电动力学第二章

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电动力学-第二章-2.6 电多极矩

如何用于电势
(x)
( x)dV V 4 0r
？
以上泰勒级数展开式用于f (x)=1/r，r x x
r是 x, x的函数,场点 x 固定不变, 而源点 x变化
把 x在原点O附近展开，有注意负号！
1 1 x (1) y (1) z (1)
r r x0
x r x0
y r x0
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r1 4 r 2 r
4 r
r 1- 1 a 2 2 a cos - 450 3 a 2 cos2 - 450
r2 4 r 2 r
4 r
r
1-
1
a
2
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r3 4 r 2 r
1 6
ij
5
1
2
2a2 2 sin2 cos2 b2 2 sin2 sin2 c2 2 cos2
abc 3 sin d d d
00 0
Dyy
1Q 5
2b2 a2 c2
, Dzz
1Q 5
2c2 a2 b2
可以验证Dxx+Dyy+Dzz=0
1
4 0
Q r
pr
1 r
对于三元函数f (x1,x2,x3),在原点 x1=0, x2=0,x3=0邻域
的泰勒级数是：
f (x1, x2 , x3 )
f
(0,
0,
0)
x1
x1
f (0, 0, 0) x2
x2
f
(0,
0,
0)

电动力学第二章第4节

1 40
[
Q x y ( z a)
2 2 2

Q
) 2 x y (z a
2 2
]
由边界条件确定 Q 、a 和 Q Q z 0 0 x2 y2 a2 x 2 y 2 a 2
唯一解是 Q Q, a a
因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。 c) 给定边界条件
注意：
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
Q
Q
2. 以唯一性定理为依据
在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。
3. 镜象法概念、适用情况
镜象法：
用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。
O
x
-Q（a, -b, 0）
（-a, -b, 0） Q
（2）电势分布 Q 1 1 [ 4 0 ( x a) 2 ( y b) 2 z 2 ( x a ) 2 ( y b) 2 z 2
x 0 ] 2 2 2 2 2 2 y 0 ( x a ) ( y b) z ( x a ) ( y b) z （3）若两平面夹角 S2 2 Q 放在 0 ( ) 处 Q 1 1

电动力学第二章汇编

电磁场能量密度和能流密度
S EH
w
E
D
H
B
t
t
t
S
1
E B,
0
w
1 2
( 0E 2
1
0
B2)
S
1
E B,
w
1
(E
D
H
B)
2
2
例题（课本P28）
无穷大平行板电容器内有两层介质(如图)，极板上面电荷密度f，求电场和束缚电荷分布。

E2 E1
+f
3
例题（课本P28）
引入标势
电场沿任一回路的环量为零 E dl 0 L
右图：C1和C2为P1到P2点的两条不同路径，C1
和-C2构成回路
E dl E dl 0 E dl E dl
C1
C2
C1
C2
P1
电荷从P1到P2时电场对它作的功与路径无关
定义P1到P2点的电势差：单位正电
荷从P1到P2点，电场对它作的功。
比奥-萨伐尔定律
B( x)
0
4
V
J
(
x) r3
r
dV
力密度公式和洛伦兹力公式 f E J B F qE q B
极化电荷密度p与极化强度P的关系 p P
界面极化电荷面密度与极化强度P的关系 P e n ( P2 P1 )
6
极化(磁化)电流密度与极化(磁化)强度的关系 J M M J p P / t
P2
E
dl
P1
C1 P2
C2
10 §2.1 静电场的标势及其微分方程
若电场对电荷作正功，则电势下降
( P2 ) ( P1 )

电动力学-第二章练习题

第二章一、选择题1、静电场的能量密度等于（） A ρϕ21 B E D ⋅21 C ρϕ D E D ⋅ 2、下列函数（球坐标系a 、b 为非零常数）中能描述无电荷区电势的是（）A a 2rB a b r +3C ar(2r +b)D b ra + 3、真空中两个相距为a 的点电荷1q 和2q ，它们之间的相互作用能是（） A a q q 0218πε B a q q 0214πε C a q q 0212πε D aq q 02132πε 4、电偶极子p 在外电场e E 中所受的力为（）A (∇⋅P )e EB —∇(⋅P e E )C (P ⋅∇)e ED (eE ⋅∇)P5、电导率为1σ和2σ，电容率为1ε和2ε的均匀导电介质中有稳恒电流，则在两导电介质面上电势的法向微商满足的关系为（） A n n ∂∂=∂∂21ϕϕ B σϕεϕε-=∂∂-∂∂n n 1122 C nn ∂∂=∂∂2211ϕσϕσ D n n ∂∂=∂∂122211σσϕσ 6. 用点像法求接静电场时，所用到的像点荷___________ 。

