函数的性质反函数·函数的单调性

例1下列函数中，属于增函数的是 [ ]

解 D

例2若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ]

A．上半平

面 B．下半平面

C．左半平

面 D．右半平面

解 C 因为k＜0，b∈R．

例3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是 [ ]

A．a≥

3

B．a≤-3

C．a≤

5

D．a=-3

解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a≤-3．

例4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)

[ ]

A．在区间(-1，0)内是减函数

B．在区间(0，1)内是减函数

C．在区间(-2，0)内是增函数

D．在区间(0，2)内是增函数

解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数．

+bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)．

解 [-2，1]

已知函数的定义域是-5≤x≤1．设

u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9

可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即

注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域．

例7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同

函数；y=[f(x)]2是单调______函数．

解递减；递减；递增．

例8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数；

解 (1)任取x1＜x2＜0，则

所以 f(x1)＞f(x2)．

故f(x)在(-∞，0)上递减．

(2)任取0＜x1＜x2，则

当x2＞x1＞1时，f(x2)＞f(x1)；当1＞x2＞x1＞0时，f(x2)＜f(x1)．

所以函数在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．

例9已知f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个．

解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则

所以f(x1)＞f(x2)．所以y=f(x)是R上的减函数．

假设使f(x)=0成立的x的值有两个，设为x1，x2，且x1＜x2，则

f(x1)=f(x2)=0

但因f(x)为R上的减数，故有f(x1)＞f(x2)．矛盾．所以使f(x)=0成立的x的值至多有一个．

例10定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．

解当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．

设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．

因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以

f(2a-x1)＜f(2a-x2)

注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．

同理f(2a-x2)=f(x2)．

所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．

例11设f(x)是定义在R+上的递增函数，且

f(xy)=f(x)+f(y)

(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．

(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是

由题设有