本公式1. 正弦函数的基本公式：sin(θ±α) = sinθcosα ±cosθsinα2. 余弦函数的基本公式：cos(θ±α) = cosθcosα ∓ sinθsinα3. 正切函数的基本公式：tan(θ±α) =(tanθ±tanα)/(1∓tanθtanα)四、三角函数的图像与性质1.正弦函数图像的性质：周期为2π，在(0,0)处取得最小值-1，在(π/2,1)、(3π/2,-1)处取得最大值1，是一个奇函数。

2.余弦函数图像的性质：周期为2π，在(0,1)处取得最大值1，在(π,-1)处取得最小值-1，是一个偶函数。

3.正切函数图像的性质：周期为π，在(0,0)处取得最小值-∞，在(π/2,∞)处取得最大值∞，是一个奇函数。

五、三角函数的性质1.三角函数的和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)2.三角函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θtan2θ = (2tanθ)/(1-tan^2θ)3.三角函数的半角公式：sin(θ/2) = √[(1-cosθ)/2]cos(θ/2) = √[(1+cosθ)/2]tan(θ/2) = sinθ/(1+cosθ)4.三角函数的积化和差公式：sinA·sinB = (1/2)[cos(A-B)-cos(A+B)]cosA·cosB = (1/2)[cos(A-B)+cos(A+B)]sinA·cosB = (1/2)[sin(A-B)+sin(A+B)]六、三角函数的应用1.解三角形：利用正弦定理、余弦定理和正弦函数、余弦函数的性质，可以解决三角形的边长和角度。

数学必修4 常用三角函数公式总结

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α)) Fra bibliotek三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解

第一章三角函数知识点详列一、角的概念及其推广正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角零角：射线不做任何旋转形成的角负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==；（3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一象所在象限的判断例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。

