最简三角方程的解法
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)
高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
关于超越方程的解法
定义1：不是代数函数的函数称为超越函数。
定义2：指数函数、对数函数、无理数的幂函数、三角函数、反三角函数统称为根本初等超越函数。
定义3：最简超越方程是指形如的方程，其中是根本初等超越函数，是常数。
解最简超越方程是求一切使根本初等函数的值等于常数的变数值。
下面介绍根本初等超越方程的解法一、指数方程定义4：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程，特殊地，形如的方程叫做最简指数方程。
1.1 最简指数方程的解法当时，方程有唯一解；当时，方程无解。
1.2 指数方程的解法解指数方程的主要工具下面的几种同解变形：(1)方程与方程同解；(2)方程与方程同解；(3)方程且与方程同解。
〔因为〕(4)方程与方程同解；(5)方程〔其中〕与方程组同解。
〔即换元法〕例1：解方程〔类型或〕解：例2：解方程〔类型〕解：原方程可变形为于是有由此解得例3：解方程〔类型〕解：或例4：解方程〔类型〕解：以除原方程的两边，得令代入上式，得解得，其中不满足的条件，舍去。
所以二、对数方程定义5：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。
特殊地，形如的方程叫做最简对数方程。
2.1 最简对数方程的解法对于任何，方程总有唯一解。
2.2 对数方程的初等解法解对数方程时不仅要用到同解变形，而且要运用非同解变形，所以在求出根后，一般应验根，以发现有无增根，失根，常用变形有以下几种：(1)根据对数定义。
方程可同解变形为(2)方程可以变形为，〔定义域扩大，应验根〕。
(3)运用对数根本恒等式，对数运算法那么和换底公式进展变形，〔应注意，验根〕。
(4)对一个等式的两边取对数。
〔等式两边必须都取正值〕(5)方程与方程组同解.〔即换元法〕注：解对数方程时哪些类型符合同解变形，哪些类型不符合同解变形。
例5：解方程〔类型〕解：4 =4=1=3例6：解方程解：运用换底公式将原方程化为〔类型〕令，那么有，即由，得由，得经检验，和都是原方程的根。
例7：解方程解：方程的定义域是对方程两边取常用对数，得类型令那么可化为解得由由经检验，两根都是原方程的根。
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中最常见的一类方程，它包括一些最简三角方程，其中包含圆形、正弦、余弦和正切函数。
本文就是要介绍最简三角方程，它可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
一、最简三角方程最简三角方程是指一类特殊的方程，它们都是用圆形、正弦、余弦和正切函数组成的。
1）圆形函数圆形函数可以用来描述圆的参数，包括半径、x轴坐标和y轴坐标等参数。
其最终形式可以表示为：x2 + y2 = a2其中a为圆的半径，(x, y)为圆上的点的坐标。
2）正弦函数正弦函数用来描述一个三角形的角度和边长，其最终形式如下： cosx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
3）余弦函数余弦函数和正弦函数对比，最终形式如下：sinx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
4）正切函数正切函数可以用来表示三角形中角度与斜边长度之间的关系，最终形式如下：tanx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
二、求解最简三角方程的方法对三角形的角度与边长之间的关系用圆形、正弦、余弦和正切函数表示出来后，要求出它们的解需要用到几个方法。
1）反三角函数方法这种方法根据三角形方程已知的边长关系，解出等式左边的反三角函数，从而解决三角形的角度问题。
2）相似三角形的方法如果给定两个相似的三角形，则可以借助其中一个的边长关系求出另一个三角形的边长关系，从而求出它们的角度。
3）勾股定理的方法如果给定三角形的两条直角边，则可以用勾股定理求出其第三条边，从而解出三角形的角度。
三、最简三角方程的应用最简三角方程有着广泛的应用，可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
1）求解三角形的角度由最简三角方程可以很容易地求出三角形的角度，从而求出它们的边长关系。
2）用于测量最简三角方程也可以用来处理测量中的一些问题，比如利用勾股定理等方法求出一个夹角的弧长，从而求出它的面积。
3）用于图像处理由于最简三角方程可以简单地求出三角形的边长，所以在图像处理任务中也可以使用它们来处理图像的一些参数，比如求出图像中三角形的面积，以及某一点和其他点之间的角度等。
第六章--三角函数(二)反三角函数、最简三角方程
第六章 三角函数（二）反三角函数、最简三角方程主备人：陈华 审核人：【教学目标】学生通过独立复习反三角函数（反正弦函数sin y arc x =，反余弦函数cos y arc x =，反正切函数tan y arc x =），从新理解掌握反三角函数的图像及其性质。
理解掌握三种最简三角方程并掌握解的公式.【课型】高三数学复习课【课时】1课时【教具】多媒体，白板，白板笔，投影仪，学案（试卷）【教学重点】反三角函数、最简三角方程【教学难点】反三角函数的图像及其性质，三角方程的解法【教学方法】讲授法，谈论法，演示法，练习法，讨论法【教学过程】一、课前练习1、1arccos 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭________； 2、计算：arcsin cos 6π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________； 3、函数()()sin 21f x arc x =-的定义域为_________________；4、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是_____________（写序号）（1）()arcsin y x =-；（2）arctan y x =；（3）arccos y x =；（4）arccos 2y x π=-. 5、方程2sin 62x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解集为_______________________； 6、方程sin cos x x a +=在[]0,x π∈上有两解，则实数a 的取值范围为_____________；7、在下列等式中，（1）arcsin sin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）44arccos cos 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）sin arcsin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）11cos arccos 33⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确的是_________（写序号）； 8、3sin 2arccos 5⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.二、例题选讲例1、已知函数()()2arcsin 1f x x x =++， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的值域；（3）写出函数()f x 的单调递增区间.例2、已知sin x α=，5,66ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求arccos x 的取值范围.例3、解下列方程（1）sin cos 2x x +=；（2）sin 3cos 0x x -=；（3）2sin cos sin 0x x x +=； （4）26sin sin 10x x --=例4、解下列方程.（1）[]1sin 2,,2x x ππ=∈-；（2）sin 3cos 1x x +=，[]0,x π∈； （3）22sin cos 2sin cos 1x x x x -+=，[]0,2x π∈；（4）sin 2sin 3x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[]0,2x π∈三、能力提高题例5、写出函数()()arccos cos f x x =的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性.例6、在ABC ∆中，cos1cos 2A B C +=-，求角C 的大小.例7、解方程sin 2sin x x =【课后作业】1、若方程cos 12x m =-无解，则实数m 的取值范围为____________；2、方程1sin23x =在[],2ππ上的解为__________； 3、方程2tan 210x -=的解集为__________________； 4、若a 、b 均为正实数，则方程22cos 2a b x ab+=在区间[]0,2π上的解集为_____________； 5、已知函数()3sin cos f x x x =+.（1）当5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的反函数；（2）解方程()3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【教学反思】欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
第五章 反三角函数与简单的三角方程第一节 反三角函数
由例7可知,等式
cos
6
3 2
6
arccos
3 2
所以
cos arccos
3 2
23.
一般地,如果x-1,1,那么 cosarccos x x
(53)
例8 求下列各式的值.
(1) cosarccos1;
(2)
cos
arccos
-
1 2
.
解 (1)因为1-1,1,根据公式(53),所以cosarccos1 1;
arctanx arctan x
arccotx arccot x
(57) (58)
例13 求下列各式的值. (1) arctan 33; (2) arccot0; (3) arctan(-1); (4) arccot(- 3).
