2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中考试 数学 Word版
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2同步课堂精练：2.3数学归纳法Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料1．数列1,1＋3,1＋3＋5,1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．2．用数学归纳法证明不等式2n ＞n 2成立时，n 应取的第一个值为________．3．用数学归纳法证明不等式n 3＋1≥4n ＋1时，n 所取的第一个值n 0为__________．4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋121n ＜n (n ∈N *，且n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)与f (n )之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N )时，第一步的验证为____________________．7．已知x ＞－1且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2，求证：(1＋x )n ＞1＋nx .8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n －3)＝2n 2－n .9．求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.10．已知函数31x f x x (x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，用数学归纳法证明1(31)2nn n b .参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.5答案：f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…A n A n＋1，连结A1A n，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…A n的对角线加上A1A n，再加上从A n＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1)＝f(n)＋1＋n－2＝f(n)＋n－1.6答案：当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立7答案：证明：(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x).∵x＞－1，∴1＋x＞0.∴(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2.∵x≠0，∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.∴(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.8答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)＝2k2－k＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1).∴当n＝k＋1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明：(1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·（a ＋1)2k －1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立. 根据(1)(2)知，对任意n ∈N*，命题成立.10答案：证明：当x ≥0时，f (x )＝1＋21x ＞1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *).下面用数学归纳法证明不等式1(31)2n n n b . (1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即1(31)2k k k b ，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝1(31)|3|31(31)122k kk k ka b a . 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N*都成立.。
2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题
1．复数 （其中i是虚数单位）的实部是（）
A．1B． C． D．0
【答案】D
【解析】化简复数 即可得答案.
【详解】
，
的实部是0.
故选：D
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.
2．如果一质点的运动方程为 （位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在 秒时的瞬时速度为（）
【详解】
将甲乙两人中间安排一人，则有 种排法；将三人绑定，看成一个元素，再与剩余的两人组成三个元素进行全排列，共有 种排法.
故选：B
【点睛】
本题主要考查排列组合的应用，考查了用捆绑法解决实际问题.
7．已知 ，则 的值为（）
A．6B．8C．12D．8或12
【答案】D
【解析】由 ，可得 或 ，即可求得答案.
三、填空题
13．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值是________.
【详解】
或 ，
解得： 或
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，属于基础题.
8．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 知，只需比较 的大小就可得 ， ， 的大小关系.
【详解】
由 知，只需比较 的大小，
又 ，所以 ，
而 ，所以 ，
当 时，由 知，函数 在 上是单调增函数，因为 时， ， ，所以 ，所以 不正确；
当 时，由 知，函数 在 时取得最小值 ，要使得函数 有两个零点，必须且只需函数 的最小值小于0即可，即 ，
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2019-2020学年高中数学(人教版必修2)阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案：C7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案：B9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )A．13 B.151 C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE綊BC，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.16．(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面GEF∥平面ABD.证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG. ∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52， ∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且2AM ＝MD ，2CN ＝ND ，如图①，将△ABD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，并连接AC ，MN (如图②)．(1)证明：MN ∥平面ABC ； (2)证明：AD ⊥BC ；(3)若BC ＝1，求三棱锥A BCD 的体积． 解：(1)证明：在△ACD 中， ∵2AM ＝MD,2CN ＝ND ， ∴MN ∥AC ，又∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .(2)证明：在△ABD 中，AB ＝AD ，∠A ＝90°， ∴∠ABD ＝45°.∵在平面四边形ABCD 中，∠B ＝135°， ∴BC ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴BC ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥BC . (3)在△BCD 中，∵BC ＝1，∠CBD ＝90°，∠BCD ＝60°， ∴BD ＝ 3.在△ABD 中，∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴AB ＝AD ＝62， ∴S △ABD ＝12AB ·AD ＝34，由(2)知BC ⊥平面ABD ， ∴V A BCD ＝V C ABD ＝13×34×1＝14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D 由等角定理可知β＝60°或120°.2．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( ) A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB 与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A．①B．②C．③D．②③解析：选C ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为③，故选C.4．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l∥βD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确．5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BD解析：选C ∵MN∥PQ，由线面平行的性质定理可得MN∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，A正确；又∠PMQ＝45°，故D正确．6．α，β，γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．7．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D 如图，以三棱柱为模型．∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂β，β∩γ＝c，∴a∥c.∴a∥b∥c.8．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D 还原几何体，如图．可知D点与B点重合，△ABC是正三角形，所以选D.成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 如图，二面角αl β为45°，AB ⊂β，且与棱l 成45°角，过A 作AO ⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角αl β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12， ∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．10．如图(1)所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，如图(2)所示，那么，在四面体A EFH 中必有( )A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△EFH 所在平面解析：选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面HEF .故选A. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1＝2，则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________．解析：∵A 1B 1∥AB ，∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角．连接AD 1， 可知AB ⊥AD 1，在Rt △BAD 1中，AB ＝1，AD 1＝3，∴tan ∠ABD 1＝AD1AB＝3， ∴∠ABD 1＝60°，故A 1B 1与BD 1的夹角为60°. 答案：60°12．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC ，A 1C 1的中点E ，E 1，连接BE ，B 1E 1，EE 1，由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1，过D 作DF ⊥EE 1于F ，连接AF ，则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角．可求得AD ＝2，DF ＝32，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝64. 答案：6413．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号)． 解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：①14．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行． 其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)解析：①中，异面直线a ，b 可以都与c 相交，故不正确；②中，直线异面不具有传递性，故不正确；③中，过直线b 上一点P 作a ′∥a ，则a ′、b 确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a 、b )都与异面直线a 、b 平行，故正确．答案：③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程) 15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈D 1F ，P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．如图所示．16．(本小题满分12分)在右图的几何体中，面ABC ∥面DEFG, ∠BAC ＝∠EDG＝120°，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG ＝90°，四边形DEFG是梯形， EF ∥DG ，AB ＝AC ＝AD ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：FG ⊥面ADF ； (2)求四面体 CDFG 的体积．解：(1)连接DF 、AF ，作DG 的中点H ， 连接FH ，EH ，∵EF ∥DH ，EF ＝DH ＝ED ＝1， ∴四边形DEFH 是菱形，∴EH ⊥DF ， 又∵EF ∥HG, EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴FG ∥EH ，∴FG ⊥DF ，由已知条件可知AD ⊥DG ，AD ⊥ED ， 所以AD ⊥面EDGF ，所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG⊥AD，FG⊥DF，AD ⊂面ADF ，DF ⊂面ADF ，AD∩DF＝D ，∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH ＝AC ， 所以四边形ADHC 为平行四边形， 所以CH ∥AD ，CH ＝AD ＝1，由(1)知AD ⊥面EDGF ， 所以CH ⊥面DEFG .由已知，可知在三角形DEF 中，ED ＝EF ＝1，∠DEF ＝60°，所以，△DEF 为正三角形，DF ＝1，∠FDG ＝60°， S △DEG ＝12·DF ·DG ·sin∠FDG ＝32. 四面体CDFG ＝13·S △DFG ·CH＝13×32×1＝36. 17．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，N 为线段PB 的中点，G在线段BM 上，且BGGM＝2.(1)求证：AB ⊥PD ； (2)求证：GN ∥平面PCD . 证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形，且M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中，∠MAD ＝30°， 所以MD ＝12AD .在直角三角形ABD 中，∠ABD ＝30°， 所以AD ＝12BD ，所以MD ＝14BD .又因为BGGM＝2，所以BG ＝GD .又N 为线段PB 的中点，所以GN ∥PD . 又GN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以GN ∥平面PCD .18．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC，EC1＝12A1C1.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.20.(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求三棱锥VB1EFC的体积；(3)求二面角ECFB1的大小．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF为中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中，F为BD中点，∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥面ABCD，又CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF.②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂面BDD1B1，∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高，CF ＝BF ＝ 2. ∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF2＋BB21＝2＋22＝6， B 1E ＝B1D21＋D1E2＝12＋2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴S △B 1EF ＝12EF ·B 1F ＝322，∴VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×322×2＝1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1，∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1. 由(2)知∠EFB 1＝90°∴二面角E CF B 1的大小为90°.。
2019-2020学年苏州市陆慕高中等三校高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年苏州市陆慕高中等三校高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{1,2，3，…，n}(n ∈N ∗,n ≥3)，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为a n ．(1)若a n =7，则n = ______ ；(2)a 10= ______ ．2. 在(x +2x 2)6的二项展开式中第四项的系数是______ .(结果用数值表示)3. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，结论的否定是______．4. 已知数列满足，若不等式 恒成立，则整数m 的最小值是 ．5. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法。
正确的语句有是__________(填序号)。
