第8章-弹性力学平面问题有限元

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弹性力学平面问题的有限元法实例

分析与决策
(1)何种类型？
平面问题中的结构问题，且为静力问题；
平面问题中具有对称性，为减少[K]，简化模型取
1/4；
简化后加约束，（1）在ox面上，位移u是对称的，
位移v是反对称的；在oy面上，位移u是反对称的，位移v是对称的；（2）在ox面上，载荷对称，在oy 面上，载荷对称；
(1)何种类型？

4.5剖分面（续）
以垂线剖分面。依次单击preprocessor-modelingoperate-booleans-divide-area by line，弹出对话框，选择对话框中的box单选，用窗口选择两个面元素，后单击apply,在窗口中选L6-ok,完成面元素剖分。单击plotctrls菜单中的numbering命令，关闭line numbers –ok; 单击plot菜单中的area命令，用面元素显示模型，剖分的模型如图所示，由2个面变为4个面，面元素的编号同时发生变化。
Preprocessor-material
props-material models-弹出define material model behavior 对话框-列表框material models available中，依次单击structural-linear-elastic-isotropic，添加弹性模量2.1e+11，泊松比0.3-ok;

操作过程
一、建立新文件
二、类型的选择 Structural-ok；
二、前处理
1、添加单元类型选择：Quad 4node 42(单元库编号)；具有厚度：选择 option-plane str w/thk(平面应力有厚度)；
2、设置实常数（Real constants）

有限元分析——平面问题

Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析整体刚度矩阵整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵；将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵；将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1

有限元讲义弹性力学平面问题有限单元法(四结点四边形等参元,八结点曲线四边形等参元,问题补充)分析

2.6 四结点四边形单元(The four-node quadrilateral element)前面介绍了四结点的矩形单元其位移函数:xy y x U 4321αααα+++=xy y x V8765αααα+++=为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。

但它对边界要求严格。

本节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。

对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y 轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。

可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a ）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。

正方形四个结点i,j,m,p 按反时钟顺序对应四边形的四个结点i j m p 。

正方形的 1-=η 和 1=η 二条边界，分别对应四边形的i ，j 边界和p,m 边界；ξ=-1和ξ=+1分别对应四边形的i ，p 边界和j ，m 边界。

如果用二组直线等分四边形的四个边界线段，使四边形绘成一个非正交网格，那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格（见图a, b ）。

当然, 局部坐标上的A 点与整体坐标的A 点对应。

一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换由于可以将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元，对于这种正方形单元，自然仍取形函数为： ξηαηαξαα2321+++=U ξηαηαξαα8765+++=V引入边界条件，即可得位移函数：∑=ijmpi i U N Ui ijmpi V N V ∑==写成矩阵形式：{}{}[]{}ee p i p i ed N d N N N N V U f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=000 式中形函数: ()()()ηηξξηξi i i N ++=1141, ()p m j i ,,, 按照等参元的定义,我们将坐标变换式亦取为: p p m m j j i i i ijmpi x N x N x N x N x N x +++==∑p p m m j j i i i ijmpi y N y N y N y N y N y +++==∑ ()162-- 式中形函数N 与位移函数中的完全一致。

有限元例题

【1】图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分及单元、节点编号如图1所示。

试求：(1) 计算系统刚度矩阵的最大带宽；(2) 根据图中结构的边界约束状态，给出约束节点位移值。

【解】(1) 相邻节点号的最大差为d = 4；所以，半带宽为B = 2 ⨯ (4 + 1) = 10。

(2) u1 = 0，v1 = 0，u4 = 0，v4 = 0。

【2】弹性力学平面问题4节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚度矩阵是多少阶的？单元刚度矩阵有多少个元素？【解】平面问题4节点等参元，其单元自由度是4 ⨯2 = 8个；单元刚度矩阵是8 ⨯ 8 阶的，单元刚度矩阵有64个元素。

