线性代数第三章向量复习题答案

(C) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示

(D) 中不含零向量

7、向量组线性无关得充要条件就是(D )

A、任意不为零向量

B、中任两个向量得对应分量不成比例

C、中有部分向量线性无关

D、中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示

8、设为阶方阵,,则得行向量中(A)

A、必有个行向量线性无关

B、任意个行向量构成极大线性无关组

C、任意个行向量线性相关

D、任一行都可由其余个行向量线性表示

9、设为阶方阵,且秩就是非齐次方程组得两个不同得解向量,则得通解为( C )

A、B、C、D、

10、已知向量组得秩为2,则( A)、

A、3

B、-3

C、2

D、-2

11、设为阶方阵,,则得行向量中( A )

A、必有个行向量线性无关

B、任意个行向量构成极大线性无关组

C、任意个行向量线性相关

D、任一行都可由其余个行向量线性表示

12、设向量组A: 线性无关,则下列向量组线性无关得就是(C)

A、,,

B、,,

C、,,

D、,,

14、已知向量组A线性相关,则在这个向量组中( C )

(A)必有一个零向量、

(B)必有两个向量成比例、

(C)必有一个向量就是其余向量得线性组合、

(D)任一个向量就是其余向量得线性组合、

15、设为阶方阵,且秩,就是非齐次方程组得两个不同得解向量, 则得通解为( )

(A) (B) (C) (D)

16、已知向量组线性相关, 则(C )

(A)该向量组得任何部分组必线性相关、

(B) 该向量组得任何部分组必线性无关、

(C) 该向量组得秩小于、

(D) 该向量组得最大线性无关组就是唯一得、 17.已知则 ( C )

(A) 线性无关 (B) 线性相关

(C) 能由 线性表示 (D) 能由 线性表示 18、 若有 则k 等于

(A) 1 (B) 2 (C) (D) 4

第三题 计算题:

1、 已知向量组

(1)求向量组得秩以及它得一个极大线性无关组; (2)将其余得向量用所求得极大线性无关组线性表示。

解: : ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-→

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-----→

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---00

00

10000

02110

012

01

442

20

02110

16330

112

01

086

2424312

25531

11201

其极大线性无关组可以取为

且:,

2、 求向量组:

,,

,,得一个极大无关组,并将其余向量由它线性表示、

解:由题意,

故向量组A 得一个极大无关组为,其中

3、 设

1) a 为何值时, 线性无关、 2) a 为何值时, 线性相关、

4、 求向量组()()()123:1,2,1,12,3,1,24,1,1,0T

T

T

A ααα=-=--=-、、得极大无关组,并把其余向量用极大无关组线性表示、

解 第一步先用初等行变换把矩阵化成行 (最简形) 阶梯形矩阵.

22112313241421227341241241

241

022*********

111110330000001200440

000

00r r r r r r r r r r r r r A F ---+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=−−−→−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

即,或均为得极大无关组,记,由矩阵F 可见,则有、

5、 已知,问为何值时,可由唯一线性表示？并写出表示式

班级(学生填写): 姓名: 学号:

----------------------------------- 密 ---------------------------- 封

--------------------------- 线 ------------------------------------------------ (答题不能超出密封线)

解 ()()23

1102

12

443337331

3301

c c A a a a a +---=+=+=+-２２３＝１１ （1） 当时,线性相关、 当时,线性无关、

7、 求向量组: ,,,,得一个极大无关组,并将其余向量由它线性表示、

解:由题意,

故向量组A 得一个极大无关组为,其中,

8、 试求向量组=(1,1,2,2)T ,=(0,2,1,5)T ,=(2,0,3,-1)T ,=(1,1,0,4)T 得秩与该向量组得一个最大无关组,并将其她向量用此最大无关组表示。

解:

以,,,作为列构造矩阵A ,即A=(,,,)

用初等行变换化A 为行阶梯形矩阵T,则T 得非零行得行数r 即为R(A),再化T 为行最简形T 0,

则T 0中任意r 个线性无关得向量所对应得向量组即为该向量组得最大无关组、 A=(,,,)==T, 所以R(A)=3、 故R(,,,)=3、

四、证明题:(10分)

1、 设向量组:线性无关,求证:,,线性无关、

证明:设存在数,使成立。

由得, 。2分

线性无关

4分 ,,线性无关、

2、已知向量组线性无关,线性无关、

、证:因为

因而向量组线性无关、

3、 若向量组 线性无关, 而,,,试 证: 线性无关。

证明: