第一章 一元二次方程章末小结
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
一元二次方程知识点的总结
一元二次方程知识点的总结第一篇：一元二次方程知识点的总结一元二次方程知识点的总结知识点归类建立一元二次方程模型知识点一一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？222=3；⑴2⑵x-6x=0；（3x+x=5；（4）-x=0；（5）2x(x-3)=2x2+1 x+5知识点二一元二次方程的一般形式2一元二次方程的一般形式为ax+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0）。
其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
2（3）形如ax+bx+c=0不一定是一元二次方程，当且仅当a≠0时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）5x=27x；（2）(x-2)(x+3)=8；（3）(3x-4)(x+3)=(x+2)2 2 2例2 已知关于x的方程(m-1)xm知识点三一元二次方程的解+2-(m+1)x-2=0是一元二次方程时，则m=x2-3x+2=0使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x=2时，所以x=2是x-3x+2=0方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点一因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
《一元二次方程》章末总结
本章总结提升
例 2 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋3x ＋1 －m＝0， 请你 选取一个你喜爱的 m 的值，使方程有两个不相等的实数根，并 说明它的正确性．
解：由 b2－4ac＝32－4(1－m)＝ 4m＋5＞0， 5 得 m ＞－ . 4 5 所选取的 m 值只要满足 m ＞－ 即可． (具体选取及说明略) 4
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[点评] (1)公式法是解一元二次方程的一般方法， 应掌握这种解 一元二次方程的通法． (2)因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法， 要注意这两种方法适用的方程形式． (3)一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解， 若不 能用这两种方法再考虑用公式法解．
一元二次方程 ax 2＋ bx ＋c＝0(a≠ 0)根的判别式 b2－4ac 的应用： 当 b2－4ac＞0 时，原方程有两个不相等的实根； 当 b2－4ac＝0 时，原方程有两个相等的实根； 当 b2－4ac＜0 时，原方程没有实根； 当 b2－4ac≥0 时，原方程有两个实根． 以上结论，反之亦成立．
数 学
新课标（XJ） 九年级上册
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本章知识框架
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零 二
一
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两 两 没有
不相等 相等
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整合拓展创新
类型之一 一元二次方程的解法
一元二次方程的解法：因式分解法、直接开平方法、配方 法、公式法．要了解各种解法适用的方程形式，在解题前要 认真观察各方程的结构特征，进而采取恰当的方法．同时， 通过解题把握好“配方、降次”这些重要的数学思想方法．
[ 解析 ] 第一次一年到期后得本金和利息为 (2000 ＋ 2000x ) 元， 支取 1000 元后为 (2000x ＋1000)元， 第二次一年到期后得本金和利 息为(2000x ＋1000)(1＋x )元．
一元二次方程单元知识复习与总结
一元二次方程单元知识复习与总结一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707~1783）,既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。
如下题：“父亲临终时立下遗嘱,要按下列方式分配遗产:老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……;以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？"这道题需要列方程求解。
解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗，老大分得遗产［100+110(100x2-100）］克朗，得方程100+110（100x2—100）=100x.同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.（x-9)（x-1）=0，∴x1=9，x2=1(舍去)。
遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。
点评:二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０;然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程,常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。
例１：用适当的方法解下列一元二次方程:(1)（2x-1）2—9=0; （2）x2+x-1=0; (3）x2-4x=1; （4）3x2-16x+5=0;（5）（3x+2）2=4（x—3)2; （6）（y-1）2=2y（1-y）；（7)3a2x22=0(a≠0) （8)x2+2mx=(n+m)（n—m）.解析 (1)两边开平方,得 2x-1=3或2x-1=—3，∴ x1=2,x2=-1;（2）已知:a=1，b=1,c=—1。
∴ x1,x2；（3)整理原方程，得 x2-4x—1=0，∴ (x—2）2=5。
∴ x12=2(4）原方程可化为(3x-1)（x-5)=0,∴ x1=13，x2=5；(5)两边开平方,得3x+2=2（x-3）或3x+2=—2（x —3)，∴ x 1=—8, x 2=45. （6）原方程可化为（y-1）(3y —1)=0，∴ y 1=1， y 2=13。
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
一元二次方程知识归纳总结