6.7. 用0，1，2组成不同的三位数，一共有______ 种方法．8. 正偶数列有一个有趣的现象：(1)2+4=6；(2)8+10+12=14+16；(3)18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第______ 个等式中．9. 在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AC 、BD 的中点，AB =CD =8，AB 与CD 所成角60°，则EF 长为______．10. 若(1−x)9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9，则a 0+a 2+a 4+a 6+a 8= ______ ．11. 方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用，某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护土从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲不能安排到周六、周日，乙只能安排到周二、周四、周六，且甲、乙不能相邻，则一共有______种排班情况．12. 在数学上，常用符号来表示算式，如记∑a i n i=0=a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，其中n ∈N ∗.若b n =5n −1，记d n =1+∑[n i=1(−1)i b i C n i ]，且不等式t ⋅(d n −1)≤b n 对任意的n 为正偶数恒成立，则实数t 的最大值是______13. 下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第个图案中需用黑色瓷砖 块．14. 不等式的解为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1+2i)z =4+3i ，求z 及z ．16. 你能构造一个实际背景，对等式C n k ×C n−k m−k =C n m ×C m k 的意义作出解释吗？17. 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=|x +4x −5|．(1)求函数f(x)的零点；(2)若方程f(x)=m(m >0)有四个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，证明x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=16；(3)在区间[1,4]上是否存在实数a ，b(a <b)，使得函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的值域为[ma,mb]，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．18. 请阅读：在等式cos2x =2cos 2x −1(x ∈R)的两边对x 求导，得(−sin2x)⋅2=4cosx(−sinx)，化简后得等式sin2x =2cosxsinx ．利用上述方法，试由等式(1+x)n =C n 0+C n 1x +⋯+C n n−1x n−1+C n n x n (x ∈R ，正整数n ≥2)，(1)证明：n[(1+x)n−1−1]=∑k n k=2C n k xk−1；(注：∑a i n i=1=a 1+a 2+⋯+a n ) (2)求C 101+2C 102+3C 103+⋯+10C 1010；(3)求12C 101+22C 102+32C 103+⋯+102C 1010．19. 如图，在四棱锥V −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：AB ⊥平面VAD ；(Ⅱ)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．20.函数f(x)=x2−2x−3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P(4,5)、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标，用数学归纳法证明：2≤x n<x n+1<3．【答案与解析】1.答案：5；133解析：解：集合{1,2，3，…，k，k+1，k+2}(k∈N∗)的T子集可以分为两类：第一类中不含有k+2，这类子集有a k+1个，第二类子集中含有k+2，这类子集为{1,2，3，…，k}的T子集与{k+2}的并集，=26，a8=46，共有a k+k个．∴a k+2=a k+1+a k+k，∵a3=1，a4=3，∴a5=7，a6=14，a7a9=79，a10=133．故答案分别为：5，133．集合{1,2，3，…，k，k+1，k+2}(k∈N∗)的T子集可以分为两类：第一类中不含有k+2，这类子集有a k+1个，第二类子集中含有k+2，这类子集为{1,2，3，…，k}的T子集与{k+2}的并集，共有a k+k个．∴a k+2=a k+1+a k+k，由a3=1，a4=3，即可得出．本题考查了对于新定义T子集的理解与应用，考查分类讨论的思想方法，考查了由特殊到一般的解题思想方法，考查了推理能力，属于难题．2.答案：160)6的二项展开式中第四项：解析：解：在(x+2x2)3=8C 63x−3=160x−3．T4=C63x3(2x2)6的二项展开式中第四项的系数是160．∴在(x+2x2故答案为：160．利用二项式定义的通项公式求解．本题考查二项展开式中第四项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的性质的合理运用．3.答案：三角形的三个内角都大于60°解析：本题考查反证法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意反证法性质的合理运用．根据命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，得到答案．解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．故答案为三角形的三个内角都大于60°．4.答案：3解析：本题求通项比较困难，可以写出几项，再猜出通项，后用裂项相消法求和．解：猜想，可以用数学归纳法证明这个猜想正确．所以，所以，，所以，又m为整数，所以m的最小值为3．故答案为3．5.答案：①②③解析：试题分析：根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法的定义可得，⑤不正确解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，故③正确，④不正确．由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确．故选①②③考点：综合法、分析法、反证法的定义点评：本题主要考查综合法、分析法、反证法的定义，属于基础题．6.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．7.答案：4解析：解：根据题意，用0，1，2组成不同的三位数，0不能在百位，则百位可以是1或2，有2种情况，将剩余的2个数字安排在十位和个位，有A22=2种情况，则一共有2×2=4种不同的方法；故答案为：4．根据题意，依次分析百位、十位和个位的数字情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的运用，注意0不能在首位，依次分析各个数位的情况数目即可．8.答案：6解析：解：①2+4=6；②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其规律为：各等式首项分别为2×1，2(1+3)，2(1+3+5)，…，=2n2，所以第n个等式的首项为2[1+3+⋯+(2n−1)]=2×n(1+2n−1)2当n=6时，等式的首项为2×36=72，所以72在第6个等式中，故答案为：6．从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2(1+3)，2(1+3+5)，…，即可得出结论．本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．9.答案：4解析：解：取BC中点M，连结EF，EM，FM，∵在空间四边形ABCD中，点E、F分别是AC、BD的中点，AB=CD=8，AB与CD所成角60°，∴EM//AB，且EM=12AB=4，FM//CD，且FM=12CD=4，∴∠EMF=60°，∴EF=ME=MF=4．故答案为：4．取BC中点M，连结EF，EM，FM，则EM//AB，且EM=12AB=4，FM//CD，且FM=12CD=4，∠EMF=60°，由此能求出EF．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：256解析：本题考查二项式定理，赋值是解决问题的关键，属基础题．分别令x=1和x=−1可得奇数项和以及偶数项和的方程组，解方程组可得．解：令x=1可得0=a0+a1+a2+⋯+a9=(a0+a2+a4+a6+a8)+(a1+a3+a5+a7+a9)①令x=−1可得29=a0−a1+a2−⋯−a9=(a0+a2+a4+a6+a8)−(a1+a3+a5+a7+a 9) ②①+②可得2(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8)=29，解得(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8)=28=256 故答案为256．11.答案：960解析：解：根据题意，乙只能安排到周二、周四、周六，则分3种情况讨论：①乙安排到周二，则甲只能周四、周五，有2种安排方法，剩下5人全排列，安排在其余5天，有A 55=120种安排方法，则此时有2×120=240种安排方法；②乙安排到周四，则甲只能周一、周二，有2种安排方法，剩下5人全排列，安排在其余5天，有A 55=120种安排方法，则此时有2×120=240种安排方法；③乙安排到周六，则甲只能周一、周二、周三、周四，有4种安排方法，剩下5人全排列，安排在其余5天，有A 55=120种安排方法，则此时有4×120=480种安排方法；则一共有240+240+480=960种安排方法；故答案为：960根据题意，乙只能安排到周二、周四、周六，由此安乙的安排分3种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．12.答案：32解析：解：当b n =5n −1时，d n =1+∑[n i=1(−1)i (5i −1)C n i ]=∑[ni=0(−1)i (5i −1)C n i ]=∑[n i=0(−1)i (−5)i C n i ]−∑[n i=0(−1)i C n i ]+1=(1−5)n −(1−1)n +1=(−4)n +1将b n =5n −1，d n =(−4)n +1代入不等式t ⋅(d n −1)≤b n 中得，t ⋅(−4)n ≤5n −1，∴当n 正偶数时，t ≤(54)2−(14)2=32．故答案为：32．借助于二项式系数的性质化简可得d n=(−4)n+1，代入不等式t⋅(d n−1)≤b n，可求出n为正偶数时t的最大值．本题考查数列的求和、二项式系数的性质和不等式恒成立问题，体现了数学转化思想方法，属于中档题．13.答案：解析：试题分析：∵，∴根据题目给出的图，我们可以看出：1图中有黑色瓷砖12块，我们把12可以改写为3×4；2图中有黑色瓷砖16块，我们把16可以改写为4×4；3图中有黑色瓷砖20块，我们把20可以改写为5×4；从具体中，我们要抽象出瓷砖的块数与图形的个数之间的关系，就需要对3、4、5这几个数字进行进一步的变形，用序列号1、2、3来表示，这样12，我们又可以写为12= (1+2)×4，16又可以写为16=(2+2)×4，20我们又可以写为20=(3+2)×4，你是否注意到了1、2、3恰好是图形的序列号，而2、4在图中都是确定的，因此，我们可以从图中概括出第n个图有(n+2)×4，也就是，有4n+8块黑色的瓷砖．故当n=10时，黑色瓷砖为48块考点：本题考查了归纳推理的运用点评：在处理这类问题时，我们要注意：从具体的、个别的情况分析起，从中进行归纳．14.答案：x0解析：试题分析：考点：本小题主要考查含行列式的不等式的求解，考查学生的运算求解能力．点评：本小题实际上是将不等式看成了关于的二次不等式．15.答案：解：∵(1+2i)z=4+3i，∴z=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i，∴z=2+i，∴zz=2+i2−i=(2+i)(2+i)(2−i)(2+i)=4−1+4i5=35+45i.解析：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的混合运算，属于基础题，由(1+2i)z =4+3i 求出z ，进而求得z ，再利用两个复数代数形式的除法法则求出zz 的值． 16.答案：解：实际背景：在n 个人中选出m 个人打扫卫生，其中k 人擦玻璃，m −k 人拖地，问有多少种选取人员的方法，利用分步计算原理：先从n 个人中选出m 人，然后从m 人中选出k 人擦玻璃，剩余的人拖地，这样有C n m ×C mk 种选法， 也可以直接从n 人中选出k 人擦玻璃，然后从剩余的n −k 人中选出m −k 人拖地，这样有C n k ×C n−km−k 种选法，所以C n k ×C n−k m−k =C n m ×C mk ．解析：等式两边都是组合数相乘，可以考虑分步计数原理，即可得到结论．本题考查了排列组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)令f(x)=0，解得x =1或x =4．(2)证明：如图，要使f(x)=m 有四个根，则0<m <1，令g(x)=x +4x −5，当g(x)=m ，则x 2−(5+m)x +4=0，∴x 1⋅x 4=4，当g(x)=−m ，则x 2−(5−m)x +4=0，∴x 2⋅x 3=4，∴x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=16．(3)①当[a,b]⊆[1,2]时，f(x)=5−(x +4x )，∴f(a)=5−(a +4a )，f(b)=5−(b +4b )，由f(a)a =f(b)b =m 得，5b −ab −4ba =5a −ab −4ab ，即5ab −4(a +b)=0，∴b =4a5a−4，由b ∈(1,2]，解得43≤a <4，由a ∈[1,2)，43≤a <2，∵b >a ，∴a <85，∴43≤a <85，由m =f(a)a =5−a−4a a =−4a 2+5a−1，可得12≤m <916． ②当[a,b]⊆[2,4]，f(x)=5−(x +4x )，由f(a)=mb ，f(b)=ma 可得a +b =5，再由f(a)=mb ，得m =5a−a 2−4ab， 把b =5−a 代入得m =1−45a−a 2，∵2≤a <4，2<b ≤4且b >a ，∴2≤a <52，∴m ∈[13,925),综上，当[a,b]∈[1,2]时，m ∈[12,916)；当[a,b]∈[2,4]，∴m ∈[13,925)．解析：(1)令f(x)=0，求解即可．(2)如图，要使f(x)=m 有四个根，则0<m <1，令g(x)=x +4x −5，当g(x)=m ，转化求解四个根的乘积即可．(3)通过[a,b]⊆[1,2]时，求解f(a)=5−(a +4a )，f(b)=5−(b +4b )，由f(a)a =f(b)b =m ，转化求解推出m 的范围．②当[a,b]∈[2,4]，f(x)=5−(x +4x )，推出m =1−45a−a 2，然后转化求解m 的范围即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是难题．18.答案：解：(1)证明：在等式(1+x)n =C n0+C n 1x +⋯+C n n−1x n−1+C n n x n (x ∈R ，正整数n ≥2)中，两边对x 求导，得：n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3⋅x 2+⋯+nC n n ⋅x n−1，移项，得：n[(1+x)n−1−1]=∑k n k=2⋅C n k ⋅xk−1． (2)由(1)令x =1可得，n(2n−1−1)=∑k n k=2C n k ，令n =10，得C 101+2C 102+3C 103+⋯+10C 1010=10+10(29−1)=5120；(3)由(1)得n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3⋅x 2+⋯+nC n n ⋅x n−1，∴nx(1+x)n−1=C n 1x +2C n 2x 2+3C n 3⋅x 3+⋯+nC n n ⋅x n ，两边求导得n(1+x)n−1+n(n −1)x(1+x)n−2=C n 1+22C n 2x +32C n 3⋅x 2+⋯+n 2C n n ⋅x n−1，令x =1，n =10，可得：10×29+90×28=C 101+22C 102+32C 103⋅+⋯+n 2C 1010．∴12C 101+22C 102+32C 103⋅+⋯+n 2C 1010=10×29+90×28=10×28×(2+90)=920×28．解析：(1)对二项式定理的展开式两边对x 求导数，移项得到恒等式．(2)在等式(1)中，令x =1，可得，n(2n−1−1)=∑⋅n k=2k ，从而求得要求式子的值．(3)在(1)中的结论两边同乘x ，再两边求导即可得出结论．本题考查了二项式定理，类比推理，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：由于面VAD 是正三角形，设AD 的中点为E ，则VE ⊥AD ，而面VAD ⊥底面ABCD ，则VE ⊥AB ．又面ABCD 是正方形，则AB ⊥AD ，故AB ⊥面VAD ；(Ⅱ)由AB ⊥面VAD ，则点B 在平面VAD 内的射影是A ，设VD 的中点为F ，连AF ，BF 由△VAD 是正△，则AF ⊥VD ，由三垂线定理知BF ⊥VD ，故∠AFB 是面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角， 设正方形ABCD 的边长为a ，则在Rt △ABF 中，AB =a ，AF =√32a ，tan∠AFB =AB AF =a √32a =2√33，故面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为arctan 2√33．解析：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量，对于二面角的度量在高考中有所弱化，属于基础题．(Ⅰ)欲证AB ⊥面VAD ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB 与面VAD 内两相交直线垂直，而VE ⊥AB 可由面VAD ⊥底面ABCD 得到，AB ⊥AD ，满足定理条件；(Ⅱ)设VD 的中点为F ，连AF ，AF ⊥VD ，由三垂线定理知BF ⊥VD ，根据二面角平面角的定义可知∠AFB 是面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角，在Rt △ABF 中求出此角即可．20.答案：证明：①n =1时，x 1=2，直线PQ1的方程为y−5=f(2)−52−4(x−4)，当y=0时，∴x2=114，∴2≤x1<x2<3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k<x k+1<3，直线PQ k+1的方程为y−5=f(x k+1)−5x k+1−4(x−4)，当y=0时，∴x k+2=3+4x k+12+x k+1，∵2≤x k<x k+1<3，∴x k+2=4−52+x k+1<4−52+3=3，x k+2−x k+1=(3−x k+1)(1+x k+1)2+x k+1>0，∴x k+1<x k+2，∴2≤x k+1<x k+2<3，即n=k+1时，结论成立，由①②可知：2≤x n<x n+1<3．解析：用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，先写出直线PQ1的方程，令y=0时，可得x2的值，从而验证所求证的不等式成立；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k<x k+1<3，写出直线PQ k+1的方程，令y=0时，可得用x k+1表示x k+2的式子 ,做差x k+2−x k+1，写成x n+1的表达式，根据归纳假设2≤x k<x k+1<3，可以证明2≤x k+1<x k+2<3，从而结论成立．。
江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学试卷(含答案)
江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学参考答案一、单项选择题：1-8. DCBBABDD二、多项选择题：9. ABD10. ABC 11. ABD 12. A BD 三、填空题：13.114. (0, 1]15.13302－3 0LM3－2－ fhu －－A 四、解答题：17.解：（I ）由f(x)=x 十臼2十blnx，得f'(x)= 2ax+ 1 ＋互（x > 0). x ...... 1分由曲线Y = f(x ）在点(,f (））处的切线方程为2x-y-2=0,得f'(l)= 1 + 2α＋b = 2/(1)= 1＋α＝ 0 ............... 3分解得α＝－1,b =3. . .............. 4分（即f(x ）＝一泸＋x+3lnx,x E (0十∞），f'(x)=-2x+l 十二（x > 0). …….........5分一2x+l ＋二＞0，解得XE (0，三）…........….6分x2-2x+l ＋三＜0，解得XE (;,+oo ).....………7分X L3同、3所以函数的增区间：（0，一）；减区间：（一，＋∞），............... 8分2 2 3 3 3 当x ＝三时，函数取得极大值，函数的极大值为f （一=3ln一一一...............10分2 2 4 18.解：（I ）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法cL�1=s4oc 种）．...... 4分(II ）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法d·cl·A 1=3360（种）．.... 8分。
