(人教版)高中数学选修1-1(检测)：1.1 命题及其关系

课时提升作业(一)
命题
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列语句中,是命题的是( )
A.π是无限不循环小数
B.3x≤5
C.什么是“绩效工资”
D.今天的天气真好呀!
【解析】选A.疑问句和祈使句不是命题,C,D不是命题,对于B无法判断真假,故只有A是命题.
2.(2015·武昌高二检测)“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这四句诗中,可以为命题的是( )
A.红豆生南国
B.春来发几枝
C.愿君多采撷
D.此物最相思
【解题指南】明确构成命题的两个条件:一必须是陈述句,二能够判断真假. 【解析】选A.“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题,故选A.
3.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素;
②M中有不属于P的元素;
③M中有属于P的元素;
④M中的元素不都是P的元素.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,因此M中有不属于P的元素,也可能有属于P的元素,故②④正确,因此选B. 【延伸探究】本题中“是假命题”若改为“是真命题”,其结论又如何呢? 【解析】选A.③正确,①②④错误.
4.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是( )
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除,也能被3整除
D.这个数是6的倍数
【解析】选C.“若p,则q”的形式:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.所以该命题的结论是这个数既能被2整除,也能被3整除. 【误区警示】解答本题易出现分不清条件和结论而错选A或B的错误.
5.(2015·潍坊高二检测)“若x2-2x-8<0,则p”为真命题,那么p是( )
A.{x|-2<x<4}
B.{x|2<x<4}
C.{x|x>4或x<-2}
D.{x|x>4或x<2}
【解析】选A.解不等式x2-2x-8<0得不等式的解集为{x|-2<x<4}.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.下列语句:
①四边形的内角和为360°;②0是最小的偶数吗?
③两直线平行,同位角相等;④若两直线不平行,则它们相交.
其中,不是命题的序号为,真命题的序号为.
【解析】②是疑问句,不是命题.其余都是命题.①③是真命题,若两直线不平行,则它们相交或为异面直线,④是假命题.
答案:②①③
7.(2015·台州高二检测)把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是.
【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.
答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数
【延伸探究】判断本题中命题的真假.
【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.
8.(2015·西安高二检测)下列命题中,真命题是(填序号).
①若a2=b2,则|a|=|b|;
②若M∩N=N,则M⊆N;
③函数y=sinx,x∈[0,2π]是周期函数;
④若直线l与m异面,m与n异面,则l与n异面.
【解析】①是真命题.②中若M∩N=N,则N⊆M,故是假命题.③周期函数的定义域应为R,故函数y=sinx,x∈[0,2π]不是周期函数,是假命题.④中l与m异面,m 与n异面,则l与n可能异面,也可能平行或相交,故是假命题.
答案:①
【补偿训练】(2015·连云港高二检测)下列命题:①若xy=1,则x,y互为倒数;
②平行四边形是梯形;③若x,y互为相反数,则x+y=0.其中真命题为. 【解析】①是真命题,②平行四边形不是梯形,假命题,③为真命题.
答案:①③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.判断下列语句是否为命题,并说明理由.
(1)指数函数是增函数吗?
(2)x>.
(3)x=2和x=3是方程x2-5x+6=0的根.
(4)请把窗户关上.
(5)8>7.
(6)这是一棵大树.
【解题指南】从两个方面判断:一是看是否为陈述句,二是看能否判断真假. 【解析】(1)是疑问句,不是陈述句,所以不是命题.
(2)(6)不能判断真假,不是命题.
(3)(5)是陈述句且能判断真假,是命题.
(4)是祈使句,不是陈述句,所以不是命题.
10.判断下列命题的真假.
(1)形如a+b的数是无理数.
(2)负项等差数列的公差小于零.
(3)函数y=a x是指数函数.
(4)关于x的方程ax+1=x+2有惟一解.
【解析】(1)为假命题,如当a=1,b=时,a+b是有理数.
(2)为假命题,如数列-10,-8,-6,-4,-2,它的公差是2.
(3)当a>0且a≠1时,函数y=a x是指数函数,所以是假命题.
(4)关于x的方程ax+1=x+2即(a-1)x=1,当a=1时,方程无解;当a≠1时,方程有
惟一解,所以是假命题.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·郑州高二检测)有下列命题:
①若xy=0,则|x|+|y|=0;②若a>b,c≠0,则ac>bc;③矩形的对角线互相垂直. 其中真命题共有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选A.①由x·y=0得到x=0或y=0,
所以|x|+|y|=0不正确,是假命题;
②当a>b,c≠0时,ac>bc不一定成立,所以是假命题;
③矩形的对角线不一定垂直,不正确,是假命题.
2.(2015·杭州高二检测)设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列为真命题的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】选B.若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,选项A不正确;若l∥α,过l的平面与平面α交于直线m,则l∥m,又l⊥β,所以m⊥β,又m⊂α,从而α⊥β,选项B正确;若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,选项C不正确;若α⊥β,l ∥α,则l⊥β或l∥β或l与β斜交,选项D不正确.
【补偿训练】(2015·广州高二检测)已知直线m,n互不重合,平面α,β互不重合,下列命题正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D.若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β
【解析】选C.若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故A不正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故B不正确;若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故C正确;
若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β或直线n在其中一个平面内,所以D不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:
①若a·b=a·c,则b=c.
②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3.
③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.
其中真命题的序号为.
【解析】①中由a·b=a·c得a·(b-c)=0,不一定有b=c,①错.
②中由条件得-2k=6,所以k=-3,正确.
③中由条件得以|a|,|b|,|a-b|为边长的三角形为等边三角形,所以a与a+b的夹角为30°,③错.
答案:②
4.(2015·济宁高二检测)命题:若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),条件p: ,结论q: ,是命题.(填“真”或“假”)
【解题指南】本题主要利用线性规划的知识再结合命题的相关概念判断.
【解析】该命题的条件是a>0,结论是二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线
x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),又由a>0可知,直线x+ay-1=0的斜率小于0,截距大于0,把(0,0)代入,知原点不在x+ay-1≥0的区域内,故该命题是真命题.
答案:a>0二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)真
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:
(1)实数的平方是非负数.
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.
(3)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【解析】(1)若一个数是实数,则它的平方是非负数,真命题.
(2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,假命题.
(3)若一个点是一个角的平分线上的点,则该点到这个角的两边的距离相等,真命题.
6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题?说明理由.
【解析】这是可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.
函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.。