解
(1)
因为tan6
3 3
,且6
2
,2
,所以arctan
3 3
6
;
(2) 因为cot 0,且 (0, ),所以arccot0 ;
22
2
(3) 根据公式(5-7),可知:arctan-1 arctan14;
(4)
根据公式(5-8),可知:arccot
-
3
=
-arccot
3 6 56.
例14 求下列各式的值.
(1)
arctan
tan
4
;
(2)
arctan
正切函数y=
tan
x在
-
2
,2
上的反函数称为反正切
函数,记作x=arctan y(或x=tan-1 y),如图5-6所示.
y
2
y arctan x
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中重要的一种方程，它在日常生活中也有着广泛的应用。
最简三角方程是指通过三角函数表示的三角方程，它以角给定的情况下，用来求解相应的边长及角度大小。
本文将详细讨论最简三角方程，以及它在日常生活中的应用。
什么是最简三角方程最简三角方程是一种使用三角函数来求解三角形的边长和角度的方程。
它的原理是，对于一个三角形的两个角，可以求出其中一个角的正弦、余弦和正切函数值，然后使用最简三角方程，将这些函数值代入方程式进行计算，即可求出相应的边长和另一个角的值。
最简三角方程是：a=sinA*sinB/sin(A+B)b=cosA*cosB/sin(A+B)c=1/sin(A+B)式中A、B表示已给定的两个角，a、b、c分别为对应边的长度。
最简三角方程的应用最简三角方程在日常生活中有着广泛的应用，如：1）在渔民的航海活动中，需要经常使用最简三角方程来求算不同的大海位置，以便及时安全的到达目的地。
2）在调查动物原产地时，也会用到最简三角方程，根据捕获动物所在位置和动物发出叫声的方向，计算出动物原产地的方位。
3）在解决日常及工作中的一些复杂问题时，有时也会使用最简三角方程。
特别是与地图相关的问题，比如求解两个地点之间的距离，可以通过最简三角方程来求解。
4）在建筑工程中，建筑物的角度和大小一般都是由最简三角方程来推算出来的。
总结最简三角方程是一种重要的数学方程，它用来求解已给定的两个角的边长及另一个角的大小。
它的原理是，通过三角函数的值进行推算，最终求出三角形的边长及角度大小。
在实际生活中，最简三角方程还有着广泛的应用，如航海事业、捕获动物等。
最简三角方程
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5) A= 或
以上问题中的四个等式，实质上 是关于A的方程。
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例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2）， 所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
象这样含有未知数的三角函数方程 叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
Байду номын сангаас
怪的花灯天憨味在奇妙的空气中飘忽……接着扁圆的蒜瓣鼻子闪眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活 像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！紧接着像紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的 亮红色手掌。最后扭起奇如熨斗的手掌一叫，狂傲地从里面涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这 个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……突然间壮扭公主发疯般地让自己结实丰满、有着无穷青春热情的胸部萦绕出青兰花色的布条声，只见她睡意 朦胧的眼睛中，飘然射出二十组抖舞着¤飞轮切月斧→的牙齿状的豆包，随着壮扭公主的甩动，牙齿状的豆包像牛屎一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕……紧接着 壮扭公主又连续使出八百七十六派荡驴帆船望，只见她浑圆饱满、力如河马般的 霸蛮屁股中，突 然弹出四十簇颤舞着¤飞轮切月斧→的铜钱状的脸皮，随着壮扭公主 的颤动，铜钱状的脸皮像炸鸡一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者奇特的灰蓝色闪电般的手指神扫过去！紧跟着壮扭公主也滚耍着法宝像吹筒般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者 神砸过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道墨紫色的闪光，地面变成了暗黄色、景物变成了紫红色、天空变成了墨蓝色、四周发出了虚幻的巨响…… 壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者笨拙的纯红色马鞍般的眼睛，此时正惨碎成钉子样的深绿色飞灰，高速射 向远方Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将笨拙的纯红色马鞍般的眼睛复原，但元气已受损伤劈壮扭公主：“哈哈！这位干部的想法很是典雅哦！稍有 复杂性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我要让你们知道什么是奇妙派！什么是迷离流！什么是新奇恶搞风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来 瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我让你享受一下『蓝光彩神地灯仙诀』的厉害！”Ｌ．搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着丰盈的浅橙色犀牛一样的眼罩立刻弹出凹彩地狱色的杨露牛舞味……怪异的 舌头喷出死鬼影摇声和哈呵声……有根羽毛的外套朦朦胧胧窜出明隐星光般的闪动。紧接着旋动粗犷的土黄色菜叶般的鼻子一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动短 小的火橙色彩蛋造型的脖子，像纯蓝色的千舌沙
最简反三角方程
最简反三角方程最简反三角方程（InverseTrigonometricEquations）是数学中一类重要的不定方程，可用来研究周期性函数的变化。
它定义为求三角函数的反函数，主要计算把一定的三角函数值求出其反函数的角度值。
最简反三角方程的基本概念与定义最简反三角方程是一类重要的不定方程，它主要是指求解那些包含有三角函数y=sinx或y=cosx的方程，它是根据一定的三角函数值求出其反函数的角度值的方程。
比如，最简反三角方程求解sin2x=1/2，解之，将2x=arcsin1/2，即x=arcsin1/4，可得x=π/6，故解为x=π/6+2nπ（n∈Z）。
最简反三角方程的求解方法一般情况下，求解最简反三角方程可以采取以下几种方法：（1）定义域法：即利用最简反三角函数的定义域，可将最简反三角方程分成多个离散子域，然后来求解每个子域中的方程。
（2）逐步解法：首先以y=f(x)表示三角函数，以f(x)-y=0表示三角方程，利用求值定理和逐步法，可从已知的结果推出未知的结果。
（3）图解法：将三角函数的值转换成对应的弧度值，求出它们的函数图像，并将其与x轴作比较，由图像的交点可求出解。
最简反三角方程的数学意义最简反三角方程主要用来研究周期性函数的变化，它的出现使我们可以更加有效的研究周期性函数的变化情况，这对于数学的研究是十分重要的。
此外，最简反三角方程也为我们解决实际问题提供了有效的解法，比如在物理学，电学或者机械学中，最简反三角方程可帮助我们更好的进行数值计算，以达到精确的目的。
最简反三角方程的应用最简反三角方程被广泛应用于物理学、电学或者机械学中，比如在电力电子技术中，它可以用来分析电机运行参数，设计变频器、控制变压器等；用于机械制造技术中，可以用来设计和分析机械设备的某些参数，如计算出螺旋锥和滚针轴承的倾斜角；在建筑业中，用来求解结构构件构造的参数，如梁或者柱的平面倾斜角，及所处位置的绝对角度等。
6.5最简三角方程
6.5最简三角方程形如sinx=a ,cosx=a ,tanx=a 和cotx=a 的三角方程，称为最简三角方程形如sin （x ωϕ+）=a , cos （x ωϕ+）=a ,tan （x ωϕ+）=a （0ω≠）的方程求解集 sinx=a 的解集 1）1a >时，解集是∅ 2）sinx=1的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3）sinx=1-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭4）1a <的解集为{}(){}2arcsin ,21arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈ 或者（1）当1>a 时：解集是 无解（2）当1=a 时：解集是 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π （3）当1<a 时：解集是{}{}Z k a k x x Z k a k x x ∈-+=∈+=,arcsin 2|,arcsin 2|πππ解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =sin 在区间]2,2[ππ-上有一个解=1x a arcsin ，在]23,2[ππ上有另一个解a x arcsin 2-=π 即 a x =sin 的解集为：},arcsin 2/{z k a k x x ∈+=π或}arcsin )12(/{a k x x -+=π例1 求方程1sin 2x =的解集cosx=a 