条件分式求值的方法与技巧完整版
条件分式求值的方法与技巧
学科: 奥数教学内容：条件分式求值的方法与技巧求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面：一、将条件式变形后代入求值例1432z y x ==，zy x z y x +--+22求的值． 解：设432z y x ==＝k ， 那么x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝545443224322==+-⨯-⨯+k k k k k k k k ． 说明：连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法．例2的值求b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有〔a ＋3b 〕〔a －2b 〕＝0，∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0，解得a ＝－3b 或a ＝2b ．当a ＝－3b 时，原式＝233=+---bb b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3122=+--b b b b ．二、将求值变形代入求值．例3)11()11()11(,0cb a ac b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++ac b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋c ＝0，∴ 原式＝－3．例431=+x x ，的值求1242++x x x ．分析：∵ 1)1(111222224-+=++=++x x xx x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值．解：∵ 1)1(12224-+=++x x xx x 8132=-=，∴ 811242=++x x x ．三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．例5 yxy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 解法一：∵ 311=-yx ， ∴ y －x ＝3xy ⇒x －y ＝－3xy ．∵ 原式＝xyy x xy y x 2)(3)(2--+- 53233)3(2=--+-=xy xy xy xy ． 解法二：将分子、分母同除以xy 〔≠0〕． ∴原式＝xy x y 121232---+ 5332323)11(2)11(23=--⨯-=-----=yx y x 分析：∵ 填空题不需要写出解题过程，故可取满足等式的特殊值求解．解法三：取x ＝21，y ＝－1，)31211(=+=-y x ． ∴原式 .532/52/3)1()1(21221)1(2)1(213212==---⨯⨯--⨯--⨯⨯+⨯= 注意：特殊值法是解填空题或选择题常用的解题方法或技巧．取特殊值要注意满足条件等式，其原那么是要便于计算．例6 a 2＋2a －1＝0，求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 解：原式＝42])2(1)2(2[2-+⋅+--+-a a a a a a a 42)2()1()2)(2(2-+⋅+--+-=a a a a a a a a 42)2(42-+⋅+-=a a a a a aa a a 21)2(12+=+= ∵ 0122=-+a a ，∴ 122=+a a ，∴ 原式＝1．注意：本例是将条件式化为“122=+a a 〞代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．1．231=-x x ，求分式221xx +的值．2．01342=+++x x x ，先化简后求xx x -+-3932的值． 3．化简求值43326512222-+---+÷+--a a a a a a a a ，其中a ＝－3． 4．abc ＝1，那么111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________．参考答案1．417； 2．0〔原式＝x ＋3〕； 3．)42(522--=-a 原式； 4．1〔取a ＝b ＝c ＝1〕．。
条件分式求值的常用方法整理精选汇总
条件分式求值的常用方法整理精选汇总条件分式是一种数学表达式，具有形如$\frac{P(x)}{Q(x)}$的形式，其中$P(x)$和$Q(x)$是多项式。
在计算条件分式的值时，我们需要将$x$带入到分式中，首先计算分子$P(x)$及分母$Q(x)$的值，然后再计算两者的比值。
为了理解条件分式求值的常用方法，我们将从以下几个方面进行整理精选汇总：1.理解分子与分母的含义：分子$P(x)$是条件分式的分子部分，通常是一个与$x$相关的多项式。
分母$Q(x)$是条件分式的分母部分，也是一个与$x$相关的多项式。
理解分子和分母的含义对于正确进行求值非常重要。
2.找出分式的定义域：在进行条件分式求值之前，我们必须确定$x$的取值范围，即分式的定义域。
如果$x$的一些取值会导致分母等于0，那么这些值必须被排除在求值的范围之外。
因此，我们需要找出使得$Q(x)$等于0的$x$值，并将这些值从求值范围中排除。
3.化简分式：在求值之前，我们可以尝试对分子和分母进行化简。
通过因式分解、提取公因式等方式，将分子和分母简化为最简形式，可以使得计算更加简洁明了。
4.将$x$带入分子和分母：一旦找到了适当的定义域，并将分式化简为最简形式，就可以开始将$x$的取值代入分子和分母。
对分子部分的多项式$P(x)$计算其值，再对分母部分的多项式$Q(x)$计算其值。
这样就得到了最终的条件分式。
需要注意的是，如果$x$的一些取值导致分母$Q(x)$等于0，那么这些取值必须被排除在求值范围之外。
5.检查结果的合理性：求得条件分式的值后，应当对结果进行检查，确保其在定义域范围内是合理的。
特别是需要注意的是，在进行有理函数求值时，有可能得到无理数或者是不可约分的分式，这些结果在定义域范围内可能是有效的，所以需要特别注意。
通过以上的步骤，我们可以正确地计算条件分式的值。
需要注意的是，在计算过程中要仔细检查每一步的操作，确保求值的正确性。
另外，如果定义域非常复杂或者分子、分母都有高次数的项时，求解条件分式可能需要更加复杂的技巧和方法，这就需要灵活运用数学知识来处理。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
条件分式求值的方法与技巧(含解析)-
