第8章-弹性力学平面问题有限元

Nj 0
0 Nj
Nm 0
单元内的位移场函数可以简写成：
u Na
e
ui v i 0 u j Nm vj u m vm
e
（8-5b）
把 N 称为形函数矩阵，Ni 称为形函数。
形函数 Ni , N j , N m 是单元内任意一点坐标的线性函数。单元内 位移场的插值函数。也就是说，单元的节点位移通过 N(x,y) 控 制着单元的位移场的形态。所以N(x,y) 称为单元的形态函数或 形函数。

（8-4） 写成矩阵形式
u N i ui N j u j N mu m v N i vi N j v j N m v m
i 、 j、 m
i 、 j、 m
N u N v
i i i i

u N i v 0
0 Ni
8.2.1 位移函数的选取
y vm (xm, ym) m um vj j i ( x i, y i) O ui x uj
vi
( x j, y j)
如图所示的 3结点平面三角形单元，结点
i、j、m
的坐标
分 别 为 ( xi , y i )
uj 为 u i、 vi 、 、
、 (x j , y j )
、 ( xm , ym )
a4 1 xi a 1 x j 5 a6 1 xm
yi yj ym
1
vi v （8-3） j vm
u a1 a2 x a3 y v a 4 a5 x a 6 y

求偏导数
1 ( b u b u b u ) i i j j m m x 2 1 y (c i v i c j v j c m v m ) 2 xy 1 (c u c u c u ) (b v b v b v ) i i j j m m i i j j m m 2
插值函数具有如下性质：
（1） N i 在节点 i 上值为1，在节点 j 和 m 上值为0，即有：
当j i 1 N i ( x j , y j ) ij (i, j, m ) 当j i 0 Ni ( xi , yi ) 1, Ni ( x j , y j ) Ni ( xm , ym ) 0 也即有
8.2.2 单元的应变场
由几何方程知
u x x { } y 0 xy u y 0 x v 0 y v x y 0 u y v x
可以看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中 各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。 平面应变问题：
E
E 1 2
Байду номын сангаас

1
cr 1 cr ( r i , j , m) 1 2 br 2 1
br E 1 Sr DBr bi 2 A(1 2 ) 1 1 1 2 cr 2 1
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；
（2）位移模式必须能反映单元的常量应变； （3）位移模式应尽可能地反映位移的连续性。
弹性力学平面问题一般选择多项式函数作为位移函数。
u a1 a2 x a3 y a4 x a5 xy a6 y ...
2 2
v b1 b2 x b3 y b4 x b5 xy b6 y ...
2 2
8.2
平面三角形单元
三角形单元是一种简单方便、对边界适应性强的单元， 由于以三角形的三个顶点作为结点，因此又成为三结点三角 形单元。这种单元的计算精度较低，使用的时候必须进行精 细的网格划分，但他仍然是一种常用的单元
(a) 均匀受力板力学模型
(b) 力学模型离散化
平面问题有限单元法的计算力学模型
，结点位移分别
vj 、 um 。 v m 记单元的结点位移向量 、
ae
和结点力向量 F e 为：
a ui vi u j v j um vm
e
T
F Fxi
e
Fyi
Fxj
Fyj
Fxm
Fym
T
（8-1a）写成矩阵形式，有：
ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm
Ni N j Nm 1
因为若单元发生刚体位移，如x方向有刚体位移 u0，则单元 内（包括结点上到处应有位移 u0 ，即 ui u j um u0
，又有： u Niui N j u j Nmum ( Ni N j Nm )uo uo （4）对于现在的单元，插值函数是线性的，在单元内部及 单元的边界上位移也是线性的，可由结点上的位移值唯一地 确定。由于相邻单元公共结点的结点位移是相等的，因此保 证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。
（8-6）
根据单元的位移场函数式（8-5），由几何方程可以得到单 元的应变场表达式：
u N i ui N j u j N mu m v N i vi N j v j N m v m
i 、 j、 m
i 、 j、 m
N u N v
i i i i
（8-5）
u N i ui N j u j N mu m v N i vi N j v j N m v m
xj yj
i 、 j、 m
i 、 j、 m
N u N v
i i i i
（8-4）
ai x j ym x m y j （下标 i、j、m xm y m 轮换） 1 1 yj Ni (ai bi x ci y ) bi y j ym 2A 1 ym 1 xj ci xm x j 1 xm
a1 1 xi a 1 x j 2 a3 1 xm yi yj ym
1
yi a1 a （8-2） yj 2 ym a3
ui u j u m
1 E D 2 (1 ) 0