A) 确实存在；B) 会产生电力线；C) 会产生电势；D) 是一种虚拟的假想电荷。

7.用分离变量法求解静电场必须要知道__________ 。

A) 初始条件；B) 电场的分布规律；C) 边界条件；D) 静磁场。

8.设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ，S 为V 的边界，欲使V 的电场唯一确定，则需要给定（）。

A. S φ或S n ∂∂φB. S QC. E 的切向分量D. 以上都不对9.设区域V 内给定自由电荷分布()ρx ,在V 的边界S 上给定电势s ϕ或电势的法向导数s n ϕ∂∂，则V 内的电场（）A ．唯一确定 B. 可以确定但不唯一 C. 不能确定 D. 以上都不对10.导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( )A. 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面B. 导体内部电场为零C. 导体表面电场线沿切线方向D. 整个导体的电势相等11.一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（）A. 2()0x ψ∇=B. 20()1/x ψε∇=-C. 201()()x x x ψδε'∇=-- D. 201()()x x ψδε'∇=-12.对于均匀带电的球体，有（）。

电动力学第2章 2-4

q ⎡1 1 1 1⎤ ϕ= − + ⎥ ⎢ − 4πε 0 ⎣ R R1 R2 R3 ⎦
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的处理。这里像电荷q’应位于导体球壳外且在球心与点电荷q的连线的延长线上，如图所示。设像电荷距球心为d，同样有球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷），在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解无界空间的问题。根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d，则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。（２）点电荷对导体球的镜象一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。

电动力学第2章 2-6

v 当电荷分布区域的线度远小于R时，可以把 x′ 各分量
r r f (x − x')
看作小参量。设 2 则在 3 3 1 ∂ ∂ r r r r r f ( x − x ' ) = f ( x ) − ∑ xi ' f ( x ) + ∑ xi ' x j ' f (x) + L 附近的泰勒展开式为 i =1 ∂x 2! i , j =1 ∂x ∂x
1 ∇ =0 R
2
由于
，此时φ(2)形式不变，仍为
2 i, j ij
1 1 ∂ 1 ϕ = ∑D ∂x ∂x R 4πε 6
(2) 0 i j
但是电四极矩满足 D11 + D22 + D33 = 0 ，对只有5个独立分量。以后我们也将沿用此定义形式。可以验证：球对称电荷分布没有电四极矩；反过来，电荷分布偏离球对称性，电四极矩不为零。因此电四极矩反映了电荷分布是否具有球对称性。
二、电多极矩的概念
下面讨论展开式中各项的物理意义：（1） ϕ
(0)
=
Q 4πε 0 R
代表原点处点电荷Q激发的电势，即整个体系在远点产生的势相当于把整个体系的电荷都集中于原点处的贡献。
(1) ϕ （2）
v v v 1 1 P⋅R =− P ⋅∇ = 4πε 0 R 4πε 0 R 3
代表放于原点处的电偶极矩P在远处产生的电势，即体系产生的电偶极矩P放在原点处时产生的势。
l 0
当l为偶数当l为奇数
同理可以得到
§2.6 矩一、电势的多极展开
v ϕ (x) =
电多极
v
' ρ ( x ) 真空中给定电荷分布

郭硕鸿《电动力学》课后答案

郭硕鸿《电动力学》课后答案第 2 页电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(cc A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=cc c c B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：AA A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(zy x zuu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e（2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x dd)()d d d d d d (e e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=第 3 页（3）u A u A u A zu y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=zx y y z x x y z yu A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

