函数的性质反函数·函数的单调性
函数的概念与性质、反函数、复合函数
函数
一、区间及领域 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、初等函数 五、常用经济函数
函数(第一章)
1. 理解函数和概念，了解反函数和复合函 数的概念。 2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和 周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图 形。 3. 理解初等函数的概念，会建立简单实际 问题中的函数关系式。
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数 x D, 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。 否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
一、区间与邻域
1.区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
解析数学中的函数与反函数关系
解析数学中的函数与反函数关系函数是数学中的重要概念，它描述了自变量与因变量之间的关系。
而反函数则是函数的逆运算，用于确定原始函数的自变量。
在本文中，我们将详细解析数学中的函数与反函数关系。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用公式、图表或描述性语言来表示。
一个函数可以由以下三个要素确定：1. 定义域(Domain)：函数能够接受的自变量的取值范围。
2. 值域(Range)：函数可以输出的因变量的取值范围。
3. 规则(Rule)：描述自变量与因变量之间关系的数学表达式。
在函数中，每个自变量只能对应一个因变量。
这确保了函数的唯一性。
另外，函数还具有以下性质：1. 单调性：函数可以是递增的（当自变量增大时，因变量也增大）或递减的（当自变量增大时，因变量减小）。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x)=-f(x)）或偶函数（满足f(-x)=f(x)）。
3. 定义域与值域：函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或其他特定集合。
4. 周期性：函数可以是周期函数，即f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。
二、反函数的定义与性质反函数是函数的逆运算，用于确定原始函数的自变量。
如果函数f(x)的定义域为D，值域为R，则反函数可以表示为f^(-1)(x)，其定义域为R，值域为D。
反函数的性质如下：1. 反函数与原始函数的关系：如果f(x)与g(x)是反函数，那么f(g(x))=x，g(f(x))=x。
2. 图像关于y=x的对称性：函数与反函数的图像关于y=x对称，即它们的图像沿y=x对称折叠。
3. 度量关系：如果函数f(x)在x=a处连续且具有可导性，反函数f^(-1)(x)在x=b处也连续且可导，而且它们的导数互为倒数。
三、函数与反函数的实际应用函数与反函数在数学中具有广泛的应用，尤其是在代数、几何和物理等领域。
1. 代数：函数与反函数的应用在方程求解中尤为重要。
数学中的函数与反函数
数学中的函数与反函数在数学中，函数是一种非常基础且重要的概念。
函数可以理解为一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数在解决实际问题、描述数学规律以及推导数学定理等方面起到了至关重要的作用。
在函数的概念之上，还有一个与之相关且同样重要的概念，那就是反函数。
一、函数的定义与性质函数可以简单地定义为，对于一个自变量集合中的每一个元素，函数都能唯一确定一个对应的因变量集合中的元素。
符号上，我们可以用f(x)表示函数，其中x表示自变量，f(x)表示函数对应的因变量。
函数可以用图像、表格或公式等方式进行表示。
函数具有以下一些基本的性质：1. 定义域：函数的自变量的取值范围称为定义域。
函数在定义域内有定义，而在定义域外则没有定义。
2. 值域：函数的因变量的取值范围称为值域。
值域是函数图像在因变量轴上的投影。
3. 单调性：函数可以是递增的，也可以是递减的，甚至可以是常数函数。
对于递增函数，当自变量增加时，对应的因变量也随之增加；对于递减函数，则相反。
4. 奇偶性：函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，即对于任意x，有f(-x) = -f(x)；偶函数满足f(x) = f(-x)，即对于任意x，有f(x) = f(-x)。
二、反函数的定义与性质反函数是函数的一种特殊形式，它与原函数的定义域和值域互换，即将原函数的自变量与因变量进行互换，从而得到一个新的函数。
如果函数f的定义域为X，值域为Y，那么它的反函数g的定义域为Y，值域为X，记作g(y) = x。
反函数具有以下一些基本的性质：1. 反函数的存在性：只有满足一对一的条件的函数才存在反函数。
一对一指的是对于不同的自变量，函数能唯一确定对应的因变量。
2. 反函数与原函数的关系：若函数f的反函数为g，那么对于f(x) = y，则有g(y) = x。
也就是说，若x在函数f中有对应的y值，那么y在反函数g中有对应的x值。
【高1数学】14-反函数
反函数基础概念 一、基础知识概述本周主要学习了反函数，了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，掌握并会灵活应用互为反函数的函数图象间的关系．二、重难点知识归纳1、反函数的概念： （1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称，即点),(b a 在)(x f y =的图象上，则点),(a b 必在)(1x f y -=图象上．（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．2、反函数的性质： （1）)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)(x f y =也是)(1x f y -=的反函数，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数．