对磁场中双杆模型问题的解析

对磁场中双杆模型问题的解析Prepared on 22 November 2020对磁场中双杆模型问题的解析研究两根平行导体杆沿导轨垂直磁场方向运动是力电知识综合运用问题，是电磁感应部分的非常典型的习题类型，因处理这类问题涉及到力学和电学的知识点较多，综合性较强，所以是学生练习的一个难点，下面就这类问题的解法举例分析。

在电磁感应中，有三类重要的导轨问题：1．发电式导轨；2．电动式导轨；3．双动式导轨。

导轨问题，不仅涉及到电磁学的基本规律，还涉及到受力分析，运动学，动量，能量等多方面的知识，以及临界问题，极值问题。

尤其是双动式导轨问题要求学生要有较高的动态分析能力电磁感应中的双动式导轨问题其实已经包含有了电动式和发电式导轨，由于这类问题中物理过程比较复杂，状态变化过程中变量比较多，关键是能抓住状态变化过程中变量“变”的特点和规律，从而确定最终的稳定状态是解题的关键，求解时注意从动量、能量的观点出发，运用相应的规律进行分析和解答。

一、在竖直导轨上的“双杆滑动”问题1.等间距型如图1所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒a和b和导轨紧密接触且可自由滑动，先固定a，释放b，当b速度达到10m/s时，再释放a，经1s时间a的速度达到12m/s，则：A、当va=12m/s时，vb=18m/sB、当va=12m/s时，vb=22m/sC、若导轨很长，它们最终速度必相同D、它们最终速度不相同，但速度差恒定【解析】因先释放b，后释放a，所以a、b一开始速度是不相等的，而且b的速度要大于a的速度，这就使a、b和导轨所围的线框面积增大，使穿过这个线圈的磁通量发生变化，使线圈中有感应电流产生，利用楞次定律和安培定则判断所围线框中的感应电流的方向如图所示。

再用左手定则判断两杆所受的安培力，对两杆进行受力分析如图1。

开始两者的速度都增大，因安培力作用使a的速度增大的快，b的速度增大的慢，线圈所围的面积越来越小，在线圈中产生了感应电流；当二者的速度相等时，没有感应电流产生，此时的安培力也为零，所以最终它们以相同的速度都在重力作用下向下做加速度为g的匀加速直线运动。

在释放a后的1s内对a、b使用动量定理，这里安培力是个变力，但两杆所受安培力总是大小相等、方向相反的，设在1s内它的冲量大小都为I，选向下的方向为正方向。

当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。

释放棒后，经过时间t，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有：对a有：( mg + I ) · t = m v a0, 对b有：( mg － I ) · t = m v b－m v b0联立二式解得：v b = 18 m/s，正确答案为：A、C。

在、棒向下运动的过程中，棒产生的加速度，棒产生的加速度。

当棒的速度与棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小。

最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动。

2.不等间距型图中1111a b c d 和2222a b c d 为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里。

导轨的11a b 段与22a b 段是竖直的．距离为小1l ，11c d 段与22c d 段也是竖直的，距离为2l 。

11x y 与22x y 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为1m 和2m ，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。

两杆与导轨构成的回路的总电阻为R 。

F 为作用于金属杆11x y 上的竖直向上的恒力。

已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

(04全国2)【解析】设杆向上运动的速度为v ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小 21()E B l l v =- ①回路中的电流 EI R = ②电流沿顺时针方向。

两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆11x y 的安培力为 11f Bl I = ③方向向上，作用于杆22x y 的安培力 22f Bl I =方向向下。

