等边三角形的证明例题

F

E D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

1：如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且DE ⊥BC 、EF ⊥AC 、FD ⊥AB ，则△DEF 是等边三角形.请说明理由.

变式1：已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF 是等边三角形.

变式2：△ABC 为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF 为等边三角形吗？说明理由.

A C

B A ′

C ′

B ′

.c

B

A

D

C

E

变式3：如图,△ABC 是等边三角形.分别延长CA 、AB 、

BC 到A ′、B ′、C ′，使AA ′=BB ′=CC ′，则△A ′B ′C ′是等边三角形.请说明理由.

2：如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ．

1：如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ．

(1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)当E 、F 运动到什么位置时，△BEF 面积的最

小？

2：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F ．

(1)求证：AN=BM ；

(2)求证：△CEF 是等边三角形；

1.如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接EF ，若BE =DF ，点P 是EF 的中点．

(1) 求证：AE = AF ；

(2) 若75AEB ∠=︒, 求CPD ∠的度数．

2． 如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF ⊥AE 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ，

(1)求证： DH =AG+BE ；

P

G

F

D

A

(2)若BE=1，AB=3，求PE的长．

3．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．

（1）求证：CE=CF；

（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．

4. 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，DE交AB于F。⑴若点G为DF的中点，连接AG，∠AED=2∠DAG，AE=2,求DF的长；⑵若AE⊥AB,BE⊥DE，点F为AB的中点，求证：FG-EF=BE

5．如图，P 为正方形ABCD 边BC 上一点，F 在AP 上，且AF=AD ，FE ⊥AP 交CD 于点E ，G 为CB 延长线上一点，BG=DE ， （1）求证：DAP BAP PAG ∠+∠=∠2

1

（2）若DE =2，AB =4，求AP 的长

C D

E

A G

F

B

p

6．如图，在矩形ABCD 中，点M 、N 在线段AD 上，

60MBC NCB ∠=∠=︒，点E 、F 分别为线段CN 、BC 上的点，连接EF

并延长，交MB 的延长线于点G ，EF=FG .

（1）点K 为线BM 的中点，.若线段AK=2，MN=3，求矩形ABCD 的面积；

（2）求证：MB=NE+BG.

C