（2）函数)(x f y =存在反函数的充要条件是函数)(x f y =是定义域到值域的一一映射．（3）函数)(x f y =和反函数)(1x fy -=的定义域，值域互换，即：函数)(x f y = 函数)(1x f y -= 定义域A C 值域C A 3、互为反函数的图象关系：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称． 4、反函数与函数的其它性质的联系：（1）反函数与原函数：x x ff =-)]([1，x x f f =-)]([1． 注意：)]([11x ff --并不是反函数的反函数，而是)(1x f y -=与自身形成的复合函数，谨防出现)()]([11x f x f f =--的错误作法．（2）反函数与单调性：如果函数)(x f y =有单调性，则反函数)(1x f y -=也有与)(x f y =一致的单调性，即)(x f y =在],[b a 上为增函数，则)(1x f y -=在)](,)([b f a f 上为增函数；)(x f y =在],[b a 上为减函数，则)(1x f y -=在)](,)([a f b f 上为减函数．典型例题例1、求下列函数的反函数：（1）⎩⎨⎧<-≥-=)0(12)0(1)(2x x x x x f ；（2）)23(321)(≥-+=x x x f ；（3）)1(12)(2>-=x x x x f ． 解析： （1）分析：求分段函数的反函数，也应分段来求，要注意分段后在所分区间内函数的值域． 设)(x f y =，则：当0≥x 时，1-≥y ，∴12+=y x ，又0≥x ，∴1+=y x ，即)1(1)(1-≥+=-x x x f ．当0<x 时，1-<y ，∴21+=y x ，∴)1(21)(1-<+=-x x x f ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=-)1(21)1(1)(1x x x x x f ． （2）分析：求无理函数的反函数，应先求函数的值域．设)(x f y =，则因23≥x ，∴1≥y ． ∴321-=-x y ，∴]3)1[(212+-=y x ， ∴)1(]3)1[(21)(21≥+-=-x x x f ． （3）分析：求二次分式函数的反函数，一要注意函数的值域，二要注意函数的定义域，即在开方求x 时注意x 的取值范围．)(x f y =，∵1>x ，∴0<y ．x yx y 22=-，即022=-+y x yx ．∵0<y ，∴yy y y x 22112442+±-=+±-=． ∵1>x ，0<y ．∴yy x 211+--=． ∴)0(11)(21<+--=-x x x x f ． 点评：分段函数的反函数也是分段函数，一般是先分别求出各区间的反函数，再归纳．在求反函数的过程中，如果在反解x 时需要进行开方运算，特别要注意x 的取值范围，有时还要结合值域来考虑． 例2、已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ，点)4,2(-- P 在它的反函数的图象上．（1）求)(x f 的反函数)(1x f-； （2）证明)(1x f -在其定义域上是减函数．分析：先由题设条件求出参数a 的值后，再求反函数．解析：（1）∵)4,2(-- P 在)(x f 的反函数图象上，∴)2,4('-- P 在函数)(x f y =的图象上，∴251612+-=-a ．∴92516=+a ，∴1-=a ，即251)(2+--=x x f ．∵05≤≤-x ，∴1)(4≤≤-x f ． 由2512+--=x y 得：22)1(25-=+-y x ．∴22)1(25--=y x ，∵05≤≤-x ，∴2)1(25---=y x ， ∴)14()1(25)(21≤≤----=-x x x f ．（2）∵2)1(25--=x u 在]1,4[ -上是增函数，故对1x 、2x ]1,4[ -∈，当21x x <时，有210u u ≤≤．又u -在0≥u 上是减函数，∴21u u ->-，即)()(2111x f x f-->．∴21)1(25)(---==-x x fy 在]1,4[ -上是减函数．点评： 当点),(b a 在函数)(x f 的图象上时，),(a b 必在)(x f 的反函数的图象上．另外，由于函数与其反函数具有相同的单调性，故可以先证)(x f 在]0,5[ -上是减函数，从而)(1x f -在]1,4[ -上是减函数． 例3、判断函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 是否存在反函数，若存在，求出)(1x f -．若不存在，说明理由．分析：函数)(x f 存在反函数的充要条件是确定函数的对应是一一对应．即对于值域中的一个y 值，方程)(x f y =有唯一的解x ，则函数存在反函数，否则，不存在反函数．解析：设120++=x x y ．∵R x ∈，∴x x x -≥>+||12，∴00>y ，∴120+=-x x y ，∴12020=-x y y ． ∵00>y ，∴02021y y x -=．∴函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 存在反函数． 由以上证明过程知)0(21)(21>-=-x x x x f ． 点评：根据函数和反函数的概念可知，在定义域上的单调函数一定存在反函数．因此本题还可通过证明)(x f 在R 上是单调函数来证明)(x f 存在反函数． 例4、已知函数b kx y +=的图象过)2,1( 点，它的反函数)(1x f -的图象过)0,4( 点，求函数)(x f 的解析式．解析：)(1x f -的图象过)0,4( 点，)(1x f -与)(x f 的图象关于直线x y =对称，∴)(x f 的图象过)4,0( ，又由已知也过)2,1( 点，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧+=+=24204k b b k b ， ∴42)(+-=x x f ．说明：)(x f y =图象上点),(b a 关于x y =的对称点),(a b 必在)(1x f y -=的图象上．基础练习一、选择题1、函数d cx b ax x f ++=)(的反函数为)(1x f -，若433)1(1++=+-x x x f ，则a 、b 、c 、d 的值依次为（ ）A ．1、2、3、1B ．－1、2、3、－1C ．1、－2、－3、1D ．