电动力学作业第二章

第二章习题1. 有导体存在时的唯一性定理是说: 若给出介质中自由电荷的分布,给定每个导体上的_______或每个导体上的______,以及（包围所有导体的）界面S 上sn s ∂∂ϕϕ或,则S 内静电场E被唯一确定. 2. 无导体存在时的静电学问题的唯一性定理为: 设空间区域V 可以分为若干小区域i V ,每个小区域i V 充满均匀介质i ε,若给出V 内自由电荷的分布,同时给出V 的界面S上的__ _ ___或_ __ ____,则V 内静电场E被唯一确定.3. 半径为0R 的接地导体球置于均匀外电场0E 中,导体球外为真空.试用分离变量法,求导体球外的电势、场强和导体球面上的自由电荷面密度σ.4. 半径为0R 的接地导体球置于均匀外电场0E中,球外真空, 试用分离变量法,求电势、导体面上的电荷面密度及场强.5. 半径为R 的空心带电球面，面电荷密度为θσσcos 0=f （0σ为常量）,球外充满介电常数为ε的均匀介质，求球内外的电势、场强.6. 在两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内有一点电荷Q ,它到两个平面的距离为a 和b ,其坐标为)0,,(b a ,那么当用镜像法求空间的电势时,其镜像电荷的数目为______,这时所围成的直角空间内任意点),,(z y x 的电势为______.7. 两个无穷大的接地导体平面分别组成一个450、600、900两面角，在两面角内与两导体平面等距离处置一点电荷Q ,则在这三种情形下，像电荷的个数分别为 ______，______，______.8. 一电量为q 的点电荷在两平行接地导体平面中间，离两板距离均为a ，则像电荷的个数为_______.9.有两个电量为q的点电荷A和B，相距2b，在它们的联线的中点放一半径为a的接地导体球（b>a）,则每一个点电荷受力大小为_______.10.电荷分布为ρ,体积为V的带电体系在外电场（电势为eϕ）中的能量为_______.11.两个同心带电球面（内、外半径分别为a、b）均匀地带有相同的电荷Q，则这两个带电球面之间的相互作用能为_________；系统的总静电能为_________.12.半径为R的接地导体球外有一点电荷q，它离球心的距离为a，则他们的相互作用能为_______.。

电动力学西南师范大学出版社罗婉华第二章作业答案

习题二1．将一个位于真空中的带电导体球切成两半，求它们之间的排斥力．设球的半径为0R ，球的电势为0V ．答案： .ˆ2200z eV F πε= 解：0004R q V πε=，0004V R q πε=，.000R V εσ=z z e V e R F ˆ2ˆ22002002πεπεσ=⋅=２．内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质．⑴证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消．因此内部无磁场．⑵求f λ随时间的衰减规律．⑶求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度．⑷求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率． ⑵;0tf eεσλλ-=⑶22⎪⎪⎭⎫⎝⎛r f πελσ； ⑷.ln222ab l f πελσ解：⑴r f e r D ˆ2πλ=，.ˆ2r f e rDE πελε==.ˆ2r f f e r E J πεσλσ== .ˆ21r fD e tr t D J ∂∂=∂∂=λπ对两式求散度，并且由f D ρ=⋅∇ ，0=∂∂+⋅∇tJ ff ρ得f f tλεσλ-=∂∂，所以0=∂∂+tD J f。

因为介质是非磁性的，即H Bμ=，故任意一点，任意时刻有000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⨯∇=⨯∇t D J H B fμμ ⑵由f f tλεσλ-=∂∂，解这个微分方程得()tf et εσλλ-=0⑶()222/r E E J p f f πελσσ==⋅=⑷长度为l 的一段介质耗散的功率为.ln 222222a bl rldr r f baf πελσππελσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰能量密度()22/,21r tw D E w f πελσ-=∂∂⋅=长度为l 的一段介质内能量减少率为 .ln2222ab l rldr tw f baπελσπ⎰=∂∂-３．一很长的直圆筒，半径为R ，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为σ．在外力矩的作用下，从0=t 时刻开始，以匀角加速度α绕它的几何轴转动，如图所示．⑴试求筒内的磁感应强度B；⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E和玻印廷矢量S ；⑶试证明：进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2022B l R dt d μπ．答案： ⑴ωσμR B 0=；⑵ωασμe eRr E r ˆˆ210⨯= ； r er R S ˆ212320ασμ-= ．解：⑴单位面电流ωσσπR lT Rl i ==2ωσμμR ei B z 00ˆ== ⑵在圆筒的横截面内，以轴线为心，r 为半径作一圆，通过这圆面积的磁通量为 ωσμπR r S d B s02=⋅=Φ⎰由法拉第定律，得 .21210d td Rrdtd r E ωσμπ-=Φ-=因为t αω= 所以ασμrR E 021-=考虑到方向，则有z r e erR E ˆˆ210⨯=ασμ 在筒内接近表面处，z r e eR E ˆˆ2120⨯=ασμ 该处的能流密度为 ()()z z r R R R e R e eR H E S ˆˆˆ2120ωσασμ⨯⨯=⨯=r et R ˆ212320ασμ-= 负号表明，S 垂直于筒表面指向筒内。