1月先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有d 种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有d种，其余3人全排列有A�种，所以共有不同选法d·d A �＝360（种）…….......12分（每少写一处数值，扣l分）高二数学参考答案第l 页共4页江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试。
2020-2021学年苏州市昆山市高二下学期期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年苏州市昆山市高二下学期期中数学复习卷1一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2−y 24=1交于A 、B 两点，若△ABF是等边三角形，则该抛物线焦点F 的坐标为______ ．2. 在平面直角坐标系中向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为2−i ，5+3i ，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．3. 下面四个命题：①0比−i 大；②x +yi =1+i 的充要条件为x =y =1； ③任何纯虚数的平方都是负实数． 其中错误命题的序号是______ ． 4. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ，则动点P 的轨迹为椭圆； ②双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点；③方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④和定点A(5,0)及定直线l ：x =165的距离之比54的点的轨迹方程为x 216−y 29=1．其中真命题的序号为______ ． 5. 已知复数(是虚数单位)，则______6. 设函数f(x)=e x (2x −3)−a2x 2+ax ，若函数f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，则实数a 的取值范围是______．7. 若“任意x ∈[0,π4),tanx <m ”是真命题，则实数m 的取值范围是______．8. 在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n 个三角形数为______．9. 如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______．10. 古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：则第20个图共有______ 个黑点．11. 观察下列等式12=1 12−22=−3 12−22+32=6 12−22+32−42=−10 ......照此规律，第100个等式12−22+32−42+⋯−1002= ______ ．12. 函数f(x)={|lg(1−x)|,x <1−(x −2)2,x ≥1，关于x 的方程f(f(x))=1的实根个数为______ 个．13. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)，则它的离心率为______ ． 14. (几何证明选做题)已知AB 是圆O 的直径，AB =2，AC 和AD 是圆O 的两条弦，AC =√2,AD =√3，则∠CAD 的度数是______ ．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．求证：PA//平面MNB ；(2)求证：平面PAD⊥平面PMB．16.已知函数f(x)=x(x+a)2(a∈R)．(1)若a=−3，求过点P(4,4)且与y=f(x)相切的直线方程；(2)若a≤0，证明：(sinx+a−2)2≤(sin2x+a−4)2．2+sinx17.已知圆C经过M(3,0)，N(2,1)两点，且圆心在直线l：2x+y−4=0上．(1)求圆C的方程(2)从原点向圆C作切线，求切线方程及切线长18. 已知函数f(x)=lnx −ax(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f(x)<x 2在x ∈(1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．19. 已知F 1，F 2是椭圆y 24+x22=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，直线l ：y =√2x +m 与椭圆交于A ，B 两点． (1)求点P 的坐标； (2)求△PAB 面积的最大值．20.已知函数f(x)=ln(1+x)−ax1−x(a∈R)(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若数列{a m}的通项公式a m=(1+12013×2m+1)2013,m∈N∗，求证：a1⋅a2…a m<3,(m∈N∗)．21.设等差数列{a n}的公差为d，S n是{a n}中从第2n−1项开始的连续2n−1项的和，即S1=a1，S2=a2+a3，S3=a4+a5+a6+a7，…S n=a 2n−1+a 2n−1+1+⋯+a 2n−1(1)若S1，S2，S3成等比数列，问：数列{S n}是否成等比数列？请说明你的理由；(2)若a1=154，d>0，证明：1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≤89d(12−14n+1)，n∈N∗．x2单调性；22.讨论g(x)fx)+43时，函数y=f(x)的图在x=的切线方；当k=23若数(x)=xf(x)在定域内调递减，kZ，的最大值．23.过原点O作圆x2+y2−8x=0的弦OA，求弦OA中点M的轨迹方程．24.四棱锥E−ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD−CE=1，AB=AD=AE=√3，且EC⊥BD(1)求证：平面BED⊥平面AEC；(2)求二面角D--BM−C的平面角的余弦值．【答案与解析】1.答案：(√62,0)解析：解：抛物线的焦点坐标为(p2,0)，准线方程为：x =−p2， 准线方程与双曲线联立解得y =±√p 2−4，因为△ABF 为等边三角形，所以√p 2+y 2=2|y|，即p 2=3y 2， 即p 2=3×(p 2−4)，解得p =√6， ∴抛物线焦点F 的坐标为(√62,0)．故答案为(√62,0)．求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p 即可得出结论．本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．2.答案：5解析：解：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)−(2,−1)=(3,4)， ∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+42=5． 故答案为：5．利用复数的几何意义、向量坐标运算性质、摸的计算公式即可得出．本题考查了复数的几何意义、向量坐标运算性质、摸的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：①②解析：解：①因为复数不能比较大小，所以说0比−i 大；所以①不正确；②当x ，y 是实数时，x +yi =1+i ，的充要条件为x =y =1；否则不成立，所以②不正确； ③因为i 2=−1，所以(ai)2=−a 2<0，(a ∈R 且a ≠0)，所以说任何纯虚数的平方都是负实数．所以③正确； 故答案为：①②．利用复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数的运算法则，判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断，复数的基本概念以及简单性质的应用，是基础题．4.答案：②③④解析：①根据椭圆的定义，当k>|AB|时是椭圆；②正确，双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为(±√34,0)；③方程2x2−5x+2=0的两根为12或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．解：①根据椭圆的定义，当k>|AB|时是椭圆，∴①不正确；②正确，双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为(±√34,0)；③方程2x2−5x+2=0的两根为12或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确④正确，由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5，故其轨迹方程为x2 16−y29=1．故答案为②③④．5.答案：解析：试题分析：因为复数(是虚数单位)的模的公式是.所以复数(是虚数单位)的模.所以填.本小题的关键是根据复数模的公式运算，分清复数(是虚数单位)中的实部和虚部．考点：1.复数的模.2.复数的基本概念．6.答案：(0,1)解析：解：函数f(x)=e x(2x−3)−a2x2+ax，∴f′(x)=e x(2x−1)−ax+a，若要使f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，只需f′(x)=0在(−∞,1)内有两个解，可转换为函数g(x)=e x(2x−1)与ℎ(x)=a(x−1)的图象在(−∞,1)内有两个交点，由g′(x)=e x(2x+1)知，当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，函数g(x)在(−∞,−12)上为减函数;当x ∈(−12,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(−12,1)上为增函数，当直线ℎ(x)=a(x −1)与曲线g(x)=e x (2x −1)相切时，设切点坐标为(x 0,y 0)， 由导数的几何意义可以得到{e x 0(2x 0+1)=ay 0=e x 0(2x 0−1)y 0=a(x 0−1)，解得x 0=0或x 0=32(不合题意，舍去)， 可知a =e 0(2×0+1)=1，由图象可知，g(x)与ℎ(x)的图象在(−∞,1)内有两个交点，则a 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．本题考查了利用函数的导数判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是中档题．7.答案：m ≥1解析：本题主要考查全称命题的应用，根据条件转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键． 根据全称命题为真命题，转化求函数的最值即可． 解：当0≤x <π4时，函数y =tanx 为增函数， 则0≤tanx <tan π4=1，若“任意x ∈[0,π4),tanx <m ”是真命题， 则m ≥1， 故答案为：m ≥1．8.答案：n(n+1)2解析：解：设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；由图可得：第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2−a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3−a2=3，…第n个图中点的个数比第n−1个图中点的个数多n，即a n−a n−1=n，则a n=1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)；2．故答案为n(n+1)2设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；观察图形可得，第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2−a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3−a2=3，依此类推，可得第n个图中点的个数比第n−1个图中点的个数多n，即a n−a n−1=n，将得到的式子，相加可得答案．本题主要考查了归纳推理，属于基础题．解题的关键在于观察、发现图形中点的个数的变化规律．9.答案：27解析：解：如图，作AO⊥BC，交BC于O，AO=√122−62=6√3，由题意得正三棱柱底面边长EF=6，高为ℎ=√3，∴所得正三棱柱的体积为：V=S△DEF⋅ℎ=1×6×6×sin60°×√3=27．2故答案为：27．由题意得正三棱柱底面边长6，高为√3，由此能求出所得正三棱柱的体积．本题考查正本棱柱的体积的求法，考查三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：210解析：解：由已知中：第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有3=1+2个，第3个图中黑点有6=1+2+3个，第4个图中黑点有10=1+2+3+4个，…个，故第n个图中黑点有1+2+3+⋯+n=n(n+1)2当n=20时，共有黑点210个，故答案为：210根据已知中第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有1+2个，第3个图中黑点有1+2+3个，第4个图中黑点有1+2+3+4个，…归纳可得第n个图中黑点有1+2+3+⋯+n个，进而得到答案．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．11.答案：−5050解析：本题考查了归纳推理，以及分组求和法、等差数列的前n项和公式的应用，难度一般．观察可得：等式的左边是连续正整数的平方差相加的形式，根据这一规律得第100个等式左边为12−22+32−42+⋯+992−1002，利用分组求和法、等差数列的前n项和公式求出左边式子的和．解：观察下列等式：12=112−22=−312−22+32=612−22+32−42=−10…当n=100时，左边=(12−22)+(32−42)+⋯+[(99)2−1002]，代入n=100得到−5050．由递推式可得到右边=(−1)n−1·n(n+1)2故答案为：−5050．12.答案：3解析：作出f(x)的图象，令t =f(x)，则f(t)=1，解方程可得t 的值，再结合图象，即可得到所求方程的个数．本题考查方程根的个数问题的解法，注意运用转化思想，通过换元法和数形结合思想，考查判断能力，属于中档题．作出函数f(x)={|lg(1−x)|,x <1−(x −2)2,x ≥1的图象，令t =f(x)，则f(t)=1，解得t =−9或0.9， 由f(x)=−9，可得x =5(−1舍去)， 由f(x)=0.9，结合图象有一正一负根， 故关于x 的方程f(f(x))=1的实根个数为3． 故答案为：3．13.答案：√52解析：解：∵中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)， ∴ba =24=12， ∴e =ca =√1+(ba )2=√52． 故答案为：√52．根据中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)，可得b a =24=12，利用e =ca =√1+(ba )2，可得结论．本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：15°或75°解析：解：由题意可知，∠OAC =45°，∠OAD =30°． ①C ，D 在直径AB 的同侧，则∠CAD =∠OAC −∠OAD =15°； ②C ，D 在直径AB 的两侧，则∠CAD =∠OAC +∠OAD =75°． 故答案为：15°或75°．由题意可知，∠OAC=45°，∠OAD=30°，再分类讨论C，D在直径AB的同侧，C，D在直径AB 的两侧，即可得出结论．本题考查圆的知识，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．15.答案：证明：(1)连接AC交MB于Q，连接NQ，MC．AD=BC，因为AM//NC，AM=12所以四边形ABCM是平行四边形，所以Q是AC的中点，又N是PC的中点，所以NQ//PA．因为NQ⊂平面MNB，PA⊄平面MNB，所以PA//平面MNB．(2)因为PA=AD，M是AD的中点，所以PM⊥AD．因为DM//BC，DM=BC，所以四边形BCDM是平行四边形，又∠ADC=90°，所以四边形BCDM是矩形，所以AD⊥BM．因为PM∩BM=M，PM⊂平面PBM，BM⊂平面PBM，所以AD⊥平面PBM.又因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBM．解析：(1)根据中位线定理得出NQ//PA，故而PA//平面MNB；(2)根据AD⊥PM，AD⊥BM即可得出AD⊥平面PBM，于是平面PAD⊥平面PMB．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．16.答案：解：(1)若a=−3，则f(x)=x(x−3)2=x3−6x2+9x，∴f′(x)=3x2−12x+9，∵f(4)=4，∴点P(4,4)在y=f(x)上，①当切点为P(4,4)时，f′(4)=9，切线方程为y=9(x−4)+4，即y=9x−32，②切点不为P(4,4)时，设切点为Q(x0,y0)，k切=f(x0)=3x02−12x0+9，切线方程为y =(3x 02−12x 0+9)(x −x 0)+x 0(x 0−3)2，其过切点(4,4)，有4=(3x 02−12x 0+9)(4−x 0)+x 0(x 0−3)2，易知x 0=4是其一解， 即(3x 02−12x 0+9)(x 0−4)+(x 0−4)(x 02−2x 0+1)=0，即(x 0−4)2(x 0−1)2=0，故点Q 的横坐标x 0=1，有Q(1,4)， 又f(1)=0， ∴切线方程为y =4，综合可知，有a =−3，故过点P(4,4)且与y =f(x)相切的直线方程为y =9x −32，或y =4． (2)f(x)=x(x +a)2=x 2+2ax 2+a 2x ，∴f′(x)=3x 2+4ax +a 2=(3x +a)(x +a)，a ≤0， 当x ∈(−∞,−43)，(−a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 由0≤− a3<−a ，有f(x)在(−∞,−1]上单调递增， 由sinx ∈[−1,1]，有sinx −2≤−1，则sin 2x −4≤−1， 要证：(sinx+a−2)22+sinx ≤(sin 2x +a −4)2，a ≤0，即证(sinx −2)(sinx +a −2)2≥(sin 2x −4)(sin 2x +a −4)2， ⇔f(sinx −2)≥f(sin 2x −4)， ⇔sinx −2≥sin 2x −4，⇔2≥sin 2x −sinx =(sinx −12)2−14此式恒成立， 故a ≤0时，(sinx+a−2)22+sinx≤(sin 2x +a −4)2恒成立．解析：(1)根据导数的几何意义，需要分类讨论，即可求出切线方程； (2)判断函数的单调性，要证：(sinx+a−2)22+sinx≤(sin 2x +a −4)2，a ≤0，只要证2≥sin 2x −sinx ，根据正弦函数的性质即可证明．本题考查了切线方程，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了运算能力和转化能力，属于难题．17.答案：解：(1)根据题意，圆C 经过M(3,0)，N(2,1)两点，则圆心在MN 的中垂线y =x −2上又在已知直线l ：2x +y −4=0上，则有{y =x −22x +y −4=0，解可得{x =2y =0，即圆心坐标为C(2,0)，则圆的半径r =|MC|=1；所求圆的方程为：(x −2)2+y 2=1； (2)根据题意，从原点向圆C 作切线， 当切线斜率不存在时，不与圆C 相切， 当切线斜率存在时，设直线方程为y =kx ，代入C ：x 2+y 2−4x +3=0得x 2+(kx)2−4x +3=0， 即(1+k 2)x 2−4x +3=0， 令△=(−4)2−4×3(1+k 2)=0， 解得k =±√33，即切线方程为y =±√33x ．对应切线长为√22−12=√3．解析：(1)根据题意，分析可得圆心在MN 的中垂线y =x −2上，进而可得{y =x −22x +y −4=0，解可得x 、y 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；(2)根据题意，分切线的斜率存在与否两种情况讨论，分析可得切线的方程，以及切线的长，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质以及切线的计算，属于基础题．18.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=lnx +1x ，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x−1x 2，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 即有f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)； (2)由题可知f′(x)=x+a x 2，①若a ≥−1，则x +a ≥0，f(x)在[1,e]上为增函数， [f(x)]min =f(1)=−a =32，即为a =−32(舍去)；②若a ≤−e ，则x +a ≤0，f(x)在[1,e]上为减函数， [f(x)]min =f(e)=1−ae =32，a =−e2(舍去)； ③若−e <a <−1，令f′(x)=0，解得x =−a ， 当1<x <−a 时，f′(x)<0，f(x)在(1,−a)上为减函数；当−a <x <e 时，f′(x)>0，f(x)在(−a,e)上为增函数． 