－1、2、－3、－12、若函数)(x f y =的反函数是)(x g y =，b a f =)(，0≠ab ，则)(b g 等于（ ）A ．aB ．a 1C ．bD ．b1 3、已知函数)(x f y =的反函数是21x y --=，则函数)(x f y =的定义域为（ ）A ．)0,1( -B ．]1,1[ -C ．]0,1[ -D ．]1,0[4、已知函数)(x f 的图象过点)1,0( ，则)4(x f -的反函数的图象过点（ ）A ．)4,1(B ．)1,4(C ．)0,3(D ．)3,0(5、设点)2,1( P 既在函数b ax y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（ ） A ．3-=a ，7=b B ．1=a ，2=b C ．1-=a ，3=b D ．2=a ，1=b6、奇函数)(x f 的反函数是)(1x f -，若a a f -=)(，则)()(1a f a f -+-的值是（ ）A ．a 2B ．a 2-C ．0D ．无法确定7、若函数)(x f y =的图象只经过第一、四象限，那么函数)(1x f -的图象一定经过（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限8、对于]1,0[ ∈x 的所有x 值，函数2)(x x f =与其反函数)(1x f-的相应函数值间一定有（ ）A ．)()(1x f x f -≥B ．)()(1x f x f -≤C ．)()(1x f x f -<D ．)()(1x f x f -=9、若)0(32)1(2≤+-=-x x x x f ，则)(1x f -为（ ）A ．)2(2≥-x xB ．)2(21≥--x xC ．)3(2≥--x xD ．)3(2≤-x x10、设函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则函数)(1x f -的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题 11、函数a x x x f ++=1)(与函数12)(-+=x b x x g 的图象关于x y =对称，则=+b a _________． 12、若函数21++=x ax y 在其定义域内存在反函数，则a 的取值范围是___________． 13、函数)1(1≥+=x x x y 的反函数=-)(1x f ___________． 三、解答题14、已知)21(12)(≠++=x a x x x f ． （1）求它的反函数；（2）若函数)(x f 的图象关于x y =对称，求a 的值；（3）若af 2)3(1-=-，求a 的值． 15、已知函数)1(12≥-=x x y 的图像为1C ，函数)(xg y =的图像为2C ，1C 与2C 关于直线x y =对称，又)(x g y =的定义域为M ，对于任意1x 、2x M ∈，且21x x ≠，试比较|)()(|21x g x g -与||21x x -的大小．16、已知13)(-+=x ax x f ．（1）求)(x f y =的反函数)(1x fy -=的值域； （2）若点)7,2( 是)(1x f y -=的图象上的一点，求)(x f y =的值域．。
2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
不等式 f (x)≥0(≤0) 对于 xD 恒成立.
2021/4/10
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典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
f(x)=ax+
b x
(a>0,
b>0) 的单调区间.
解题分析:因函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)且f(x)是奇
当x1 x2
b时, 0 b a
a
x1 x2
f 故
( f
x1 ) f (
(
x)在
x2 ) b, a
0
即上是f (增x1 )函数f (.x2
)
f ( x)是奇函数，
f
(
x
)在
,
b a
、
b a
,
上分别是增函数;
f
(
x
)在
b a
, 0、
0,
b a
上分别是减函数
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又解函因法数为1,：所x 以f0(所,所x以以) 可下以面ax先先讨讨bx 论论 f函(fx数()x)在ax(0,f+b(∞x在))是上(0奇,的函单)数上调.的性单. 调性
设x1 x2 0,则
x
f
( x1 )
f
( x2 )
ax1
b x1
ax2
b x2
( x1
x2 )a
b x1 x2
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§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
延伸·拓展
例4.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
2011-3-9
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13
§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
课堂练习 <<教材 教材>> 教材 P.28 书面作业 <<教材 教材>> 教材 P. 29 解答题13.14 解答题
2011-3-9 14
填空题
以及它们图象间的关系. 以及它们图象间的关系. 并作出反函数的图象
所求函数的反函数是
x +1 (−1 ≤ x ≤ 0) f ( x) = − x (0 < x ≤ 1)
−1
y
。
O x
2011-3-9
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§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
误解分析
在涉及到反函数问题时， 在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数 的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系. 的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系.
