高数实践课题目
城市学院高数真题答案解析
城市学院高数真题答案解析高等数学是大部分大学生必修的一门学科，也是城市学院的一门重要课程。
为了帮助城市学院的学生更好地掌握高数知识，我们特别整理了一些城市学院高数真题，并对其中的难点进行了解析和讲解，以期帮助学生更好地理解和掌握这门学科。
第一题：已知函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+5，求f(2)的值。
解析：将x替换为2，得到f(2)=2(2)^3+3(2)^2-12(2)+5=2(8)+3(4)-24+5=16+12-24+5=9。
答案：f(2)=9。
第二题：已知函数f(x)=3^x，求f(0)的值。
解析：将x替换为0，得到f(0)=3^0=1。
答案：f(0)=1。
第三题：已知函数f(x)=log(base2)(x+1)，求f(2)的值。
解析：将x替换为2，得到f(2)=log(base2)(2+1)=log(base2)3。
答案：f(2)=log(base2)3。
第四题：已知函数f(x)=e^x，求f(1)的值。
解析：将x替换为1，得到f(1)=e^1=e。
答案：f(1)=e。
通过对这些题目的解析，我们可以发现高等数学中的基础知识是非常重要的。
掌握了这些基础知识，就能够解答更加复杂的问题。
在实际应用中，高等数学可以帮助我们分析和解决各种问题，如经济、科学、工程等领域的实际问题。
因此，学好高等数学对于城市学院的学生来说是非常重要的。
除了基础知识之外，数学中的方法和技巧也非常重要。
在解决问题时，合理运用不同的方法和技巧可以帮助我们简化问题、提高解题效率。
因此，我们在学习高等数学的过程中，不仅要重视理论的学习，更要注重实践的操作，通过大量的练习和思考，培养自己的问题解决能力。
在学习高等数学的过程中，很多学生可能会遇到困难和挫折。
但是，只要我们有正确的学习态度和方法，就能够克服这些困难。
在解题时，我们要有耐心和恒心，不能轻易放弃。
如果遇到困难，可以向老师和同学寻求帮助，互相讨论和交流，相信问题一定能够得到解决。
高数第二章、习题课
0.
故 dy dx
t0
dy dx
x0 0.
t
例4 设函数y f ( x)由方程x y y x( x 0, y 0)
所确定,求
d2y dx2
.
解：方法一 两边取对数 1 ln y 1 ln x,
x
y
即y ln y x ln x,
(1 ln y) y ln x 1, y ln x 1, 1 ln y
d dx
(
f
1) ( t )
d ( 1 ) dt dt f (t) dx
[f
f (t) ( t )]2
f
1 ( t )
例8
设
x y
f (t), t f (t)
fHale Waihona Puke , (t)其中f
(t) 存在,
f (t)
0,
求
d3y dx3
.
解：方法二：微分法
dy [ f (t) t f (t) f (t)]dt t f (t)dt, dx f (t)dt
第二章 习题课
主要内容
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微微 分分 y Ax
dyo(yx) x
求导法则
一、几个重要概念
1. 导数的定义
y lim y lim f ( x x) f ( x) .
x0 x x0
x
dy lim f ( x h) f ( x) .
dx
x
例 10、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时，同时一船在 此人底下以 8 公里/小时之速率划过，此桥比船高 200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
高数第一次课随堂练习函数与极限
随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
2、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
3、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。
5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
10、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
二、计算题1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21； （8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(21112x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+xx与x 。
高数习题课1
一. 例题分析 二.目标测验题 三. 答案 五 . 求导数举例
一,例题分析
1 , 求g ( x ) = f ( x + a ) + 例1 设f ( x ) = ln( 3 x ) + 2 49 x
f ( x a )的定义域(a > 0).
解 当3 x > 0且49 x 2 > 0时,f ( x )有意义.即f ( x )
1. lim x ( x + 1 x ).
2 x →∞
3+ x 2. lim ( 6+ x ) . x →∞
x 1 2
3. lim
n→ ∞
x ( 1 cos x ) ( 1 e x ) sin x 2 x →0
.
4. lim(1+ + ) .
n→∞ 1 n 1 n n2
5. lim ( n31+1 + n31+ 2 + + n31+ n ).