的解集1）1a >时，解集是∅2）cosx=1的解集为{}2,x x k k Z π=∈3）cosx=1-的解集为(){}21,x x k k Z π=+∈ 4）1a <的解集为{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈ 或者(1)当1>a 时：解集是无解 (2)当1=a 时：解集是{}Z k k x x ∈=,2|π(3)当1<a 时：解集是{}Z k k x x ∈+=,)12(|π解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =cos 在区间],0[π上有一个解=1x a arccos ，在]0,[π-上有另一个解a x arccos 2-=，即 a x =cos 的解集为： },arccos 2/{z k a k x x ∈±=π例2 求方程1cos 2x =-的解集a x =tan 的解集对于任意给定的a ，a x =tan 在区间)2,2(ππ-内有唯一解：a x arctan = 由于x y tan =的周期是π，所以方程a x =tan 的解集为：},arctan /{z k a k x x ∈+=πa x =cot 的解集对于任意给定的a ，a x =cot 在区间),0(π内有唯一解：a arc x cot = 由于x y cot =的周期是π，所以cotx=a 的解集为{}arccot ,x x k a k Z π=+∈例3 求方程tan x =的解集例4求适合方程cot 1,360360x x ︒︒=-<<且的解例5 求下列方程的解：()12cos310x +=()2tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭()32sin 36x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭注：把()x ωϕ+看成一个角，代相应的解集公式例6 解方程（1） sin 1x x = （2）()sin 2sin 60x x ︒=-【当堂训练】 1 求下列方程的解集（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ （2）tan(50)1x += （33342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （531,[0,2]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2 解下列三角方程 （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-3 解下列三角方程（1）22sin 5cos 10x x -+= （2）3sin cos 102xx ++=4 解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=5 解下列三角方程（1）3sin 2cos 0x x -= （2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --= （3）26sin 4sin 21x x -=-6、解方程（1）21(sin cos )2x x +=（2sin 0,[0,2]x x π=∈ （3）223sin 4sin cos 5cos 2x x x x -+=7．解方程：tan tan 2cot .44x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．试判断关于x 的方程2sin cos 0x x m ++=是否有实数解，并说明理由。
5.1.10最简三角方程的解法
x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的 三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典 型 例 题 解 析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
反三角函数、最简三角方程
则 注意（ ） 注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解 若 a > 1， cos x = a 无解 则
（2）灵活使用结论（一） ）灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二 结论 二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于 的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角 ； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1． 定义 2． 图像 3． 性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值 域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4． 恒等式 5． 符号的意义 6． 特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2
新高二年级数学经典讲义16.反三角函数和简单三角方程-学生版
教学内容概要学生：数学备课组教师：年级：日期上课时间学生上课情况：主课题：反三角函数和简单三角方程教学目标：1、掌握反三角函数2、熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角3、知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念4、能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集5、理解三角方程解集的概念，掌握常见最简三角方程解集的一般表示形式教学重点：1、反三角函数的图像和性质2、三角方程的概念，三角方程的解集概念3、最简三角方程求解方法及解集教学难点：1、反三角函数的图像和性质家庭作业1、完成巩固练习2、复习知识点教学内容【知识结构】1、反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数定义sin ,(,)22y x x ππ=∈-的反函数，叫做反正弦函数，记作arcsin x y =cos ,(0,)y x x π=∈的反函数，叫做反余弦函数，记作arccos x y =tan ,(,)22y x x ππ=∈-的反函数，叫做反正切函数，记作arctan x y =理解arcsin x 表示属于 [,]22ππ-且正弦值等于x 的角arccos x 表示属于 [0,]π，且余弦值等于x 的角arctan x 表示属于(,)22ππ-，且正切值等于x 的角图像1-1123xyy = ar ccos(x)123456-1-2-3-4-5-612345-1-2-3-4-5xy y = ar ct an(x)性质 定义域 11-［，］11-［，］ ()-∞+∞，值域 [,]22ππ-[0,]π(,)22ππ-单调性 在11-［，］上是增函数 在11-［，］上是减函数在()-∞+∞，上是增函数奇偶性 ()arcsin arcsin x x -=- ()arccos arccos x x π-=-arctan()arctan x x-=-周期性 都不是同期函数1-112-1-2xy y = ar csi n(x)2、三角方程：最简单三角方程的解集：方程方程的解集sin x a =1a >∅1a = {2arcsin ,}x x k a k Z π=+∈1a <{(1)arcsin ,}k x x k a k Z π=+-∈cos x a = 1a > ∅1a = {2arccos ,}x x k a k Z π=+∈ 1a <{2arccos ,}x x k a k Z π=±∈tan x a ={arctan ,}x x k a k Z π=+∈【例题精讲】例1、试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性（1）()sin arcsin y x = （2）()arcsin sin y x =例2、（1）19arcsin sin 12π⎛⎫= ⎪⎝⎭________（2）若12arctan 34πα-=，则tan α=__________（3）函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =_____________（4）函数()21arcsin 2y x x =-的值域是_______________例3、（1）已知等腰三角形的顶角为1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则底角的正切值是（A ）22。
沪教高三数学第一轮复习：反三角函数及简单三角方程
sin x cos xsin x 6 cos x 0
sin x cos x或sin x 6 cos x tan x 1或tan x 6
所以，原方程的解集是：
x cos x t 则sin 2 x t 2 1 t 2 t 0
解： 设sin
t 0或t 1
2 tan x 1或sin( x ) 4 2
x x k 或x k arctan 6, k Z 4
所以，原方程的解集是：
k ,k Z x x k 或x k (1) 4 4 4
,k Z
0
k 1,
6
f ( x) 2 sin(x ) cos(x ) 2 3 cos2 ( x ) 3 。 例 7.已知 2 2 2
（3）在（2）成立的条件下，求满足 f ( x) 1, x , 的 x 的 集合。
图像
2
y arccos x
y
2
y arctan x
y
2
y
o
-1
-
1
x
1
o
2
o
x
-
1
x
2
定 义 域 值域
- 1,1
2 , 2
- 1,1
R
, 2 2
在 R 上单调递增
0,
在 1,1 上单调递减