【3】平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是多少？单元刚度矩阵是多少阶的？单元刚度矩阵有多少个元素？【解】平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是2 ⨯ 3 = 6个；单元刚度矩阵是6 ⨯ 6阶的；单元刚度矩阵有36个元素。

【4】已知一等截面直杆中某一微段的起始点坐标为0.5m，终点坐标为0.6m，起始点的位移为0.2mm，终点的位移为0.3mm。

假定直杆内的位移是线性分布的。

求该微段等截面直杆的位移表达式f(x)。

【解】已知：x i = 0.5m, x j= 0.6m, u i = 0.2mm = 0.2⨯10-3m, u j= 0.3mm = 0.3⨯10-3m。

即【5】已知4节点一维问题中单元①(1, 2)的应力矩阵为结构总体位移列阵为求单元①的应力（用矩阵计算）。

【解】由总体结构位移列阵知，单元①的位移列阵为由{σ} = [C] {∆}e可求得单元①的应力【6】某结构中单元③的单元应力矩阵，节点位移列阵为，求单元3的应力{σ }。

【解】由{σ} = [C] {∆}e可求得单元③的应力【7】已知某结构中三角形常应变单元的单元③的应力矩阵与应变矩阵分别为，单元厚度t = 1，单元面积A = 0.5，求单元③的刚度矩阵[K]3。

第3讲—弹性力学问题的有限单元法

1 T U d Kd 2
u1 d u 2 u 3
有限单元法
崔向阳
Step 3: 单元集成
单元集成——外力功
整体节点位移列阵
整体等效节点力列阵
u1 d u2 u 3
f1 R1 f f 2 0 f F 3
有限单元法
崔向阳
Step 2.单元特征分析
xi
单元节点位移列阵：单元节点坐标列阵：单元等效节点力列阵：
II＝0
有限单元法崔向阳
真实位移
6
最小势能原理
1 II ij ij dV bi ui dV pi ui dA 2 Sp 1 II Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp 2

ij
ij
dV biui dV piui dA
Sp
弹性问题中等价于最小势能原理！
有限单元法崔向阳
比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于
一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述
形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非常方便。
ij ui ij ui Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp ij ij dV bi ui dV pi ui dA Sp
V= – W
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。

弹性力学与有限元完整版ppt课件

E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量：平衡方程——2个物理方程——3个几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型：体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}

弹性力学平面问题

第三章弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸，应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性体的问题称为线性弹性力学。
第三章弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力（矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力（矢量）。如：静水压力、接触力等。
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学问题时，必须考虑上述边界上位移的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y

弹性力学平面问题的有限元法

形状函数
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元，具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点单元内任意一点的位移和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的量，包括正应力和剪切应力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态，即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法

弹性力学平面问题的直坐标系解答

物理方程描述了应力与应变之间的关系，它是通过材料的弹性常数建立的。在直坐标系中，物理方程可以表示为
03
直坐标系中的弹性力学平面问题
直坐标系中的平衡方程
80%
平衡方程概述
在直坐标系中，弹性力学平面问题的平衡方程描述了物体在受力作用下的静力平衡状态。
100%
平衡方程的推导
通过分析物体的受力情况，结合牛顿第二定律，可以推导出平衡方程的具体形式。
弹性力学的基本概念
应力和应变
在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，这种形变程度可以用应力和应变来描述。
胡克定律
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的应力和应变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
边界条件和初始条件
在弹性力学问题中，物体边界上的条件和问题开始前的初始状态对于确定物体的应力和应变是必要的。
总结词
考虑弹性体在平面内受拉伸的情况，分析其应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设弹性体受到沿x轴方向的拉伸力作用，根据弹性力学基本方程，可以求出弹性体内各点的应力和应变分布，以及位移场。
圆盘受压问题
总结词
研究圆盘在受到垂直向下的均匀压力作用下的应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设圆盘中心位于原点，半径为R。根据弹性力学基本方程，可以求出圆盘内各点的应力和应变分布，以及位移场。
弹性力学平面问题的直坐标系解答
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学平面问题的基本方程 • 直坐标系中的弹性力学平面问题 • 解法举例 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学平面问题
在弹性力学中，平面问题指的是应变和应力分量在空间中仅随两个坐标变量变化的情形。

