1.21绝对值三角不等式的解法

(A)｜x-y｜＜2h
(B)｜x-y｜＜2k
(C)｜x-y｜＜h+k
(D)｜x-y｜＜｜h-k｜
【解析】选C.｜x-y｜=｜(x-a)+(a-y)｜≤｜x-a｜+｜a-y｜
＜h+k.
2.设ab＞0，下面四个不等式中，
正确的是( )
①｜a+b｜＞｜a｜；②｜a+b｜＜|b|；
③｜a+b｜＜｜a-b｜；④｜a+b｜＞｜a｜-｜b｜.
24
g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x1 +
2
)25-
4
,…………………………4分
∴|f(x)|=|g(a)|≤|g(a)max|
=|(x 1)|2≤ 5, ……5…………………………………5分
24 4
∴|f(x)|的最大值为 …5……………………………………6分
4
(2)当a=0时②，f(x)=x；
答案：|a|>|b|
【想一想】你知道如何证明｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+ ｜b｜吗? 提示：整体代换法：利用｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+ ｜b｜得｜a｜-｜-b｜≤｜a+(-b)｜≤｜a｜+｜-b｜, 即｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜.
求范围或最值 【技法点拨】
利用绝对值三角不等式求最值 绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系，有些对于y=｜xa｜+｜x-b｜或y=｜x+a｜-｜x-b｜型的函数最值求法，利用该 不等式或其几何意义更简捷、方便.
当-1≤x≤1时，f(x)的最大值为f(1)=1不可能满足题设条
件,∴a≠0.……………………………………………………7分
又f(1)=a+1-a=1,
f(-1)=a-1-a=-1，
故f(±1)均不是最大值. ……………………………………8分
∴f(x)的最大值 1应7 在其对称轴上顶点位置取得.
8
∴a<0.∴命题等价于
【典例训练】1.若x<5,n∈N+,则下列不等式:
① xlg n 5 lg n ；
n 1
n 1
② x lg n 5lg n ；
n 1 n 1
③ xlg n 5 lg n ；
n 1
n 1
④ x lg n 5 lg n .
n 1
n 1
其中,能够成立的有________.
1.绝对值三角不等式
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1.理解绝对值的几何意义. 2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义. 3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用.
1.本课重点是绝对值不等式定理的几何意义及应用. 2.本课难点是用绝对值三角不等式的两个定理证明含绝对值的 不等式问题.
几何 意义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ绝对值 不等式
绝对值 三角不 等式
2.不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件 不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式 |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0,左 侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
绝对值不等式
|a| 实数a的绝对值|a|表示数轴上坐 标为a的点A到原点的距离.
|a-b| 对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上 的对应点分别为A,B,那么|a-b|的几何意 义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段 AB的长度.
定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+ |b|,当且仅当ab≥0时，等号成立.
与绝对值不等式相关的判断 【技法点拨】
与绝对值不等式相关的判断方法与技巧 (1)判断一个不等式成立与否,往往是对影响不等号的因素进行 分析,如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取 倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的 作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了.
(2)如果对不等式不能直接判断,往往需要对不等式化简整理或 变形后再利用绝对值不等式进行判断.
【解题设问】(1)本题解题的突破条件是什么？ 当-1≤x≤1时，｜f(x)｜≤1. (2)证明｜g(x)｜≤2需要讨论a的取值范围吗？需要.
【规范答题】(1)当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1,取x=0时，有 |c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1…………………………………2分 (2)方法一：当a>0时，g(x)=ax+b在［-1，1］上是增函数. ∴g(-1)≤g(x)≤g(1). ∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1, ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c ≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2. 由此得|g(x)|≤2……………………………………………5分
【证明】1.｜(x+y)-(a+b)｜=｜(x-a)+(y-b)｜≤｜x-a｜+
｜y-b｜
①
∵｜x-a｜＜ε,｜y-b｜＜ε,
∴｜x-a｜+｜y-b｜＜ε+ε=2ε
②
由①②得:｜(x+y)-(a+b)｜＜2ε.
2.∵f(x)=x2-x+13. ∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a| =|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|， 又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1| ≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1 =2(|a|+1)， ∴|f(x)-f(a)|＜2(|a|+1).
1
f
(
1 2a
1 1, 2a
) … 1…7 ,…………………9分
8
a 0,