f −1( x) =− −x, x ∈( −∞, −4] 3.函数 函数f(x)=-x2(x∈(-∞,-2]的反函数是 的反函数是______________ 函数 ∈ 的反函数是 x −5 4.已知函数 已知函数f(x) = 的图象关于直线y=x对称 则实数 对称,则实数 已知函数 的图象关于直线 对称 2x 2x + m m的值是 的值是________ 的值是 -1
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§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
2x −1 1 ( x ∈ R) ，求 f ( ) 的值 7.已知函数 f ( x) = 已知函数 x 3 1+ 2 −1 1 解题分析: 解题分析 要求 ( ), 可先求出 −1(x) f f 2 , 得(1− y) ⋅ 2x = y 解法1：由f ( x) = 1+ 2x
函数与反函数的概念与性质
函数与反函数的概念与性质随着数学的发展，函数和反函数成为了数学中一个非常重要的概念。
函数被广泛应用于各个学科领域中，而反函数则帮助我们更好地理解和运用函数。
本文将介绍函数与反函数的概念和性质，并探讨它们在数学中的作用。
一、函数的概念与性质函数是数学中一种非常常见的关系，它描述了两个集合之间的对应关系。
具体来说，函数是将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中唯一的元素上的规则。
函数常用符号表示为 f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，而 f(x) 则是函数在 x 上的取值。
函数的性质有以下几点：1. 唯一性：每个自变量只能对应一个函数值，即一个 x 对应一个f(x)。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
3. 单调性：函数可以是增函数（随着自变量的增大，函数值也增大），也可以是减函数（随着自变量的增大，函数值减小）。
4. 奇偶性：函数可以是奇函数（f(-x) = -f(x)），也可以是偶函数（f(-x) = f(x)）。
5. 周期性：函数可以是周期函数，即存在一个正数 T，使得对于所有 x，有 f(x + T) = f(x)。
6. 连续性：函数可以是连续函数，即函数在定义域内的任意两个点之间的函数值也满足函数关系。
二、反函数的概念与性质反函数，顾名思义，是函数的逆运算。
对于一个函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，使得 g(f(x)) = x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。
反函数可以理解为将函数输入的结果逆向还原为输入的过程。
反函数的性质如下：1. 唯一性：原函数的每个函数值对应反函数的一个自变量。
2. 交换性：原函数和反函数的自变量和函数值可以互换位置。
3. 定义域和值域：反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域。
4. 奇偶性：如果原函数是奇函数，则反函数也是奇函数；如果原函数是偶函数，则反函数也是偶函数。
三、函数与反函数的应用函数与反函数在数学中有着广泛的应用。
函数及其性质反函数与复合函数
1. 有界性
给定函数y f ( x)，x D, 设区间I D，如果常数M 0使得
f ( x) M
(x I )
则称函数f ( x)在区间I 上有界.
有界性体现在常数M的存在性，如果这样的M不存在，则
称f ( x)在I 上无界，换言之，即对于任意一个正数M (无论多
f 又唯一地确定一个y，这样，
图 1-28
对每个x D，可以唯一确定一个y(如图 1- 28)，从而确定
一个新函数，这个函数称为由u g ( x)和y f (u)构成的一个
复合函数，其函数记号通常用f g表示，
所以
( f g )( x) f [ g ( x)],
xD
也可以不用抽象的复合函数记号f g，而直接将这个复合
f 和f 在数集Df 和Rf 之间建立了一一对应关系 .
一般地说，并非每个函数都可以唯一确定一个反函数.