有限元弹性力学平面应力问题矩阵解

“计算材料学”课后大作业（ 2014 至 2015 学年第 2 学期）课程代码学号姓名课程内容 FEM-4:综合考察题成绩一、综合考察题（1）弹性力学平面应力问题（网格② 边界条件⑤）如图一个平板长宽高为0.2m ×0.1m ×0.02m ，分别划分为五种单元网格。

材料参数：泊松比μ=0.3,弹性模量E=2×108Pa 。

边界条件为：O 点固定，OE 边在X 轴方向上无位移。

载荷条件为：（5）节点C 受到向右和向下的两个力，大小均为F=800N 。

请详细推导有限元的整个求解过程，求出该平板内的位移分布，应变分布和应力分布。

思路：①求解应变矩阵B i (i=1,2,3,4)②求解单元刚度矩阵K i (i=1,2,3,4) ③叠加得到整体刚度矩阵K ④带入已知节点力和位移，求解 {F}=[K ]*{δ} ⑤每个三角形分别求节点形变 ⑥每个三角形分别求节点应力⑦求三角形单元内的位移、应力、应变分布1.求解应变矩阵B i (i=1,2,3,4)jim i iijjj mmm i,j,m i j m m ji j m a x y x y b y y =-=-轮换[]0001[][][]0002ij m i j m i j m b b b B B B B c c c A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎣⎦各点坐标可从图中读出，对6个点进行逆时针编号：点O坐标（0,0），点A坐标（0.1,0），点B坐标（0.2,0），点C坐标（0.2,0.1），点D坐标（0.1,0.1），点E坐标（0,0.1）。

四个三角形单元面积相等，2A值为：对三角形单元①：B1=12A[0.1000−0.100000.10−0.100.10.10−0.1−0.1]对三角形单元②：B2=12A[0.1000−0.100000.10−0.100.10.10−0.1−0.1]对三角形单元③：B3=12A[000.10−0.100−0.10000.1−0.1000.10.1−0.1]对三角形单元④：2121=0.01 m1i ij jm mx yA x yx y=0 a0 a0.010.1 0 0.10 c0.1 c0.1i j mi j mi j mab b bc======-===-0.01 a0.01 a0.010 0.1 0.10.1 c0.1 c0i j mi j mi j mab b bc==-====-=-==0.01 a0.01 a0.010 0.1 0.10.1 c0 c0.1i j mi j mi j mab b bc==-====-=-==0.02 a0.01 a00.1 0.1 00 c0.1 c0.1i j mi j mi j mab b bc==-==-====-=B4=12A[−0.100.1000000−0.100.10−0.1−0.10.10.10]2.求解单元刚度矩阵K i(i=1,2,3,4)单元刚度矩阵的表达式为：由平面问题物理方程可得：由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可得单元刚度矩阵[]e K可记为分块矩阵形式，如下所示，这一点在之后的叠加过程中得以应用，先将矩阵叠加为6*6形式，再展开为12*12的矩阵。