一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。
在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。
2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。
三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。
2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。
4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。
四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。
它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。
一元二次方程知识点归纳与小结
知识结构：
考点一：概念 ① ② ③ (1)定义： 只含有一个未知数 ，并且 未知数的最高次数是 ，这样的 整式方程 就是一元二 ．．．．．．．． ．．．．．．．．． 2 ． ．．．． 次方程 0)
2
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2” ： ①该项系数不为“0” ； ②未知数指数为“2” ； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题：
2 2
b c , x1 x 2 a a
（1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由。
一元二次方程知识点归纳与小结
习题精选（一）
1、下列说法中： ①方程 x px q 0 的二根为 x1 ， x2 ，则 x px q ( x x1 )(x x2 )
例 2、方程 m 2x
m
3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为
。
针对练习： 1、方程 8x 2 7 的一次项系数是 2、若方程 m 2x
m 1
，常数项是
。
0 是关于 x 的一元一次方程，
⑴求 m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。
考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例 1、已知 2 y y 3 的值为 2，则 4 y 2 y 1 的值为
2 2
。
例 2、关于 x 的一元二次方程 a 2x x a 4 0 的一个根为 0，则 a 的值为
2 2
。
2 例 3、已知关于 x 的一元二次方程 ax bx c 0a 0 的系数满足 a c b ，则此方程
课堂小结范文
课堂小结范文在每一堂课结束时，进行课堂小结是一个十分重要的环节。
它不仅能够帮助学生梳理所学知识，加深理解和记忆，还能让教师及时了解学生的学习情况，调整教学策略。
下面，我将以一堂初中数学“一元二次方程”的课程为例，为大家提供一个课堂小结的范文。
一、知识回顾在这堂课中，我们主要学习了一元二次方程的定义、一般形式、解法以及应用。
首先，一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。
其一般形式为＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$），其中＄a$ 是二次项系数，＄b$ 是一次项系数，＄c$ 是常数项。
其次，我们学习了一元二次方程的三种解法：直接开平方法、配方法和公式法。
直接开平方法适用于形如$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n ≥ 0$）的方程，通过直接开平方求出方程的解。
配方法是将方程通过配方转化为完全平方式，再进行求解。
公式法是对于一般形式的一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠ 0$），可以使用求根公式$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄来求解。
最后，我们还通过实际问题，学习了一元二次方程在生活中的应用，比如面积问题、增长率问题等。
二、重点与难点这堂课的重点内容是一元二次方程的解法和应用。
掌握好方程的解法是解决各类问题的基础，而能够将所学知识应用到实际问题中，则是我们学习数学的最终目的。
难点在于配方法的理解和运用，以及在应用一元二次方程解决实际问题时，如何准确地找出等量关系，列出方程。
三、学生表现在课堂上，大部分同学都能够认真听讲，积极思考，主动参与课堂讨论和练习。
特别是在小组合作探究环节，同学们能够相互协作，共同解决问题，展现出了良好的团队精神。
然而，也有部分同学在理解配方法时遇到了一些困难，对于公式法中的求根公式记忆不够准确，在实际应用中，有些同学不能迅速找出等量关系，导致解题错误。
四、教学反思通过这堂课的教学，我也发现了一些需要改进的地方。
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况一元二次方程两根与系数的关系：。
初中数学必备知识点总结初三数学上册一二章知识点
《初三数学上册一二章知识点总结》一、引言初中数学是一个逐步深入、体系严谨的学科，初三作为初中阶段的关键时期，数学知识的学习和掌握至关重要。
初三数学上册的前两章内容既是对初中数学知识的深化，又为后续学习奠定了基础。
本文将对初三数学上册一二章的知识点进行详细总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些重要内容。
二、第一章知识点总结1. 一元二次方程的概念一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
一般形式为\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），其中\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。
2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：对于形如\(x² = p\)或\((ax + b)² = p\)（\(p≥0\)）的方程，可以使用直接开平方法求解。
（2）配方法：通过配方将一元二次方程转化为\((x + m)² =n\)的形式，再进行求解。
（3）公式法：一元二次方程\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)）的求根公式为\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b² - 4ac}}{2a}\)。
（4）因式分解法：将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积，从而得到两个一元一次方程，求解这两个方程即可。
