高中数学全套讲义 选修1-2 复数运算难 教师版

考点一复数的运算 (2)

考点二复数的模 (5)

课后综合巩固练习 (7)

考点一 复数的运算

1．复数的加法与减法

⑴加法：设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R ，定义12()()i z z a c b d +=+++． 复数的加法运算满足交换律、结合律．

⑵相反数：已知复数i a b +，存在惟一的复数i a b --，使(i)(i)0a b a b ++--=，i

a b --叫做i a b +的相反数．i (i)a b a b --=-+．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称． ⑶复数的减法法则：(i)(i)(i)(i)a b c d a b c d +-+=++--()()i a c b d =-+-，

⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的乘法

设1i z a b =+，2i z c d =+，a 、b 、c 、d ∈R ，定义12()()i z z ac bd ad bc =-++． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，

一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．

复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、，有m n m n z z z +⋅=，()m n mn z z =，

1212()n n n z z z z ⋅=⋅．

在复数的乘方运算中，要记住以下结果：

1i i =，2i 1=-，3i i =-，4i 1=；41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =．

<教师备案>

记12ω=-，

则12ω=-，331ωω==，210ωω++=，1ωω⋅=，1ωω+=-，2ωω=

3．复数的除法

已知i z a b =+，如果存在一个复数z '，使1z z '⋅=，则z '叫做z 的倒数，记作1

z

．

22222

1i ||

a b z

z a b a b z =-=++． 两个复数除法的运算法则如下：

i (i)(i)i a b a b c d c d ++÷+=+22i (i)c d a b c d -=+⋅+22()()i ac bd bc ad c d ++-=+2222i ac bd bc ad

c d c d +-=+++．

1．（2019春•遂宁期末）设m R ∈，复数(1)()z i m i =+-在复平面内对应的点位于实轴上，又函数()f x mlnx x =+，若曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( )

A ．{}1

(,]

12

-∞

B ．(-∞，0]{1}

C ．(-∞，0]{2}

D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞

【分析】由已知求得m ，得到()f x ，利用导数研究单调性及过(0,1)-的切线的斜率，再画出图形，数形结合可得实数k 的取值范围． 【解答】解：

(1)()(1)(1)z i m i m m i =+-=++-在复平面内对应的点位于实轴上，

n

10m ∴-=，即1m =．

又当0x →时，()f x →-∞， 作出函数()f x lnx x =+的图象如图： 直线:21l y kx =-过(0,1)-， 设切点为0(x

，00)lnx x +，

把(0,1)-代入，可得00011lnx x x ---=--，即00lnx =，即01x =． 则22k =，1k =．

一个公共点，

]{1}时，曲线y 故选：A ．

【点评】本题考查复数的基本概念，考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．

2．（2017•赣州一模）复数1z 、2z 满足12||||1z z ==，12242i

z z i

--=+，则12(z z = ) A ．1 B ．1-

C ．i

D ．i -

得cos cos αβ=，sin sin 2αβ-=-，即可得出．

由12||||1z z ==，设1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=+， cos cos αβ∴=，sin sin 2αβ-=-， cos cos 0αβ∴==，sin 1α=-，sin 1β=， 1z i ∴=-，2z i =，

则121z z i i =-=． 故选：A ．

【点评】本题考查了复数的运算法则、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．（2016春•宝山区校级月考）设11()()()(*)11n n

i i f n n N i i

+-=+∈-+，如果{()}A f n ⊆，则满足

条件的集合A 有( ) A ．8个

B ．7个

C ．3个

D ．无穷多个

【分析】首先由复数代数形式的乘除运算化简，然后根据虚数单位i 的幂运算性质分类讨论，求出()f n 中的元素，则答案可求

2,40,412,420,43

n k

n k n k n k =⎧⎪=+⎪

=⎨

-=+⎪⎪=+⎩ ()f n ∴有三个不同的值，即()2f n =-，0，2，A 是{()}f n ，它的一个子集． {2}A ∴=-，{0}，{2}，{2-，0}，{0，2}，{2-，2}，2，0，2}，{}∅．

则满足条件的集合A 有8个 故选：A ．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了分类讨论的思想方法，是中档题． 4．（2016春•南阳期末）复数23420162342016i i i i i ++++⋯+的虚部是( ) A ．1008

B ．1008-

C ．1008i

D ．1008i -

【分析】利用错位相减法进行求和化简即可．