条件分式求值的方法与技巧(含解析)-求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题要紧有以下三个方面：【一】将条件式变形后代入求值例1432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值、 解：设432z y x ==＝k ， 那么x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 、 ∴原式＝545443224322==+-⨯-⨯+k k k k k k k k 、 说明：连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法、 例2的值求b a b a b ab a +-=-+,0622、 解：由0622=-+b ab a 有〔a ＋3b 〕〔a －2b 〕＝0，∴a ＋3b ＝0或a －2b ＝0，解得a ＝－3b 或a ＝2B 、当a ＝－3b 时，原式＝233=+---bb b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3122=+--b b b b 、 【二】将求值变形代入求值、例3)11()11()11(,0cb a ac b b a c c b a +++++=++求的值、 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++ac b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵a ＋b ＋c ＝0，∴原式＝－3、例431=+xx ，的值求1242++x x x 、 分析：∵1)1(111222224-+=++=++x x x x x x x ， ∴可先求值式的倒数，再求求值式的值、 解：∵1)1(12224-+=++x x xx x 8132=-=，∴811242=++x x x 、 【三】将条件式和求值式分别变形后代入求值、例5yxy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________、 解法一：∵311=-yx ， ∴y －x ＝3xy ⇒x －y ＝－3xy 、 ∵原式＝xyy x xy y x 2)(3)(2--+- 53233)3(2=--+-=xy xy xy xy 、 解法二：将分子、分母同除以xy 〔≠0〕、 ∴原式＝xy x y 121232---+ 5332323)11(2)11(23=--⨯-=-----=yx y x 分析：∵填空题不需要写出解题过程，故可取满足等式的特别值求解、解法三：取x ＝21，y ＝－1， )31211(=+=-yx 、 ∴原式.532/52/3)1()1(21221)1(2)1(213212==---⨯⨯--⨯--⨯⨯+⨯=注意：特别值法是解填空题或选择题常用的解题方法或技巧、取特别值要注意满足条件等式，其原那么是要便于计算、例6a 2＋2a －1＝0，求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值、 解：原式＝42])2(1)2(2[2-+⋅+--+-a a a a a a a 42)2()1()2)(2(2-+⋅+--+-=a a a a a a a a 42)2(42-+⋅+-=a a a a a aa a a 21)2(12+=+= ∵0122=-+a a ，∴122=+a a ，∴原式＝1、注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入、练习1、231=-x x ，求分式221xx +的值、 2、01342=+++x x x ，先化简后求xx x -+-3932的值、 3、化简求值43326512222-+---+÷+--a a a a a a a a ，其中a ＝－3、 4、abc ＝1，那么111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________、 参考答案1、417； 2、0〔原式＝x ＋3〕； 3、)42(522--=-a 原式； 4、1〔取a ＝b ＝c ＝1〕、。
分式求值方法及技巧
分式求值技巧
2023年中考复习
设参数k法
方法介绍
当题目给出的条件出现连比形式，或者连等式时，经常采用增设参数k的方法，用含参数k的代数式表示分式中的各字母．在化简求值过程中，参数k最终都能消去，即可求出结果．
例1：
解答：
例2：
解答：
设定主元法
方法介绍
当题目中给出2个字母，却只给出1个方程，或者给出3个字母，却只给出2个方程时，我们无法具体求出每个字母的值．因此，可以设定其中一个字母作为主元，用含主元的代数式来表示其他字母，从而可以在分式化简中，达到只含有主元的目的，最终消去主元求值．
例1：
解答：
例2：
解答：
整体同除法
方法介绍
对于有些题目，我们可以从需要求值的分式入手，将分子分母同除分式中次数最高的项，以达到让分式中出现与已知条件相关的代数式，从而可以将已知条件作为整体，代入求值．
例1：
解答：
例2：
解答：
用乘法公式
方法介绍
对于一些本身，或者通分后含平方和类型的分式，我们可以联系以前所学的乘法公式，利用配方等方法，对分式进行变形，从而更快求解．
例1：
解答：
例2：
解答：
特殊值法
方法介绍
这是最后没有办法的办法了，适用于选择填空题．对于一些无法求出具体数值的字母，我们可以根据已知条件，取字母的一组特殊值，然后代入求解．当然，如果你不确定结果是否正确，可以多代几组特殊值检验．
例1：
解答：
例2：
解答：。
分式求值 技巧多(初中数学)
分式求值 技巧多分式求值是分式运算中较为常见的题型，若能灵活地运用各种解题方法，掌握一定的解题技巧，常常可简捷、快速获解.一、先化简分式，再将条件直接代入求值例1 先化简，再求值：(1 –11-a ) ÷ (aa a a -+-2244)，其中a = – 1. 分析：当分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，然后按照运算顺序进行化简，化成最简分式或整式形式，再把已知条件直接代入求值即可.解：原式 =12--a a ·2)2()1(--a a a =2-a a . 当a = – 1时，原式=211---=31. 二、将分式以已知条件为目标进行变形，然后代入求值例2 已知ab = – 1，a + b = 2，则式子ba ab += . 分析：所给的条件不容易化简，可考虑将所求的分式变形，然后将已知条件作为整体代入求值. 解：ba ab +=ab a b 22+=ab ab b a 2)(2-+. 将ab = – 1，a + b = 2整体代入，得原式=1)1(222--⨯-= – 6. 