即有[f(x)]min =f(−a)=ln(−a)+1=32，解得a =−√e ， 综上所述，a =−√e ； (3)f(x)<x 2，即lnx −ax <x 2， 又x >0，a >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2， ℎ′(x)=1x −6x =1−6x 2x，由x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， 则ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0， g(x)在(1,+∞)上递减，即有g(x)<g(1)=−1， 当a ≥−1时，f(x)<x 2在(1,+∞)上恒成立．解析：本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和函数的单调性是解题的关键．(1)求出当a =−1时的f(x)解析式和导数，求得单调区间，注意函数的定义域；(2)求出导数，对a 讨论，①若a ≥−1，②若a ≤−e ，③若−e <a <−1，通过单调性求得最小值，解方程可得a 的值；(3)运用参数分离，可得a >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，求得g(x)的值域，即可得到a 的范围．19.答案：解：(1)依题意，设点P 的坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，由椭圆方程可得F 1(0,√2)，F 2(0,−√2)， 则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,√2−y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,−√2−y 0)，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，∴(x 0,y 0−√2)⋅(x 0,y 0+√2)=x 02+y 02−2=1， 即x 02+y 02=3 ①，又P 是椭圆上一点，∴x 022+y 024=1，②联立①②得，x 02=1,y 02=2，又x 0>0，y 0>0，∴x 0=1,y 0=√2， 故点P 的坐标为(1,√2)；(2)∵直线AB 的方程为y =√2x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程和椭圆方程，得{y =√2x +mx 22+y 24=1，消去y 得4x 2+2√2mx +m 2−4=0．∴x 1+x 2=−√22m ，x 1x 2=m 2−44，由△>0，得m ∈(−2√2,2√2)， 点P(1,√2)到直线AB 的距离为d =√3，|AB|=√3√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3(4−12m 2)， 则S △PAB =12|AB|⋅d =12√3(4−12m 2)√3=√18m 2(−m 2+8)≤√18(m 2−m 2+82)2=√2．当且仅当m =±2∈(−2√2,2√2)取等号， ∴三角形PAB 面积的最大值为√2．解析：(1)设出点P 的坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，由椭圆方程求得左右焦点坐标，然后结合PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1求得P 的坐标所满足的关系式，再根据P 在椭圆上得另一关系式，联立即可求得P 的坐标； (2)联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于0求出m 的范围，然后分别利用弦长公式和点到直线的距离公式求出弦AB 的长及点P 到直线AB 的距离，代入三角形的面积公式利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线位置关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用一元二次方程的根与系数关系求解，该题还运用了换元法和函数的单调性求最值，综合性强．20.答案：解：(1)由题意，函数的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，f′(x)=11+x −a(1−x)2，---(1分)当a ≤0时，注意到11+x >0,a(1−x)2≤0，所以f′(x)>0， 即函数f(x)的增区间为(−1,1)，(1,+∞)，无减区间；---(2分) 当a >0时，f′(x)=11+x −a(1−x)2=x 2−(2+a)x+1−a (1+x)(1−x)2，由f ′(x)=0，得x 2−2(2+a)x +1−a =0， 此方程的两根x 1=a+2−√a 2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2，其中−1<x 1<1<x 2，注意到(1+x)(1−x)2>0，所以f ′(x)>0⇔−1<x <x 1或x >x 2， f ′(x)<0⇔x 1<x <1或1<x <x 2，即函数f(x)的增区间为(−1,x 1)，(x 2,+∞)，减区间为(x 1,1)，(1,x 2)， 综上，当a ≤0时，函数f(x)的增区间为(−1,1)，(1,+∞)，无减区间；当a >0时，函数f(x)的增区间为(−1,x 1)，(x 2,+∞)，减区间为(x 1,1)，(1,x 2)， 其中x 1=a+2−√a2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2.--(6分)(2)证明：当a =1时，由(1)知，函数f(x)=ln(1+x)−x1−x 在(0,1)上为减函数，--(7分) 则当0<x <1时，f(x)=ln(1+x)−x1−x <f(0)=0，即ln(1+x)<x1−x ， 令x =12013×2m +1 (m ∈N ∗)，则ln(1+12013×2m +1) <12013×2m ， 即ln(1+12013×2m +1)2013<12m ，所以a m =(1+12013×2m +1)2013<e 12m ，---(10分)又a m >0，所以a 1⋅a 2⋅…⋅a m <e 12⋅e 14…e 12m =e 1−12m <e <3.----(12分)解析：(1)在定义域x 大于0上，令f ′(x)=0求出x 的值，利用x 的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间单调递增区间与单调递减区间，注意分类讨论； (2)与数列有关的证明题，常用放缩法来解决．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握证明不等式成立时所常用的方法．21.答案：(1)解：∵S 1，S 2，S 3成等比数列，∴S 22=S 1⋅S 3，∴a 1(a 4+a 5+a 6+a 7)=(a 2+a 3)2，∴a 1(4a 1+18d)=(2a 1+3d)2，化为2a 1d =3d 2，解得d =0或a 1=32d. 当d =0时，S n =2n−1a 1≠0，∴S n+1S n=2，∴数列{S n }成等比数列．当a 1=32d 时，S n =a 2n−1+a 2n−1+1+⋯+a 2n −1 =2n−1a 2n−1+2n−1(2n−1−1)2d =2n−1[a 1+(2n−1−1)d]+2n−1(2n−1−1)2d =32d ⋅4n−1≠0．∴S n+1S n=4，∴数列{S n }成等比数列．综上可得：S1，S2，S3成等比数列，数列{S n}成等比数列．(2)∵a1=154d>0，∴1S n =12n−1(32d⋅2n−1+a1−32d)=89d⋅34n+3⋅2n=89d×3×4n−142n−1+3×2n×4n−1≤89d ×4n−4n−142n−1+5×4n−1+1≤89d(14n−1+1−14n+1)．∴1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≤89d [(140+1−141+1)+(141+1−142+1)+⋯+(14n−1−14n+1)]=89d(12−14n+1)，n∈N∗．解析：(1)根据S1，S2，S3成等比数列，求出d=0或a1=32d，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等比数列的定义分别判断数列{S n}是否成等比数列即可；(2)由a1=154d>0，可得1S n=12n−1(32d⋅2n−1+a1−32d)=89d⋅34n+3⋅2n=89d×3×4n−142n−1+3×2n×4n−1≤89d×4n−4n−142n−1+5×4n−1+1=89d(14n−1+1−14n+1).利用“裂项求和”即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、等比数列的定义及其性质、“裂项求和”，考查了变形、裂项、放缩等技巧，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22.答案：解：f(=2lnx−13x2+23x，则′(x)=2x−23x+23，(1分)记(x)=x+2lx，则t′(x)=+2x >0(x0)，所以t(x)在(0,+∞)且t(√22)=122ln√22=12ln2<0，=1>0，即y=x−53./空格/空//空/空格//空/空//空/空//格空格/格/空格/格//格/…(分)当<4时，(x)在(,x2)上单调增，2，1上单调减，在(x1,+∞)上单调． (9)则g(x)=2x +x+k=2x2+kx2x，所以，当x=0时，(x取极小值，且最小值．因ℎ(x)在义域内单调所以′()≤0在(0,+∞恒成立，g()=2lnx+x2x，定义为0，+)，…(4分)又x0∈(√22,1)，所以x0−1x0∈(−√22,0)，即2k≤x2−2ln−2x 在(,+∞恒成立，即2k(x2−lnx−2x)min (11)则f′=2又(1)=13，所以2ks(x)min=x02−lnx0−2x0=2x02−2x0，即k≤x0−1x，…15分)所存在唯一的x0∈(√22,1)，s′(x0)=x02+lnx0x02=0，有2lnx0=−x02，…(1分)(x=2xlnx−13x3+kx2，义域0∞，则ℎ′(x)2(lnx+1)−x2+2kx．上当k≥−4，g(x)在0，+∞)调增；k<−4时，程()有两个不等的实根x1=−k+√k2−164>x2=−k−√k2−164>0当−4≤<0，g′x)≥0成立，时g)在(0,+)调增；空格/(7分)因为k∈Z，则k的值−1./空//空空空格/空格//空格空格/空////格/空空格/…(16分)解析：求出函的定义域，求出导数通过当k≥0时，−4≤<时，当k<−时，判导函数符号，求出的单区间．推出(x)=2lnx−13x3+kx2，解定义域与导数，利(x)义域内单调减，得到2k≤x2−2ln−2x(0,∞)恒成立，构造sx)=x22lnx−2x =x−2nxx−2x，出导数，记t(x=x2+lnx判断导函符号，利用所以存在一的x0∈(√22,1)，s(x)取极小是最小值．然后求解k的最大值．本题考查函数的导数的合，函数的单调性以及函数的极值以及函数的最值的求法考查构法应地产股涨以及数的应，难度，需要解题仔细认真，查类讨转想的应用．23.答案：解：设M点坐标为(x,y)，那么A点坐标是(2x,2y)，A点坐标满足圆x2+y2−8x=0的方程，所以(2x)2+(2y)2−16x=0所以M点轨迹方程为x2+y2−4x=0解析：设出M点坐标为(x,y)，求出A点坐标是，利用A点坐标满足圆的方程，代入求解可得弦OA 中点M的轨迹方程本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，注意中点坐标的灵活运用，本题是应用代入法求解的，注意掌握．24.答案：证明：(1)由于△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，故连接AC交BD于O点，则△ABC≌△ADC，∴∠BAC =∠DAC ，则AC ⊥BD ，又∵EC ⊥BD ，EC ∩AC =C ，故BD ⊥面ACE ，∴平面BED ⊥平面AEC ；解：(2)由(1)知AC ⊥BD ，且CO =12，AO =32，连接EO ，则CO CE =CE AC =12，∴△COE∽△CEA ，又CE 2+AE 2=AC 2=4，可得∠CEA =90°．∴∠COE =∠CEA =90°，故E O ⊥AC ，又BD ⊥OE ，故如图建立空间直角坐标系，则B(0,√32,0)，D(0,−√32,0)，C(−12,0，0)，M(34,0，34)， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(34,√32,√34)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)， 设平面DBM 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√3y 1=034x 1+√32y 1+√34z 1=0，取z 1=1，得m ⃗⃗⃗ =(−√33,0,1)； CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(54,0,√34)， 设平面CBM 的法向量n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则由{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{12x 2+√32y 2=054x 2+√34z 2=0，取z 2=1，得n ⃗ =(−√35,15,1)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√8729． 故二面角D −BM −C 的平面角的余弦值为3√8729．解析：(1)由题意可得AC ⊥BD ，又EC ⊥BD ，结合线面垂直的判定可得平面BED ⊥平面AEC ；(2)由(1)知AC ⊥BD ，证得△COE∽△CEA ，可得CE 2+AE 2=AC 2=4，即∠CEA =90°，得EO ⊥AC ，又BD ⊥OE ，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面DBM 与平面CBM 的一法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D −BM −C 的平面角的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．。
江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试数学含答案
2019－2020学年第二学期期中试卷高二数学2020.05注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)，本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝21ii(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为A.－1B.－iC.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t ＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为 2.8m/s2A.32s B.2s C.52s D.73s3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为A.33B.22C.63D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>46.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为A.13B.49C.59D.237.若函数2xx f xax e存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是A.(－∞，1e) B.(0，1e) C.(－∞，0)∪{1e} D.(－∞，0)∪(0，1e)8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A.252B.216C.162D.228二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷及解析
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数1z i =-（其中i 是虛数单位），则复数z 的虛部为（ ） A.1-B.i -C.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v （单位：m/s ）与行驶时间t （单位：s ）之间的关系是()20.40.6v t t t =+，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s 2？（ ）A.32s B.2s C.52s D.73s 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的正弦值为（ ）D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（ ） A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数()332f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，则实数b 的取值范围是（ ） A.4b ≤B.4b <C.4b ≥D.4b >6.如图，在圆锥PO 的轴截面PAB 中，60APB ∠=︒，有一小球1O 内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球1O 的体积为1V ，圆锥PO 的体积为V ，则1:V V 的值为（ ）A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D.()1,00,e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A.252B.216C.162D.228第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.复数z 满足z i=（其中i 是虛数单位），则复数z 的模等于______. 10.设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.11.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）三、解答题（题型注释）12.已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.13.已知函数()ln f x ax bx x =+，()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，其中e 是自然对数的底数.（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数()f x 的极值.14.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，M 是PD 上一点，且BM PD ⊥.（1）求异面直线PB 与CM 所成角余弦的大小； （2）求点M 到平面PAC 的距离.16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E 为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值. 17.已知()221()ln ,x f x a x x a R x-=-+∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．四、新添加的题型）A.若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B.若()2x f x e =，则()2x f x e '=C.若()f x =()f x '=D.若()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()sin 23f x x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭19.下面四个命题中的真命题为（ ） A.若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ B.若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C.若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = D.若复数z R ∈，则z R ∈ 20.以下关于函数()21f x x x=+的说法正确的是（ ） A.函数()f x 在0,上不单调B.函数()f x 在定义域上有唯一零点C.函数()f xD.x =()f x 的一个极值点21.