6. lim
ln( x0 + x )+ ln( x0 x ) 2 ln x0 x2 x →0
( x0 > 0).
7. lim [sin ln( x + 1) sin ln x ].
x → +∞
设f ( x) = lim nxnx+1 , 求f ( x)的表达式, 并讨论 3 (四), 四, x →∞
= f ( x ),
所以此时 f ( x )也为奇函数 .
例3
设a, x0均为正常数, 数列
xn = 1 ( xn1 + xna1 ), n = 1, 2 , 2
求 lim xn .
高数习题课5-1
使得
f ( x) > 0
x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ )[⊂ (a , b )]
- 11 -
习题课（一） 习题课（
由闭区间连续函数的性质得： 当 由闭区间连续函数的性质得： x ∈ [ x0 − , x0 + ] 时， 2 2 恒有 f ( x ) ≥ m > 0, 因此
∫0
1
1 1 2 1 1 f ( x )dx ≤ ∫ [ f ( ) + f ′( )( x − )]dx = f ( ) 0 3 3 3 3
2 1
- 10 -
例6 1
b
上连续，证明： 设f ( x ) 及 g ( x )在[ a , b ]上连续，证明： f 若在 [a , b]上， ( x ) ≥ 0, 且 f ( x )不 恒等于 0, 则
原式
sin 3ξ n2 = lim ⋅ n→ ∞ n( n + 1) ξ n2 sin 3ξ = lim lim =3 n→ ∞ n( n + 1) ξ → 0 ξ
-8-
习题课（一） 习题课（
上可导， 且 例4 设 f ( x ) 在 [0,1] 上可导， f (1) − 2 ∫ xf ( x )dx = 0 证明： 证明：在区间 (0,1) 至少存在一点 ξ , 使得 f (ξ ) f ′(ξ ) = −
第 五 章 定 级 分
dx , 求 g ′′(1) 1 设 g( x ) = ∫ 0 1 + x3 1 2x 2 ′( x ) = ( x )′ = 解 g 2 3 6 1+ (x ) 1+ x
(1 + x 6 ) − x ⋅ 6 x 5 1 − 5 x5 g′′( x ) = 2 =2 6 2 (1 + x 6 )2 (1 + x )
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
高数A习题课(3)_
′ 故仅当a = 2, b = −1 f− (1) = f+ (1)即f (x)在x =1 时′ 处可导 ， 综上，当a = 2, b = −1 f (x)在（− ∞，∞）可导 时 + 。
例5 求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
dy （）由方程sin( xy) + ln( y − x) = x确定y是x的函数 求 1 , dx 方程两边对x求导，得 解 1 cos(xy)( y + xy′) + ( y′ −1) =1 （ ） * y−x
解
由 件 f (0) = 0， 条 知
f (x) − f (0) ϕ(a + bx) −ϕ(a − bx) f ′(0) = lim = lim x→0 x→0 x −0 x −0 [ϕ(a + bx) −ϕ(a)] ⋅ b + lim [ϕ(a −bx) −ϕ(a)] ⋅ b = lim x→0 x→0 bx − bx
dy d d sinxlnx x ) ∴ = (sinx) + (e dx dx dx = (sinx) (ln sin x + x cot x) + x
x sinx
sin x (cos x ln x + ). x
例2
求下列函数在指定点处的导数： 求下列函数在指定点处的导数：
1−sin x （） = arcsinx ⋅ 1 y , 求 ′(0). f 1+ sin x
3
′ 7.证 明： f (x)在 a, b]上可导 设 [ ，且 + (a) f− (b) < 0,则 f′ 至 ∃一 ξ ∈(a, b)，使 ′(ξ ) = 0. 少 个 f 8.设f (x)在 a, b]上连续 [ ，在 a, b)可 ( 导， f (a) = 且 f (b) = 0, 证 至少 一个 ∈(a, b), 使 (ξ ) + f ′(ξ ) = 0. ∃ ξ f
辽宁工业大学高数习题课(10)
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
0
1
从而
I
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
高数习题2-4的答案
高数习题2-4的答案高数习题2-4的答案高等数学是大学数学的一门重要课程，它涉及到许多抽象的数学概念和理论。