第四节 复合函数
设有两个函数y f (u), u D1 和 u g ( x), x D
x
f g
y g
u
f
如果g的值域R( g ) D1，则对
于每个x D，由g确定一个
u R( g ) D1，从而这个u经过
f ( x t ) f ( x) (x R)
则称f ( x)为周期函数，t 是它的周期.通常所说周期函数的周
期是指它的最小正周期T，即
T min t f ( x t ) f ( x) (x R ), t 0
且T 0
第三节 反函数
设函数y f ( x)的定义域是Df ，值域是Rf ，即
(b )
x2
函数的单调性、凹凸性、反函数
函数的单调性、凹凸性、反函数C 单调性：能准确判断初等函数复合后的函数的单调性，能根据数形结合解题。
d 凹凸性：理解函数图像凹凸性的代数意义，原理就是比较曲线上不重合两点值域的算术平均数与两点中点的函数值的大小。
()()121222fx fx x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭比较与的大小反函数的几个性质：1.原函数与反函数单调性一致；2.原函数与反函数关于y=x 对称；3.原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域例1．已知(31)41()lo g 1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，， 是()-∞+∞，上的减函数，那么a 的取值范围是 A （0，1） B 103⎛⎫⎪⎝⎭， C 1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D 117⎡⎫⎪⎢⎣⎭，R (31)41()R lo g 1310110173(31)14lo g 1a a a x a x f x x x a a a a a ≥-+<⎧=⎨≥⎩-<⎧⎪∴<<⇒≤<⎨⎪-⋅+≥⎩解析：分段函数是上的严格递减函数要满足两个条件： 1：分段函数的每一段是递减的；2：左段函数的最小值右段函数的最大值；，是上的严格递减函数，，例2.已知函数()1)1f x a a =≠-，（1）若a ＞0 ，则()f x 的定义域是(2) 若()f x 在区间(]01，上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 解析：（1）当a ＞0时，由30ax -≥得3x a ≤，所以()f x 的定义域是3a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，；(2) 由题意知10a a ≠≠且，于是对参数a 进行分类讨论同时注意定义域：① 当a <0时，()f x 在区间(]01，上是减函数； ②当0<a <1时，为增函数，舍；③当a ＞1时，为减函数，注意定义域的成立得到30a -≥，于是13a <≤；例3．对于函数f(x)定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：① f (x 1＋x 2)=f (x 1) f (x 2)； ② f (x 1 x 2)=f (x 1)+f (x 2) ③1212()()f x f x x x -->0； ④1212()()()22x x f x f x f ++<.当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是解析： 是指数函数 是对数函数 是单调性是凸函数 答案是 ● ❍ ●例4．给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ()3xf x =B ()sin f x x =C 2()log f x x =D ()tan f x x =()()()()()()()()()1()()()()()f xy f x f y f x y f x f y f x f y f x y f x f y f x y f x f y =++=++=-+=+解析： 是对数函数； 是指数函数；是正切函数；是过原点的一次函数例5．在222l og c o s2xy y x y xy x====，，，这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ）A 0B 1C 2D 3()212122()()()222cos 201log x x x f x f x f y y x y x y x ++>====解析：是凸函数，和是凹函数，在，上有凹有凸是凸函数例6. 设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a aax f xx的反函数 ，则使1)(1>-x f成立的x 的取值范围为（ ）A 21()2a a-+∞， B 21()2a a --∞， C 21()2a a a-， D [)a +∞，112111()() (1)()12()111()A22x xf x a aa fx fx a x a aa----=->>>--=解析：是增函数，解不等式相当于是原函数的定义域大于1求值域的范围，于是轻松解得的解是，选>例7．设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f1-，则A ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1B ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 C ()x f1-在其定义域上是减函数且最大值为1 D()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0解析：())101f x x =≤<为连续区间上的增函数，排除B 、C ，()x f1-的值域是[)01，，选D。
函数的单调性与反函数一.ppt
如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.
注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区 间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些 区间上可能是减函数.
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的图象如图所示:
y
2 ab
-
b a
o
b a
x
-2 ab
②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数 的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值 进行分类讨论.
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典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
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ห้องสมุดไป่ตู้
典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
f(x)=ax+
b x
(a>0,
b>0) 的单调区间.