解： 当
时, f ( x) 2 sin( 2 x ) 2 cos 2 x 6 2
几种特殊类型方程解法的研究
毕业（设计）论文题目几种特殊类型方程的解法的研究学院专业班级学生姓名指导教师成绩2014年05 月31 日摘要从中世纪到19世纪初, 数学家门一直把代数学看成是解代数方程的学问.在生活和学习知识的过程中，方程更是非常重要的一个内容，在初等数学中，以初等函数的概念和解析式的运算为基础研究某些特殊形式的方程.综上鉴于特殊方程的多种解法的重要性, 本文主要研究了一元代数方程的解法, 其中包括一元三次方程、倒数方程、指数方程、对数方程等等.本文主要做了几个工作.以特殊方程的多种简便解法为线索, 介绍了几种特殊类型的方程, 以及在数学生活中的重要性, 并把几种特殊方程分类, 分块讨论.分别对几种方程举例, 力求最简便.关键词特殊方程;初等数学;多种解法;分类AbstractFrom the Middle Ages to the early nineteenth Century, mathematicians have the algebra as the solution of algebraic equations in learning, living and learning in the process of knowledge. The equation is a very important content, in elementary mathematics, the concept and formula of elementary function. Calculation based on the equation, some special form.So in view of the importance of special equation solution, this paper focuses on the element equation including: a three order equation、the equation、exponential、logarithmic equation etc···This paper mainly do the following several aspects of work:The first: a simple solution to a variety of special equation as a clue , introduces several special types of equations, as well as the importance in mathematics, in life;Second: put some special classification of equation, block discussion;Third: for some special equation for example, to the most convenient.Key word Special equation; Elementary mathematics; A variety of solution; Classification目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 ........................................................... - 1 - 第1章方程的基本概念及同解性 .................................. - 2 - 第2章一元代数方程的解法 ...................................... - 9 -2.1倍根法 .................................................. - 9 -2.2 倒根法................................................. - 11 -2.3一元三次方程与倒数方程的解法 ........................... - 12 -2.3.1一元三次方程的解法................................ - 12 -2.3.2倒数方程的解法.................................... - 15 -2.4二项方程的解法 ......................................... - 18 -2.5解含有参数的方程 ....................................... - 19 - 第三章初等超越方程解法举例 ................................... - 21 -3.1指数的方程解法 ......................................... - 21 -3.2 对数方程的解法......................................... - 22 -3.3 三角方程的解法......................................... - 24 - 总结 .......................................................... - 27 - 参考文献 ...................................................... - 28 - 致谢 ........................................................ - 30 -绪论在生活中, 数学与我们密不可分, 而防方程更是数学中非常重要的内容, 我们从小学开始就接触学习方程, 并一直学习到大学, 对于普通方程的解法大学都是熟知的但对于类型较特殊的方程, 如一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程, 超越方程都没有较简单的解法, 这就需要我们的研究使特殊类型的方程得到更简便的多种解法, 并且在中学数学的研究中, 有更广泛的应用价值, 并对以后的中学数学教学工作有着重要的意义.本次论文主要研究的是特殊方程的解法, 而特殊方程的解法有很多种, 其中一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等更是重点中的重点, 在《高等函数学报（自然科学版）》2010年05其中付跟春教授就发表了一篇关于一元三次方程的另一种解法《考试周刊》2012年第20其中, 权小刚写了到了利用分解因式法解一元四次方程《数学通报》1980年第十二其中张君达教授对倒数方程及其应用有非常详细的研究, 且在国外, 当代数学家eibitzE对特殊L和uler类型的方程的解法详细研究.在对本文课题内容研究的过程中, 主要分为三个方面, 首先需了解方程的基本概念, 及同解性通过对定义、定理推论及其典型例题的研究, 加深方程的基本概念、及同解性. 其次, 在对多种类型特殊方程的多种解法中, 主要针对一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等内容进行详细计算, 最后, 讨论超越方程的解法并进行举例, 基本分为指数函数. 对数方程, 和三角方程的特殊解法.采取的方法有文献资料法、举例法、探究法.在对特殊方程解法的研究中, 国内外关于特殊类型的方程应用比较多, 对于求解方面难以把握, 特别在竞赛数学中, 一般大的解法比较简单, 但应用比较少, 难点是去寻找解题的简单方法, 并且对于不同类型的特殊方程有特殊的解法研究, 在老师的指导下, 通过校图书馆查阅的书籍以及期刊并与同学不断的沟通使特殊方程的解法不只是降次一种方法而已, 能够更加简便的解特殊类型的方程.第1章 方程的基本概念及同解性定义1.1 等式f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为方程.其中，f()z y x ,,,g ()z y x ,,都是定义在数组集M 上的函数M 是这两个函数的定义域的交集, 并且把M 称为这个方程的定义域.定义2.1 如果数组集M 是方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的定义域, M内的一组数,,,c b a 满足这个方程, 即有f()z y x ,,=g ()z y x ,,. 那么称这一组数位这个方程的解.作为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的解的数组的集合S 称为这个方程的解集. 当MS =时，方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,又称为恒等方程.可表示成:f()z y x ,,=g ()z y x ,,.当S 时空集时方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为矛盾方程.定义3.1 函数f()z y x ,,与g ()z y x ,,的变数z y x ,,, 称为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的未知元, 有几个变数的方程称为n 元方程.特别地, 把一元方程)()(x g x f =的解称为一元方程的根.关于方程的概念.为了叙述简便起见, 通常就一元方程进行讨论. 如果需要推向一般情形, 只需在叙述上做一些补充就可以了.同解性定义4.1 如果方程)1(1f 1)(g x =)(x 的任何一个解都是方程)2(2f 2)(g x =)(x 的解, 并且方程)2(的任何一个解也都是方程)1(的解. 那么方程)1(与)2(称为同解方程.两个同解方程显然是有相同的数集, 但对于解集相同的方程约定仅当每一个重根具有相同的重复次数时, 才认为它们是同解方程. 因此01=-x 与方程2)1(-x=不能认为是同解方程. 因此方程01=-x 与方程2)1(-x 0=不能认定是同解方程.两个无解方程认为是同解方程.