在学习高数的过程中，习题是不可或缺的一部分。
习题可以帮助我们巩固所学的知识，培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将为大家提供高数习题2-4的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握高数知识。
习题2-4是一组与极限相关的题目，下面将逐一给出其答案和解析。
1. 求极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：这是一个非常经典的极限题目。
我们可以利用泰勒展开的方法来求解。
根据泰勒展开公式，我们有sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - ...，因此，sinx/x = 1 -x^2/3! + x^4/5! - ...。
当x趋近于0时，x的高次项的值趋近于0，所以我们可以忽略它们，得到lim(x→0)(sinx/x) = 1。
2. 求极限lim(x→∞)(x^2 - 3x)/(2x^2 + 5)。
解析：这是一个无穷大与无穷大相除的极限题目。
我们可以利用洛必达法则来求解。
根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导，并求出它们的极限。
对于分子，导数为2x - 3；对于分母，导数为4x。
将导数代入极限公式，得到lim(x→∞)(2x - 3)/(4x)。
当x趋近于无穷大时，分子和分母的值都趋近于无穷大，所以我们可以继续使用洛必达法则。
对分子和分母再次求导，得到lim(x→∞)2/4 = 1/2。
3. 求极限lim(x→1)(x^3 - 1)/(x^2 - 1)。
解析：这是一个有理函数的极限题目。
我们可以尝试因式分解来求解。
分子可以写成(x - 1)(x^2 + x + 1)，分母可以写成(x - 1)(x + 1)。
将分子和分母进行约分，得到lim(x→1)(x^2 + x + 1)/(x + 1)。
当x趋近于1时，分子和分母的值都趋近于3，所以极限为3。
4. 求极限lim(x→∞)(e^x + 1)/(e^x - 1)。
高数课后习题答案及其解析
第一章习题 习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。
高数习题课
e −b 有无穷间断点 x =0 例7. 设函数 f (x) = (x−a)(x−1 ) 及可去间断点 x =1, 试确定常数 a 及 b . x e −b 为无穷间断点, ∴lim 解: =∞ ) x→ (x−a)(x−1 0 (x−a)(x−1 ) a lim = 即 =0 x x→ 0 1−b e −b 由此得 a = 0, b ≠1 ex −b ∵x =1为可去间断点 , ∴lim 极限存在, ) x→ x(x−1 1
1+tan x x3 ) . 例5. 求极限 lim ( x→ 1+sin x 0 1 1+tan x x3 解: 原式 = lim [1+( −1 )] 1+sin x x→ 0 1 tan x−sin x x3 = lim [1+ ] 1+sin x x→ 0
1
lim 1± f (x)]g(x) [
3
3
练习： 练习： (1) 求 lim
x→ ∞
x2 + x2 +3
4
2x− 2x −1 (2) lim(3 1−x3 −ax+b) =0 确定常数 a 及 b
x→ ∞ +
解:
原式 = lim x(3
∞ x→
x 1 ∴ lim(3 x3 −1−a+b ) =0 x x→ ∞
1 x3
−1−a+ b ) =0
习题课 函数与极限
一. 函数 1. 函数的概念 定义: x∈D
f
对应规律
y∈W={y y = f (x), x∈D }
值域
定义域
y
图形: } C ={(x, y) y = f (x), x∈D ( 一般为曲线 )
大一高数c题库及答案
大一高数c题库及答案高等数学C是一门主要讨论运筹学、概率论及统计的课程，因而在解题时，往往需要掌握一定的相关概念才能有效地解题。
下面，是为大一高数C课程准备的一些常见题库及答案，仅供参考。
一、运筹学：1.极值问题问题：已知函数f(x,y)=2×2+3×3-2xy，求极值点。
答案：∂f/∂x=6x-2y=0∂f/∂y=-2x-6y=0结论：x=y=-1/3，点(-1/3,-1/3)为极值点，且为极小值，因其导数=0。
2.最佳化问题问题：f(x,y)=2×2+3×3-4xy，求使得函数最大的点。
答案：∂f/∂x=6x-4y=0∂f/∂y=-4x-6y=0结论： x=y=-1/2，点(-1/2,-1/2)为极大值，其值为f(-1/2,-1/2)=1。
