第一章 一元二次方程章末小结

第一章 一元二次方程章末小结

【知识点一】一元二次方程判定（选填）

1、下列方程中，一元二次方程的个数有（ ）（1）02=++c bx ax （2）0322=-+y x

（3）0312=++x x

（4）12=x （5）()01122=+++ax x a 【知识点二】从隐含条件对答案进行筛选

1、若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是

1.1、当m_____ 时，方程(m －1)x 2＋2(m －7)x ＋2m ＋2＝0有两个相等的实数根.

1.2若关于x 的一元二次方程2kx 2＋(8k ＋1)x ＝－8k 有两个实数根，则k 的取值范围是_____

1.3、若关于x 的一元二次方程

的常数项为0，则m 的值等于

2、已知方程()

031222=+--m x m x 的两个根互为相反数，则m 的值是（ ） （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m

3、的值，求等于的两个实数根的平方和的方程已知关于k k x k x 602)1(x 2=+++-

3、【知识点三】判别式的四种常见题型

1、不解方程判断一元二次方程的根的情况

20152=+-x x

2、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程b(x ２－1)－2ax ＋c(x ２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC

的形状

2.1设c b a ,,是ABC ∆三边的长，且关于x 的方程()())0(0

222>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证ABC ∆是直角三角形。

3、求证：k 为何实数，方程()

()0112122=---+x k x k 一定有两个不相等的实根。 【知识点四】与几何的关系

1、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）

2、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是

3、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为

【知识点五】根据根的定义来求代数式的值

1、若的根，是方程012

=-+x x a 则2006222++a a 的值为 ．

1.1、已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值

1.2、已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b). 求a 2b ＋ab 2的值.

2、若关于x 的两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共解，（1），求此公共解；（2）求非 公共解之和。

2.1方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（

3、已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ．

3.1若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为____________

3.2已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为（ ）

A ．－１

B ．0

C ．1

D ．2

4、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）

（A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定

【知识点六】根系关系的典型题型

1、关于x 的方程230x x k ++=的一个根是1-，求k 及另一根。

1.1如果2＋

是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c 的值.

1.2已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.

2、若βα,是方程0522=-+x x 的两根，则=++ααβα22

3、设方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则以21x 、22x 为根的一个一元二次方程是

4、.已知关于x 的方程02)12(2=-+--m x m mx （m ＞0），若方程的两根为1x 、2x ，且m x x 5)3)(3(21=--，求m 的值.

4.1已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 两实数根的平方和比这两根的积大84，求m 的值.

5、边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程2(2)40x k x k -++=的两根，求k 的值，并确定直角三角形三边之长．

6、若方程02=++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 .

【知识点七】分类讨论

1、关于x 的方程012)2(2

=+--x x m 有解，求m 的取值范围。

1.1关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足

1.2关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是

1.3已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是 ．

家作：1、一元二次方程032

=+-mx x 有一个根为3，求m 的值及另一个根。

2、求当m 取何值时，关于x 的方程034

122=-++

+m m mx x 有两个相等的实数根？

3、已知关于x 的方程221(3)04

x m x m --+= 有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是

4、关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-=是一元二次方程，则a=__________.

5、()()05422222=-+-+y x y

x ,则=+22y x _________。

6、说明不论m 取何值，关于x 的方程2(1)(2)x x m --=总有两个不等的实数根。

7、．下列方程是一元二次方程的是 （ ）。

A 、0472=-x

B 、x x 213=+

C 、0512=-+x x

D 、x x x x 2)6(2-=+ 7.1下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）个。①x 2=0 ②ax 2+bx +c =0 ③2x 2－3=5x

④a 2+a －x =0 ⑤(m －1)x 2+4x +

2m =0 ⑥21x +x 1=31 ⑦12-x =2 ⑧(x +1)2=x 2－9 8、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。

9、不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程272

=-x x 的两根的2倍。

10、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值 3(1)2(1)y y y -=- ()()2232-=-x x x 010)1(3)1(2

=----x x

012)(4)(222=----x x x x (2)(3)2x x ++

= 2)2)(113(=--x x