三、将所给条件转化后代入分式求值例3 若a + 3b = 0，则 (1 –b a b 2+) ÷ 222242ba b ab a -++= . 分析：不能求出a ，b 的值，可利用a + 3b = 0找出a ，b 之间的关系，然后代入化简后的式子求值.解：原式= (b a b b a b a 222+-++)×2)()2)(2(b a b a b a +-+= (b a b a 2++)×2)()2)(2(b a b a b a +-+=b a b a +-2. 由a + 3b = 0，得a = – 3b ，所以原式=b b b b +---323=b b 25--=25. 四、将所给条件和分式双方同时变形，再求值 例4已知y x 11-= 3，则yxy x y xy x ---+232的值是 . 分析：本题可对已知条件变形，再将所求式变形为更接近已知条件的式子.解：因为y x 11-= 3，所以xyx y -= 3，所以x – y = – 3xy .所以y xy x y xy x ---+232=xy y x xy y x --+-3)(2=xy xy xy xy --+-336=xy xy 43--=43. 故填43.。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧分式是一种特殊类型的数学表达式，它包含有一个或多个数（称为分子）除以另一个数（称为分母）。
分式可以代表有理数和算术运算，例如加法、减法、乘法和除法。
在解决分式求值问题时，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和得出结果。
1.化简分式首先，我们可以通过化简分式来简化计算过程。
化简分式的目的是找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以它，使分式更简单。
例如，考虑分式12/24，我们可以找到最大公约数为12，并将分子和分母都除以12，得到1/2、这样，原分式就被化简为最简分式。
2.找到分子和分母的公因式在一些分式中，分子和分母可能有一个或多个公因式。
我们可以通过找到它们来简化计算。
例如，考虑分式16/24，我们可以发现分子和分母都可以被2整除。
我们可以将16除以2得到8，24除以2得到12，从而得到化简后的分式8/12、然后，我们可以继续找到8和12的最大公约数，并将它们化简为最简分式。
3.交换分子和分母的位置有时候，分式的分子和分母的位置可以互换。
我们可以利用这个性质来简化计算。
例如，考虑分式1/4，我们可以将分子和分母互换，得到4/1、然后，我们可以将4除以1得到4，从而得到最简分式44.将分式转化为小数形式有时候，将分式转化为小数形式可以更便于计算。
我们可以通过将分子除以分母来得到分数的小数形式。
例如，考虑分式3/5，我们可以将3除以5得到0.6、这样，我们就得到了分式的小数形式。
5.使用乘法和除法的性质在进行分式求值时，我们可以利用乘法和除法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)*(4/5)，我们可以将分子和分母相乘得到8/15、同样的，如果我们考虑分式(2/3)/(4/5)，我们可以将分子乘以分母的倒数得到(2/3)*(5/4)，然后进行乘法操作得到10/12，最后化简为5/66.使用加法和减法的性质在进行分式求值时，我们还可以利用加法和减法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)+(4/5)，我们可以找到两个分数的公共分母，然后将分子相加得到一个新的分数作为结果。
分式求值的技巧点拨
分式求值的技巧点拨在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。
⑴、巧用配方法求值例1 已知2510x x -+=，求441x x+的值。
（2）已知0132=+-a a ，求142+a a 的值。
⑵、巧用因式分解法求值例2 先化简，再求值：22222()21m n mn n mn m mn n m n n -+--+--，其中m =n =。
说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。
因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。
⑶、巧用整体代入法求值 例3 （1）已知113a b -=，求2322a ab ba ab b+---的值。
（2）已知a 、b 均为正数,且a 1＋b 1=－b a +1.求(a b )2＋(ba)2的值.说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。
⑷、巧设参数（辅助未知数）求值 例4 （1）已知实数x 、y 满足x :y =1:2，则3x yx y-=+__________。
（2）已知02322=-+y xy x （x ≠0，y ≠0），求xyy x x y y x 22+--的值。
（3）已知的值求ba ba b ab a +-=-+,0622．⑸、巧用方程（或方程组）求值例5 （1）已知230a b c -+=，3260a b c --=，a 、b 、c 均不为0，求3332222423a b c a b b c ac-+-+的值。
（2）.已知a ＋b －c =0，2a －b +2c =0(c ≠0),求cb a cb a 235523+-+-的值.说明：将已知的等式看成方程（或方程组），先用其中的一个字母表示出其他的两个字母，并代入所求的分式进行运算是本题求解的关键。
(完整word版)分式求值中的一些解题技巧
分式求值中的一些解题技巧一、本章知识框架图建立本章知识框架图，形成本章知识体系：二、分式的基本知识点回顾1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个 ，并且 中含有字母，那么代数式 叫做分式。
注意分式中字母代表什么数或者式子是有条件的:.0 .⎧⎨⎩分式有意义的条件:分式为的条件：2、分式的基本性质：分式的 都乘以（或除以） . 式子：MB A B A B M A B A ÷÷=⋅⋅=)(,) (（其中，M 是 ） 3、分式的运算 Ⅰ、乘法 ：分式乘分式， 做积的分子， 做积的分母. Ⅱ、除法：分式除以分式，把分式的 颠倒位置后再与被除式 .Ⅲ、加减：⎩⎨⎧. , . , 后先异分母的分式相加减：分子分母同分母的分式相加减：路曼曼其修远兮，吾将上下而求索专题 典例引路—分式运算的常用技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。