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A.PC 与平面BCD 所成的最大角为45B.存在某个位置，使得PB CD ⊥--的大小为90时，PC=C.当二面角P BD CD.存在某个位置，使得B到平面PDC22.已知四面体ABCD的所有棱长均为a，则对棱AB与CD间的距离为______，该四面体的外接球表面积为______.参考答案1.A【解析】1.利用复数的除法运算化简，再得到复数z 的虛部.21i z i =-2(1)1(1)(1)i i i i i --==--+--，则复数z 的虛部为1-. 故选：A 2.B【解析】2.计算()'v t ，根据()'v t 的物理意义，代入() 2.8='v t ，简单计算可得结果. 由题可知：()20.40.6v t t t =+，所以()=0.4+1.2'v t t 则()2.8=0.4+1.22⇒=t t s 所以火车开出2s 时加速度为2.8m/s 2 故选：B 3.C【解析】3.连AC 交BD 于O ，连1A O ，证明BD ⊥平面11AAC C ，从而有1,AC BD AO BD ⊥⊥，1AOA ∠或（补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，在1Rt AOA 中求出11,AO AA 关系， 即可得出结论.连接AC 交BD 于点O ，连1A O ，如下图所示， 因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以11,A AA BD AC BD A C A A ⊥⊥=，，BD ⊥平面111,AAC C AO ⊂平面111,AAC C BD AO ⊥， 所以1AOA ∠（或补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 的平面角，在△A 1OA 中，设AA 1＝a ，则AO 2=a ，12A O a =，1111sin sin2AAAOC AOAAO∠=∠===所以平面1A BD与平面ABCD.故选：C．4.B【解析】4.甲和乙相邻，捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.甲和乙相邻，捆绑在一起有22A种，再与丙和丁外的两人排列有33A种，再排丙和丁有24A种，故共有22A33A24A144=种.故选：B5.A【解析】5.先对函数求导，根据函数在区间()2,3内单调递增，转化为导函数大于等于0，然后分离常数b，根据最值求得b的取值范围.3()32f x x bx=-+，2()33f x x b'=-，∵函数()332f x x bx=-+在区间()2,3内单调递增，∴导函数2()33f x x b'=-0,(2,3)x≥∈恒成立，则2,(2,3)b x x≤∈恒成立，故4b≤.故选：A．6.B【解析】6.采用数形结合，假设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R，然后计算=r R ，可得R =，然后根据体积公式简单计算，可得结果.如图设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R 由1△△POB PMO 所以11=PO O MPB OB由60APB ∠=︒，所以tan tan 603=∠==OP R OBP R R2sin2==∠OBPB RAPB所以=r RR =所以3323141,3333πππ==⋅==r R V V R r所以149=V V ， 故选：B 7.C【解析】7.首先能判断出0x=是函数的零点，问题转化为xxa e =有一个非零根，构造函数，研究其图象的走向，从而得出结果.函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，等价于2x x ax e=有两个不同的解，0x =满足条件，所以xxa e =有一个非零根， 令()x x g x e =，21'()x x xx e xe xg x e e--==， 当1x >时，)'(0g x <，1x <时，'()0g x >，所以()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且当(,1)x ∈-∞时，1()(,)f x e ∈-∞，当(1,)x ∈+∞时，1()(0,)f x e∈， 所以xx a e =有一个非零根时，实数a 的取值范围是()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， 故选：C. 8.D【解析】8.根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案.解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个；②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D.【解析】9.利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出结果． ∵3iz i-=， ∴223331131i i i i i z i i --+===---=，∴|z |=10.1【解析】10.先对函数求导，再令1x =，求出'(1)f 的值，代入原函数中，再令3x =可求出(3)f .由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f = 故答案为：1 11.240【解析】11.根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.12.（1）32a =-；3b =-；（2）34m <<【解析】12.（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-； （2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果.（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-，因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数， 所以32a =-． （2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 13.（1）11a b =⎧⎨=-⎩；（2）极大值1；()f x 无极小值..【解析】13.（1）计算()f e ，()f e '，根据函数在x e =处的切线方程，简单计算可得结果. （2）根据（1）的结论，可得()ln f x x x x =-，然后利用导数，判断原函数的单调性，找到极值点，最后计算可得结果.（1）由()ln f x ax bx x =+，得()()1ln f x a b x '=++，由()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，知切点为(),0e ，斜率为1-，所以()()()021f e a b e f e a b ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解之得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，令()0f x '=，得1x =，由表可知，当1x =时，f x 取得极大值1；)f x 无极小值. 14.（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.【解析】14.（1）根据分步计数原理直接计算可得64，然后可得结果. （2）依据题意，计算46A ，可得结果.（3）先分组，可得22364622+C C C A ，后排列，可得2234646422⎛⎫+ ⎪⎝⎭C C C A A ，简单计算可得结果. （1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法， 由分步计数原理知共有644096=种．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人， 第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法， 第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法466543360A =⨯⨯⨯=种．（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有2236462215620652C C C A ⨯+=+=种． 每组参加一个项目，由分步计数原理得共有()22346464222045241560C C C A A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭种． 15.（1；（2.【解析】15.（1）连BD 交AC 于O ，连MO ，根据已知可得BP BD =，得出M 为PD 中点，从而有//OM PB ，OMC ∠（或补角）就为所求的角，分别求出,,OM OC MC ，即可得出结论；或建立空间直角坐标系，确定,,,P B M C 坐标，利用向量夹角公式，也可求解.（2）点M 到平面PAC 的距离等于点D 到平面PAC 距离的一半，由PA ⊥平面ABCD ，过D 做DN AC ⊥于N ，可证DN ⊥平面PAC ，即可求出结论；或求出,PAC ACD △△的面积，用等体积法也可求解；或建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用空间向量点到面的距离公式亦可求解. （1）连BD 交AC 于O ，连MO ，PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA CD ⊥⊥，在Rt PAB中，4,2,PA AB PB ====，又因为底面ABCD 是矩形，所以O 为BD 中点，2,4AB AD ==，所以BD PB ==，因为M 是PD 上一点，且BM PD ⊥， 所以M 为PD 中点，1//,2MO PB MO PB =， 所以OMC ∠（或补角）就为PB 与CM 所成的角， 因为,,PA CD AD CD PAAD A ⊥⊥=所以CD ⊥平面,PAD CD PD ⊥，MC ==，1122MO PB CO AC ====2cos MCOMC MO ∠===所以异面直线PB 与CM所成角余弦值为5； （2）解1：过D 做DN AC ⊥于N ，PA ⊥平面ABCD ， 所以,PA DN PAAC A ⊥=，所以DN ⊥平面PAC ，DN 为点D 到平面PAC 的距离，在Rt ACD △中，CD DA DN AC ⋅==， 又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC． 解2：因为Rt BCE ，PA ⊥平面ABCD ，所以111162443323P ACD ACD V S PA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，在Rt ADC 中，AC ==11422PAC S AC PA =⋅=⨯=△设点D 到平面PAC 的距离为h ，则13D PAC PAC V S h -=⋅=△，由P ACD D PAC V V --=，得1633=，所以h =．又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC ．解法二：分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（1）()()()()()0,0,0,2,442,0,0,0,4,0,0,0,,0,A P C B D则()2,0,4PB =-，()2,4,4PC =-，()0,4,4PD =-， 设()01PM PD λλ=≤≤，则()0,4,4PM λλ=-， 所以()2,4,44BM PM PB λλ=-=--，由BM PD ⊥，知()0164440BM PD λλ⋅=+--=，所以12λ=，M 为PD 中点， 所以()0,2,2M ，()2,2,2CM =--，cos ,2PBCM PB CM PB CM⋅===．所以异面直线PB 与CM 所成角的余弦值为5． （2）()0,0,4AP =，()2,4,0AC =， 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由00AP n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得40240z x y =⎧⎨+=⎩，所以0z =，取2x =，得1y =-，所以()2,1,0n =-是平面PAC 的一个法向量．所以点M 到平面PAC 的距离为22CM n n⋅-==． 16.（1）证明见解析；（2.【解析】16.（1）取PD 中点N ，连接AN ，MN ，证明//EM AN ，再证得//EM 平面PAD ； （2）连接PE ，先证CE AB ⊥，证得CE ⊥面PAB ，再作⊥AF PE 交PE 于F，连接MF ，证得AF ⊥面PEC ，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角，再求出AMF∠的正弦值.（1）证明：取PD 中点N ，连接AN ，MN ，因为M 为PC 的中点，所以//MN CD 且12MN CD =， 又223AE AB ==，4CD =，且//AB CD ，则//MN AE ，且MN AE =， 所以四边形AEMN 为平行四边形，则//EM AN ． 又因为EM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以//EM 平面PAD ．（2）解：在ACD △中，22291692cos 22343AC CD AD ACD AC CD +-+-∠===⋅⨯⨯，因为//AB CD ，所以2cos 3BAC ∠=， 在ACE △中，22222cos 4922353CE AE AC AE AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 由222AE CE AC +=，知CE AB ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，所以CE PA ⊥， 又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ．在平面PAB 内，过点A 作⊥AF PE ，交PE 于F ，连接FM ， 则CE AF ⊥，又PECE E =，CE ⊂平面PCE ，PE ⊂平面PCE ，所以AF ⊥平面PCE ，所以FM 是AM 在平面PCE 内的射影， 则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角．在Rt PAC △中，M 为PC 的中点，所以1522AM PC ===，在Rt PAE 中，由PA AE PE AF ⋅=⋅，得5PA AE AF PE ⋅===，所以sin 25AF AMF AM ∠==所以直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值为25． 17.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】17.试题（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性； （Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x--+=， 设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号， 所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案
1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1．利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：(2)2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．判断正误：(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是单调减函数．( )(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2.【答案】(2，＋∞)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上的单调性．【精彩点拨】求出导数f′(x)，然后判断导数的符号即可．【自主解答】(1)证明：由于f(x)＝e x－x－1，所以f′(x)＝e x－1，当x∈(0，＋∞)时，e x>1，即f′(x)＝e x－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，e x<1，即f′(x)＝e x－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝ln x x，所以f′(x)＝1x·x－ln xx2＝1－ln xx2.由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，x2>0.故f′(x)＝1－ln xx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在( a，b)内的符号；(3)得出结论．[再练一题]1．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．【证明】显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝exx－2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2.【精彩点拨】 首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间． 【自主解答】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x＝错误!.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝错误!＝错误!.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2)；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的范围；当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[再练一题]2．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________.【导学号：01580011】【解析】 由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2， 又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 【答案】 (2，＋∞)[探究共研型]探究【提示】 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x ＋ax ＋ln x (a ∈R )在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．【提示】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax2＋1x ＝x2＋x －ax由题意知，f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即x 2＋x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2＋x －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14－a ，则g (x )＞2－a ，从而2－a ≥0，∴a ≤2. 当a ＝2时，f ′(x )＞0在(1，＋∞)上恒成立， 因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值． 因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a >0，令y ′>0，得x >a 3或x <－a 3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[再练一题]3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y′＝3x2－a，当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．[构建·体系]1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图1-3-1【解析】当x＜0时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，排除①，③；当x＞0时，f(x)先增后减再增，对应f ′(x )先正后负再正．故选④.【答案】 ④2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________(填序号)． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .【解析】 显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的； 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求； 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝错误!<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝错误!在区间(－1，1)上是减函数；函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．【答案】 ③3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 【答案】 (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝错误!，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x恒成立，所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x2－32x16x＝错误!.因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝错误!≤0， 即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－716，＋∞.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