解法2: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),
函数
f(x) 的导函数
f (x)=a-
b x2
=
ax2-b x2
,
令
f
(x)>0
得:
x2>
b a
x<-
b a
或
x>
当x1 x2
b时, 0 b a
a
x1 x2
f 故
( f
x1 ) f (
(
x)在
x2 ) b, a
0
高考数学必学反函数的性质
高考数学必学反函数的性质数学是人类智慧的结晶，高考数学更是考验青年才华的阶梯。
其中，反函数是必须掌握的知识。
反函数的性质是高考数学中重要的一块。
本文将从反函数的定义、性质等方面对此进行解析。
一、反函数的定义反函数，顾名思义，是数学中的一种特殊函数。
它是一种将原有函数的定义域和值域互换并且有映射关系的函数。
换言之，如果一个函数f(x)与另一个函数g(x)满足以下条件，那么g(x)就是f(x)的反函数：1. f(x)是单调函数；2. f(x)的定义域和值域分别为[A,B]和[C,D]；3. g(x)与f(x)的定义域和值域互换，也就是说，g(x)的定义域为[C,D]，值域为[A,B]。
二、反函数的性质1.反函数性质的定义在反函数的定义中，已经提到了反函数的主要性质：反函数与原函数的定义域和值域互换。
因此，反函数的主要性质可以总结如下：（1）反函数存在的必要条件是原函数必须是一一映射函数；（2）反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域互换；（3）反函数的导函数等于原函数的导函数的倒数，即f'(g(x))=1/g'(x)。
2.反函数的可导性反函数的可导性也是一个非常重要的性质。
通常情况下，如果一个函数是连续函数且可导，那么它的反函数也应该是连续可导的。
但是，这个性质在较少的情况下不成立，因而反函数的可导性需要我们单独来探讨。
举个例子，如果将y=x^3的图形按y=x的直线做对称，产生的函数是y=x^(1/3)。
由于y=x^3是连续可导的函数，在其定义域上一定是单调递增的函数，因此它的反函数y=x^(1/3)也是单调递增的，且在x≠0处也是连续可导的。
但是，在x=0处，y=x^(1/3)的导数不存在。
这就意味着，反函数的可导性不仅仅取决于原函数的可导性，还受到其定义域和取值范围的影响。
三、反函数的应用反函数的应用非常广泛。
例如，在统计学中，反函数可以用来研究概率分布，因为大多数的概率分布函数具有单调性。
反函数知识点总结大全
反函数知识点总结大全一、基本概念1. 反函数的定义：设函数f是定义在集合A上的函数，如果对于A中的每一个x都有唯一的一个y使得f(x) = y，那么就存在一个函数g，使得g(y) = x。
则称g为函数f的反函数，记作g = f^(-1)。
反函数是满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的一对函数。
2. 反函数存在的条件：一个函数有反函数的充分必要条件是该函数是一一映射的。
即对于函数f，如果对于不同的x1和x2，有f(x1)≠f(x2)，则称f是一一映射。
3. 反函数的表示：在一定条件下，函数的反函数可以表示为y=f^(-1)(x)，转换为x=f(y)。
可以通过求解来得到。
4. 反函数的组合：当两个函数互为反函数时，它们的反函数构成一对互为互逆的函数，进行组合后恰好得到自变量x，即(f^(-1)◦f)(x) = x。
二、性质1. 函数和反函数的图像关系：函数和它的反函数的图像分别关于y=x对称。
这意味着反函数的图像是原函数图像沿着y=x轴做对称得到的。
2. 反函数的导数关系：如果函数f在点x处可导且f'(x)≠0，则它的反函数g也在点y=f(x)处可导，且g'(y) = 1 / f'(x)。
3. 反函数的定义域和值域：一个函数的定义域和值域可以通过反函数来确定。
函数f的定义域是它的值域的反函数的定义域，函数f的值域是它的定义域的反函数的值域。
4. 函数和反函数的性质：反函数的奇偶性、周期性和单调性与原函数相似。
如果原函数是奇函数，那么反函数也是奇函数。
如果原函数是周期性函数，那么反函数也是周期性函数。
如果原函数是单调函数，那么反函数也是单调函数。
三、图像1. 原函数和反函数的图像：原函数和反函数的图像关于y=x轴对称。
通过这种方法，可以很方便得到反函数的图像。
2. 举例：y = f(x)，求f^(-1)(x)图像。
可以先画出原函数的图像，然后再对该图像进行关于y=x的对称处理。
有反函数的充分必要条件
有反函数的充分必要条件函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的对应关系。
而反函数则是指，如果一个函数的定义域和值域互换，那么得到的新函数就是原函数的反函数。
在实际应用中，反函数常常被用来解决一些问题，比如求解方程、求导等。
那么，一个函数有反函数的充分必要条件是什么呢？一、函数的单调性首先，一个函数必须是单调的才能有反函数。
单调性是指函数在定义域内的取值随着自变量的增加或减少而单调递增或递减。
如果一个函数不是单调的，那么它的反函数就不存在。
因为反函数的定义是将函数的定义域和值域互换，如果函数不是单调的，那么它的值域中就会有多个值对应同一个定义域中的值，这样就无法确定反函数的值。
二、函数的连续性其次，一个函数必须是连续的才能有反函数。
连续性是指函数在定义域内的取值变化不会出现跳跃或断层。
如果一个函数不是连续的，那么它的反函数也不存在。
因为反函数的定义是将函数的定义域和值域互换，如果函数不连续，那么它的值域中就会有一些值无法对应到定义域中的值，这样就无法确定反函数的值。
三、函数的一一对应性最后，一个函数必须是一一对应的才能有反函数。
一一对应性是指函数的每一个值都对应着唯一的一个定义域中的值。
如果一个函数不是一一对应的，那么它的反函数也不存在。
因为反函数的定义是将函数的定义域和值域互换，如果函数不是一一对应的，那么它的值域中就会有多个值对应同一个定义域中的值，这样就无法确定反函数的值。
综上所述，一个函数有反函数的充分必要条件是：函数必须是单调的、连续的、一一对应的。
只有满足这三个条件，才能保证反函数的存在和唯一性。
在实际应用中，我们可以通过对函数的图像进行观察和分析，来判断函数是否具有反函数。
总之，反函数是函数的重要概念之一，它在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
了解函数有反函数的充分必要条件，可以帮助我们更好地理解和应用反函数。