二、概率论：1.条件概率问题问题：在一抽样中有五名男生和五名女生，其中有三名男生掌握C 语言，已知如果一名学生掌握C语言的概率为p，求在这抽样中掌握C 语言的女生的概率。
答案：设随机选取的是女生时的概率为q，p(女生掌握C语言|随机选取的是女生)=p(女生掌握C语言并且随机选取的是女生)/P(随机选取女生) = 3/5 / q由贝叶斯公式可知：p(女生掌握C语言并且随机选取的是女生)= p(女生掌握C语言)*p(随机选取女生/女生掌握C语言) = 3/10 * q/5综上可得：p(女生掌握C语言|随机选取的是女生)= 3/5三、统计学：1.描述性统计量问题问题：在一组数据中，X的最小值为xmin，最大值为xmax，求X 的中位数。
答案：根据定义，中位数即将数据集分为两个等大的部分，由此可求得中位数 = (xmin + xmax)/2以上内容提供了一些大一高数C课程常见题库及相应解答，希望能够为大家解决同学常见的题目疑难，学习更上一层楼。
辽宁工业大学高数习题课10-1-2
特殊的有向曲线 L1:x24y22( 0充分小), 规定L1的方向为
逆时针（如图所示）。
y
L
设 L(L1)所围成的区域为D,
L1
则在L(L1)上应用Green 公式，得
0
x
yd x xdyQP
( )dxd 0,y L L 1 x24y2 D x y
所以
ydxxdy
L x24y2
L1
ydxxdy
x24y2 .
而
ydxxdy1 L1 x24y2 2
ydxxdy 1
L1
2
2dxdy
D
故
ydx xdy
L x2 4y2
或利用参数方程计算：令L 1
:xcos,y sin ,
2
从0到2
.
所以 ydxxdy ydxxdy
L x2 4y2 L1 x2 4y2
21 22(s 0
1y}
,
于是
WBO rk3[xdx (1y)d]yk
1d[x2 (1y)2] 2 (0,0) (2,0) [x2 (1y)2]32
1k(2)[x2(1y)2]1 2
(0,0)
k(1
1
).
2
(2,0)
5
感谢您的关注
解: 补直线段 L OA: y 0, x从0变到; 并设曲线LL
所围区域为 D（如图），则由Green公式，得：
ex [1 ( co y )ds x (y siy )n d]y L L
Q
(
D
x
P)dxdy y
yexdxdy
D
y
ysinx
L
dxsinxexydy1 (1 e )
现代高数课本练习题答案
现代高数课本练习题答案一、选择题1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A2. 函数f(x) = 2x - 3在x=2处的导数是：A. -3B. 1C. 2D. 4答案：C3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 1答案：B二、填空题4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数是 ________。
答案：cos(x) - sin(x)5. 微分方程dy/dx = 3x^2 + 2x的通解是 ________。
答案：y = x^3 + x^2 + C三、解答题6. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在x=1处的泰勒展开式。
解：首先求出f(x)的各阶导数：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9f''(x) = 6x - 12f'''(x) = 6在x=1处的值分别为：f(1) = 1^3 - 6*1^2 + 9*1 + 2 = 6f'(1) = 3*1^2 - 12*1 + 9 = -6f''(1) = 6*1 - 12 = -6f'''(1) = 6泰勒展开式为：f(x) ≈ 6 + (-6)(x-1) + (-6)/2!(x-1)^2 + 6/3!(x-1)^3即f(x) ≈ 6 - 6(x-1) - 3(x-1)^2 + 2(x-1)^37. 求定积分∫(-1到1) e^x dx。
解：由于e^x是指数函数，其在区间[-1, 1]上是单调递增的，所以可以直接计算定积分：∫(-1到1) e^x dx = e^1 - e^(-1) = e - 1/e四、证明题8. 证明：对于任意实数a和b，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。
高数第7章习题课2
①
由初始条件
得
故所求初值问题的解为
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
作业
微分方程自测题
当 a>1 时，特征方程有一对共轭复根
故所求通解为 y ex[C1 cos( a 1 x) C2 sin( a 1 x)].