因为方程的解集包含于方程的定义域内, 所以两个方程可能在某一个数域上同解, 而在另一个数域上是不同解的, 例如2x 01=+、014=+x、12=+nx在实数域上彼此同解, 因为它们的解集是空解.在复数域上, 它们的解集是各不相同的, 第一个方程有两个解, 第二个方程有四个解, 第三个方程有n 2个解. 它们显然不是同解方程.同解性定义5.1，如果方程)1(的每一个解都是方程)2(的解, 那么方程)2(称为方程)1(的结果（或称为推演式）.显然, 如果两个方程互为结果, 那么这两个方程便是同解方程. 定理1.1, 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f +=+同解.证：设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 从而有)()()()(1111x A x g x A x f +=+，这表明方程)2(是方程）（1的结果. 如果)()()()(1111x A x g x A x f +=+, 由))()()()()(111111x A x A x g x A x A x f （-+=-+,可得)()(11x g x f =，这表明方程)1(是方程）（2的结果. 方程）（1与方程)2(互为结果, 这两个方程式同解方程. 推论 任何方程)()(x g x f =均可表示成0)(=x F 的形式, 其中))()(x g x f x F （-=.定理2.1 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义,并且不等于零, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f =同解. 证 设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 因为0)(1≠x A , 于是有)()()()(1111x A x g x A x f =, 这表明方程)2(是方程)1(的结果.如果)()()()(1111x A x g x A x f =将等式两端同除以)(1x A 即得:)()(11x g x f =.这表明方程)1(是方程)2(的结果.方程)1(与方程)2(互为结果这两个方程便是同解方程. 定理3.1 如果)()()()(21x f x f x f x F k =,那么方程0)(=x F 的解集等于下列各个方程:)(1=x f ,，0)(2=x f ,)(k =x f .的解集的并集, 并且其中每一个解都属于这k 个方程的定义域的交集. 证：设)(x F 的定义域为M ,)(x f i 的定义域为),,2,1(k i Mi=, 因为)()()()(21x f x f x f x F k =, 所以KMMMM21=.又设()0=x F 的解集为A , Ax ∈1;()01=x f 的解集为()k iB ，，211=.因为MA x ⊆∈1, 所以KMMMx ⋂⋂∈21因为()01=x F ，于是有()()()011211=x f x f x f k .这个等式的左端至少有一个因式等于零，这表明KB B B x ⋃⋃⋃∈ 211.反之易证BB B B K ⊆⋃⋃⋃ 21定理1.4 如果()()()()x g x g x f x f 2121==，, 方程（1）()()x g x f 11=与方程（2）()()x g x f 22=的定义域都是数集M, 那么方程（1）方程（2）同解.证：设()()a g a f 11=，因此，Ma ∈.因为对于M 中任何数x ,()()x f x f 21=, ()()x g x g 21=, 所以()()a g a f 11=，()()a g a f 22=.因为()()a g a f 11=）, 所以()()a g a f 22=，这表明方程（2）是方程（1）的结果.同理可证, 方程（1）是方程（2）的结果.于是, 方程（1）与方程（2）同解.解方程时, 根据上述定理将原方程变形.或将原方程的任何一端在不改变方程定义域的前提下作恒等变形后所得到的方程与原方程是同解的, 这样的变形称为解方程的同解变形.在解方程时.除了利用同解变形外有时还要作以下几种变形.1. 方程()()x gx fnn=, 是方程()()x g x f =的结果；正整数n 是对函数()x f ，()x g 施行乘方运算的指数.2. 方程()()aa x g x f =是方程()()x g x f =的结果，不小于2的整数n 是对函数()x f ，()x g 施行开方运算的根指数（n 为偶数时，()0≥x f ，且()0≥x g ）.3. 如果()x g 1与()x g 2不等于零，那么方程()()()()x g x f x g x f 2211=是()()()()x f x g x f x g 2211=的结果4. 如果对于定义域中的数()()x g x f 11≠，且()()x g x f 22≠，那么方程()()()()()()()()x g x g x g x f x g x f x g x f 22221111-+=-+是方程()()()()x g x f x g x f 2211=的结果.5. 方程()()x g x f =是方程()()x g x f lg lg =的结果.6. 方程()()x g x f sin sin=是方程()()x g x f =的结果.经过上述变形, 作为原方程是的结果往往是与原方程不同解的.一般来说, 当在方程两端施行某一运算.而这种运算的逆运算的运算结果不是唯一确定的时候, 便将得到与原方程不同解的方程.由于方程变形后, 改变了（扩大或缩小）原方程的定义域, 定形厚的方程与原方程往往是不同解的.在不是同解变形的情况下解方程, 可能产生增解, 既不满足原方程但是满足原方程的结果的那些解;也可能失去原方程的部分解.在解一元方程时, 产生的增解又称为增根, 失去的解称为遗根.为了在解方程时剔除增解, 避免失去解, 可采取下列步骤.（1） 在方程变形过程中, 把由原方程的结果得到的解代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解.（2） 在方程变形过程中, 把原方程的定义域的扩大部分中的数代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解. 例如, 由得：512+=-x x .2-=x 是后者的根. 而不是前者的根⑶在方程变形过程中，把原方程的定义域的缩小部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是原方程的解例如，由()()()()1312222++=+++-x x x xx x经合分比变形得()()()()x x x x 2242422-+=-+-. 因而失去原方程的解0=x.⑷在方程变形中，根据变形结果与原方程不同解的原因判断是否有增解和是否有可能失去解 例如方程 ()()x x x -=-+1arcsin1arccos arcsin ，变形为：()01arccosarcsin2=-+x x ， ⑴()x x --=1arccos arcsin 2 ⑵这两个方程与原方程都是同解的. 由()()[]x x --=1arccos cos arcsin2cos ⑶得：()xx -=1arcsin 2cos , 022=-x x从而得0=x，21=x.由方程⑵变形为方程⑶时，不是同解变形，因为满足方程⑵的未知数取值必然满足方程⑶，但满足方程⑶的未知数取值不一定满足方程⑵这是因为方程⑶还可以作为方程()x x -=1arccos arcsin 2的结果.经检验，21=x不满足原方程，但满足方程()x x -=1arccos arcsin 2.例1.1 解方程()()()()11429121-++=-+x x x x .解：方程两端同乘以最简公分母()()412+-x x，得：()()()()41941++-=++x x x x即0562=+-x x由此解得 51=x , 12=x .因为1=x , 使()()0412=+-x x ,所以1=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解分式方程时，为了将原方程的求解转化为整式方程的求解而在方程两端乘以原方程的最简公分母，由此所求得的解. 如果使公分母为零，那么这样的解便是原方程的增根.例1.2 解方程5462=++-x x解：方程两端平方后，再一次平方，以消去根号，得：08251702=+-x x解得51=x ， 1652=x .经检验165=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解无理方程时，除了前述在将方程两端边形时因扩大了原方程的定义域而引起增根外，由于方程两端引入了共轭因式也往往会因此而产生增根 例1.3 解方程()()443log 2log 22=-++x x . 解：将方程变形为()()4432log 2=-+x x ,从而得：()()16432=-+x x由此解得：()37311+-=x , ()37312--=x.这里只有1x 是原方程定义域内的数，因此2x 是增根. 于是原方程的解是()3731+-=x .例1.4． 解方程42log=xxx解：因为 2)2(loglog2log 2logx xx x xxx x==所以有42)2(log=x xx即4)2(2=x 由此解得11=x ， 12-=x1x 与2x 都使原方程失去意义，因此，原方程没有解. 例1.5 解方程2cos 2sin =-x x .解：设t x tg =⎪⎭⎫⎝⎛2，于是原方程变形为()()()211212222=---+t tt t.由此解得2=t ，即22=⎪⎭⎫⎝⎛x tg从而解得()z k k arctg x ∈+=,222π.第2章 一元代数方程的解法2.1倍根法使变形后的方程的各个根是原方程的各个根的k 倍. 方程0=⎪⎭⎫⎝⎛k y f 的各个根分别等于方程()0=x f 的各个根的k 倍.证：设()n ia i ,,3,2,1 =是n 次方程f （x ）=0的根.因为0)(f 1=a ,所以)()(i i a f kka f =0=.因此i Ka 是n 次方程0)(=ky f 的根.