(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

(完整版)新课标人教A版高中数学必修四三角函数知识点总结,推荐文档

高中数学必修4三角函数知识点总结§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：.α{}Z k k ∈+=,2παββ§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .rl =α3、弧长公式：.R Rn l απ==1804、扇形面积公式：.lR R n S 213602==π§1.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：α()y x P ,xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点为角终边上任意一点，那么：（设）(),A x yαr =，，，sin y r α=cos x r α=tan yx α=cot x yα=3、，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.αsin αcos αtan 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.α6π4π3π2π23π34ππ32π2πsin αcos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：.1cos sin 22=+αα2、商数关系：.αααcos sin tan =3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）Z k ∈1、诱导公式一：（其中：(),cos 2cos ,sin 2sin απααπα=+=+k k ）Z k ∈2、诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.在上的五个关键点为： sin y x =[0,2]x π∈30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的每一个值时，都有()x f x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.()()x f T x f =+()x f图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysin =xycos =xy tan =图象定义域RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性π2=T π2=T π=T 奇偶性奇偶奇单调性Zk ∈在上单调递增[2,2]22k k ππππ-+在上单调递减3[2,2]22k k ππππ++在上单调递增[2,2]k k πππ-在上单调递减[2,2]k k πππ+在上单调递(,)22k k ππππ-+增对称性Zk ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π=对称中心(,0)2k ππ+无对称轴对称中心,0)(2k π§1.5、函数的图象()ϕω+=x A y sin 1、对于函数：有：振幅A ，周期，初相，相位，频率()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>2T πω=ϕϕω+x .πω21==Tf 2、能够讲出函数的图象与x y sin =的图象之间的平移伸缩变换关系.()sin y A x B ωϕ=++①先平移后伸缩：平移个单位sin y x =||ϕ()sin y x ϕ=+()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x Bωϕ=++（上加下减）②先伸缩后平移：sin y =sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍sin y A xω=横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x ωϕ=+()sin A x Bωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数，x∈R 及函数，x∈R(A,,为常数，且A ≠0)的周期；sin()y x ωϕ=+cos()y x ωϕ=+ωϕ2||T πω=函数，(A,ω,为常数，且A ≠0)的周期.tan()y x ωϕ=+,2x k k Z ππ≠+∈ϕ||T πω=对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与sin()y A x ωϕ=+()2x k k Z πωϕπ+=+∈()x k k Z ωϕπ+=∈解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.x 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：，.max min 2y y A -=max min2y y B +=要根据周期来求,要用图像的关键点来求.ωϕ§1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：ααsin αcos αtan 12π426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=6、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，αααcos sin 22sin =.12sin cos sin 2ααα=2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α.α2sin 21-=变形如下：升幂公式：222cos 1cos 22sin ααα=⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、.ααα2tan 1tan 22tan -=4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角所在象限由点的象限决定, ).ϕ(,)a b tan b aϕ=第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度AB AB AB等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.a a2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规λa a λ定如下： ⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.0>λa λa 0<λa λa 2、平面向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.()0≠a a b λa b λ=§2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，21,e e a 有且只有一对实数，使.21,λλ2211e e a λλ+=§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .()y x j y i x a ,=+=§2.3.3、平面向量的坐标运算1、设，则：()()2211,,,y x b y x a == ⑴，()2121,y y x x b a ++=+⑵，()2121,y y x x b a --=-⑶，()11,y x a λλλ=⑷.1221//y x y x b a =⇔2、设，则：()()2211,,,y x B y x A .()1212,y y x x AB --=§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ⑴线段AB 中点坐标为，()222121,y y x x ++⑵△ABC 的重心坐标为.()33321321,y y y x x x ++++§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .θb a ⋅2、在.a b θ34.5、 .0=⋅⇔⊥b a b a §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设，则：()()2211,,,y x b y x a ==⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、设，则：()()2211,,,y x B y x A3、两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==4、点的平移公式平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为，(,)P x y (,)P x y '''(,)PP h k '=则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩ 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为()y f x =(,)a h k =().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是l AB l AB直线的方向向量.l ⑵．平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量nααn α⊥ n α⊥ 叫做平面的法向量.nα⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．α(,,)n x y z =③求出平面内两个不共线向量的坐标．123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==④根据法向量定义建立方程组.n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.α（如图）建议收藏下载本文，以便随时学习！2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.12,l l a b 、1l 2l a b ()a kb k R =∈　即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即l a αul αa u ⊥ .0a u ⋅= 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.αu βv αβu vu v λ= 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.12,l l a b、12l l ⊥a b ⊥ 0a b ⋅= 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即l a αu l α⊥a u.a u λ= ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若l a αm n 、0,.a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.⑶面面垂直若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.αuβv αβ⊥u v ⊥ 0u v ⋅= 即：两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，,a b ,a b ,a b θ 则cos .AC BDAC BDθ⋅=9⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为l a αu θa u ，　则为的余角或的补角ϕθϕϕ的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅== ⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线βα--l ，则为二面角的平面角.l BO l AO ⊥⊥,AOB ∠βα--l 如图：②求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角l αβ--m n 、m n 、ϕ的平面角为，则二面角为的夹角或其补角l αβ--θθm n 、ϕ.πϕ-根据具体图形确定是锐角或是钝角：θ◆如果是锐角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅== 即；arccos m n m nθ⋅= ◆如果是钝角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅=-=- 即.arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线距离l 若Q 为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q 到直线距离为l P l a l b PQ l h =⑵点A 到平面的距离α若点P 为平面外一点，点M 为平面内任一点，αα平面的法向量为，则P 到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.αn αMP n 即cos ,d MP n MP=10n MP MP n MP ⋅=⋅ n MP n⋅= ⑶直线与平面之间的距离a α 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n ⋅= ⑷两平行平面之间的距离,αβ 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅= ⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方n ,a b ,,M a P b ∈∈,a b d MP n 向上投影的绝对值. 即.n MP d n⋅= 6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PAa a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AOa a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线AB 在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB ααα与 α(AD)所成的角为， AD 与AC 所成的角为， AB 与AC 所1θ2θ11成的角为．则.θ12cos cos cos θθθ=8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面与β()S S 原α()S S '射α平面所成的二面角的大小为锐二面角，则βθ 'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则l 123l l l 、、123θθθ、、有 .2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

(完整版)高中必修四三角函数知识点总结

§04。

三角函数知识要点1. ①与α(0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合):{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0。

