微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题

For personal use only in study and research; not for commercial use

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第六章

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一、选择题

1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C e

y x +=2

； B. 2

x Ce y =；

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C. 2

C x y e =； D. x Ce y =.

2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解；

C. 不是解；

D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.

3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，

21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ）

A. 32211y y C y C ++；

B. 3212211)(y C C y C y C +-+；

C. 3212211)1(y C C y C y C ---+；

D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x +=

+'是 （ ）

A. 可分离变量的微分方程；

B. 齐次微分方程；

C. 一阶线性齐次微分方程；

D. 一阶线性非齐次微分方程.

二、填空题

1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 .

2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.

3. 微分方程05532='-+y x x 的通解是 .

4. 微分方程02520422=+-s dt ds

dt

s d 的通解为 .

三、解答题

1. 求微分方程

xy dx

dy

2=的通解. 2. 求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解． （1）

x

x

x y dx dy sin =+，1)(=πy ； （2）x e y y x -=-'2，45)0(=y ．

3. 解方程：x e y x cos 2-='''.

4. 求方程

83=+y dx

dy

满足初始条件20=

=x y 的特解.

5. 求微分方程x e y y 24=-''的通解.

6. 求微分方程x

xe y y y 265=+'-''的通解. 7.设函数)()1(2x u x y +=是方程3)1(12+=+-'x x y

y 的通解，求)(x u .

8. 求下列贝努利方程的通解．

（1）0234'2=++y x xy y x ； （2）012=++-'y x

y

y . 9. 求齐次方程dy xy x dx xy y )2()2(2

2

-=-的通解．

10. 求解下列初值问题： 1)(2

='+''y y ，0)0(=y ，0)0(='y ． 11. 求微分方程1'''2

=+xy y x 通解． 12. 求下列方程的通解．

（1）054=-'-''y y y ； （2）054=-'-''y y ； （3）x

e x y y y 2244=+'-''； （4）x y y y 2sin 82=-'+''．

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第六章参考答案

一、选择题

1. B ；

2. D ；

3. D ；

4. B ； 二、填空题

1.Cx e y =；

2.0=y ；

3.C x x y ++=232

151； 4. t e t C C s 25

21)(+=.

三、解答题

1.解 原方程为分离变量的微分方程，

分离变量可得

x d x y

dy

2=， 两边积分：

⎰⎰=xdx y dy 2，得12

ln C x y +=，其中1C 为任意常数，

整理有：2

x Ce y =，其中C 为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 ]s i n [1

1

C dx e x

x e

y dx

x dx

x +⎰⎰=⎰-

=]sin [ln ln C dx e x x e

y x x

+=⎰-=)sin (1⎰+C xdx x =)cos (1

C x x

+-， 又1)(=πy ，得1-=πC ，故满足条件1)(=πy 的特解为

)1cos (1

-+-=

πx x y . （2）4

121])([222++-=⎰

⎰-+=-⎰x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x

， 将45)0(=y 代人，得2=C ，故所求特解为4

12122++-=x e e y x

x ．

3. 解：对所给方程接连积分三次得，12sin 2

1C x e y x

+-=''，

22cos 41C Cx x e y x +++='，)2

( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.

4. 解：原方程可变形为

y dx dy

38-=，分离变量可得dx y

dy =-38， 两边积分：1383ln C x y +-=-，其中1C 为任意常数，所以3

8

3+=-x

Ce

y ，