弹性力学平面问题有限元法

度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和
z
C
τ zx +
∂τ zx dz ∂z ∂τ yz σx ∂τ xz dy τ yz + τ xz + dx ∂y ∂x fz τxy τyx ∂σ y fy fx σy + dy ∂τ xy τxz σy ∂y τ xy + dx ∂τ yx ∂x ∂σ x τ yx + dy σx + dx ∂y ∂x τ B
yz
σz +
∂σz dz ∂z ∂τ zy dz τ zy + ∂z
P
τzy
τzx
A
σz
o
y
x
正六面单元体的取法
经过物体内任一点如P 经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别为： PA = ∆x, PB = ∆y, PC = ∆z。将每个面上的应力分解为一个正应力和两个切应力。解为一个正应力和两个切应力。正应力用 σ 表表示。示，切应力用 τ 表示。应力下标的含意：应力下标的含意：
物理方程的表达形式
以应力表示应变
以应变表示应力
τxy 1 εx = σx −v(σy +σz ) γ xy = E G τ yz 1 ε y = σy − v(σx +σz γ yz = E G τxz 1 εz = σz −v(σx +σy ) γ xz = E G
σx =λθ +2Gεx τxy =Gγxy σy =λθ +2Gεy τyz =Gγ yz σz =λθ +2Gεz τxz =Gγxz
θ = εx + ε y + εz

平面问题有限元解法(公式推导讲解)

位移边界条件：
应力边界条件：
若在su部分边界上给定了面力和，则由平衡条件得出平面应力问题的应力(或面力）边界条件为：
其中，l,m是边界面外法线的方向余弦。
*
圣维南原理
在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。
有限单元法的分析步骤如下：物体离散化单元特性分析单元组集，整体分析求解未知节点的位移由节点的位移求解各单元的位移和应力
*
有限元单元模型中几个重要概念
单元网格划分中每一个小的块体节点确定单元形状、单元之间相互联结的点节点力单元上节点处的结构内力载荷作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）约束限制某些节点的某些自由度弹性模量（杨式模量）E 泊松比（横向变形系数）μ 密度
由于（d）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，没有显著的误差。图e，构件右端有位移边界条件，，d情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图d情况的解答应用于图e时，仍然只是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。
按位移求解的方法，称为位移法。它以位移分量为基本未知函数。
按应力求解的方法，称为应力法。它以应力分量为基本未知函数。
*
按位移法求解平面问题
平面问题中，取位移分量u和v为基本未知函数。从方程中消去形变分量和应力分量：
将几何方程代入上式
利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示的平衡微分方程：

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)

第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。

一、结点位移和结点力列阵设图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。

在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1){}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。

即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。

构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。

以位移(u i ,v i ,…u m v m 3)为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。

在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)12u u x y x yααα+46y ==+ 5(,)v v x y x ααα+==+ (2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。

将13个结点坐标(x i,3iy y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程: 12i i u x ααα+3=+12j j j x y u αα=+α+3m y (a)12m m u x ααα=++46i y和5i i v x αα=+α+465j j j x y v αα=+α+46m y (b)5m m v x ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :211A Aα=22A 3A Aα=3Aα=式中行列式:2111i i 1i i i j m j j m m u x y A u x y u x y =j jm mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A 2111i i j j m mAx y A x y x y x u x u ===A为△ijm 的面积,只要A不为0,则可由上式解出:112i i j j a u a u ()m m a u A α=++21(2i ij j bu b u )m m b u A α=++ （C）312i i j j c u c u ()m mc u A α=++i j a x y =−j i y x y =−m i j j i y x y 式中:m m j x y a x a x m m i =−y m y y =−m i j y ym i j b y =− b b j i =− （d）3c m i j x x =− j i c m x x =−m j i c x x =−m iy x y =−m为了书写方便，可将上式记为: a xm i j b i jy y =−(,,) i u j m uu u ruuu u r i jc m x x =−(,,)i j m uuu u r uuu u r)m m N x y u N x y u N x y u =++)m x y v 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。

