中考数学压轴题专题十动态几何问题

中考数学压轴题专题十动态几何问题

试题特点

用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变” 、“一般” 与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段

（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．

方式趋势

动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．

热点解析

一、点的运动

4 【题1】（2011 盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7 与正比例函数y＝x 的图象3

交于点A ，且与x 轴交于点B．

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC⊥y轴于点C，过点B 作直线l∥y 轴，动点P 从点O

出发，以每秒1 个单位长的速度，沿O－C－A 的路线向点A 运动；同时直线l

从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R，交线

段BA 或线段AO 于点Q．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运

动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A 、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请说明

理由．

求t 的值；若不存在，

4

【思路】（1）联立方程y＝－x＋7 和y＝3x 即可求出点A 的坐标，令－x＋7＝0 即

3

可得点B 的坐标．

（2）①只要把三角形的面积用t 表示，求出即可．应注意分P 在OC 上运动和P 在CA

上运动两种情况．

（D 只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t 的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB 相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO 相交）时AP＝AQ ，AP ＝PQ，AQ ＝PQ 的条件．

【失分点】以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．

【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．

【牛刀小试】1．(2010 湖北咸宁)如图6，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC，∠ DAB ＝90°，AD＝

2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C－D－A 向点A 运动，当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线

∠∥ AD ，与线段CD 的交点为E，与折线A－C －B 的交点为Q．点M 运动的时间为t(秒)．

(1)当t＝时，求线段QM 的长．

(2)当0

果以C，P，Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值．

CQ

(3)当t>2 时，连接PQ 交线段AC 于

点R，请探究是否为定值．若是，试求这

RQ

个定值；若不是，请说明理由．

2．(2010 湖南娄底)如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M ，N分别在边AD，BC 上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．

(1)求梯形ABCD 的面积．

(2)探究一：四边形MNFE 的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．

(3)探究二：四边形MNFF 能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．

3．(2010 广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4 的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M，N 以每秒1个单位的速度分别从点A ，C同时出发，其中点M沿AO 向终点0 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了ts 时，过点N 作NP⊥ BC ，交OB 于点P，连接MP ．

(1)点B 的坐标为__________ ；用含￡的式子表示点P 的坐标为 _________________ ．

(2)记△ OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0

(3)试探究：当S 有最大值时，在y 轴上

是否存在点T，使直线MT 把△ ONC

分割成1

三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ ONC面积的1？若存在，求出点T 的坐标；

3 若不存在，请说明理由．

二、线的运动

【题2】 (2010 云南昭通)如图，已知直线l 的解析式为y＝－x＋6，它与x 轴，y 轴分别相交于A ，B两点．平行于直线l 的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n∥ l．直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P

为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S．当直线n 与直线l 重合时，运动结束．

(1)求A ，B 两点的坐标．

(2)求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．

(3)直线n 在运动过程中，

①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？

1

②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝S梯形ABCD ？若存在，求出t 值；若不存2

在，说明理由。

思路】(2)用勾股定理求出CD 的长(用t表示)，即可求出S与t的函数关系式；

(3)半圆面积

1

S＝S 梯形ABCD ，可表示为关于

2

t 的方程，是否存在t 值，即方程是否有解．