电动力学课件第2章静电场

●等势面：电势处处相等的曲面
E 与等势面垂直。
均匀场电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
点电荷电场线与等势面
z 参考点（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点 φ∞ = 0
ϕP =
∫
∞
P
E ⋅ dl
P点电势为将单位正电荷从P移到∞电场力所做的功。
（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。
R02 τ τ R = ln 2 = − ln 4πε 0 R 2πε 0 R0
若选P0点为参考点，规定（ ϕ R 0）=0，则
τ R ϕ （R） =− ln 2πε 0 R0
4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。
3、电荷分布在有限区几种情况的电势
（1）点电荷
∞ Qdr ′ Qr ′ Q ϕ ( P) = ∫ ⋅ dl = ∫ = 3 2 P 4πε r ′ P 4πε r ′ 4πε 0 r 0 0 ∞
（2）电荷组
ϕ (P ) =
∑
n
Q 4 πε
i 0
i =1
ri
（3）无限大均匀线性介质中点电荷
ϕ =
Q 4 πε r
∫
∫
三．静电场的能量 1. 一般方程：能量密度
仅讨论均匀介质
1 w = E⋅D 2
1 总能量 W = ∫ E ⋅ D dV 2 ∞ 2. 若已知 ρ , ϕ 总能量为 1 W = ρϕ dV 2 V
∫
1 ρϕ 不是能量密度 2

电动力学-第二章(习题)解析

使其0 与具有Q确0 何定种电关势系时0，，试两求情这况两解种相情等况。电势，又问
解：因为球壳不接地，球外电势不为零。而球内电
势可利用叠加原理，由 Q 的电势，象电荷Q 的电
势和球壳电势组成，取无穷远处为电势0点，球内电
势的定解条件为
Q
而球外电势可直接由高斯定理求出：
[( 2
0)
2
r
(1
0)
1
r
]
|R0
30 (1 2 1(1 2
2 2
) ) R03
pf
cos
p
3 0 (1 2 ) 2 1(1 2 2 )R03
pf
cos
5、空心导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子，球p 壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布
解：该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿 p 方向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。取无穷远处为电势0点。
电势0点。介质球半径为，球外为真空，该问题具
有球对称性。设球内外势分别用
表示。
对球外，无电荷，拉普拉斯方程。对球内可以看成点电荷与介质球的极化电荷各自产生电势的叠加
由于球对称
使用高斯定理在球外由高斯定理有
0 D2 • d S Qf
S
2
r
Qf
4 0r2
r0
•dr
Qf
4 0r
,
在球内由介质中高斯定理有
E2
Qf
4 0r 2
r0
(r R0 )
D1 • d S Qf D1 E1
S
E1
Qf
4r 2
r0
1
2
|R0
R0 r
Qf

电动力学第二章自由空间中的电磁波

1
例：半径为 R，带电量为 q（q>0）的均匀带电球体的球心位于原点，设球体的介电常数为，求球内各点电场强度的散度。
2
3
4
静电场时变电场
5
6
7
求场点 x 的散度和旋度，可得静电场的两个基本微分方程：
8
9
时变电磁场的 Maxwell 方程组
安培定律和位移电流
r E
r B
t
r B
0
t
12
13
r
n r pi
nr
q li
P r
i
V
i
V
P——电极化强度矢量
nq l d S np d S P d S
S P d S p o s i t i v e c h a r g e s o u t s i d e V PdV S P d S
P P
14
JP
P
t
0
JP
y,
z)
2u x2
2u y 2
2u z 2
22
2u(,, z)
1
(
u )
1 2
2u 2
2u z 2
● 导电媒质中有源的非齐次广义波动方程
r
r
ur
r 2E
E
2E
1
J
t
t2
t
r 2H
r H t
r 2H t 2
ur J
●不导电媒质中有源的非齐次波动方程
r 2E
r 2E t 2
1
Constitutive equations of simple (isotropic) media
Dx xx
Dy