当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有12120F m g m g f f --+-= ⑤解以上各式，得1221()()F m m g I B l l -+=- ⑥ 122221()()F m m g v R B l l -+=- ⑦作用于两杆的重力的功率的大小 12()P m m gv =+ ⑧电阻上的热功率2Q I R = ⑨ 由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得 12122221()()()F m m g P R m m g B l l -+=+-二、在水平导轨上的“双杆滑动”问题一、等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外）够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l ，导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图2所示，两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余电阻不计，整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ，设两导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行，开始时棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0, 若两导体棒在运动中始终不接触，求：1、运动中产生焦耳热最多是多少2、当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少【解析】ab 棒向cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路的面积变小，穿过它的磁通量也变小，在回路中产生了感应电流，用楞次定律和安培定则判断其方向如图3所示，又由左手定则可判断ab棒受到的与运动方向相反的安培力作用，作减速运动，cd 棒受到安培力作用作加速运动，在ab 棒速度大于cd 棒的速度时，两棒间的距离总会减小，回路中总有感应电流，ab 会继续减速，cd 会继续加速，当两棒的速度相等时，回路的面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒此时不受安培力作用，以相同的速度向右作匀速直线运动。

1、从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒组成的系统受外力之和为零，系统的总动量守恒，有：mv 0 = 2mv ，所以最终作匀速直线运动的速度为：v = v 0 /2两棒的速度达到相等前，两棒机械能不断转化为回路的电能，最终电能又转化为内能。

两棒速度相等后，两棒的机械能不变化，根据能量守恒定律得整个过程中产生的焦耳最多时是两棒速度相等时，而且最多的焦耳热为两棒此时减小的机械能：2、设ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的速度为'v ，又由动量守恒定律得：'0034mv m v mv =⋅+ (1)因ab 和cd 切割磁感线产生的感应电动势方向相反，所以此时回路中的感应电动势为：'034ab cd E E E Bl v Blv =-=⋅-…………（2） 由闭合电路欧姆定律得此时通过两棒的感应电流为：2E I R=…（3） 此时cd 棒所受的安培力为：F = BI l ，联立解得加速度为：204Bl v F a m mR == 二、不等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外） 如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。

、是质量均为的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。

试求： (1)、棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

【解析】下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。

(1)自由下滑，机械能守恒： ① 由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度，故它们的磁场力为：② 在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有：所以③、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：④⑤联立以上各式解得：，(2)根据系统的总能量守恒可得：三、等间距水平导轨，受水平外力作用（安培力除外）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。

导轨间的距离，两根质量均为的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为。

在时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行，大小为的恒力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。

经过，金属杆甲的加速度为，求此时两金属杆的速度各为多少【解析】设任一时刻两金属杆甲、乙之间的距离为，速度分别为和，经过很短时间，杆甲移动距离，杆乙移动距离，回路面积改变由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势：回路中的电流：杆甲的运动方程：由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量变化（时为0）等于外力F的冲量：联立以上各式解得 代入数据得＝s ＝s 三、绳连的“双杆滑动”问题两金属杆ab 和cd 长均为l ，电阻均为R ，质量分别为M 和m ，M >m ，用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，如图4所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强度为B ，若金属杆ab 正好匀速向下运动，求运动速度。

【解析】设磁场垂直纸面向里，ab 杆匀速向下运动时，cd 杆匀速向上运动，这时两杆切割磁感线运动产生同方向的感应电动势和电流，两棒都受到与运动方向相反的安培力，如图5所示，速度越大，电流越大，安培力也越大，最后ab 和cd 达到力的平衡时作匀速直线运动。

回路中的感应电动势：122E E E Blv =+=回路中的电流为：2E Blv I R R== ab 受安培力向上，cd 受安培力向下，大小都为：22B l v F BIl R== 设软导线对两杆的拉力为T ，由力的平衡条件：对ab 有：T + F = Mg对cd 有：T = mg ＋ F所以有：222()B l v M m g R =-，解得：22()2M m gR v B l -= 小结：从以上的分析可以看出处理“双杆滑动”问题要注意以下几点：1、在分析双杆切割磁感线产生的感应电动势时，要注意是同向还是反向，可以根据切割磁感线产生的感应电流的方向来确定，若同向，回路的电动势是二者相加，反之二者相减。

一般地，两杆向同一方向移动切割磁感线运动时，两杆中产生的感应电动势是方向相反的，向反方向移动切割磁感线时，两杆中产生的感应电动势是方向相同的，线圈中的感应电动势是“同向减，反向加”。