1、整体例1 计算(1)242++-a a （2）1132+--+x x x x观察归纳丰富的问题情景分式的概念分式方程的概念分式方程的解法 分式方程的应用分式的基本性质通分约分分式的运算分式的乘除法分式的加减法 分式的混合运算 分式的化简求值例2 .3353,511)1(的值求若yxy x yxy x y x ---+=-.111,1)2(的值求已知++++++++=c ac cb bc b a ab a abc.3515x 5,411x )3(224242的值求如果xx x x +-=++整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
小专题(15) 条件分式求值攻略
小专题(十五) 条件分式求值攻略类型1 归一代入法将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入，使分子、分母化归为同一个只含相同字母积的分式，便可约分求值．1．已知1a ＋1b ＝3，求5a ＋7ab ＋5ba －6ab ＋b 的值．解：由已知条件1a ＋1b ＝3，得a ＋b ＝3ab.对待求式进行变形，得5a ＋7ab ＋5b a －6ab ＋b ＝5（a ＋b ）＋7aba ＋b －6ab .将a ＋b 视为一个整体，代入得5a ＋7ab ＋5b a －6ab ＋b ＝5×3ab＋7ab3ab －6ab ＝22ab－3ab ＝－223.类型2 整体代入法将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值．2．已知a 2－a ＋1＝2，求2a 2－a ＋a －a 2的值．解：由条件式得a 2－a ＝1，故原式＝2a 2－a －(a 2－a)＝21－1＝1.3．已知x －y ＝5，求y －3xy －x 的值．解：显然xy≠0.将待求式的分子、分母同时除以xy ，得3x ＋5xy －3y y －3xy －x ＝－3（1x －1y ）＋51x －1y －3＝－3×5＋55－3＝－5.4．已知a ＋b ＋c ＝0，求c(1a ＋1b )＋b(1c ＋1a )＋a(1b ＋1c )的值．解：原式＝c(1a ＋1b ＋1c )－1＋b(1c ＋1a ＋1b )－1＋a(1b ＋1c ＋1a )－1＝(1a ＋1b ＋1c )(c ＋b ＋a)－3.∵a ＋b ＋c ＝0，∴原式＝－3.类型3 设辅助元代入法在已知条件中有连比或等比时，一般可设参数k ，往往立即可解．5．已知a 2＝b 3＝c 4，求3a －2b ＋5ca ＋b ＋c 的值．解：令a 2＝b 3＝c 4＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k.∴原式＝3×2k－2×3k＋5×4k2k ＋3k ＋4k ＝20k 9k ＝209.6．已知3＝4＝7≠0，求y 的值．解：设x 3＝y 4＝z 7＝k≠0，则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝7k.∴原式＝3×3k＋4k ＋7k 4k ＝20k 4k ＝5.类型4 构造互倒式代入法构造x 2＋1x 2＝(x±1x )2∓2迅速求解，收到事半功倍之效．7．已知m 2＋1m 2＝4，求m ＋1m 和m －1m 的值．解：在m 2＋1m 2＝4的两边都加上2，得(m ＋1m )2＝6，故m ＋1m ＝± 6.同理(两边都减2)，可得m －1m ＝± 2.8．若x ＋1x ＝3，求x 2＋1x 2的值．解：x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2＝32－2＝7.类型5 主元法若两个方程有三个未知数，故将其中两个看作未知数，剩下的第三个看作常数，联立解方程组，思路清晰、解法简洁．9．已知3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，求x 2＋y 2＋z 2xy ＋yz ＋2xz的值． 解：以x 、y 为主元，解方程组⎩⎨⎧3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z. ∴原式＝（3z ）2＋（2z ）2＋z 23z ·2z ＋2z·z＋2×3z·z ＝14z 214z 2＝1.10．若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值． 解：将已知条件看作关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ，解得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z. 故原式＝45z 2＋8z 2－z 218z 2－12z 2－10z 2＝－52z 24z 2 ＝－13.类型6 倒数法已知条件和待求式同时取倒数后，再逆用分式加减法法则对分式进行拆分，然后将三个已知式相加，这样解非常简捷．11．已知x ＋1x ＝3，求x 2x 4＋x 2＋1的值．解：∵x 4＋x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－1＝32－1＝8，∴x 2x 4＋x 2＋1＝18.12．已知三个数x 、y 、z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43.求xyzxy ＋yz ＋zx 的值．解：先将三个已知条件中的分子化为相同，得到xyzzx ＋yz ＝－2，xyzxy ＋zx ＝43，xyzxy ＋yz ＝－43.取倒数，有zx ＋yz xyz ＝－12，xy ＋zx xyz ＝34，xy ＋yz xyz ＝－34.将以上三个式子相加，得xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14.两边再同时取倒数，得xyzxy ＋yz ＋zx ＝－4.。
初中数学条件求值问题的解法学法指导
初中数学条件求值问题的解法李国靖满足一定条件的求值问题，是常见题型，也是中考和数学竞赛中的一个亮点；由于它涉及知识广泛，解法灵活多变，使不少学生感到困惑不解。
尽管求值问题在具体表现形式上“千姿百态”，但若认真分析一下，我们就会发现，条件求值问题的解法主要有三种类型，下面举例说明其变形求值的方法。
1. 条件式→求值式根据求值式的结构把条件式恒等变形后再代入求值，如：例1. 已知37315x y z ++=.，410420x y z ++=.，求x y z ++的值。
分析：可先将y 看作常数。
解：由方程组37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩.. 解得 x y z y =-=⎧⎨⎩10532. 故x y z y y y ++=-++=10532105..例2. 设x ，y 都是实数，且24351224533x x y x x+-+-++-= 求84352x y x y +-的值。