1 0
0 0 1 2
将应力矩阵表示为分块矩阵的形式，有：
S Si S j S m


(8-10)
cr cr (r i, j , m) 1 br 2
br E 其中：Sr DBr br 2 2 A(1 ) 1 cr 2
Bm

br 1 Br 0 2A cr
0 cr ( r i , j , m) br
8.2.3 单元的应力场
由物理方程,可以得到单元的应力场表达式：
σ Dε DBae Sae
S DB
其中
问题，
(8-8) (8-9)
S DB 为应力矩阵，D 称为弹性矩阵，对于平面应力
第8章 弹性力学平面问题的有限元分析
8.1 概述
在有限元法中，把单元与单元之间设置的相互连接点，称 为结点。一般用号码 1 、 2 、…进行结点编号。有了结点，才 可将实际连续体看成是仅在结点处相互连接的单元集合组成的 离散型结构。由单元、结点、结点连线构成的集合称为有限元 模型。
8.1.1 单元划分类型
u i a1 a 2 xi a3 yi v i a4 a5x i a6y i u j a1 a 2 x j a3 y j v j a4 a5x j a6y j （8-1b） u m a1 a 2 xm a3 y m v m a4 a5x m a6y m
整理后可得：
（8-1）
1 u [( ai bi x ci y )u i (a j b j x c j y )u j (a m bm x c m y )u m ] 2A
v
1 [( ai bi x ci y )vi (a j b j x c j y )v j (a m bm x c m y )v m ] 2A
a4 1 xi a 1 x j 5 a6 1 xm
yi yj ym
1
vi v （8-3） j vm
其中A，为三角形单元的面积。
1 xi 2 A det 1 x j 1 xm yi yj ym
为了避免出现 A 0 的情
况，三个结点
i、j、m
按逆
时针顺序排列。
将（8-3）代回（8-1）
a1 1 xi a 1 x j 2 a3 1 xm yi yj ym
1
ui u j u m
8.2.4 单元刚度矩阵－最小势能原理
单元的刚度矩阵：结点力和结点位移间的关系。 （1）单元的应变能
1 U ε T σd 2
(8-11)
σ Dε DBae Sae 1 1 e T U ε σtdxdy (Bae )T DBaetdxdy 2 2 1 1 e T e T T e (a ) B DBa tdxdy (a ) BT DBtdxdy a e 2 2
简写为：
ε Bae
由于矩阵B是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这 是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三 角形单元。
bi 1 B 0 2 ci 0 ci bi bj 0 cj 0 cj bj bm 0 cm 0 cm B i bm

Bj
u N i ui N j u j N m u m v N i vi N j v j N m vm
由上式可见，当 即在节点i，应有
x xi , y yi
u ui
Ni 1, N j Nm 0 因此也必然要求 其他两个形函数也具有同样的性质。
（2）在三角形单元的一条边上，如i j 上，形函数与第三个顶 点m的坐标无关 （3）在单元中任一点各插值函数之和应等于1，即：
单元类型：三角形、四边形
单元数目：根据计算精度要求来确定 结点设置：使单元的的结点编号尽量靠近
有限元模型：由单元、结点、结点连线构成的集合
8.1.2 位移函数
在选择多项式时，为了使有限单元法的计算精度和收敛 性得到保障，还需要满足完备性和连续性的要求。为了使位 移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态，它应满足下列 条件：
1 v [( ai bi x ci y )vi (a j b j x c j y )v j (a m bm x c m y )v m ] 2A 1 u [( ai bi x ci y )u i (a j b j x c j y )u j (a m bm x c m y )u m ] 2A
根据完备性和连续性的要求，选取3结点三角形单元的位移场 函数
u
如下：
u a1 a2 x a3 y v a 4 a5 x a 6 y
（8-1a）
将3个结点 i、j、m 上的坐标和位移分别代入式（8-1a）就可以
将六个待定系数用结点坐标和结点位移分量表示出来。将水
平位移分量和结点坐标分别代入（8-1a）中的第一式，得到