例2 求方程 y 2 y 4 的通解. 解 方程所对应的齐次方程为
y 2 y 0 它的特征方程
有两个实根
于是与所给方程对应的齐次方程的通解为 Y C1e 2x C2e 2x .
由解的结构定理得方程的通解为
y
C1
C2
x2
1 x
.
例6 求微分方程
满足条件
处连续且可微的解.
提示 特征根: 设特解:
解满足 代入方程定 A, B, 得
故通解为 得
处的衔接条件可知,
解满足
其通解: 定解问题的解: 故所求解为
例7 提示
且满足方程 则
问题化为解初值问题: 最后求得
例8 设函数
内具有连续二阶导
8 b 0，
y* 1
1 8
x;
(2)
设
y* 2
x(c cos 2x
d
sin
2 x ),
则
(
y* 2
)
(c
2dx)cos
2
x
(d
Hale Waihona Puke 2cx)sin2x,
(
y* 2
同济高数第一章习题课
0 2.做变量替换转化为 型 0
3.其他方法。罗比达法则。
4.“0·∞”型未定式 转化为
0 型或 型 0
5.“∞- ∞”型未定式 通过通分、分子有理化或倒数替换将其转化
0 为 型或型 0
5.幂指数函数极限的求法 幂指函数: 形如 u(x)v(x) (u(x)>0, u(x)1)的函数 （1）利用两个重要极限的第二个。 （2）若 lim u( x ) a 0, lim v( x ) b, 则
lim u( x )
v( x )
a .
b
6.n项求和及乘积的极限 求和时
1.分子和分母同乘一个因子，然后拆项求和。
2.夹逼准则。
乘积时
1.夹逼准则 例 求极限 lim n 1n 2n 3n .
n
lim 3 x 9 x 例 求极限 x
1 x
例. 求 lim (1 2
证明数列{xn}的极限存在, 并求其极限.
7.确定极限中的参数
0 由于极限为常数，故常为 型 或 型 ，利用 消去零因子来求出常数。 0
2 n 1
例 设 f ( x ) lim
x
n
ax b 为连续函数, 求a, b. 2n x 1
例. 确定常数 a , b , 使 解: 原式 lim x ( 3 13 1 a b ) 0 x
x
x
3x ) x .
x x x 3 )
1
1
解: 令 f ( x) (1 2
3
1 x
(1) x 3
( 2) x 3
1
1 x
3 f (x) 3 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) 3 .
高数习题课(全)
2. 设函数 f ( x)在[a, b]上连续，在 ( a, b) 内可导， 其中 a , b均为方程 f ( x) 0 的实根，则方程 f ( x) 0 在( a, b)内( C )
( A) 仅有一实根； (C ) 至少有一实根； ( B) 至少有2个实根；
( D) 没有实根.
dy d 2 y , 2 dx dx
.
x 0
f ( x) 3, 求 f (2). 2.设 f ( x) 在 x 2 处连续，且 lim x2 x 2 1 sin x x 3.设 y e sin e f (arctan ) , 其中 f ( x) 可微，求 x y, dy.
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的 关系 无穷小
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则
左右极限 两个重要 极限
极限的性质 极限的运算 法则
lim f ( x ) 0
无穷小 的性质
求极限的常用方法
等价无穷小 及其性质
无穷小的比较
（三）连续
连
x 0
续 定 义
x cos t 3, 3. 已知曲线 y t sin t , 分 ds 2 sin t dt 2
(0 t ) ，则弧微
4.
5.