分析：注意到根号内两个数互为相反数。
解：因为x ，y 都是实数24530x x +-≥且24350x x +-≥ 由此可得x y =-=-21， 故 原式＝8×(－2)3＋(－1)5－4×(－2)2×(－1)＝－49例3. 已知x =+31，求x x x2272-+的值。
解：由已知，得x -=13两边平方，得x x 2213-+=所以 x x 2279-+=故 原式=+=+()3193132 例4. 若x y z 347==，求3x y z y ++的值。
解：设x y z k 347===，则x k y k z k ===347，，故 原式=++=94745k k k k例 5. 设实数s ，t 分别满足1999102s s ++=，t t 299190++=，且st ≠1，求st t s ++41的值。
分析：注意到二次方程系数的顺序倒置。
解：由1999102s s ++=得 ()()19911902s s ++=因为 t s ≠1，显然t ，1s 是二次方程x x 299190++=的两不等实根，所以 t s t s +=-=199119，·故 原式=++t s t s 141·=-+=-9941923×2. 求值式→条件式把待求的式子依照条件式的特点进行恒等变换，然后代入求解，如：例6. 已知213x y -=，xy =2，求24334x y x y -的值。
浅析有条件的分式化简与求值问题
浅析有条件的分式化简与求值问题342800 江西宁都三中 李雪樱 解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标,又要抓住条件;既要根据目标变换条件,又要依据条件来调整目标,常常用到如下解题技巧.1 引入参数法此法的运用特点是当题目所给条件为连比等式的形式时,采用引入参数法进行转换1例1 已知a+b2=b-2c3=3c-a4,求5a+6b-7c8a+9b的值.分析 审视条件和待求式,设连比值为k,则a,b,c 分别能用参数k的倍数来表示,问题可迎刃而解.解 设a+b2=b-2c3=3c-a4=k,则a+b=2k,b-2c=3k,3c-a=4k,三式联立解方程组,得a=-115k,b=21 5k,c=35k.所以,5a+6b-7c8a+9b=5×(-11k5)+6×21k5-7×3k58×(-11k5)+9×21k5=50101.点评 通过引入参数k,将条件转化为方程组,然后用k分别表示a,b,c,代入分式中求解.通过引入参数,实现将多元(a,b,c)转变为一元(k)来求解,既有条不紊又方便快捷.例2 已知abc≠0,且a+bc=b+ca=c+ab,求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值.分析 审视条件和待求式,设连比值为k,则待求式等于k3,若能求出k,问题获解.解 设a+bc=b+ca=c+ab=k,则a+b=kc,b+c=ka,c+a=kb,三式相加得2(a+b+c)=k(a+b+c),即(a+b+c)(k-2)=0,所以k=2或a+b+c=01当k=2时,(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c2a2babc=8;由a+b+c=0,得出k=a+bc=-1.∵a+bc=k,∴k=-11当k=-1时,(a+b)(b+c)(c+a)abc=(-c)(-a)(-b)abc=-1. 所以∠H MD=∠H MP+∠PMD=∠QBP+∠MBD +∠ACB=∠ABC+∠ACB=180°-∠A,易证∠QO P=180°-∠A,所以∠QO P=∠HMD1又因为△COP∽△BOQ,所以CPBQ =O POQ=MDH M1所以△QO P∽△HMD,由此可得∠OQ P=∠MH D,因为OQ⊥A B,∠OQ P+∠A Q P=90°,由H M∥BQ 得到∠A Q P=∠MHQ,所以∠MHD+∠MHQ=90°,即DH⊥PQ.从而问题得证.这种证明的方法是利用三角形的中位线和相似变换,简洁明了,方法更具有创新性,思维也更周密通过对问题证法的探求,我们不但发现了新的证法,而且对题目有了更深刻、更本质的认识和把握.不仅沟通了相似变换、全等变换、三角形、四边形等知识之间的联系,更可贵的是我们形成了解决中点类问题的方法和策略,体悟了运用数学方法解决规律性探索问题的策略,可谓一举多得1笔者想借用罗增儒教授的话结束本文:对“解题过程的反思”继续把解题活动作为认识的对象,不仅关注如何获得解,而且寄希望于对“解”进一步分析,增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质,学会“数学地思维”,重点在学会怎样解题.参考文献罗增儒.中学数学解题的理论与实际[M].广西:广西教育出版社,2008,9(收稿日期3)22 (2009年第6期初中版) 解题研究.:2009040 点评 本题引进参数k表示比值,一方面使已知条件便于使用,另一方面使待求式简化,一箭双雕.2 折项相消法此法的运用特点是题目中待化简式的全部或部分分式中,其分子或分母可以通过分解因式分拆为两项,使待化简式产生容易相抵消的某些项,从而简化求解过程.例3 化简分式2a 2+3a+2a+1-a2-a-5a+2-3a2-4a-5a-2+2a2-8a+5a-31分析 直接通分,则分子中a的次数最高可达到5次,运算将十分繁杂,显然不可取.审视各分式的结构,分子a的最高次数是分母次数的2倍,可将每一个分式拆分为两项,一项含其分母中的因式,一项为常数,以简化运算.解 原式=(2a+1)(a+1)+1a+1-(a-3)(a+2)+1a+2-(3a+2)(a-2)-1a-2+2(a-1)(a-3)-1a-3=[(2a+1)+1a+1]-[(a-3)+1a+2]-[(3a+2)-1a-2]+[2(a-1)-1a-3]=1a+1-1a+2+1a-2-1a-3=1(a+1)(a+2)+-1(a-2)(a-3)=-8a+4(a+1)(a+2)(a-2)(a-3).点评 拆分时要依据分母和分子中二次项的系数和一次项的系数进行;消减有关项后,巧用分组(两式相减且分母相差1)进而再通分,通过这种分步通分来简化运算.例4 化简1(x+2005)(x+2006)+1(x+2006)(x+2007)+1(x+2007)(x+2008)1分析 审视需要化简的式子结构,每个分式具有(+)的特征,而(+)=+,问题则迎刃而解解 原式=(1x+2005-1x+2006)+(1x+2006-1x+2007)+(1x+2007-1x+2008)=1x+2005-1x+2008=3(x+2005)(x+2008).