3. 一元二次方程根的判别式对于一元二次方程\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），判别式\(\Delta = b² - 4ac\)。
当\(\Delta>0\)时，方程有两个不相等的实数根；当\(\Delta = 0\)时，方程有两个相等的实数根；当\(\Delta<0\)时，方程没有实数根。
4. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程\(ax² + bx + c = 0\)（\(a≠0\)）的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。
第一章 一元二次方程章末小结
第一章 一元二次方程章末小结【知识点一】一元二次方程判定（选填）【知识点二】从隐含条件对答案进行筛选1、若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是1.1、当m_____ 时，方程(m －1)x 2＋2(m －7)x ＋2m ＋2＝0有两个相等的实数根.1.2若关于x 的一元二次方程2kx 2＋(8k ＋1)x ＝－8k 有两个实数根，则k 的取值范围是_____2、若关于x 的一元二次方程的常数项为0，则m 的值等于3、【知识点三】判别式的四种常见题型 1、不解方程判断一元二次方程的根的情况2、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程b(x ２－1)－2ax ＋c(x ２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状2.1设c b a ,,是ABC ∆三边的长，且关于x 的方程()())0(0222>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证ABC ∆是直角三角形。
3、求证：k 为何实数，方程()()0112122=---+x k x k 一定有两个不相等的实根。
【知识点四】与几何的关系1、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）【知识点五】根据根的定义来求代数式的值1、若的根，是方程012=-+x x a 则2006222++a a 的值为 ．2、已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值3、已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b). 求a 2b ＋ab 2的值.4、若关于x 的两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共解，（1），求此公共解；（2）求非 公共解之和。
【知识点六】根系关系的典型题型1、关于x 的方程230x x k ++=的一个根是1-，求k 及另一根。
第一章+一元二次方程(小结思考)(课件)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件(苏科版)
C以2cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点
Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t s.
(1)填空：BQ＝____cm，PB＝________cm(用含t的代数式表示)．
(5－t)
2t
解：(1)∵点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，
9月份营业额的月增长率．
解：(1)450＋450×12％＝504（万元），
答：该商店“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店8、9月份营业额的月增长率为x，
由题意，得350(1＋x)2＝504，
解得x1＝0.2=20％，x2=－2.2（舍去），
答：该商店8、9月份营业额的月增长率为20％．
+ ( + ) + ( + ) =∴ ( − )( + ) = ，
∴ = . = %或 = −. (不合题意，舍去)，
答：进馆人次的月平均增长率为%．
增长率类
例2 ()因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆
一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( D )
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm
解：设正方形铁皮的边长是xcm ，
则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x-3×2) cm，高为3cm，
根据题意列方程得 (x-3×2)(x-3×2)×3=300，
解得 x1=16，x2=-4(不合题意，舍去)；
A
D
B
C
图1
解：()根据题意得， =
一元二次方程小结
返 回
x2-2x+1=3+1
(x-1)2=4
x 2-
x-1=±2
x=1±2 ∴x1=3 x2=-1
∴x 1 = 3 x2=-1
用公式法解方程。
①x2-2x-3=0 解:∵a=1,b=-2,c=-3 ∴b2-4ac=4+12=16>0 ∴x=
2 16 2 24 2
②3x2-5=2x 解:整理得： 3x2-2x-5=0 ∵a=3,b=-2,c=-5 ∴b2-4ac=4+60=64>0 ∴x=
2 64 6 28 6
分析：单个利润×销售量=总利润
解：若设台灯的售价应定为x元，则可列方程为 x 40 ( x-30 )( 600 －10× 3 )=10000 ； 若设每个台灯涨价x元，则可列方程为 x ( 40-30+x )( 600 －10×3 )=10000 。
2、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅 游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人， 人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每 增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费 用不得低于700元。 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支 付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问：该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
105 x x10x 5 x 736.
整理得x 2 5x 6 0. 解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3, 或5 x 5 3 2.