a a a 求 lim x n 2 3 求函数 f ( x) ( x 1) 3 2
5.设 y f (arctan x) ，其中 f ( x) 可导，则 dy 1 f (arctan x ) dx 2 1 x
二、选择题
f ( x0 3h) f ( x0 ) 6.设 f ( x0 )存在，则 lim (C ) h 0 h f ( x0 ) f ( x0 ) ( B ) ( A) 3 3
大一高数试题和答案与解析
大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（），１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０②１③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。
高数 第二章 习题课二
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式 例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证： 令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e
在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因 中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。 解 方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式 例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,
高数课后题及答案6
相关例题
题目一：
x, x 1 求函数 f x x 2 , 1 x 4 的反函数． 2 x , 4 x
解题思路： 利用函数与反函数之间的关系． 解答： 由 y x, x 1，得 x y ， y 1 ； 由 y x 2 ， 1 x 4 ，得 x
反函数与复合函数
解题方法
需要配音或重点提示的文字： 内容： 利用函数与反函数之间的关系．
解题过程
第一步： 令 y Gx ，由反函数的定义得
x F y mf ky b a ，
于是
xa f ky b ，因此 m
xa k y b g ， m
因此
ac cd , a 2 d 2 , ab bd ．
故 ， 当 c 0, b 0 时 ， a d ， 从 而 有 y x
b ；当 a
c 0, b 0 时， a d ，从而有 y x 或 y x ；当 c 0 时，
a d ，从而 y
题目： 设 f x 是 , 内的单调函数， g x 是 f x 的反函数，又设 G x 是
F x mf kx b a 的反函数 m, k 0 ，试用 g x 表示 G x ．
涉及的知识点
知识点一： 知识点二： 知识点三：
ax b 的反函数就是它本 cx d
解答：
d 时，反函数就是它 c
的本身．
ax b b cx d 由 x ，即 ax b c d cx d a
ac cd x 2 a 2 d 2 x ab bd 0 ，
ax b ． cx d
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高等数学（2）实践课题目
一．理论问题
1.变量替换在不等式证明中的应用
2.高数中常见的不等式及应用
3.多重积分的方法总结
4.空间解析几何中的各种距离及夹角
（点、线、面间的各种距离（6种），夹角（3种）证明及举例）
5..微积分学中的各种关系
（一、二、三元函数有界、极限、连续、导数、积分间的各种关系证明或举例）6.积分学中各种对称性问题
（一、二、三元函数各种对称性定义、证明及举例）
7.函数极值及最值问题及应用
（一、二、三元函数极值及最值问题证明及举实例）
8.变量代换在微分方程中的应用
9.常微分方程在函数项级数求和中的应用
10.关于非线性微分方程问题的求解
11.利用级数求极限
12.如何确定立体和曲面在坐标面上的投影
13.等值线及其应用。
14.数项级数敛散性判别法。
（总结）
15.最小二乘法的理论思想及应用。
16.巧用对称性求二、三重积分、曲线、曲面积分
17.变量代换方法在微积分中的体现
18.数形结合在解题中的应用
19.数学化归方法——数学解题的一般方法
20.反证法（原理、逻辑基础、应用举例）
21.反例法（含义、作用、构造方法）
22.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨
23.多元复合函数微分之难点及其注意的问题
24.重积分计算方法探讨
25.总结第二类曲面积分的若干种求法（4种以上）
26.幂级数求和函数法（7种以上）
27.一元函数微积分与多元函数微积分的对比（定义，极限，连续，微分）
28.空间解析几何的产生与数形结合的思想
29.泰勒公式及其应用
30.《几何画板》与高等数学
31.函数幂级数的展开和应用
32.函数项级数的收敛判别法的推广和应用
33.用高等数学知识解初等数学问题
34.中学数学和高等数学衔接问题研究
35.极限方法总结
36.凸函数性质及在证明不等式中的应用