点评 利用每个分式具有同一结构特征,通过裂项(拆项),使待化简式中出现若干对“相反数”,相消某些项从而得解.这种拆项相消法是分式化简中的常用技巧.3 取倒数变形法例5 化简b-c(a-b)(a-c)+c-a(b-c)(b-a)+a-b(c-a)(c-b)-2a-b-2c-a-2b-c1分析 审视需要化简的式子的结构特征,直接通分虽然也可行,但运算量比较大.利用a-b,b-c,c-a,对分子进行添项减项的恒等变形,使分式进行简化拆分相消,进而获解.解 原式=(a-c)-(a-b)(a-b)(a-c)+(b-a)-(b-c)(b-c)(b-a)+(c-b)-(c-a)(c-a)(c-b)-2a-b-2c-a-2b-c=1a-b-1a-c+1b-c-1b-a+1c-a-1c-b-2a-b-2c-a-2b-c=01点评 根据问题的特点,对分子进行某种变形,旨在优化解题过程.4 整体代入法此法的运用特点是所给的条件式的左端,或者待求式,取倒数后可变为几项之和,使条件与待求容易沟通.例6 已知aba+b=13,bcb+c=14,aca+c=15,求abcab+bc+ca的值.分析 审查条件式的结构和待求式的结构,取倒数后由分式变为和式,通过方程组的形式可求得1a+1b+1的值,再取倒数则可得待求式的值.若瞄准目标(待求式),设法将++用表示出,考察条件,不难实现32解题研究 (2009年第6期初中版)1n n11n n11n-1n1.cab bc c a abc .解 由已知条件取倒数,得1a +1b =3,1b +1c =4,1a +1c=5,三式相加得1a+1b +1c=6.所以abc ab +bc +ca =11a +1b +1c=16.点评 瞄准目标,抓住条件,对待求式变形和对条件变形,加以灵活运用,是顺畅解题的常用策略.例7 已知x x 2+x +1=a,a ≠0且a ≠12,求x2x 4+x 2+1的值.分析 若由条件式求出x,代入待求式求值,显然繁琐.若将条件式取倒数,则可以用x +1x这个整体来关联条件与待求,化难为易.解法1 由x x 2+x +1=a 及a ≠0,得x 2+x +1x =1a ,即x +1x =1a-1,所以x 4+x 2+1x 2=x 2+1x2+1=(x +1x )2-1=(1a-1)2-1=1-2aa2.又a ≠12,所以x 2x 4+x 2+1=a 21-2a(a ≠12).若注意到x 4+x 2+1=(x 2+x +1)(x 2-x +1),也可以形成另一种巧妙解法.解法2 由xx 2+x +1=a 及a ≠0,得x 2+x +1=x a ,x 2-x +1=x (1-2a )a ,所以当a ≠12时,x 2x 4+x 2+1=a21-2a.点评 观察是解题的门户,仔细观察,善于联想,在条件与结论之间寻找最便捷的桥梁,是学习数学的理想追求.5 整体运用法此法的运用特点是待求式通过变形可用某个“整体”来表示,而所给条件通过变形又可以求出这个“整体”例 若,都是正实数,且+=,求(ba)3+(ab)3的值.分析 由待求式的特征,联想到公式a 3+b 3=(a +b)3-3ab (a +b),即可知(ba )3+(a b)3=(b a +a b)3-3ba ab (b a+a b ),若能求出b a +a b这个整体,原问题即可获解.由条件可得b a -a b =1,进而b a +ab可求.解 因为1a -1b -1a +b=0,所以1a -1b =1a +b ,a +b a -a +b b =1,即b a -a b =1,所以(b a +a b)2=(b a -ab)2+4=5,即b a +ab=5,所以(b a )3+(a b)3=(b a +a b)3-3ba ab (b a +a b)=(5)3-35=25.点评 解答数学问题,应先紧扣待求问题寻觅解题途径,然后对照条件审视该途径是否通畅,若不通畅则继续寻觅,直到条件与寻觅的途径能够有效沟通.例9 如果a 是方程x 2-3x +1=0的根,试求2a 5-5a 4+2a 3-8a2a 2+1的值.分析 由条件得a 2-3a +1=0,显然求出a 值(2个)代入待求式求值十分繁琐,此路不可取.关注待求式,分母可以化为3a,分子则以整体(a 2-3a +1)来表示它,从而降次简化分子,便可简化待求式.解 由题意a 2-3a +1=0,用长除法,得到:2a 5-5a 4+2a 3-8a2=(a 2-3a +1)(2a 3+a 2+3a )-3a,所以,原式=(a 2-3a +1)(2a 3+a 2+3a)-3a3a=-3a3a=-1.点评 在解题时,细察题目的外形,把握问题的特征,展开联想,创设整体常常会使解题思路豁然开朗.运用整体方法的具体操作中常常有:整体构造、整体观察、整体换元、整体变形、整体代入等灵活而闪耀智慧光芒的变形是学习数学所要追求的理想境界之一(收稿日期3)42 (2009年第6期初中版) 解题研究.8a b 1a -1b -1a b0..:2009027。
条件分式求值技巧例析
条件分式求值技巧例析江西 许生友根据已知条件求分式的值，是有关分式的重要题型，处理这类问题不能拘泥于直接代入的呆板解题模式，应根据分式的结构特点，采用灵活多变的解题技巧，才能使问题化难为易、化繁为简，达到事半功倍之效．下面举例说明．一、整体代入例1 若11x y -=5，求3533x xy y x xy y+---的值． 分析：将11x y -=5变形，得x -y=-5xy ，再将原式变形为3()5()3x y xy x y xy -+--，把x -y=-5xy 代入，即可求出其值． 解：因为11x y-=5，所以x -y=-5xy. 所以原式=3()5()3x y xy x y xy -+--=3(5)553xy xy xy xy ⋅-+--=108xy xy --=5.4 友情提示：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，可避免由局部运算所带来的麻烦．二、参数法例2 若234a b c ==，则325a b c a b c-+++=__________. 分析：令234a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ，代入分式可求得其值. 解：设234a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， 因此原式=322354234k k k k k k ⨯-⨯+⨯++=2020.99k k = 友情提示：如果已知条件中出现连比的形式，通过设其比值为k ，可以建立分子和分母的关系式，然后经过适当的变形求出分式的值.三、倒数法例3 已知a+1a=5．则2421aa a++=__________.分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将2421aa a++的分子、分母颠倒过来，即求4221a aa++=a2+1+21a的值，再进一步求原式的值就简单很多．