(人教版)九年级数学上册：《一元二次方程》全章知识小结
《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2（2）一元二次方程的一般形式：ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，，并且未知数的最高次其中 ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程* （ 4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是 : ①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为 1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（ mx+n）2=p 的形式；⑤如果 p≥ 0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式2－ 4ac≥ 0时， ? ax2+bx+c=0 ，当⊿＝ b将 a、 b、 c 代入求根公式x=bb2 4ac2≥ 0）就得到方程的根．2a（ b -4ac（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0, 从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式22（1）⊿＝ b －4ac 叫一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的根的判别式。
人教版九年级数学上册21.4 《一元二次方程》小结与复习【推荐】
《一元二次方程》小结与复习学 习 目 标 1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题； 学习重点 运用知识、技能解决问题。
学习难点解题分析能力的提高．教 学 互 动 设 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0(a ≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式是△= b 2-4ac ，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当⊿=b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式为x =242b b aca-±-；若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2=a b -，x 1•x 2=ac 。
若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== -p ， x 1•x 2= q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是【 C 】 A ．2210x x+= B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --= 2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为x (x ＋10)＝200，化为一般形式为x 2+10x -200=0。
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第一章 一元二次方程章末小结
【知识点一】一元二次方程判定（选填）
1、下列方程中，一元二次方程的个数有（ ）（1）02=++c bx ax （2）0322=-+y x
（3）0312=++x x
（4）12=x （5）()01122=+++ax x a 【知识点二】从隐含条件对答案进行筛选
1、若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
1.1、当m_____ 时，方程(m －1)x 2＋2(m －7)x ＋2m ＋2＝0有两个相等的实数根.
1.2若关于x 的一元二次方程2kx 2＋(8k ＋1)x ＝－8k 有两个实数根，则k 的取值范围是_____
1.3、若关于x 的一元二次方程
的常数项为0，则m 的值等于
2、已知方程()
031222=+--m x m x 的两个根互为相反数，则m 的值是（ ） （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m
3、的值，求等于的两个实数根的平方和的方程已知关于k k x k x 602)1(x 2=+++-
3、【知识点三】判别式的四种常见题型
1、不解方程判断一元二次方程的根的情况
20152=+-x x
2、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程b(x ２－1)－2ax ＋c(x ２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC
的形状
2.1设c b a ,,是ABC ∆三边的长，且关于x 的方程()())0(0
222>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证ABC ∆是直角三角形。
3、求证：k 为何实数，方程()
()0112122=---+x k x k 一定有两个不相等的实根。
【知识点四】与几何的关系
1、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
2、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是
3、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为
【知识点五】根据根的定义来求代数式的值
1、若的根，是方程012
=-+x x a 则2006222++a a 的值为 ．
1.1、已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值
1.2、已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b). 求a 2b ＋ab 2的值.
2、若关于x 的两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共解，（1），求此公共解；（2）求非 公共解之和。
2.1方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（
3、已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ．
3.1若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为____________
3.2已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为（ ）
A ．－１
B ．0
C ．1
D ．2
4、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）
（A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定
【知识点六】根系关系的典型题型
1、关于x 的方程230x x k ++=的一个根是1-，求k 及另一根。
1.1如果2＋
是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c 的值.
1.2已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.
2、若βα,是方程0522=-+x x 的两根，则=++ααβα22
3、设方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则以21x 、22x 为根的一个一元二次方程是
4、.已知关于x 的方程02)12(2=-+--m x m mx （m ＞0），若方程的两根为1x 、2x ，且m x x 5)3)(3(21=--，求m 的值.
4.1已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 两实数根的平方和比这两根的积大84，求m 的值.
5、边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程2(2)40x k x k -++=的两根，求k 的值，并确定直角三角形三边之长．
6、若方程02=++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 .
【知识点七】分类讨论
1、关于x 的方程012)2(2
=+--x x m 有解，求m 的取值范围。
1.1关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足
1.2关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是
1.3已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是 ．
家作：1、一元二次方程032
=+-mx x 有一个根为3，求m 的值及另一个根。
2、求当m 取何值时，关于x 的方程034
122=-++
+m m mx x 有两个相等的实数根？
3、已知关于x 的方程221(3)04
x m x m --+= 有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是
4、关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-=是一元二次方程，则a=__________.
5、()()05422222=-+-+y x y
x ,则=+22y x _________。
6、说明不论m 取何值，关于x 的方程2(1)(2)x x m --=总有两个不等的实数根。
7、．下列方程是一元二次方程的是 （ ）。
A 、0472=-x
B 、x x 213=+
C 、0512=-+x x
D 、x x x x 2)6(2-=+ 7.1下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）个。
①x 2=0 ②ax 2+bx +c =0 ③2x 2－3=5x
④a 2+a －x =0 ⑤(m －1)x 2+4x +
2m =0 ⑥21x +x 1=31 ⑦12-x =2 ⑧(x +1)2=x 2－9 8、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。
9、不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程272
=-x x 的两根的2倍。
10、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值 3(1)2(1)y y y -=- ()()2232-=-x x x 010)1(3)1(2
=----x x
012)(4)(222=----x x x x (2)(3)2x x ++
= 2)2)(113(=--x x。