37.高数中辅助函数的构造与应用
38.如何判断非正常积分的敛散性
39.工科学生在高数学习中关于动手实践能力培养的探索 40.梯度、散度、旋度的关系及数学应用 41.如何解带约束条件的多元线性方程组 42.非线性微分方程的解法
43.带约束多目标优化问题的实例及解法研究
44.求不规则平面图形的面积的近似值的一种重要的方法是Simpson 公式，如图
该图形面积近似值为 (4)3
f m l h
A d d d ≈++
试根据自己所学的高等数学的知识推导该公式并计算抛物线230y x =-与直线
1,3x x =-=所围图形的面积的近似值，并想想还能将面积计算的更精确一些吗？
45.摆线与心形线都可看成平面上动点的运动轨迹，试根据摆线和心形线的参数方程，解释参数的几何意义，并在计算机上演示它们的形成过程。
46.如何证明数列极限不存在．
47.关于函数连续（或不一致连续）性的讨论 48.求一元函数的导数（或高阶导数）的方法 49.中值定理的关系应用（ 一元） 50.积分不等式的证明
51.数学美思想在解题中的应用 52.应用 特殊化思想方法解题 53.正交函数系及按正交函数系展开 54.关于散度、梯度与旋度的学习与探究 55.含参量积分的进一步探讨 56.不可导点处极值问题的讨论 57.洛比达法则及其应用总结
58关于正项级数收敛的判别法的探讨 59.多元函数的极限 连续 可导的关系 60.关于二阶变系数齐次微分方程的求解问题 61.常微分方程在一类函数项级数求和中的应用 62.浅析变量代换在解微分方程中的应用
63.关于常系数线性方程组基解矩阵的一些计算方法 64.关于一阶常微分方程的积分因子法求解
65.用微元法解释曲线积分、曲面积分的物理意义并给出计算公式 66.微分中值定理在证明等式与不等式中的一些应用 67.试析幂指函数的极限求法
68.利用导数解题的综合分析与探讨 69.利用柯西——施瓦兹不等式求极值 70.积分换元法解题技巧研究
71.常微分方程数值解法之Eluer 方法、 72.对称性在积分中的应用
73.工科高等数学教学中培养学生动手实践能力的研究 74.级数在常微分求解中的应用
f
d l
d m
d h
h
75.级数在积分微分方程求解中的应用
76.变上限定积分函数求导研究
二、专业应用及建模
1.高斯公式在专业的应用
2.一元函数的Tayor公式的应用
3.多元函数的Tayor公式的应用
4.散度的应用
5.欧拉公式及其应用
6.工科高数在我的专业课程中的应用
7.格林公式的应用
8.高等数学的应用（写出至少在五门学科中的那些问题有应用及举例）
9.常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）
10.向量、向量函数的应用
11.艾滋病传播的微分方程模型
12.列举曲线积分在其它学科的应用实例。
13.列举曲面积分在其它学科的应用实例。
14.考虑用何种方法得出日常生活中不规则物体的体积。
（举例并计算出结果）
15.雪堆融化问题
16.多元函数优化问题的应用研究
17.探讨微分方程数值解求法的应用
18.调查某银行的贷款利率及还贷方式，分析说明各种贷款方式之优缺点并假定某人计划贷款10万元，10年还清。
试计算等额本息还贷方式下每月的月供；与等额本金还贷方式比较，一共需要多支付多少利息。
若考虑物价上涨，货币贬值及个人还贷能力因素此两种还贷方式各有什么实际意义。
19.设计一次数学建模课外活动的方案
20.微分方程在生物科学中的应用
三．软件及其应用
1.Matlab软件在一元函数微积分学中的实验
1 Matlab软件基础知识与入门
2 函数与极限实验
3 一元函数微分法实验
4 一元函数积分法实验
2.Matlab软件在多元函数微积分学中的实验
1 Matlab软件基础知识与入门
2 空间解析几何实验
3 多元函数微分学实验
4 多元函数积分学实验
5 无穷级数理论实验
6 常微分方程实验
3. Mathematica软件在一元函数微积分学中的应用及计算
4. Mathematica软件在多元函数微积分学中的应用及计算
5.应用你所知道的计算机软件解决大学数学中的问题。
（例如，画函数图像，求积分，求导数，求微分方程的解等等）
6.二次曲面的制作（手工或电脑）
7.利用计算机分别绘出正弦函数和余弦函数和它们的n次近似多项式的图像。
（n=5,10,15,20）
8.假设下表是某班学生高等数学2的考试成绩，试建立一个成绩分析表，计算出最高成绩，最低成绩，平均成绩，标准差以及优秀，良好，中等，及格，不及格的人数并附上程序。
学号成绩
001 67
002 82
003 91
004 76
005 88
006 82
007 71
008 72
009 80
010 90
011 83
012 81
013 69
014 65
015 76
016 50
017 83
018 76
019 87
020 74
021 72
022 52
023 93
024 79
025 61
026 65
027 67
028 77
029 78
030 61
9.根据上述成绩单，试绘出其柱状图。
若假定班级人数无穷大，该柱状图所逼近的曲线应具有什么样的形状，分析其实际意义并举一个实际例子说明。
四．其它
1.出一份关于本期学习内容的试卷。
要求给出答案及试卷分析。