01745 1=57。

30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57。

30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0。

01745（rad ）3、弧长公式：rl ⋅=||α。

扇形面积公式:211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y)P与原点的距离为r,则 ry =αsin ； rx =αcos ； =αtan yx=αcot ； xr =αsec ；。

yr=αcsc 。

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线：MP ；余弦线：OM; 正切线： AT.SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域16. 几个重要结论:8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin = αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限"公式组二公式组三(完整版)高中必修四三角函数知识点总结x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四公式组五公式组六xx x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ xx x x x x xx cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ xx x x xx xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三公式组四公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ，3275cot 15tan -== ，3215cot 75tan +== 。

高中数学必修4第一章三角函数的知识点

当 x 2k 时，

2
1,1
k
；当当 x 2 k k 时，
y m ax 1 ；当 x 2 k
R

倍（纵坐标
不变），得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数 y sin x 的图象．函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
2
奇函数
偶函数
奇函数

2
, 2k

2

；③频率： f
1

2
；④相位： x ；⑤初相：．
函数 y s in x ，当 x x1 时，取得最小值为 y m in ；当 x x 2 时，取得最大值为
y m a x ，则
sin ， co s

co s ， tan
， tan

tan ．
3、与角终边相同的角的集合为 k 3 6 0 , k

sin ， co s
co s

tan ．
终边所落在的区域．
co s ， co s sin ， tan co t ． 2 2 2 co s ， co s sin ， tan co t ． 2 2 2
1 2
y m ax
y m in ，

高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案

21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时，点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3

高中数学必修四知识点总结归纳

高中数学必修四第一章：三角函数1.1任意角和弧度制考点1：任意角的概念考点2：终边相同的角考点3：象限角与轴线角1.1.2弧度制考点1：弧度制考点2：弧度制与角度制考点3：用弧度表示有关角考点4：扇形的弧长与面积1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数考点1：任意角的三角函数的定义考点2：三角函数值的符号考点3：诱导公式（一）考点4：三角函数式的化简与证明考点5：三角函数线考点6：三角函数的定义域与值域1.2.2同角三角函数的基本关系考点1：同角三角函数的基本关系考点2：三角函数式的化简考点3：利用sinα，cosα，sinαcos α之间的关系求值考点4：三角函数恒等式的证明1.3三角函数的诱导公式考点1：诱导公式考点2：运用诱导公式化简、求值考点3：诱导公式的综合运用1.4三角函数的图像与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数。

余弦函数的性质考点1：函数的周期性考点2:正弦函数与余弦函数的图像考点3：正弦函数与余弦函数的定义域和值域考点4：正弦函数与余弦函数的奇偶性考点5：正弦函数与余弦函数的单调性考点6：正弦函数与余弦函数的对称性1.4.3正切函数的性质与图像考点1：正切函数的图像考点2：正切函数的性质考点3：正切函数的综合问题1.5函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用考点1：用“五点法”作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点2：用变换作图法作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点3：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像确定其解析式考点4：简谐运动的有关概念考点5：函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用1.6三角函数模型的简单应用考点1：利用三角函数定义建立三角函数模型考点2：用拟合法建立三角函数模型考点3：三角函数模型应用的综合问题考法整合：考法1：任意角三角函数定义的灵活运用考法2：山脚函数图像的对称性考法3：三角函数的值域与最值问题考法4：利用图像解题第二章：平面向量2.1平面向量的事件背景及基本概念考点1：平面向量的概念考点2：平行向量（共线向量）、相等向量与相反向量考点3：平面向量的应用2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其集合意义考点1：向量的加法考点2：向量的减法考点3：向量的化简考点4：响亮的加减法应用2.2.3向量数乘运算及其集合意义考点1：向量的数乘运算考点2：向量的线性运算考点3：向量的共线问题考点4：利用向量解决平面几个问题2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量的基本定理考点1：平面向量的基本定理考点2：平面向量基本定理的应用考点3：两个平面向量的夹角2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示考点1：平面向量的坐标表示考点2：平面向量的坐标运算考点3：平面向量贡献的坐标表示考点4：线段的定比分点考点5：平面向量坐标表示的应用2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义考点1：平面向量的数量积考点2：数量积的性质及其运算律考点3：两向量的夹角考点4：数量积的应用2.4.2平面向量数量积的坐标表示。