⇒
a


1， 2
a 28a 1 0，
⇒
a


1， 2
…………………………………………11分
a

2或a


1， 8
∴a=-2. ………………………………………………………12分
4
4
22
［a( x 1)2 b( x 1) c］［a( x 1)2 b( x 1) c］
2
2
2
2
f ( x 1) f ( x 1). …………………………………………6分
2
2
当-1≤x≤1时，0≤ ∴|f( x )1|≤1，|f(
2
x ≤11,-1≤ x≤10.
(A)①和②
(B)①和③
(C)①和④
(D)②和④
【解析】选C.∵ab＞0,∴a,b同号，
∴｜a+b｜=｜a｜+｜b｜,∴①④正确.
3.不等式 a b ＜1成立的充要条件是( )
3.函数y=｜x-1｜+｜x-3｜的最小值是_______. 【解析】y=｜x-1｜+｜x-3｜≥｜x-1+3-x｜=2. 答案：2
1.定理2的几何解释 在数轴上，a,b,c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C 之间时，|a-c|=|a-b|+|b-c|；当点B不在点A，C之间时，|ac|＜|a-b|+|b-c|.
求解
当a=1或a=3时，对任意的x，距离和 的最小值为1，所以当a≤1或a≥3时该 不等式恒成立
结论
a (,1][3,)
答案：(-∞,1］∪［3,+∞)
2.根据定理2，f(x)=｜x-3｜+｜x-1｜≥｜(x-3)-(x-1)｜= 2,当且仅当(x-3)(x-1)≥0,即x≥3或x≤1时，f(x)取得最小值 2.
∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.
∴必有 a ≥b1，即|a|>|b|是
a |b|
≥1a成 b立的充分条件.
a |b|
②当 a ≥b1时,由|a+b|>0,
a |b|
必有|a|-|b|>0,即|a|>|b|,故|a|>|b|是
a≥1b成立的必要条件.
a |b|
∴不等式成立的充要条件为|a|>|b|.
2.不等式 a b ≥1成立的充要条件是_____.
a |b|
【解析】1.∵0< n<1,∴lg <n0,
n 1
n 1
由x<5,并不能确定|x|与5的关系.
所以①②③均不成立.
又∵|x|lg ≤n 0,5|lg
n 1
故④成立.
|>0n,
n 1
答案：④
2.①当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0,
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下：(注：此处的①②见规范解答过程)
【规范训练】(12分)已知a，b，c为实数，函数f(x)= ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1. 求证：(1)|c|≤1； (2)当-1≤x≤1时，|g(x)|≤2.
【想一想】 本例2除了用定理2解答，你还有哪些方法？ 提示：可利用绝对值不等式的几何意义，利用数轴求得最小值 为2.
含绝对值不等式的证明 【技法点拨】
1.含绝对值不等式的证明技巧 含绝对值不等式的证明题主要分两类： 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝 对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质 定理：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证 明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可 考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一 元二次方程的根的分布等方法来证明.
当a=0时，g(x)=b,f(x)=bx+c.
∵-1≤x≤1,
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2. …………………10分
综上所述，|g(x)|≤2.……………………………………12分
方法二：由 x x 12 x 12 ,
4
得g(x)=ax+b
a［x 12 x 12 ］ b( x 1 x 1)
含参数的绝对值不等式的应用
【典例】(12分)设a∈R，函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1).
(1)若|a|≤1,求|f(x)|的最大值. (2)求a的值，使函数f(x)有最大值 17 .
8
【规范解答】
【规范解答】(1)设g(a)=f(x)=ax2+x-a =(x2-1)a+x……………………………………………………1分 ∵-1≤x≤1, 当x=±1时，|f(x)|=|g(a)|=1； 当x≠±1时，x2-1＜0,g(a)=(x2-1)a+x是单调递减函数…2分 ∵|a|≤1,∴-1≤a≤1,① ∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1 (x 1),…2 …5 …………………………………………3分
当a<0时，g(x)=ax+b在［-1，1］上是减函数. ∴g(-1)≥g(x)≥g(1). ∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1, ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2. 由此得|g(x)|≤2. …………………………………8分
【典例训练】1.若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x 均成立，则实数a的取值范围是______. 2.求函数f(x)=｜x-3｜+｜x-1｜的最小值，并求出取最小值时 x的范围.
【解析】1.解题流程：
审题
x a x 2 1 恒成立
转化
绝对值不等式的几何意义：数 轴上x到a与x到2的距离之和
2.证明绝对值不等式的基本步骤 (1)对原式“拆项”“重组”，以期利用条件； (2)利用定理1或定理2进行转化； (3)化简、证明结论.
【典例训练】 1.已知ε＞0,｜x-a｜＜ε,｜y-b｜＜ε, 求证：｜(x+y)-(a+b)｜＜2ε. 2.设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1, 求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
2
2
x )|1≤1, ……………………………8分
2
∴|g(x)|=|f( x 1)-f( x )1|
2
2
≤|f(
x 21)|+|f(
x )1|≤1+1=2.
2
……………………10分
综上可得,当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2. …………………12分
1.若｜x-a｜＜h,｜y-a｜＜k,则下列不等式一定成立的是( )
如果a,b,c是实数，那么|a-b|≤|a定理2 b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，
等号成立.
1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关 系？ 提示：|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？ 提示：数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点的距 离.