电动力学第二章

若轴对称，
u()abln
§3拉普拉斯方程——分离变量法例2：电容率为的介质球置于匀强外场中，求电势解：设：球半径为，球外为真空，该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场方向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。以原点为电势0点，为球外势，为球内势能
1
写出通解通解为
上给定
（i）电势 S
或
（ii）电势的法向导数
n S
若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。
则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。
当带电体为一点电荷
静电场标势静电势的微分方程
a.边界条件
由边界条件
导体的静电条件归结为：
①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上。
②导体内部电场为零。
③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。
§1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势 2。静电势的微分方程
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候必须保证原有的场方程，边界条件不变

电动力学-第二章-2-3拉普拉斯方程

θ=0,φ=V,任何r成立 A0C0 V , B0 0,C 0 0
r→0, φ有限
B B0 0
θ=2π-α,φ=V,任何r成立 D0 0, sin 2 0
n
n
2
n 1,2,
V Anrn sin n n1
条件不全,无法确定An
尖劈附近,r→0
V A1r1 sin1
Er
r
1A1r11 sin1
E
1 r
1A1r11 cos1
0En
0E 0 E
0
2
01 A1r11
α很小,ν1≈1/2,E和σ∝1/r1/2
n
n
2
n 1,2,
r 2
)
r
1
r 2 sin
(sin
)
1
r 2 sin 2
2 2
0
其通解为 (r, ,) R(r)Y ( ,)
Bn(1)
a
n
cos n
E0a cos
Dn(2) a n
n1
cos n
n1 nBn(1) a n1 cos n
0 E0 cos
0
(n)Dn(2) a (n1)
n 1
cos n
两边为任意值， cos 前系数应相等（ n 1,2, ）
n 1
BB1(11)(1a)
E0
a
D(2) 1
a
1
0 E0 0 D1(2)a2
k2Z
0
Rr An Jn kr An Nn kr k 0 Rr Anr n Anr n k 0 Rr Aln r A k n 0
Bn cos n Bn sin n n 0
B B n 0

郭硕鸿第三版电动力学第2章

三、静电场能量
1 线性介质中，静电场总能量为 W E DdV 2
E D E D D (D) D (D)
1 1 1 W E DdV dV (D)dV 2 2 2 1 1 dV D dS 2 2 S
(x' ) (x) dV dV ' r
例1：求均匀电场 E0的电势。
解：均匀电场可看作两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选取空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势 0
0 ( P)
0
P
E dl
2、介质的磁化磁化电流密度磁化线电流密度
JM M M n (M 2 M1 )
1 1 M ( )B
各向同性介质
H
0
B
0

0
M

B

1
1 1 JM ( ) B
M (
0
1 )n ( B2 B1 )
1 W Q 2
3、静电场总能量
导体球的静电场总能量 1 W dV 2
2.2
唯一性定理
一、泊松方程和边界条件
假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为 i ，它们满足泊松方程
i i
2
(i 1,2, , m)
z E r 2rzE E 2r 0 0 20 r 2 R R dr R r dl ( R) ( R0 ) E dl R 2 R 2 r R 20 r 0 R ln R ln 取 ( R0 ) 0 ( R ) 20 R0 20 R0

电动力学-复习-第二章-电磁场的基本规律

*
电场力服从叠加原理
真空中的N个点电荷（分别位于）对点电荷（位于）的作用力为
q
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
*
2. 电场强度
空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即
多层同心球壳
*
无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板圆柱壳等。
(a)
(b)
*
例2.2.3 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a ，电荷密度为 0 。
解：（1）球外某点的场强
（2）求球体内一点的场强
( r ≥ a )
• 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。
2.1.1 电荷与电荷密度
*
1. 电荷体密度
单位：C/m3 (库仑/米3 )
根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为
电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q 为
单位: C/m (库仑/米)
*
对于总电量为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中心、电量为 q 的点电荷。
第二章电磁场的基本规律
*
2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件

电动力学第二章

电动力学-第二章-2.6 电多极矩

电动力学第二章第4节

电动力学第二章汇编

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