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。
如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。
()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。
有时也根据导数。
()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。
（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。
2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。
（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
函数的概念及性质
函数的概念及性质函数是数学中的重要概念之一，它在数学领域和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的概念是描述一个变量与另一个变量之间关系的数学工具。
本文将对函数的概念及其基本性质进行探讨，从而帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)来表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。
例如，我们可以定义一个函数f(x)=2x，其中x是实数集合中的任意一个数，f(x)表示x的两倍。
这个函数可以描述一个数与它的两倍之间的关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是因变量可能取值的集合。
函数的定义域和值域取决于函数的性质和条件。
例如，对于函数f(x)=2x，定义域是实数集合，值域也是实数集合。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
例如，函数f(x)=2x 是递增函数，而函数g(x)=2-x是递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴（x=0）的对称性。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
例如，函数f(x)=x^2是偶函数，函数g(x)=x^3是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在定义域内以一定的间隔重复的特性。
如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期为2π的函数。
5. 反函数：如果存在一个函数g，使得对于定义域内的任意x，有g(f(x))=x，且f(g(x))=x，则g称为f的反函数。
反函数可以将函数的输入与输出进行互换。
例如，函数f(x)=2x的反函数为g(x)=x/2。
三、函数的应用函数在数学、物理、经济学等学科中都有着重要的应用。
函数与反函数
函数与反函数函数与反函数是数学中常被用到的概念。
函数可视为将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素的规则或关系。
而与之相对应的是反函数，即将后一个集合中的元素映射回前一个集合中的元素。
在本文中，我们将深入探讨函数与反函数的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、函数的定义与性质函数可被定义为一个输入集合到一个输出集合的映射关系。
常用的表示方式为“f(x)”或“y=f(x)”，其中“x”为输入，而“y”为输出。
函数可以是各种不同的类型，包括线性函数、指数函数、对数函数等等。
每个函数都有其定义域和值域，其中定义域指的是所有可能的输入值，而值域指的是所有可能的输出值。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等等。
单调函数可分为单调递增和单调递减两种。
当函数上的任意两个点$$(x_1,y_1)$$和$$(x_2,y_2)$$，且$$x_1<x_2$$时，如果$$y_1<y_2$$，则函数为单调递增函数；如果$$y_1>y_2$$，则函数为单调递减函数。
奇偶函数是指$$f(x)=f(-x)$$的函数，当函数对称于原点时，为偶函数；当函数对称于原点的切线时，为奇函数。
周期函数是指存在正数$$T$$，使得对于所有$$x$$都有$$f(x+T)=f(x)$$。
二、反函数的定义与性质反函数是指将函数中的输入与输出反过来的映射。
通常表示为“$$f^{-1}(x)$$”或“$$y=f^{-1}(x)$$”。
若一个函数$$f$$和它的反函数$$f^{-1}$$中对应的一对一映射关系，那么二者是互为反函数。
若两个函数$$f$$和$$g$$互为反函数，即$$f(g(x))=x$$，并且$$g(f(x))=x$$。
反函数的定义域和值域与原函数相反。
原函数的定义域就是反函数的值域，反之亦然。
反函数的性质包括线性性、反单调性和对称性。
线性反函数是指反函数是线性函数的情况，即$$f^{-1}(x)=ax+b$$，其中$$a$$和$$b$$为常数。
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
2.5.2 函数的单调性与反函数(二)
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§2.5.2 函数的单调性与反函数(二)
3.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时 函数 设函数 当 为何值时, f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时 函数 f(x) 当 为何值时, 内单调递减. 在(0, 4)内单调递减 内单调递减 解: 对 f(x) 求导得 f ′(x)=3kx2+6(k-1)x, (1)∵函数 f(x) 的单调递减区间是(0, 4), ∵ 的单调递减区间是( ) ∴不等式 f ′(x)<0 的解集为(0, 4), 的解集为( ) 的解集为( ) 即 kx2+2(k-1)x<0 的解集为(0, 4), 的两根, ∴0 与 4 是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根 1 故由根与系数的关系可求得 k 值为 3 .