2019-2020学年苏州市常熟市高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年苏州市常熟市高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共42.0分）1.已知数列，()，若，且，则中是1的个数为．2.已知复数，且，则．3.由0，1，2，3，4，5这六个数字．能组成______ 个无重复数字的四位偶数．4.已知(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1−2a2+3a3−4a4=______ ．5.随机变量ξ的分布如表，则E(5ξ+4)=______．ξ024P0.40.30.36.已知函数f(x)=x3−3x2−2，过点(2,m)(m≠−6)可作曲线y=f(x)的三条切线，则m的取值范围是______．7.复数z满足(3−4i)z=5+10i，则|z|=______．8.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=______ ．9.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是___________10.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是______ ．11.平面内有n(n∈N∗)个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成f(n)个区域，那么f(n)=______ ．)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中x的系数为______.(用数字作答) 12.已知(2x+√x)n的二项展开式中的第五项是常数，则自然数n的值为______ ．13.若(√x−2x14.设x1、x2是函数f(x)=ax3+bx2−a2x(a>0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2√2，则b的最大值为______ ．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在复平面内描出表示下列复数的点和向量：(1)2+5i；(2)−3+2i；(3)3−2i；(4)−2i−4；(5)3；(6)−3i；(7)4i；(8)−2．16.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．17.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数组成没有重复数字的七位数，试问：(1)三个偶数排在一起的有几个？(2)偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？(3)任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18.一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为1，2，3.从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同)．(Ⅰ)求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；(Ⅱ)在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19.19.(本小题满分12分)数列中，，，数列满足，．(Ⅰ)若数列是等差数列，求数列的前项和；(Ⅱ)若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式．20.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a>0)在x=1处有极值10．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：33解析：试题分析：，所以中是1的个数为考点：本小题主要考查计数原理的应用．点评：解决本小题的关键是根据题意求出，再结合，即可求解，要注意转化思想的应用．2.答案：解析：试题分析：，则解得即．考点：1.复数的运算；2.复数的恒等．3.答案：156解析：当末位是数字0时，可以组成A53个数字；当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C21C41A42种结果，根据计数原理得到结果．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想．数字问题是排列中经常见到问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，注意数字0的双重限制，即可在最后一位构成偶数，又不能放在首位．解：(1)本题需要分类来解，当末位是数字0时，可以组成A53=60个，当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C21C41A42=96种结果，根据分类计数原理知共有60+96=156种结果，故答案为：156．4.答案：−8解析：先对二项展开式求导函数，对求导后的式子中的x赋值−1，求出代数式的值．本题考查复合函数的求导法则、利用赋值法解决代数式的系数和问题．解：对二项式的展开式求导得到8(1+2x)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3令x=−1得到−8═a1−2a2+3a3−4a4.故答案为−8．5.答案：13解析：解：由题意可得：E(ξ)=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8，∴E(5ξ+4)=5×1.8+4=13．故答案为：13．利用分布列，求解期望，通过期望公式，转化求解即可．本题考查了概率的性质，数学期望的计算，属于基础题．6.答案：(−7,−6)解析：解：∵点(2,m)(m≠−6)不在曲线y=f(x)上，∴设切点为(x0,y0)，则y0=x03−3x02−2．∵f′(x0)=3x02−6x0，∴切线的斜率为3x02−6x0．则3x02−6x0=x03−3x02−2−m，即2x03−9x02+12x0+2+m=0，x0−2因为过点(2,m)(m≠−6)，可作曲线y=f(x)的三条切线，所以方程2x03−9x02+12x0+2+m=0有三个不同的实数解．即函数g(x)=2x3−9x2+12x+2+m有三个不同的零点．则g′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−2)(x−1)，令g′(x)=0，解得x=1或x=2．x(−∞,1)1(1,2)2(2,+∞)g′(x)+0−0+g(x)↗极大值↘极小值↗∴{g(2)<0，即{7+m>06+m<0,解得−7<m<−6．故答案为：(−7,−6)．求出函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系，构造函数，求得导数和单调性、极值，即可得到结论．本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系以及导数的几何意义，要求熟练掌握导数的综合应用．7.答案：√5解析：本题考查了复数的运算；熟记运算法则是关键；属于基础题．首先通过复数的除法运算得到复数z，然后求模长．解：因为(3−4i)z=5+10i，所以z=5+10i3−4i =(5+10i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−25+50i25=−1+2i，则|z|=√12+22=√5；故答案为：√5．8.答案：2解析：解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=ACAC1，cosβ=AB1AC1，cosγ=AD1AC1，∴cos2α+cos2β+cos2γ=AC2+AB1 2+AD1 2AC1 2，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ=AC2+AB1 2+AD1 2AC1 2=a2+b2+a2+c2+b2+c2a2+b2+c2=2故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．9.答案：解析：试题分析：总人数为5人，其中有小丽1人，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是考点：古典概型的概率点评：求古典概型的概率，只有确定要求事件的数目和总的数目，然后求出它们的比例即可。
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二下学期期中数学复习卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设复数z =x +yi(x,y ∈R,y ≠0)，z 2+2z ∈R ，z 在复平面上所对应点在直线y =x 上，则|z|=______ ．2. 设集合A ={x|log 2x <1}，B ={x|x−1x+2<0}，则A ∩B =______． 3. 幂函数y =f(x)的图象经过点(4,12)，则f(4)的值为______． 4. 在△ABC 中，cos 2A2=b+c 2c(a,b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则cosA+B 2= ______ ．5. 已知函数f =4cos x ·sin 的最小正周期为π，则f(x)的最小值为 ．6. 计算的结果为___________．7. 在△ABC 中，D 为BC 边长一点，AD =2，∠DAC =60°.若AC =4−CD 且△ABC 的面积为4√3，则sin∠ABC =______．8. 已知函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤3(x −4)2,x >3，若方程f(x)=m 有四个不同的实数根，由小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则4x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是______ ． 9. 奇函数在上的解析式是，则在上的函数析式是_______________．10. 函数y =log 12(−x 2+3x −4)的单调增区间为______ ． 11. 对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为______12. 已知：sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，则cos(α−β)= ______ ．13. 若函数f(x)=x 3+x ，且f(2a −10)+f(3a)<0，则实数a 的取值范围是______．(x∈R)，若关于x的方程f2(x)−kf(x)+k−1=0恰好有4个不相等的实数根，14.已知f(x)=|x|e x则实数k的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.(本小题满分12分)已知复数，，当时，求的取值范围．16.已知α、，且tanα、tanβ是方程x2−5x+6=0的两根．①求α+β的值．②求tan(α−β)的值．17.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？18.如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园，点M，N分别在边AB，AD上(1)当点M，N分别时边AB中点和AD靠近D的三等分点时，求∠MCN的余弦值；(2)实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．19.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[−5,5]．(1)当a=−1时，求函数y=f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在［−5，5］上是单调增函数．20.已知函数．(Ⅰ)求在点处的切线方程；(Ⅱ)当时，若不等式恒成立，求的取值范围．【答案与解析】1.答案：√2解析：解：∵z2+2z=x2−y2+2x+(2xy−2y)i∈R，∴2xy−2y=0①．又z在复平面上所对应点在直线y=x上，可得x=y②．由①②可得x=y=1，则|z|=√x2+y2=√2，故答案为：√2．根据条件求得2xy−2y=0，且x=y，由此求得x、y的值，从而求得|z|的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2.答案：{x|0<x<1}解析：解：由已知，集合A中的不等式log2x<1=log22，由2>1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域为：x>0得到：0<x<2；而集合B中的不等式x−1x+2<0可化为{x−1>0x+2<0或{x−1<0x+2>0，解得−2<x<1，则A={x|0<x<2}，B={x|−2<x<1}，所以A∩B={x|0<x<1}．故答案为：{x|0<x<1}．把集合A中的1变为log22，然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可求出x的范围即可得到集合A；由集合B中的不等式得到x−1与x+2异号，列出不等式求出解集即可得到集合B，然后求出A与B的交集即可．本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问题，理解不等式x−ax−b<0与不等式(x−a)(x−b)<0同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算．3.答案：−12解析：解：因为函数y=f(x)为幂函数，所以可设f(x)=x a，依题意得f(4)=12，∴4a =12，解得a =−12 故答案为：−12．根据幂函数概念，设出幂函数的解析式，然后代入点的坐标，解出a.然后计算f(4)． 本题考查了幂函数的解析式的求法，属基础题．4.答案：√22解析：解：在△ABC 中，∵cos 2A2=b+c2c，∴1+cosA 2=sinB+sinC 2sinC=12⋅sinB sinC +12，∴1+cosA =sinBsinC +1，∴cosAsinC =sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∴sinAcosC =0，又sinA ≠0，∴cosC =0，∴C 为直角， ∴cosA+B 2=cosπ−C 2=sin C 2=sin π4=√22， 故答案为：√22．由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式求得cosC =0，可得C 为直角，再根据 cos A+B 2=cosπ−C 2=sin C2求得结果．本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．5.答案：−2+解析：由已知得f(x)=2 cos ωx ·(sin ωx +cos ωx)=(sin 2ωx +cos 2ωx +1)=2sin(2ωx +)+，因为最小正周期为π，所以=π，ω=1，所以f(x)=2sin(2x + )+，所以f(x)的最小值为−2+．6.答案：1.解析：试题分析：由对数恒等式知，根据对数运算法则知，∴．考点：对数的运算及对数恒等式．7.答案：√3926解析：解：如图，设CD=x，则AC=4−x，由题意，△ACD中，根据余弦定理可得：x2=22+(4−x)2−2×2×(4−x)×cos∠DAC，整理可得：x=2，可得：CD=AD=AC=2，可得：C=60°，由于△ABC的面积为4√3=12×AC×BC×sin60°=12×BC×2×√32，解得：BC=8，由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC=√22+82−2×2×8×12=2√13，可得：△ABC的面积为4√3=12×AB×BC×sin∠ABC=12×2√13×8×sin∠ABC，解得：sin∠ABC=√3926．故答案为：√3926．设CD=x，则AC=4−x，由余弦定理可得CD=AD=AC=2，可得：C=60°，利用三角形面积公式可求BC的值，根据余弦定理可求AB的值，进而利用三角形的面积公式可求sin∠ABC的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．8.答案：[12,13)解析：解：作函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤3(x −4)2,x >3的图象如下，由题意知，x 1x 2=1，x 3+x 4=8； 4x 1+x 2≥2√4=4，(当且仅当4x 1=x 2，即4x 1=x 2=2时，等号成立)； 故4x 1+x 2+x 3+x 4≥12， 且4x 1+x 2+x 3+x 4<13； 故答案为：[12,13)．作函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤3(x −4)2,x >3的图象，从而可得x 1x 2=1，x 3+x 4=8；从而由基本不等式确定的取值范围．本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，属于中档题．9.答案：解析：试题分析：为奇函数且在上的解析式是，故当时，，，故．考点：求奇函数在相反区间的解析式10.答案：[32,4)解析：解：∵−x 2+3x −4>0， ∴−3<x <4，令f(x)=−x 2+3x −4， 对称轴x =32，开口向下，∴f(x)在[32,4)递减，∴y =log 12(−x 2+3x −4)在[32,4)递增，故答案为：[32,4)．先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性，结合二次函数以及对数函数的单调性，从而得到函数的单调区间．本题考查了复合函数的单调性，考查了对数函数以及二次函数的性质，是一道基础题．11.答案：−505解析：解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10=55， 且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462−472+482−492+502−512+522−532+542−552 =−(46+47+48+49+50+51+52+53+54+55)=−505， 故答案为：505． 故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10=55，由此能求出第10行所有数的和．本题考查数列中第10行所有数的和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．12.答案：34解析：解：∵sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，∴平方相加得sin 2α−2sinαsinβ+sin 2β+cos 2α−2cosαcosβ+cos 2β=14+14=12， 即2−2cos(α−β)=12， 则2cos(α−β)=32， 则cos(α−β)=34， 故答案为：34．根据两角和差的余弦公式，将条件进行平方相加即可得到结论．本题主要考查三角函数值的化简和计算，利用平方关系结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．13.答案：(−∞,2)解析：解：根据题意，函数f(x)=x3+x，则有f(−x)=(−x)3+(−x)=−(x3+x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；又由f′(x)=3x2+1>0，则函数f(x)在R上为增函数；f(2a−10)+f(3a)<0⇒f(2a−10)<−f(3a)⇒f(2a−10)<f(−3a)⇒2a−10<−3a，解可得：a<2，即a的取值范围为(−∞,2)；故答案为：(−∞,2)．