解：因为a+1a=5，所以（a+1a）2=25，a2+21a=23.所以4221a aa++=a2+1+21a=24，所以2421aa a++=1.24友情提示：利用x和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些分式求值问题思路自然，解题过程简洁．四、主元法例4 已知xyz≠0，且3x－4y－z=0，2x＋y－8z=0，求2222x y zxy yz zx++++的值.解：将z看作已知数，把3x－4y－z=0与2x＋y－8z=0联立，得3x－4y－z=0，2x＋y－8z=0.解得x=3z，y=2z.所以，原式=222(3)(2)(3)(2)(2)2(3)z z zz z z z z z++⋅+⋅+⋅=22141.14zz=友情提示：当已知条件等式中含有多元（未知数）时（一般三元），可视其中两个为主元，另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化．五、特殊值法例5 已知abc=1，则1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ca c ++=_________. 分析：由已知条件无法求出a 、b 、c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值．解：令a=1，b=1，c=1，则原式=11111⨯+++11111⨯+++11111⨯++=13+13+13=1. 友情提示：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．。
分式求值的几种常用方法
分式求值的几种常用方法分式求值是指解决一个分式的数值的过程。
分式由分子和分母组成，分数线表示两者的除法关系。
求解分式的数值可以使用几种常用的方法。
下面将介绍一些常用的方法。
1.分母与分子同乘（常用于消除分母中的变量）这种方法适用于分母中有变量的情况，为了简化计算，可以通过同乘一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同乘(a+b)，得到(a+b)*(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式，可以更容易地求解。
2.分子与分母同除（常用于消除分子中的变量）这种方法适用于分子中有变量的情况，同样为了简化计算，可以通过同除一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同除(a+b)，得到(a+b)/(a+b)*(a+b)/(a-b)。
同样地，原先的分式变为了一个更简单的形式。
3.分解分子或分母（常用于将复杂的分式化简为简单的分式）当分子或分母中出现更复杂的表达式时，可以将其进行分解，将分式化简为简单的分式。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子展开为(a+b)=a+b，将分母展开为(a-b)=a-b，然后将其带入分式，得到(a+b)/(a-b)=(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
4.改变分割点（常用于化简复杂的分式）有时，将分式中的表达式写成更简单的形式，可以更好地进行计算。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将(a+b)分别分成a和b的和，将(a-b)分别分成a和b的差，即得到a/(a-b)+b/(a-b)。
这样，原先的分式变为了两个简单分式相加的形式，可以更容易地求解。
5.用分母的乘法倒数取代除法（常用于取消除法运算）当分式中存在除法运算时，可以用乘以分母的倒数来替代除法。
例如，对于分式1/(a+b)，可以将其写为1*(a+b)^（-1），然后使用指数的乘法法则将指数变为负数，得到(a+b)^-1、这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
条件式分式化简求值
分 式给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值. 而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略.解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件;既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧∶1. 恰当引入参数;2. 取倒数或利用倒数关系;3. 拆项变形或拆分变形;4. 整体代入;5. 利用比例性质等.【例1】（1） 若a b =dc =ad =da ，则a−b+c−da+b−c+d =（2）如果x 2x 4+x 2+1=14 ，那么5x 4−15x 2+53x 2=【趁热打铁】 1、a+b 2=b−2c 3=3c−a 4，求5a+6b−7c 8a+9b的值。
（a ≠0）知识回顾例题讲解2、若abc≠0，且a+bc =b+ca=a+cb，则(a+b)(b+c)(c+a)abc的值是多少？3、已知xyx+y =1，yzy+z=2 ，zxz+x=3 ，求x的值是多少【例2】已知x -1x =3 ，求x10+x8+x2+1x10+x6+x4+1的值【趁热打铁】1、已知a2+4a+1=0，且a4+ma2+13a2+ma2+3a=5，求m的值2、已知x2−5x−1991=0，则代数式(x−2)4+(x−1)2−1(x−1)(x−2)的值【例3】已知a+1b = b+1c=c+1d=d+1a=x ，试求x的值【趁热打铁】1、已知a+b+c=0 ，求a22a2+bc +b22b2+ac+c22c2+ab的值2、已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3 ，则1ab+c−1+1bc+a−1+1ca+b−1的值【例4】若x取整数，则是分式6x+32x−1的值为整数的所有x的值【趁热打铁】1、若7n+15n−3为整数，则整数n可能的值有哪些2、若x取整数，且2x+3 +23−x+2x+18x2−9为整数，则所有符合条件x的值的和是多少【例5】已知ab−c +bc−a+ca−b=0 ，求证：a(b−c)2+b(c−a)2+c(a−b)2=0【趁热打铁】1、设a、b、c满足1a +1b+1c=1a+b+c，求证当n为奇数时，1a n+b n+c n=1a n+1b n+1c n2、已知x+1y =y+1z=z+1x，其中x、y、z互不相等，求证x2y2z2=11、已知1a +12b=3 ，则代数式2a−5ab+4b4ab−3a−6b的值为2、已知实数a满足a2+1=3a，则a2+1a2的值为3、已知abc≠0，且ab =bc=ca,则3a+2b+ca−2b−3c=4、（1）若关于x的方程2x+ax−2=-1的解是正数，则实数a的取值范围是（2）若关于x的方程x−ax−1-3x=1 无解，则a=5、已知abc≠0，且a+b+c=0，则a(1b +1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)的值为6、已知3x -2y=3，则2x−3y−xy7xy+9y−6x的值为7、若22y2+3y+7=14，则14y2+6y−1的值为8、已知14m2+14n2=n-m-2 ，则1m-1n的值为9、（1）已知关于x的分式方程x+kx+1-kx−1=1 的解为负数，求k的取值范围（2）当a为何值时，关于x的分式方程1x−1-a2−x=2(a+1)x2−3x+2总无解基础夯实10、当ax=by=cz=1,求11+a4+11+b4+ 11+c4+ 11+x4+ 11+y4+ 11+z4的值11、若x-y-2=0，2y2+y-4=0，则xy- y=12、若y+z−xx+y+z =z+x−yy+z−x=x+y−zz+x−y=p ，则p+p2+p3=13、方程2x+34+42x+3=4−x3+ 34−x的解为14、已知实数p，q，r满足p+q+r=26，1p + 1q+ 1r=31 ,则qp+ qr+ rp+ qr+ rq+ qp=15、关于x的方程x+2x =c+ 2c的两个解是x1=c，x2=2c，则关于x的方程x+2x−1=a+ 2a−1的两个解是16、已知a+b=2，(1−a)2b + (1−b)2a=4，则ab的值为17、已知实数a、b、c满足2a+13b+3c=90 ，3a+9b+c=72，则3b+ca+2b=18、若互不相等的实数a、b、c满足a+2b+c = c+ 2c+a及b+2c+a=a+ 2a+b则（a+b）（b+c）（c+a）的值为19、已知实数a、b、c满足abc=-1，a+b+c=4，aa2−3a−1+ bb2−3b−1+cc−3c−1= 49，求a2+b2+c2能力拓展20、已知2a2+a-4=0 ,a-b=2 ,求1a+1+ 2b的值21.已知x2x2+9x+2=13，求x22x4+x2+2的值。
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条件分式求值的方法与
技巧
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
学科: 奥数
教学内容：条件分式求值的方法与技巧
求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面：
一、将条件式变形后代入求值
例1已知
432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设4
32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ．
∴ 原式＝5
45443224322==+-⨯-⨯+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法．
例2已知的值求b
a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0，
∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0，
解得a ＝－3b 或a ＝2b ．
当a ＝－3b 时，原式＝233=+---b
b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3
122=+--b b b b ． 二、将求值变形代入求值．
例3已知)11()11()11(,0c
b a a
c b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a
c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c
b a ∵ a ＋b ＋
c ＝0，
∴ 原式＝－3．
例4已知31=+x x ，的值求1
242++x x x ． 分析：∵ 1)1(111222224-+=++=++x x x
x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值．
解：∵ 1)1(122
24-+=++x x x x x 8132=-=，
∴ 8
11242=++x x x ． 三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．
例5 已知y
xy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 解法一：∵ 311=-y
x ， ∴ y －x ＝3xy ⇒x －y ＝－3xy ．
∵ 原式＝xy
y x xy y x 2)(3)(2--+- 5
3233)3(2=--+-=xy xy xy xy ． 解法二：将分子、分母同除以xy （≠0）． ∴原式＝
x y x y 121232---+ 分析：∵ 填空题不需要写出解题过程，故可取满足已知等式的特殊值求解．
解法三：取x ＝2
1，y ＝－1， )31211(=+=-y
x ． ∴原式
注意：特殊值法是解填空题或选择题常用的解题方法或技巧．取特殊值要注意满足条件等式，其原则是要便于计算．
例6 已知a 2＋2a －1＝0，求分式24)44122(
22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 解：原式＝4
2])2(1)2(2[2-+⋅+--+-a a a a a a a ∵ 0122=-+a a ，
∴ 122=+a a ，
∴ 原式＝1．
注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．
1．已知231=-x x ，求分式221x
x +的值． 2．已知01342=+++x x x ，先化简后求x
x x -+-3932的值． 3．化简求值4
3326512222-+---+÷+--a a a a a a a a ，其中a ＝－3． 4．已知abc ＝1，则1
11++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________． 参考答案
1．4
17； 2．0（原式＝x ＋3）；
3．)4
2(522--=-a 原式； 4．1（取a ＝b ＝c ＝1）．。