3
§2.5.2 函数的单调性与反函数(二)
四、复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下： 的单调性密切相关 其规律如下：
函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
增 增 增
单调性 增 减 减 增 减 减
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§2.5.2 函数的单调性与反函数(二)
3.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时 函数 设函数 当 为何值时, f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时 函数 f(x) 当 为何值时, 内单调递减. 在(0, 4)内单调递减 内单调递减 解: 对 f(x) 求导得 f ′(x)=3kx2+6(k-1)x, (2)命题等价于 kx2+2(k-1)x<0 对 x∈(0, 4) 恒成立 命题等价于 恒成立, ∈ 等价于 kx+2(k-1)<0 对 x∈(0, 4) 恒成立 恒成立, ∈ 设g(x)=kx+2(k-1), 的图象为一条直线, 由于 g(x) 的图象为一条直线 g(0)≤0 ⇒k≤ 1. 则 g(4)≤0 3 2 (或分离变量 ⇔ k< x+2 对 x∈(0, 4) 恒成立.) ∈ 恒成立 )
5.函数性质、反函数
5．反函数与函数性质知识点1：反函数1．的反函数为；的反函数为；的反函数为；的反函数为；的反函数为。
2．二次函数是否存在反函数？；要使存在反函数，则定义域为（写出任意一个即可）；，的反函数为。
3．原函数与反函数关于对称，若原函数经过点（），则反函数必经过点，若的反函数经过点（2，4），则= 。
知识点二：定义域、值域4．，的值域；，的值域。
5．定义域，值域。
定义域，值域。
定义域。
6．的值域，的值域。
知识点三：函数奇偶性7．为奇函数，则满足；若为偶函数，则满足。
8．，若，则= ，为奇函数，则的值为。
9．则= ；为奇函数，在上有最小值7，则在的最值为。
10．为奇函数，为偶函数，，则，= 。
11．定义域在上的奇函数，已知时，，求的解析式。
12．是定义在上的奇函数，当时，，不等式的解集为。
知识点四：单调性13．证明：函数在上是增函数14．判断并证明在的单调性15．判断并证明在上的单调性16．判断并证明在定义域上的单调性17．递减区间，递减区间。
18．递增区间，递增区间。
19．在上递减，则的取值范围。
知识点五：综合20．若，规定：，例如：，则的奇偶性为21．在中，当时，使成立的是。
22．已知函数=（1）求证：；（2）若＝1，，求的值。
23．在上是增函数，求的取值范围．24．函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数，并确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需说明理由）25．已知函数满足（1）求的解析式，并判断的奇偶性；（2）讨论的单调性。
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例1下列函数中，属于增函数的是 [ ]
解 D
例2若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ]
A．上半平
面 B．下半平面
C．左半平
面 D．右半平面
解 C 因为k＜0，b∈R．
例3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是 [ ]
A．a≥
3
B．a≤-3
C．a≤
5
D．a=-3
解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a≤-3．
例4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)
[ ]
A．在区间(-1，0)内是减函数
B．在区间(0，1)内是减函数
C．在区间(-2，0)内是增函数
D．在区间(0，2)内是增函数
解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数．
+bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)．
解 [-2，1]
已知函数的定义域是-5≤x≤1．设
u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9
可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即
注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域．
例7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同
函数；y=[f(x)]2是单调______函数．
解递减；递减；递增．
例8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数；
解 (1)任取x1＜x2＜0，则
所以 f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(-∞，0)上递减．
(2)任取0＜x1＜x2，则
当x2＞x1＞1时，f(x2)＞f(x1)；当1＞x2＞x1＞0时，f(x2)＜f(x1)．
所以函数在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．
例9已知f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个．
解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
所以f(x1)＞f(x2)．所以y=f(x)是R上的减函数．
假设使f(x)=0成立的x的值有两个，设为x1，x2，且x1＜x2，则
f(x1)=f(x2)=0
但因f(x)为R上的减数，故有f(x1)＞f(x2)．矛盾．所以使f(x)=0成立的x的值至多有一个．
例10定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．
解当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．
设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．
因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以
f(2a-x1)＜f(2a-x2)
注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．
同理f(2a-x2)=f(x2)．
所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．
例11设f(x)是定义在R+上的递增函数，且
f(xy)=f(x)+f(y)
(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．
(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是
由题设有。