根据题意，由函数的解析式分析可得f(−x)=−f(x)，即可得函数f(x)为奇函数，求出f(x)的导数，分析可得f(x)在R上为增函数；据此可得f(2a−10)+f(3a)<0⇒2a−10<−3a，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数f(x)的奇偶性与单调性，属于基础题．14.答案：(1,1+1e)解析：解：化简可得f(x)=|x|e x ={xe x,x≥0−xe x,x<0，当x≥0时，f′(x)=1−xe x，当0≤x<1时，f′(x)>0，当x≥1时，f′(x)≤0∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减；当x<0时，f′(x)=x−1e x<0，f(x)为减函数，∴函数f(x)=|x|e x 在(0,+∞)上有一个最大值为f(1)=1e，作出函数f(x)的草图如图：设m=f(x)，当m>1e时，方程m=f(x)有1个解，当m=1e时，方程m=f(x)有2个解，当0<m<1e时，方程m=f(x)有3个解，当m =0时，方程m =f(x)，有1个解， 当m <0时，方程m =f(x)有0个解，则方程f 2(x)−tf(x)+t −1=0等价为m 2−tm +t −1=0，要使关于x 的方程f 2(x)−tf(x)+t −1=0恰好有4个不相等的实数根， 等价为方程m 2−tm +t −1=0有两个不同的根m 1>1e 且0<m2<1e ， 设g(m)=m 2−tm +t −1，则{g(0)=t −1>0g(1e )=1e 2−te +t −1<0−−t 2>0，解得1<t <1+1e ， 故选答案为：(1,1+1e )．求函数的导数，判断函数的取值情况，设m =f(x)，利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．15.答案：解：由题意得：所以即所以所以，解得：，故实数a 的取值范围是．解析：本题主要考查复数的综合计算问题，先化简复数z，然后代入到，再求出，然后根据，建立关于a的不等式即可求出a的取值范围．16.答案：解：①∵tanα、tanβ是方程x2−5x+6=0的两根，解方程可得两根为2和3，即tanα=2，tanβ=3，或tanα=3，tanβ=2，∴α、β∈(0,π2)，α+β∈(0,π)，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，又可得α、β∈(0,π2)，α+β∈(0,π)，∴α+β=3π4；②当tanα=2，tanβ=3时，tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−17；当tanα=3，tanβ=2时，tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=17解析：①解方程可得tanα、tanβ的值，代入两角和的正切公式计算可得其值，结合角的范围可得；②代入两角差的正切公式计算可得．本题考查两角和与差的正切函数公式，涉及一元二次方程和分类讨论的思想，属中档题．17.答案：解：(1)设函数关系式为z=Asin(ωt+φ)+B，A>0，B>0，ω>0，，依题意可知z的最大值为6，最小值为−2，∴{A+B=6−A+B=−2⇒{A=4B=2；水轮转一圈需要12s，则最小正周期为12，，得z=4sin(π6t+φ)+2，当t=0时，z=0，得sinφ=−12，，则φ=−π6，故所求的函数关系式为z=4sin(π6t−π6)+2，t≥0；(2)令z=4sin(π6t−π6)+2=6，得sin(π6t−π6)=1，取，得t =4+12k ，k ∈Z ，故点P 第一次到达最高点大约需要4s ．解析：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，属于中档题． (1)设函数关系式为z =Asin(ωt +φ)+B ，A >0，B >0，ω>0，，先根据z 的最大和最小值求得A 和B ，利用周期求得ω，当t =0时，z =0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得； (2)令z =6，即z =4sin(π6t −π6)+2=6，可求得时间．18.答案：解：(1)当点M ，N 分别是边AB 中点和AD 靠近D 的三等分点时，tan∠DCN =13，tan∠MCB =12，如图所示； 所以tan(∠DCN +∠MCB)=13+121−13×12=1，所以∠DCN +∠MCB =π4， 所以∠MCN =π4， 所以cos∠MCN =√22；(2)设AM =x ，AN =y ，则MN 2=x 2+y 2=(1.2−x −y)2， 可得xy =1.2(x +y)−0.72， 又tan∠DCN =0.6−y 0.6，tan∠MCB =0.6−x 0.6， 所以tan(∠DCN +∠MCB)=0.6−y 0.6+0.6−x0.61−0.6−y 0.6×0.6−x 0.6=0.72−0.6(x+y)0.6(x+y)−xy，将xy =1.2(x +y)−0.72代入上式，计算得tan(∠DCN +MCB)=1， 所以∠DCN +∠MCB =π4， 所以∠MCN =π4为定值．解析：(1)根据题意计算tan∠DCN 和tan∠MCB 的值，求出tan(∠DCN +∠MCB)的值，即得∠MCN ，再求cos∠MCN ；(2)设AM =x ，AN =y ，利用余弦定理求出xy 、再计算tan∠DCN 、tan∠MCB ，从而求得tan(∠DCN +∠MCB)，得出∠MCN 为定值．本题考查了三角形中边角关系应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．19.答案：解：(1)当a=−1时，函数表达式是f(x)=x2−2x+2，∴函数图象的对称轴为x=1，在区间(−5,1)上函数为减函数，在区间(1,5)上函数为增函数．∴函数的最小值为[f(x)]min=f(1)=1，函数的最大值为f(5)和f(−5)中较大的值，比较得[f(x)]max=f(−5)=37综上所述，得[f(x)]max=37，[f(x)]min=1；(2)∵二次函数f(x)图象关于直线x=−a对称，开口向上∴函数y=f(x)的单调减区间是(−∞,−a]，单调增区间是[−a,+∞)，由此可得：当[−5,5]⊂[−a,+∞)时，即−5≥−a时，f(x)在[−5,5]上单调增，解之得5≤a．综上所述满足条件的实数a的取值范围是[5,+∞)．解析：本题考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值及函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)当a=−1时f(x)=x2−2x+2，可得区间(−5,1)上函数为减函数，在区间(1,5)上函数为增函数．由此可得[f(x)]max=37，[f(x)]min=1；(2)由题意，得函数y=f(x)的单调增区间是[−a,+∞)，由[−5,5]⊂[−a,+∞)解出5≤a，即为实数a 的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)，，，∴在点处的切线方程为，即；(Ⅱ)当时，，记，则有，当时，，∴的递增区间为；当时，，∴的递减区间为，∴，由当时，可知的最大值为，∴，即，∴的取值范围为.解析：本题考查利用导数曲线上某点处的切线方程及函数的单调区间与不等式恒成立问题，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(Ⅰ)先求函数的导数，进而即可求得结果；(Ⅱ)不等式恒成立可转化为恒成立，构造新函数利用导数即可求得结果．。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第1章 1.3.3 最大值与最小值 Word版含答案
1.3.3最大值与最小值1．会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点) 2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值与导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的最大值与最小值．(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一．2．利用导数求函数的最值求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )【答案】(1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上________．(填序号)①无最值；②有极值；③有最大值；④有最小值．【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．【答案】①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)f(x)＝x3－12x2－2x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝e－x－e x，x∈[0,1]．【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值．【自主解答】(1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：(2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ex ′－(e x )′＝－1ex －e x＝－1＋e2x ex .当x ∈[0,1]时，f ′(x )<0恒成立， 即f (x )在[0,1]上是减函数．故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝1e －e ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.求函数最值的四个步骤 (1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表； (4)求极值、端点值，确定最值．[再练一题]1．(2016·盐城质检)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最大值是________.【导学号：01580015】【解析】 ∵y ′＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，令y ′＝0，得x ＝π6.由于f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝π6＋3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝π2，∴函数的最大值为π6＋3.【答案】 π6＋3已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．【精彩点拨】 首先求出f ′(x )．然后讨论a 的正负，根据函数f (x )的单调性得出用a ，b 表示的函数的最值，从而列出关于a ，b 的方程组，求a ，b .【自主解答】 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29， f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．[再练一题]2．设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式.【导学号：01580016】【解】f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增当x＝a时，f(x)取得极小值－a32＋b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又因为f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故所求函数的解析式是f (x )＝x 3－62x 2＋1. [探究共研型]如图1-3-6为y ＝f (x图1-3-6探究1 观察[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，试找出它的极大值、极小值． 【提示】 f (x 1)，f (x 3)为函数的极大值，f (x 2)，f (x 4)为函数的极小值． 探究2结合图象判断，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？【提示】 存在．f (x )最小值＝f (a )，f (x )最大值＝f (x 3)．探究3 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值一定是其极值吗？ 【提示】 不一定．也可能是区间端点的函数值．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【精彩点拨】(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．【自主解答】(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调递增单调递减∴g(t)在(0,2)h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立⇔a<f(x)最小值；(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]最小值；(3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)最小值＞g(x)最大值；(4)a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)最大值．[再练一题]3．上例(2)若改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？【解】令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调 递增单调递减存在t ∈[0,2]，使h (t )<－2t ＋m 成立， 等价于g (t )的最小值g (2)<0. ∴－3－m <0，∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)．[构建·体系]1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π的最大值是________．【解析】 ∵y ′＝1－cos x ≥0，∴y ＝x －sin x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π上是增函数，∴y 最大值＝π.【答案】 π2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________.【导学号：01580017】【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2(舍去)． 当x ∈[－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )递增； 当x ∈(0,1]，f ′(x )<0，f (x )递减； ∴x ＝0时，f (x )取最大值2. 【答案】 23．函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的值域为________ .【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12·e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π24．已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x ，即m 2<ln xx 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )≥h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，2e .【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，2e5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a )． (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值． 【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。
2019-2020学年高中数学(苏教版必修2)同步文档：章末综合测评(一) 立体几何初步 Word版含解析
章末综合测评(一) 立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．给出下列命题：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； (4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 其中真命题的序号为__________．【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行． 综上：(1)(2)为真命题． 【答案】 (1)(2)2．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】 若有AC ⊥BD ，则A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C ，故条件可填AC ⊥BD . 【答案】 AC ⊥BD (答案不唯一)3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各个面引垂线，垂线段分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．【解析】 设四面体的高为h ，则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)， ∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63.【答案】 634．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．【解析】 设圆锥的体积为x ，则x －52x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，解得x ＝54.【答案】 545．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.【导学号：41292058】【解析】 V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π6．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的________条件． 【解析】 ∵m ⊥α，若l ∥α，则必有l ⊥m ，即l ∥α⇒l ⊥m . 但l ⊥mD ⇒/l ∥α，∵l ⊥m 时，l 可能在α内． 故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件． 【答案】 必要不充分7．如图1所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．图1【解析】 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1， MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1.又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 【答案】 90°8．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；③若l ⊥α，l ∥β，则α∥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β.【解析】 对于①，若l ∥α，l ∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误； 对于②，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β，故正确； 对于③，若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，故错误；对于④，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系有三种可能：l ⊥β，l ∥β，l ⊂β，故错误．故选②.【答案】 ②9．如图2，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB＝CG CD＝23，若BD ＝6cm ，梯形EFGH 的面积为28cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为__________cm.图2【解析】 由题知，EH ＝12BD ＝3 cm ，FG ＝23BD ＝4 cm.设平行线EH ，FG 之间距离为d ，则12×(3＋4)×d ＝28，解得d ＝8 cm. 【答案】 810．在四棱锥P －ABCD 中，P A⊥平面ABCD ，且P A ＝AD ，四边形ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，则AE 与PC 的位置关系为________．【解析】 易知CD ⊥AE ，AE ⊥PD ，则AE ⊥平面PCD ，所以AE ⊥PC . 