弹性力学平面问题2

ar (r = 1, 2.,...,6)
i
ui
j
uj
o
x
（1）
单元及其位移表示
为待定常数
ui = a1 + a2xi + a3 yi vi = a4 + a5xi + a6 yi
（2）
位移(1)在结点上有：位移在结点上有：在结点上有
uj = a1 + a2xj + a3 yj vj = a4 + a5xj + a6 yj uk = a1 + a2xm + a3 ym vm = a4 + a5xm + a6 ym
Ω SσΒιβλιοθήκη 对于平面问题：{ε * }T {σ }dxdy = ∫∫ {u * }T { f }dxdy + ∫ {u * }{ f }dS ∫∫
Ω Ω Sσ
相容位移：即为满足位移边界条件的位移。相容位移：即为满足位移边界条件的位移。
最小势能原理在一切可能位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；在一切可能位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。
弹性力学平面问题的有限元法
一弹性力学的基本方程二弹性力学的变分原理三平面问题的三角形单元四平面问题的四边形等参单元
一弹性力学基本方程
1、基本物理量
位移
{u} = {u( x, y, z), v( x, y, z), w( x, y, z )}
ui (i = 1, 2,3)
张量表示：张量表示：
, ci =
1 xm ym
1 xj 1 xm

弹性力学基本理论及平面问题的求解

在P点的面力分量.以沿着坐标轴正向为正;沿着坐
》标轴负向为负. 它的量纲( dimension)是L-1MT-2.
2
4. 内力、平均应力和应力
（1）内力ΔF ：是物体本身内部不
同部分之间相互作用的力；
《
《弹性土力学
（2）平均应力p：设作用在包含P点
某一个截面mn上的单元面积ΔA 上
的内力为ΔF ，则ΔF/ΔA 称为ΔA 上
切应力τ：应力在作用截面切线方向的分量。
《弹性土力学
6．正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为dx, dy, dz.正平行六面体应力
力与
学》有限元
》
ij
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
4
(1) 应力的表示
》
9
2.2 弹性力学平面问题的直角坐标解答
两类平面问题
《
《弹性土力学
• 平面应变问题 • 平面应力问题
力与
学》有限元
》
10
平面应变问题
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上
受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束。同时,
《
《弹性
体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
土力学力与
《
《弹性
正应力用σ表示. 它的下标表示作用方向.如σx 表示正应力沿着 x 方向;剪应力用 τ表示, 它有两个下标, 例如τxy 表示剪应力作用在垂直 x轴的平面上, 但沿着 y方向.
土力学力与学》有限元
(2)应力的符号如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向, 这个面就称

有限元平面问题

平面应力 H =
（5）单元刚度方程
K e ⋅ δ e = Pe
讨论1：平面三节点三角形单元的节点位移和坐标变换
由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的X方向位移（ui）和Y 方向位移（vi）来定义的，所以没有坐标变换的问题。
讨论2：平面三节点三角形单元的应变矩阵和应力矩阵为常系数矩阵
单元的位移场为线性关系，由几何函数矩阵Be可知，由于△ 是常系数，因而Be、Se为常系数矩阵，不随X、Y的变化，即这种单元在单元内任意一点的应变和应力都相同，因此，三节点三角形单元称为常应变单元。在应变梯度较大的部位，单元划分应适当密集，否则将不能真实反映应变的变化而导致误差较大。
由节点位移条件可求得待定系数：
1 a1 = uj xj yj 2Δ um xm ym 1 a3 = 1 xj uj 2Δ 1 xm um 1 xi ui
ui xi yi
1 a2 = 1 uj yj 2Δ 1 u m ym 1 xi yi 2Δ = 1 x j y j 1 xm ym
1 ui
yi
1 a4 = vj xj yj 2Δ vm xm ym 1 a6 = 1 xj vj 2Δ 1 xm vm 1 xi vi
第四章
连续体平面问题
杆梁结构系统由于本身存在有自然的连接关系即自然节点，所以他们的离散化均叫做自然离散，这样的计算模型对原始结构具有很好的描述，而连续体结构不同，它本身内部不存在有自然的连接关系，而是以连续介质的形式进行物质间的相互关联，所以，必须人为地在连续体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连续的形式来逼近原来复杂的几何形状，这种离散过程叫做逼近性离散。
N（x,y）为形状函数：
⎡ Ni 0 N j 0 N m 0 ⎤ N ( x, y ) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 Ni 0 N j 0 N m ⎥ ⎦