18.1勾股定理讲解与例题

勾股定理

1．勾股定理

(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．

(2)勾股定理的表达式：如果直角三角形的两直角边用a ，b 表示，斜边用c 表示，那么勾股定理可表示为：2

2

a b c 2

＋＝.

(3) c 注意：勾股定理应用的前提条件必须是在直角三角形中，已知其中的任意两边的长，根据勾股定理可求出第三边的长．在求解时要先画图，标上已知量，如图，分清要求的边是直角边还是斜边，然后再运用勾股定理或其变形进行解答．

【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c . (1)若a ＝3，b ＝4，则c ＝__________； (2)若a ＝6，c ＝10，则b ＝__________；

(3)若c ＝34，a ∶b ＝8∶15，则a ＝__________，b ＝__________； (4)若b ＝5，∠B ＝30°，则c ＝__________. 解析：(1)c 2＝a 2＋b 2＝25，则c ＝5. (2)b 2＝c 2－a 2＝64，则b ＝8.

(3)∵a ∶b ＝8∶15，∴设a ＝8x (x ＞0)，b ＝15x . 又∵∠C ＝90°，c ＝34， ∴c 2＝a 2＋b 2＝(8x )2＋(15x )2， ∴c ＝17x ，∴17x ＝34，x ＝2， ∴a ＝16，b ＝30.

(4)∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴c ＝2b ＝10. 答案：(1)5 (2)8 (3)16 30 (4)10

点拨：在直角三角形中，运用勾股定理求某一边的长时，先分清直角边和斜边，然后

再利用勾股定理，可设未知数，通过建立方程(组)来解决．

2．勾股定理的证明

(1)方法：勾股定理的证明方法较多，仅选取一种加以说明．如图所示网格图形中，每一个小方格的边长为1.

的面积

(2)结论：

①两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积，即S A＋S B＝S C；

②勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．

因为勾股定理既重要又简单，所以很容易吸引人，才使它成百次地被人反复论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法．实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500

余种．

【例2】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，P是AC的中点，PD⊥BC，D为垂足，BC＝9，DC＝3，求AB的长．

分析：由题可知∠BAC＝∠PDC＝90°，因此可以利用勾股定理进行计算．

解：连接PB.

∵BC＝9，DC＝3，∴BD＝6.

在Rt△BDP中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2，即PD2＝PB2－BD2.

在Rt△PDC中，由勾股定理，得

PC2－CD2＝PD2，

∴PB2－BD2＝PC2－CD2.

∴PB2－36＝PC2－9，∴PB2－PC2＝27.

又∵P为AC的中点，∴PB2－PC2＝PB2－AP2＝AB2＝27，∴AB＝3 3.

3．运用勾股定理求边长

(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么a2＋b2＝c2.

(2)意义：勾股定理是直角三角形特有的定理，反映了直角三角形三边之间的数量关系．

(3)延伸：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

①a＝c2－b2；②b＝c2－a2；③c＝a2＋b2.

在直角三角形中，知道其中任意两边，根据勾股定理就能求出第三边.

运用勾股定理求边长，一定要注意弄清是求直角边还是斜边，注意是加还是

减．

【例3】小林是开发区中学升旗队的一名旗手，在升旗时发现从旗杆AB的顶端A处垂下的绳子比旗杆AB长1米，他拿着绳子的下端拉开至C处，绳子恰好完全伸直，测得点C 距旗杆底部B的距离是5米．请问：能根据这些条件求出旗杆的高度吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．

解：能求出旗杆的高度．如图所示，BC＝5米．设AB＝x米，则AC＝(x＋1)米．

在Rt△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即：x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.即AB＝12米．

答：旗杆AB的高度为12米．

4．勾股定理在等腰三角形中的应用

等腰三角形两腰相等；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线相互重合，因此在等腰三角形中，通过作高可以将等腰三角形分成两个直角三角形，特别是底边上的高，将等腰三角形分解成两个全等的直角三角形．

在等腰三角形中，底、腰、高三者之间知道任意两者都能求第三者．如图(1)、图(2)分两种情况：

情况一：图(1)中，在AB(或AC)，BC，AD三个量中，已知两个量，根据勾股定理，可以直接求第三个量；

情况二：图(2)中，①已知AB，BD求BC，可以先求AD，再求DC，再求出BC；②已知AB，BC求BD，可借助于BD2相等，列方程求出AD或DC，再求出BD；③已知BC，BD，可以列方程求AB.

作为等腰三角形中的特殊三角形“等边三角形”，它的任一条高都具备“三线合一”性质，都能将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，并且这些直角三角形还是含30°角的直角三角形，因此，根据勾股定理，在边长、高、周长、面积四个量中，知道任何一个量

都能求出其他三个量．

【例4－1】如图所示，在等腰△ABC中，AB＝13，BC＝10，则底边上的高AD的长是()．

A．11 B．12 C．13 D．14

解析：因为△ABC是等腰三角形，AD是高，

所以BD＝1

2BC＝5.

在Rt△ADB中，由勾股定理，得

AD＝AB2－BD2＝132－52＝12，故选B.

答案：B

【例4－2】如图(1)，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．

(1)

(2)

分析：要求BD的长，可构造直角三角形，使BD为该直角三角形中的边，如图(2)，过D作DF⊥BE于F，在Rt△DFB中运用勾股定理可求BD的长．

解：过D作DF⊥BE于F.因为△DCE为等边三角形，所以DF也是△DCE的中线，所以CF＝1

2＝DC2 2CE＝1，所以BF＝BC＋CF＝2＋1＝3.在Rt△DFC中，由勾股定理，得DF

－CF2＝22－12＝3.

在Rt△DFB中，由勾股定理，得

BD2＝BF2＋DF2＝32＋3＝12，所以BD＝2 3.

5．勾股定理在含30°角的直角三角形中的应用

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．所以在含30°角的直角三角形