复变函数作业题_1

复变函数作业题

1.P5 ~2将下列复数用代数式、三角式和指数式表示：

(1) i ；(2) −1 ；(3) 1+i √3 ；(6) e 1+i 。

2.P5 ~3 计算下列数值（a 、b 、∅ 为实常数）：

(1) ；(3) i i 。

3.P9 ~2 计算下列数值（a 、b 为实常数；x 为实变数）：

(1) sin(a +ib) ；(3) ln(−1) ；(5) cos(ix) ；(7) ch(ix) 。

4.证明：函数 ω=f(z)=z ∗ 在复平面内处处连续却处处不可导。

5.证明：函数 ω=f(z)=(Re z)2在 z =0 处可导，但不解析。

6.证明：函数 ω=f(z)=|z|2 只在 z =0 处可导，但处处不解析。

7.考查函数 ω=f (z )=x 2−iy 的解析性质。

8.由实部 u =x 2−y 2 确定该解析函数。

9.证明：u(z)=ln|z|2是调和函数。

10.函数 f(z)=√|xy| 在z =0 不可导，但满足可导的必要条件。 11.求证：e z =e x e ⅈy 。

12.由函数的实部确定该解析函数 u =e x siny ；u =e x (xcosy −ysinx) ； u =x 2−y 2+xy ；u =x 3+6x 2y −3xy 2−2y 3 。 13.求函数 z 5e 1z ⁄ 在 z 0=0 邻域上的洛朗级数。

14.求函数()

11z z -在00z =和01z =邻域上的洛朗级数。 15.求函数()()

123z z --在3z >上的洛朗级数。 16.求函数2132

z z -+在12z <<环域上的洛朗级数。 17.求函数z

e z

在其奇点邻域上的洛朗级数。 18.求函数()z

f z e =在00z =邻域的展开式。 19.求函数()sin f z z =在00z =处的展开式。

20.求函数()cos f z z =在00z =处的展开式。

21.求函数()f z Lnz =在01z =处的展开式。

22.在00z =邻域上展开函数()sin z f z z

=。 23.在00z =邻域上展开函数()1/z f z e

=。 24.在01z =邻域上将函数()211

f z z =-展开为洛朗级数。

25.求函数211

z -在1z <<∞环域上的洛朗级数。 26.在00z =邻域上展开函数()()1m f z z =+（m 不是整数）。

27.求函数()11

n f z z =

-在01z =上的留数。 28.确定函数()1sin f z z =的极点，并求出极点处的留数。 29.确定函数()()

3224z i f z z z +=+的极点，并求出在极点上的留数。 30.计算1z =上 的回路积分21,(01)2z dz z z εεε=<<++⎰。 31.计算积分

()20,011cos dx x πεε<<+⎰。