因为0)(=k y f 只有n 个根， 所以)(=k y f 的各个根分别是)(=x f 的各个根的k 倍.推论1：n 次方程0222110=++++--nn n n nka xk a kxa x a 的各个根分别是方程22110=++++--n n n na xa xa xa 的各个根的k 倍.例如:把1632166)(3561=-++-=x xx xx f ,表示成 0)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x ,那么)(1=x f 的各个根分别是:4123356=-++-x xx x的各个根的2倍.反过来说，把方程的04123356=-++-x x x x 各个根乘以2，对应的方程)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x即1632166)(3561=-++-=x xxxx f .因此，推论1也可以说成是把n 次方程22110=++++--n n n na xa xa xa的各个根乘以k ，对应的方程是:222110=++++--nn n n nka xk a kxa xa .由推论1可直接推出下一个推论： 推论2:把n 次方程022110=++++--n n n na xa xa x a 的各个根变号对应的方程为:1--22110=++--n n n na xa xa xa ）（ .例1.2 已知方程0204234=--++x x x x 的四个根中, 有两个根的绝对值相等，符号相反, 解这个方程 解：解:设=)(x f 0204234=--++x xxx有四个根γβαα---,,,.将0)(=x f 的各个根变号后对应的方程是:=-)(x f 0204234=-++-x xxx.这个方程的根是γβαα---,,,，0)(=x f 与0)(=-x f 有公共根α±. 用辗转相除法求得)(x f 和)(=-x f 的最高公因式是42-x .因为54)(22++=-x xx x f ，所以原方程为0)5)(4(22=++-x x x .它的根是2,2-,2191,2191i i --+-.定理1.2:方程)(=+k y f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根减去k.证：设),,2,1(n ia i =是n 次方程)(=x f 的根, 因为)(=i a f , 所以])[(=+-k k a f i 的根,因此，ka i-是n 次方程)(=+k y f 的根.因为0)(=+k y f 只有n 个根，所有)(=+k y f 的各个根分别等于)(=x f 的各个根减去k . 例如68364)]1([3=++=-+y yy f 的各个根分别等于68)1(36)1(4)(3=++++=x x x f 的各个根减去1-.这里的10848124)(23+++=x x x x f , 反过来说，要做一个三次方程使它的各个根分别等于三次方程10848124)(23+++=x x x x f 0=的各个根减去1-，只要将)(x f 表示为)1(--x , 即1+x 的幂构成的三次多项式.如果要将多项式n n n na xa xa xx f ++++=-- 2211)(化为不含有1-n 次项的多项式, 那么只要将)(x f 表示为)(1na x--的幂构成的多项式，即作一个n 次多项式，使它的各个根分别等于)(x f 的各个根减去na 1-. 由此可见, 经过这样的根的变换, 可使方程变形为简单的形式.2.2 倒根法定理2.2：如果方程0)(=x f 没有等于零的根，那么方程)1(=yf 的各个根分别等于方程)(x f 的各个根的倒数. 证 设),,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根, 并且0≠ia . 因为)(=i a f ,所以)()11(==i ia f a f .因此，ia 1是)1(=y f 的根, 因为n 次方程只有n 个根,所以)1(=yf 的各个根分别是0)(f =x 的各个根的倒数.推论3 如果n 次方程0)(=x g 的各个根分别是n 次方程0)(1110=++++=--n n n na x a xa x a x f 的各个根的倒数, 那么)(0111=++++=--a x a xa xa x g n n nn .例2.2 已知方程0918131423=+--x xx 的三个根的倒数成等差数列, 解这个方程.解：根据上述推论可知方程01413189)(23=+--=x x xx f 的三个根成等差数列,设这三个根是,,,b a a b a+-于是23=a, 32=a.因此, 0)(=x f 的一个根是32.因为)73)(1(74323)(2-+=--=-x x x xx x f , 所以0)(=x f 的另外两个根是1-, 与37, 由此可知，原方程的根是1,23-与73.2.3一元三次方程与倒数方程的解法2.3.1一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是23=+++d cx bxax)0(≠a把它的各个根减去ab 3-, 并且设32322272792,33ada abc bq ab ac p +-=-=.就可以变成一个不含有二次项的方程的方程（未知元仍然用x 表示）03=++q px x )1(所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程. 设v u x +=于是uvx u v v u uv v u x 3)(333333++=+++=.即 0)(3333=+--v u uvx x )2( 从而有)(,333v u q uv p +-=-=.根据一元多项式根与系数的关系，可知3u ，3v 是二次方程02732=-+pqy y的两个根.解这个二次方程，得：2742u323pqq ++-=, 2742323pqq v---=. )3(并且满足3p uv -= )4(设1u 是)3(的任意一个解, 则u 的另外两个解分别为:21312,wu u w u u ==.这里w 是1的三次单位根.由)4(得与321,,u u u 相对应的v 的三个解是:wv v w v v u p v 1321211,,3==-=.因此，03=++q px x 的三个解的公式是33233211127422742pqq pqq v u x +--+++-=+=,332233222227422742pqq wpqq wv u x +--+++-=+=,332332233327422742pqq w pqq wv u x +--+++-=+=.根据)3(式中27432pq+的符号可以看出三次方程03=++q px x 的根的性质. （1）如果27432pq+, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu ≠,方程)1(有一个实数根和两个共轭虚根：111v u x +=, ,iv u v u v w wux 322-11111212-++=+=, iv u v u wvu w x 322-11111123--+=+=.(2)如果27432pq+=, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu =, 方程(1)有三个实数根, 并且其中有两个根相等: 111v u x +=1u 2=,11212u u w wux -=+=,11123u wuu w x -=+=.(3)如果27432pq+, 那么3u 和3v 是共轭虚数.设 )sin (cos 3θθi r u +=, )sin (cos 3θθi r v -=,于是)3sin3(cos31θθi r u +=,)3sin3(cos31θθi r v -=.方程)1(有互相等的三个实数根: 3cos23111θr v u x =+=,=+=112wvwux -)3sin33(cos 3θθ+r )323cos(23πθ+=r , =+=1123wvu w x -)3sin33(cos3θθ-r )343cos(23πθ+=r .在这种情况下，方程)1(的三个实数根不能利用在根号下仅出现实数的根式由方程的系数来表示.而这一结论的证明已经完全超出课本的范围. 例3.2 解方程 011126223=-+-x xx .解 利用将n 次多项式简化为不含有1-n次项的方法可将方程化为：23)1(3)1(3--+-x x 0=.设1-=x y 原方程变换成方程2333=-+y y.因为3=p, 23=q, 所以162527432〉=+pq.设 1v u y+= 根据卡当公式得24,23131-==v u .于是 331114212-=+=v u y ,32312124212wwv w wuy -=+=, 33211234212wwwv u w y -=+=.因为1+=y x , 所以33142121-+=x ,iw w x )4324110821(44122114212166332332+++-=-+=, iw wx )4324110821(44122114212166333233+-+-=-+=.2.3.2倒数方程的解法在一元整式方程0)(=x f 中, 如果在多项式)(x f 中, 与首末两端等离的项的系数是相等的, 那么这种形式的方程称为倒数方程. 倒数方程有四种类型：)1(形如)0(0 (0012)2111122212120≠=++++++++++--+---a a x a xa xa xa xa xa xa x a m m mm m m m m m)1( 的方程称为第一种倒数方程.在方程)1(中, s x 项的系数等于s m x -2项的系数，这里ms2,,2,1,0 =. 显然0不是方程)1(的根.根据定理3的推论, 可知以方程)1(的各个根的倒数为根的m 2次方程仍是方程)1(, 因此, 方程)1(的根是m 对互为倒数的数.定理3.2 第一种偶次倒数方程=)(x f 0 (011)11112120=++++++++--+--a x a xa xa xa xa xa m m mm m m m m可以化为一个m 次方程. 证0)(...)()1()f(11112120=+++++++=-+--mm m m m m mxa xxa x xa xa x .因为0≠x，所以可以用mx 1乘)(x f , 得:)1(...)1()1()(.111110=+++++++=---m m m m mmma xx a xxa xxa x f x设yx x =+1, 于是有:22)1)(1(1222-=-++=+y xx x x xx ,y y xx x x xx xx 3)1()1)(1(132233-=+-++=+,24)1()1)(1(124223344+-=+-++=+y y xx xx xx xx ,······yxxxx xxxxm m m m mm=+-++=+----)1()1)(1(12211代入)(.1=x f xm, 得到的方程是y 的m 次方程.在证明这个定理的同时, 也给出了第一种偶次倒数方程的解法. 例2.4.解方程01256895612234=+-+-x x x x .解：将方程表示为089)(56)1(12234=++-+xx x x .因为0≠x, 将方程两端乘以21x, 得:89)1(56)1(1222=++-+xx xx ,设yxx =+1, 则21222-=+y xx ,从而有08956)2(122=+--y y ,由此得25=y 或613=y ,由251=+xx 或6131=+x x解得：32,23,21,2=x.因为1和1-的倒数是它的本身，还是1和1-, 所以如果方程0)(=x f 是第一种偶次倒数方程, 那么方程0)()1(=+x f x 和0)()1(=-x f x 除了两个根)11-或（的倒数就是本身之外, 其余的根是m 对互为倒数的数.方程0)f 1(2=-x x （）除了两个根)1(±的倒数就是本身以外.其余的根是m 对互为倒数的数.0)()1(=+x f x 称为第一种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=+++++++++b x b xb xb xb xb mm m m mm 0≠b (2))()1-(=x f x 称为第二种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=----++++c x c xc xc xc xc mm m m mm 0≠c (3))()1-(2=x f x称为第三种奇数倒数方程, 一般形式是： (012)121220=----++++++d x d xd xd xd xd mm m m m m 0≠d (4)这种形式的倒数方程没有中间项, 即没有1+m 次项.例5.2 解方程065444456)(2456=--+-+=x x x x x x f .解)(x f 是第二种偶次倒数方程, 必定有根1±.设)1()()(2-÷=x x f x g653856234++-+=x x x x38)(5)1(6234=-+++=xx x x .设yxx =+1, 因为0≠x , 将方程除以2x 得:38)1(5)1(622=-+++xx xx21222-=+y xx , 于是得:50562=-+y y由此得 25=y 或310-=y.由251=+x x 解得2=x或21=x .由3101-=+xx 解得3-=x 或31-=x . 所以0)(=x f 的根是31,3,21,2,1--±.某些特殊形式的方程, 有时也可以变换成倒数方程. 例6.2. 解方程062512256234=+++-x x x x解:将原方程变形为12)1(25)1622=+--+xx xx（.从而有024)1(25)1(62=+---xx xx .设yxx=-1. 于是得：242562=+-y y.由此解得 23=y 或38=y.由231=-x x , 解得21,2-=x . 由381=-xx, 解得31,3-=x.所以原方程的根是31,3,21,2--.2.4二项方程的解法形如0=-c x n的方程称为二项方程.解二项方程0=-c x n 只要将c 开n 次方, 在复数域上求一个数的n 次方根可采用复数的三角形式来计算.定理4.2如果)sin (cos θθi r c+=, 那么二项方程0=-c x n的根是)2sin2(cosn k i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.证. 因为n n nk i nk r )]2sin2(cos[πθπθ+++ci r =+=)sin (cos θθ.并且)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.表明共有n 个互不相等的值, 它们都是n 次方程0=-c x n的根, 而n 次方程有n 个根, 所以方程0=-c x n的根是:)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.因为1sin cos =+θθi 由定理4.2可知在复数域上的几个n 次方根是:1, ni nππ2sin2cos +，ni nππ22sin22cos⋅+⋅，···，nn i nn ππ2)1(sin2)1(cos -+-.根据实系数多项式的性质可知, 二项方程的虚数根都是成对出现的.例如方程083=+x 在复数域上的三根是:2)sin (cos 21-=+=ππi x ,ii x 31)3sin3(cos22+=+=ππ, ii x 31)32sin32(cos 23-=+=ππ . 例7.2 解方程016842234=++++x x xx .由此可得到一个二项方程 0255=-x . 解这个二项方程, 并排除方程02=-x 的根2=x 以后, 即得原方程的四个根)52sin52(cos21ππi x +=, )54sin 54(cos22ππi x +=,)54sin 54(cos 2)56sin 56(cos23ππππi i x -=+=, )52sin 52(cos 2)58sin 58(cos24ππππi i x -=+=.2.5解含有参数的方程在解含有参数的方程时, 必须对参数的每个容许值确定方程的解的集合. 例8.2 解关于未知数x 的方程21xa x-=-.解 这个方程的右端是非负数的, 因此左端也必须是非负数的, 应在02≥-x a 和1≥x 的条件下求解. 将方程两端平方得:1222=-+-a x x.这个方程必须在0)1(24)2(2≥-⋅--a 时，即21≥a时有实数解, 因此, 原方程的求解又增加了一个必要条件. 由这个一元二次方程解得: 21211-+=a x , 21212--=a x .2x 显然不满足条件11≥x , 因此, 它不是原方程的解.如果1x 是原方程的解，那么 12121≥-+a ,即 112≥-a .当1≥a时,112≥-a 是成立的, 但还要考虑, 021≥-xa 是否成立.经过计算, a 取任何值时, 021≥-xa 总能成立.综上所述，当1 a 时，原方程没有解.当1≥a原方程的解为2121-+=a x .在解含有参数的方程时, 不仅要考虑对于参数的某些取值, 原方程没有解, 而且考虑, 在参数取某个值的情况下，原方程可能成为恒等式.这时, 原方程在定义域内便有无限多个解.第三章 初等超越方程解法举例含有一个未知数的初等超越函数方程（简称超越方程）是指形如0)=x F （的方程，其中，)(x f 是初等超越函数.初等超越函数方程的求解最终都归结为最简超越方程的求解 最简超越方程是指形如cx f =)(的方程，其中，)(x F 是基本初等超越函数, c 是常数.3.1指数的方程解法)1()()(x g x f aa=, )1,0(≠a a类型例1.3解方程312)10(10001505---=x xx .解:原方程可变形为 661010-=x x, 66-=x x, 56=x.解这一类的指数方程是以对数的存在性和唯一性为根据的由于)()(x g x f a a =与)()(x g x f =是同解的，所以这一变形不会产生增根，也不会发生遗根.)2( )()(x g x f aa=（a 与b 都是不等于1的正实数，并且ba≠）类型.例2.3 解方程. 解：将方程两端取常用对数得:3lg )1(5lg )1(2-=+xx .这是一个一元二次方程，由此可解得:1-=x 或3lg 5lg 3lg +=x .这也就是原方程的根.解这类指数方程，因为0)( x f a , 0)( x g b ，方程两端取对数后得到的方程与原方程是同解，所以，这一边形不会产生增根和遗根.)3(0)(=xa F , )1,0(≠a a类型.例3.3 解方程xxx946=+.解：将方程两端分别除以x 9得:19432=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx.设yx=⎪⎭⎫ ⎝⎛32，则有012=-+y y ，由此解得:251+-=y, 或251--=y.后者因032 x⎪⎭⎫⎝⎛而舍去，再由21532-=⎪⎭⎫⎝⎛x可解得:3lg 2lg 2lg )15lg(---=x即为原方程.这种类型的指数方程通常采用换元法求解未知数. 为了将问题归结为最简指数方程的求解，往往需要将各个指数函数式化为相同的底数，由于底数都大于零，所以，在方程变形时不能破坏同解性.)4()()()(x F x f x g =类型.这种类型的方程成为幂指方程，如果是在底数大于零的条件下求解，那么可以通过两端取对数使方程变形.例4.3解方程 1lg 47lg 10++=x x x)0( x .解：因为方程两端都大于零，所以可在两端分别取对数，经过运算，化简可得：4lg 3)(lg 2=-+x x .有此可解得1lg =x 或4lg =x ，从而有10=x或410-=x，这就是原方程的解.3.2 对数方程的解法)1(cx g x f =)(log)(（c 为常数）类型.解这一种类型的方程通常是将对数形式化为指数形式.但解得的数值必须满足0)( x f ，与1)(≠x f 和0)( x g 的条件，否则便是增根. 例5.3 解方程22log)2(log8316=--x x.解 因为218log22log2188==，所以有2)316(21==-x x , 从而有 0122=--x x .由此解得4=x或3-=x, 后者使02 -x 于是方程的解只有4.)2()(log)(logx g x f aa= ()1,0≠a a .