数学概念的学习

数学概念的学习

概念学习是数学学习的起点，概念也是数学认知结构中的重要成分.通过对数学概念的一般认知过程的研究，我们可以审视数学差生形成的一些认知因素.

1.数学概念的学习过程

概念的学习有两种最基本的方式：概念的形成和概念的同化.概念的形成是在给定的教学条件下通过陈述实例，利用学生已有的知识、经验进行认可，然后归纳出一类事物的本质属性.概念的同化是把要学习的概念与原有认知结构中的其他概念建立起联系，然后进行比较，强化其本质属性.因此，掌握数学概念实际上包括两个思维飞跃过程：一是从感知到概括的飞跃过程，二是从概括到应用的飞跃过程.如果学生所形成的概念本质属性模糊，或不能产生由概括到应用的飞跃，都会导致后续学习困难.为了能通过外显的学习行为窥视学生内隐的心理活动，以下笔者将构建概念的清晰度的二维结构模式.

我们注意到在数学概念的学习中，以下步骤是逐次深入的：

Ⅰ、不能完整地表达数学概念的定义，或对概念的意义含糊不清.

Ⅱ、能记住概念的文字表述，对概念有感性的、初步的认识，能回忆或再认(如记住有理数的定义，能从给定的一组数中找出其中的有理数).

Ⅲ、通过与其并列的概念的比较，理解该概念的本质属性，并在概念所涉及的各个范围内有“认知代表”(如知道有理数与无理数的本质区别，提到有理数能想到正数、负数、分数、零等).

Ⅳ、能从该概念与其上位、下位概念的联系与区别中理解该概念，明白它们的相互关系，并能利用这些关系解决新的情景中的问题(如从实数的角度去考查有理数的特征，从整数、分数、零去推测有理数的本质).

Ⅴ、明确概念所处的知识结构的位置，并能实现该概念与其相关定理、性质、公式的沟通(如从实数的组成结构及其相互关系中去考查有理数，并能运用其性质于比较复杂或隐讳的情景中).

对概念的理解具备上述各层次所规定的特征，我们称之为具有不同的清晰度.

这些规定不同于布鲁姆认知领域的教学目标只具有质的规定性.也不同于加涅的信息加工处理模式把人脑等同于计算机.它以数学概念的内涵与外延为出发点.既有质的规定，也有范围的规定.我们可以用图4—1的二维结构模式来表示，横轴代表理解概念的广度，它是相对于概念所处的知识系统而言的，反应了从感知到概括本质属性的渐进过程.纵轴代表理解深度，它反映主体将该概念运用于不同数学情景的能力，体现为概括到应用的渐进过程.其所构成的五个平面区域分别代表五种不同的清晰度.

图4—1 概念的清晰度的二维结构模式

显然，概念的清晰度决定于：

(1)所构造的代表的合理性与全面性.当我们听到一个概念时，首先在头脑中反馈出来的并不是它的文字表述及属性，而是具备这一概念的本质属性的“代表”.如提到有理数，在头脑中首先会出现诸如－1，0，0.333……等具体数字，如果这些代表全面、合理，则概念就清晰，反之，在运用时就会失之偏颇.

(2)概念所处的知识系统的清晰与否.不论是概念的形成还是概念的同化，都是通过与该概念所处的知识系统中的其他概念进行比较、分化、确认实现的.所以，相并列的概念或其上位、下位概念清晰与否与该概念的清晰度直接相关.

(3)数学能力特别是数学记忆力与概括能力.如要记住概念的本质属性及外延的各种代表，需要数学记忆力.理解概念的深度与数学概括力直接相关，只有具有较强的概括力，才能促进主体对不同数学情景的顿悟.

2.关于概念教学的一些观点

根据上述关于概念的清晰度及数学差生对概念的认知过程的分析，笔者提出数学概念教学中的一些观点，供商讨.

2.1教学中要为学生构建清晰、稳定的认知代表

美国教育家布鲁纳通过对儿童概念学习的实验过程的仔细观察得出：概念在思维中的产物是以代表的方式出现的，思维对概念的描述最基本的方式有三种：活动式、肖像式和符号式.活动式是大脑反应过去事件的动态模式，它的特征是一个概念必须与一个明显的行为动作联系起来.活动式是儿童最初认知概念的基本方式.肖像式是思维在脱离概念的具体对象的情况下对概念的一种重构.例如，当我们对儿童提到排列一词时，儿童会想象出在操场上集会时排队的情景或想到把几件玩具整齐地排好的情景.符号式是用一种完全抽象的形式代替具体的概念，符号可以与具体事物毫无联系.如数字符号中的5与日常生活中以5为特征的事物几乎毫不相关.布鲁纳的“认知代表理论”启示我们在概念教学时，应该为学生构建清晰、稳定、全面的认知代表，例如，当我们给学生讲有理数时，既要能让学生想到正整数、零、负整数，又能让他们想到正分数、负分数或循环小数等.

2.2建立数学概念较为完整的结构定向

知识结构不仅是知识的固着点，也是从不同侧面认识事物的一条途径，如果学生拥有各种知识结构，将大大促进知识的同化、巩固和迁移.“认知数学概念最重要的不是过去经验的储存，而是一旦需要这一概念时，能以可用的方式重新得到它”.从认识发展的规律性看，人们认识事物总是由表及里，由粗到细.奥苏伯尔也认为“学生从已知的、包摄较广的整体知识中掌握分化的部分比从已知的分化的部分中掌握整体知识的难度要低一些”.这也启示我们：概念教学应“大处着眼、小处着手”.先从概念的大致结构出发，然后再逐步深入.从结构上看，差生对有理数的认知总局限于正有理数，主要原因是思维的单向与片面，不能形成立体式的结构整体.

2.3发展初中学生的辩证思维

数学作为一门思维科学，它的学习需要辩证的方法论.我国心理学界多数学者认为：青少年思维发展遵循具体形象思维——经验型抽象思维——理论型抽象思维——辩证思维这一过程.这种思维发展的阶段性理论有助于我们有针对性地选择教学方法、手段.然而，这一发展过程不是严格的，单向的，而具有相容性与同时性.初中数学中的数与式、正与负、因式分解与整式乘除等都是对立面的统一.讲解这些概念时，可以通过与其对立面的联系与区别让学生加深理解.例如，数的运算与式的运算可以沟通，数的大部分运算法则可以迁移到式的运算中去，式的运算又使数的运算法则得以巩固与深化.又如辩证唯物论中全面的、联系的观点有利于学生形成结构观与整体观.概念教学中如能适当渗透一些辩证法的观点，将会使差生的思维品质大大改观，但具体操作过程中必须注意针对性和适度性.即针对差生的一些模糊认识，从典型事例中让他们逐渐领悟.