回归分析的基本思想及其初步应用

第一章：统计案例

回归分析的基本思想及其初步应用实例

为172cm的女大学生的体重.

解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选自变量x，为因变量.

(1)做散点图:

从散点图可以看出和有比较好的

相关关系.

(2) = =

所以

于是得到回归直线的方程为

(3)身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为

新知：用相关系数r可衡量两个变量之间关系.计算公式为

r =

r>0, 相关, r<0 相关;

相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系，它们的散点图越接近；

，两个变量有关系.

x y

8

1

i i

i

x y

=

=

∑

8

2

1

i

i

x

=

=

∑

8

1

82

2

1

8

8

i i

i

i

i

x y x y

b

x x

=

=

-

==

-

∑

∑

a y bx

=-≈

y=

r>

例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表:

(2) 求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程;

(3) 该班某学生数学成绩为96,试预测其物理成绩;

练习1：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值)

x y y x y bx a =+3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=

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1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与视力 C.人的身高与体重

D.匀速直线运动中的位移与时间

2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ） A. 预报变量在x 轴上，解释变量在 y 轴上 B. 解释变量在x 轴上，预报变量在 y 轴上

C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上

D. 可选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上 3. 回归直线必过（ ）

A. B. C. D. 4.越接近于1，两个变量的线性相关关系 .

5. 已知回归直线方程,则时,y 的估计值为 .

6、一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验

（2）求回归直线方程；

（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制

在什么范围内？

相关指数：表示 对 的贡献，公式为：

的值越大，说明残差平方和 ，说明模型拟合效果 .

残差分析：通过 来判断拟合效果.通常借助 图实现.

残差图：横坐标表示 ，纵坐标表示 .

残差点比较均匀地落在 的区的区域中，说明选用的模型 ， 带状区域的宽度越 ，说明拟合精度越 ，回归方程的预报精度越

y bx a =+(0,0)(,0)x (0,)y (,)x y r 0.50.81y x =-25x =2R 2R =2R

为了对、y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：，

，试比较哪一个模型拟合的效果更好?

例2 假定小麦基本苗数x

与成熟期有效苗穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下： （2）求回归方程并对于基本苗数56.7预报期有效穗数； （3）求，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几. (参考数据：

，

）

x 6.517.5y x =+717y x =+2R 21

1

5101.51,6746.76,n

n

i i i i i x x y ====∑∑5

2

1

()50.18i

i y

y =-=∑5

21

()9.117i

i i y

y =-=∑

练1. 某班5名学生的数学和物理成绩如下表:

（4）求学生A,B,C,D,E 的物理成绩的实际成绩和回归直线方程预报成绩的差.并作出残差图评价拟合效果.

练习：

1. 两个变量 y 与x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 如下 ，其中拟合

效果最好的模型是（ ）.

A. 模型 1 的相关指数为 0.98

B. 模型 2 的相关指数为 0.80

C. 模型 3 的相关指数为 0.50

D. 模型 4 的相关指数为 0.25

2. 在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ）. A. 残差 B. 样本编号 C. x D.

3. 通过来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为（ ）.

A.回归分析

B.独立性检验分析

C.残差分析

D. 散点图分析

4.越接近1,回归的效果 .

5. 在研究身高与体重的关系时，求得相关指数

，可以叙述为“身高解释了的体重变化，而随机误差贡献了剩余 ”所以身高对体重的效应比随机误差的 .

2i i e y y =-2R 2R 2R 2R 2R n e 12,,,n e e e 2R 2R =69%