类型解这类方程时，根据对数的性质，可使得)()(x g x f =, 但由此解得的数值必须满足0)( x f 与0)( x g 否则便是增根.()3 0)(log=x F a)1,0(≠a a类型.解这类方程时，长采用换元法，将问题归结为解最简对数方程.)4( cx bx a=+log)1,0(≠a a类型.这类方程是在0x 的条件下求解的，当0≤c时，方程无解;当0c时，则有cx b x aaaloglog)(log=+. 即log log)x (log2=-+c x b aaa.这样变化为上一种类型，可用换元法求解 例6.3．已知1x 是方程42=+xx 的根，2x 是方程4log2=+x x的根.求21x x +. 因为1x 是方程42=+xx的根， 所以1x 是直线 x y +-=4与指数函数xy 2=图象交点P 的横坐标.因为2x 是方程4log2=+x x 的根，所以2x 是直线x y +-=4与对数函数xy2log=图象交点Q 的纵坐标.因为xy2=与xy2log=互为反函数，所以点P 与Q 关于其线对称， 且点P 与点Q 均在直线4+-=x y上，因为点P 与交点Q 的中点为)2,2(R . 所以421=+x x .3.3 三角方程的解法对于一般地三角方程来说，没有一般的简便的求解方法，对于其中某些类型的三角方程可用一定的解法求解，但对于同一个三角方程而言，解法往往不是唯一固定不变的的.凡是可以求解的三角方程，一般地说总是通过恒等变形将原方程的求解归为最简三角方程的求解. ）（1)]([)]([X F XF ϕϕ=类型（F表示某三角函数的符号）例如三角方程 x x 5sin 3sin =, )62()3(ππ-=+x tg x tg 都属于这一类型这类三角方程的基本解法是使方程一端为零，另一端化为积的形式，但也可利用下列具有相同的已知三角函数值的两弧之间的关系求解 )(sin )(sin 10x x ψϕ= 的交分必要条件是 πϕϕk x x k+-=)()1()( , )(z k ∈.︒2)(cos )(cos x x φϕ=的充分必要条件是:φ(x)=Ф(x)+2k π )(z k∈ .︒3 如果)()(x tg x tg φϕ=，那么πφϕk x x +=)()( )(z k∈ .例7.3 解方程 x x 3sin 5sin=.解：(1)将方程变形为:03sin 5sin =-x x .利用和差化积得:4cos sin 2=x x .从而得到最简三角方程:sin =x 或04cos =x .解：(2)由原方程可得:πk x x k+-=3)1(5 )(z k∈.等nk2=时，可解得:84ππ+=n x )(z n ∈.解）3(如果将a3sin与a5sin都用asin 表示，那么原方程便化成)1sin8sin 8(sin 224=+-x x a .由此可得最简正弦方程类型F 与G 表示不同的两个三角函数符号 例8.3 解方程yy 2cos 3sin =解)1(将原方程的两端化为相同名称的三角函数，可得：)22sin(3siny y -=π或yy 2cos )32(cos =-π.于是原方程的求解转化为前一种类型.解)2(使原方程的等式的一段化为零, 将另一端化为积. 解)3(利用倍角公式将方程两端都用ysin 表示.可得1sin 3sin2sin423=+--y y y左端分解因式后便可得最简正弦方程 (3) cy b y a =+cos sin , (c b a ,,都是常数，并且a 与b 都不等于零)类型如果 0≠c 并且222cb a =+，以a 除原方程的两端.得 ac y a b y =+cos sin因为+∞<<∞-ab ，于是可设ab arctg=ϕ，从而有 ac y y =+cos cos sin sinϕϕ又可化为ϕϕϕcos cos sin cos sin ac y y =+，即 ϕϕcos )sin(ac x =+因为222cba ≥+所以11cos 222222≤+=+=+=bac bac tg a c ac ϕϕ从而有πϕϕn ac y n+-=+)cos arcsin()1(， ϕϕπ--+=)cos arcsin()1(ac n yn)(z n ∈)4(关于ysin与ycos的齐次式的三角方程coscossincos sin sin 222110=++++--y a y a y y a y a nn n n n1如果0≠a ，则以ycos （ycos不等于零，若0cos=y ，则导致)0cos sin ==y y除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程sin110=+++-n n na y a y tga这是关于tgy 的代数方程，由此可得tgy 的值，便得到以正切函数表示的最简三角方程2如果,0110====-k a a a 但0≠ka ，则方程可化为)coscos sinsin(cos11=+++---+-y a y y a y a y kn n k n k kn k k由此可得0cos =y 或coscos sin sin11=+++---+-y a y y a y a kn n k n k kn k这后一个方程可按01的方法求解.)5(方程中含有未知数的各项可化为同一未知数的同一个三角函数的三角方程例9.3 解xx x x 5sin 3sin 7sin sin=将原方程的两端化为三角数式的差 ， 得28cos 2cos 2cos8xcos6x xx -=-从而有 xx 2cos 6cos=这个方程可按)]([)]([x F x F ψϕ=类型的解法求解.。
高一数学最简三角方程(教师版)
7、方程 在区间 上解得个数是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、 为三角形的一个内角，且 ，则 为 （ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程 的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程 的锐角x的集合。
11、解方程（1） （2）
12、已知 ，问是否存在 使得等式 成立？为什么？
13、
解： 或 ，则 或 ， 。
点评： ，则 或 （ ）；
，则 （ ）；
，则 或 （ ）。
七、其它类型方程：
14、
解： ，则 ，而 ，则 ，则 （ ）。
例2：当为何值时，方程 有实数解？
解： ，则 时方程有解，则 。
例3：若方程 有实数解，求实数 的取值范围。
解： ，令 ，则 ， ，则 。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解： 得 ，则 ， 。
10、
解： ，则 ， 。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1： 得 ，则 ， 。
解2：同除以 得 ，则 ， 。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以 得
得 或 ，则 或 ， 。
解2： ，则 ，
则 或 ，得 或 ，
则 或 ， 。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解： ，得2x－ ＝2kπ＋ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
5、
解： ，得x－ ＝kπ－ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解： ，得 ，解得 或 ，
则 或 ， 。
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最简三角方程的解法
摘要 方程（equation ）广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。
三角方程产生于工程领域，是一种重要的方程，简单三角方程的解的研究对生产有重要的意义。
本文借助于三角函数的性质（周期性）和反三角函数的知识对三角函数的基本解法进行简要的分析。
关键词 三角方程 周期 反三角函数
1 引 言
方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
2一个简单例子
求1sin 2
x =
的解集。
3解法中的提示
先在一个周期中确定满足条件的所有解，然后根据函数的周期性，写出解的集合。
（1）三角函数解的一个重要特性是，如果三角函数有解，那么它的解事无限多个。
（2）三角函数在一个周期中的解不一定仅有一个。
4周期函数简介
（1） 设f 是定义在数集D 上的函数，若存在常数T ，使得对一切x D ∈有()()f x T f T +=，则称函数y=f （x ）叫做周期函数，T 称为f 的一个周期。
（2） 几个常用函数的周期：
函数sin x ，cos x 的周期为2π；函数tan x ，cot x 的周期为π；
函数sin ax cos ax 的周期为
2a π； 5非特殊角的三级函数方程。
求2sin 3
x =
的解集。
6反三角函数的引入
（1） 为了精确表达上述三角方程的解，我们引入反正弦函数的概念。
（2）设函数(),y f x x D =∈满足：对于值域()f D 的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数。
（3）函数sin ,[,]22
y x x ππ=∈-的反函数叫做反正弦函数，叫做反正弦函数。
记作[]arcsin ,1,1y x x =∈-。
7将三角方程一般化
方程sin()y A x a ωϕ=+=可转化为''sin x a =的形式求出'
x 的解，其中'x x ωϕ=+，'a a A
=，再由'x 求出x 。
8参考文献
（1） 高中一年级第二学期教科书，上海教育出版社
（2）
（3） 数学分析，高等教育出版社
（4） 函数的周期性在解三角方程中的应用，彭立民，吉林师大附中
9练习
（1） 求下列方程的解集：
22sin
13
x =
tan()4
x π
+=
（2） 求下列方程在[0,2)π上的解集： 2sin 2sin 30x x --=
sin cos x x =。