【答案】 垂直11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是________．①点H 是△A 1BD 的垂心； ②AH ⊥平面CB 1D 1； ③AH 的延长线经过点C 1； ④直线AH 和BB 1所成的角为45°.【解析】 因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ， 所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A . 所以BD ⊥平面AA 1H . 又A 1H ⊂平面AA 1H .所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ， 所以点H 是△A 1BD 的垂心，①正确． 因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1， 所以AH ⊥平面CB 1D 1，②正确．易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故③正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠A 1AH ≠45°，故④错误． 【答案】 ④12．如图3所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：图3①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的序号是________．【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC，故①正确；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC，故②正确；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故③正确．【答案】①②③13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③二面角A－BC－D的度数为60°；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．【解析】如图(1)(2)所示，取BD的中点O，连结AO，OC，易知AO⊥BD且CO⊥BD，AO∩OC＝O，故BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故①正确．设正方形ABCD 的边长为1，易知AO ＝OC ＝22.又由题意可知∠AOC ＝90°，故AC ＝1.所以AC ＝AD ＝DC ，所以△ACD 是等边三角形，故②正确．取BC 的中点E ，连结OE ，AE ，则∠AEO 即为二面角A －BC －D 的平面角， ∴tan ∠AEO ＝AOOE＝2，(3)故③不正确．对于④，如图(3)所示，取AC 的中点F ，连结OF ，EF ，OE ，则OE∥CD ，EF∥AB ，则∠FEO 即为异面直线AB 与CD 所成的角．又在△AOC 中，OF ＝12，故EF ＝OE ＝OF ，∴AB 与CD 所成的角为60°，故④正确．综上可知①②④正确． 【答案】 ①②④14．如图4所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ；③四面体FECG体积的最大值是1 3 .其中为真命题的是__________．(填序号)【导学号：41292059】图4【解析】①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝12AB＝1，而S△GCE＝12GC·CE·sin45°＝24CE≤1，故V F－GCE＝13S△GCE·FG≤13.故正确的命题为①③.【答案】①③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图515．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连结A′C′，A ′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．【解】(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴六个面是互相全等的正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2，∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，并说明理由．图6【解】 直线MN ∥平面A 1BC 1. 证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1. ∴MN ⊄平面A 1BC 1. 如图，取A 1C 1的中点O 1， 连结NO 1，BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ， ∴四边形NO 1BM 为平行四边形， ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．图7(1)若QB 的中点为C ，求证：平面SOC ⊥平面SBQ ； (2)若∠AOQ ＝120°，QB ＝3，求圆锥的表面积．【解】 (1)∵SQ ＝SB ，OQ ＝OB ，C 为QB 的中点， ∴QB ⊥SC ，QB ⊥OC . ∵SC ∩OC ＝C ， ∴QB ⊥平面SOC . 又∵QB ⊂平面SBQ ， ∴平面SOC ⊥平面SBQ . (2)∵∠AOQ ＝120°，QB ＝3，∴∠BOQ ＝60°，即△OBQ 为等边三角形， ∴OB ＝3.∵△SAB 为等腰直角三角形，∴SB ＝6，∴S 侧＝3·6π＝32π， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝32π＋3π＝(3＋32)π.图818．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：P A ∥平面BDE ； (2)求证：平面P AC ⊥平面BDE ；(3)若二面角E －BD －C 为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积． 【解】 (1)证明：连结OE ，如图所示．∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点， ∴OE ∥P A .∵OE ⊂平面BDE ，P A ⊄平面BDE ，∴P A ∥平面BDE . (2)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC . 又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC .又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE . (3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥BD ，∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ， ∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.19．(本小题满分16分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 为线段AC 上一点.【导学号：41292060】(1)求证：BD ⊥EF ； (2)若EF ∥平面PBD ，求AFFC 的值．图9【解】(1)因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.又EF⊂平面P AC，所以BD⊥EF.(2)设AC与BD交于点O，连结PO.因为EF∥平面PBD，平面P AC∩平面PBD＝PO，且EF⊂平面P AC，所以EF∥PO.又E 是PC的中点，所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即AFFC＝3.20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图10(2)．(1) (2)图10(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．【解】(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。
江苏省苏州市2019-2020学年数学高二下期末联考试题含解析
江苏省苏州市2019-2020学年数学高二下期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-2．复数12ii -+（i 是虚数单位）的虚部是（） A.13B.13i C.－15D.－15i3．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。
这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。
小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ） A ．17B ．13C ．37D ．3104．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( ) A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩5．已知函数()22xf x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,Rg x mx m =+∈，若对于任意的[]11,1x ∈-，总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞ B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C ．][()22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦6．6的展开式中的常数项是（ ） A ．192B ．192-C ．160D ．160-7．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A8．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +>，()02020f =，则不等式()22018x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()2018,+∞C ．()2020,+∞D ．()(),02018,-∞+∞9．已知()21cos 2f x x x =-,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设133a =，3log 18b =，5log 50c =，则() A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．设2iz i=+，则||z =（ ） A ．5 B ．25C ．15D ．12512．在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为 A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在()61x +的展开式中，含3x 项的系数为______． 14．已知复数z ＝11i+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 15．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++= ______. 16．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知二项式2nx x ⎛-⎝的展开式的二项式系数和为64 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项；18．已知函数2()(1)x f x x e ax =--，32()21g x ax ax x =-+-，（其中,a R e ∈为自然对数的底数，2.71828e =…）.（1）当2ea =时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()g x 在区间[1,2]上单调递增，求a 的取值范围； （3）若2ea ≤，当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 19．（6分）已知()11f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.20．（6分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C：的参数方程是1x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）. 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2 C 的极坐标方程为1ρ=. （1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若射线 l 的极坐标方程(0)3πθρ=≥，且 l 分别交曲线1C 、2C 于 A ，B 两点，求AB . 21．（6分）已知集合{}()1015,20;2A x R ax B x R x a ⎧⎫=∈<+≤=∈-<≤≠⎨⎬⎩⎭（1）若A B =，求实数a 的值；（2）若命题:,p x A ∈命题:q x B ∈且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 22．（8分）已知函数()1f x x a x =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）若()20f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 由题意可得：()2111111222221ii z i i i i --===-=--+，则1122z i =-+，据此可得，z 的虚部为12. 本题选择A 选项. 2．C 【解析】 试题分析：()()()12221121212555i i i i i i i i -----===--++-，虚部为15-。
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2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中考试数学
2020.05
注意事项：
1.答卷前，请将自己的姓名、调研序列号等填写在答题卡指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本调研卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数11i i
-+(其中i 是虛数单位)的实部是 A.1 B.－1 C.－2 D.0
2.如果一质点的运动方程为s ＝2t 3(位移单位：米；时间单位：秒)，则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为( )米/秒。
A.6
B.18
C.54
D.81
3.(x －1x
)10的展开式中x 4的系数是 A.－210 B.－120 C.120 D.210
4.导数公式“()()()
2f x g x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦”中分子应为 A.f(x)g'(x)－f'(x)g(x) B.f'(x)g(x)－f(x)g'(x)
C.f(x)g(x)－f"(x)g'(x)
D.f'(x)g'(x)－f(x)g(x)
5.平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是
A.100π
C.20π
D.5003
π 6.5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有 种。
A.24
B.36
C.48
D.72
7.已知282828x x C C -=，则x 的值为
A.6
B.8
C.12
D.8或12
8.若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55
，则a ，b ，c 的大小关系为
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>a>c
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，下列结论中，正确的结论有
A.AC⊥BD
B.AC//截面PQMN
C.AC＝BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
10.已知复数z＝－13i(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数w＝z
z
，则下列结论正
确的有
A.w在复平面内对应的点位于第二象限
B.|w|＝1
C.w的实数部分为－1
2
D.w
3
11.下列组合数公式中恒成立的有
A.C n m＝C n n－m
B.mC n m＝nC n－1m－1
C.C n＋1m＋1＝C n m＋C n＋1m
D.(C n0)2＋(C n1)2＋(C n2)2＋…＋(C n n)2＝C2n n
12.已知函数f(x)＝e x－alnx的定义域是D，有下列四个命题，其中正确的有
A.对于∀a∈(－∞，0)，函数f(x)在D上是单调增函数
B.对于∀a∈(0，＋∞)，函数f(x)存在最小值
C.存在a∈(－∞，0)，使得对于任意x∈D，都有f(x)>0成立
D.存在a∈(0，＋∞)，使得函数f(x)有两个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若复数z满足|z|＝1(i为虚数单位)，则|z－2i|的最小值是。
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是。
15.(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20中x 2的系数为。
16.设函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝
()()()
f x f x K K f x K ≤>⎧⎪⎨⎪⎩。
取函数f(x)＝52x 2－3x 2lnx ，若对任意x ∈(0，＋∞)，恒有f K (x)＝f(x)，则K 的最小值为 。
四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x －y －2＝0。
(I)求a ，b 的值；
(II)求函数f(x)的极大值。
18.(本小题满分12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数。
(I)某女生一定担任语文科代表；
(II)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
(III)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。
19.(本小题满分12分)如图：设一正方形纸片ABCD 边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虛线折起，恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计)，图中AH ⊥PQ ，O 为正四棱锥底面中心。
(I)若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V ；
(II)设等腰三角形APQ 的底角为x ，试把正四棱锥的侧面积S 表示为x 的函数，并求S 的范围。
20.(本小题满分12分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点。
(I)求异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值；
(II)求直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值；
(III)求异面直线A 1B 与AD 的距离。
21.(本小题满分12分)已知函数f n (x)＝(1＋λx)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，其中λ∈R 。
(I)若λ＝－2，n ＝2020，求a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020的值；
(II)若n ＝8，a 7＝1024，求a i (i ＝0，1，2，3，…，8)的最大值；
(III)若λ＝－1，求证：0()n k
k n n k k k C x f x x n
-==∑。
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
ln x x。
(I)求函数f(x)的单调区间； (II)设a>0，求函数f(x)在区间[2a ，4a]上的最小值；
(III)某同学发现：总存在正实数a ，b(a<b)，使a b ＝b a 。
试问：该同学的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a 的取值范围(不需要解答过程)。