概率论第一章1.3节PPT资料37页

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概率论与数理统计课件完整版.ppt

P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 , 两两互不相容, 则
P(Bi | A) P(B i | A).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
A2 , A2 A3 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 A3 , A1 A2 A2 A3 A1 A3 .

概率论与数理统计(浙大版)第一章课件

然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的积事件 ;
事件 A 发生事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包含，则称这两个事件相等，记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）

第一章概率论的基本概念PPT课件

性质 4：对任一 A，P 事 (A)件 1. 上一页下一页返回
性质 5：对任一A事，件有 P(A)1P(A).
性质 6：对于任意两A,个 B，事有件 P(AB)P(A)P(B)P(AB)
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3、古典概型定义1.4：
设随机试验E满足如下条件:
(1) 试验的样本空间只有有限个样本点，即
(1)A1 {4个数字排成一个}偶 ; 数 (2)A2 {4个数字排成一个四}位 ; 数 (3)A3 {4个数字中 0恰好出现两}.次
因为是有放 ,所回以抽样样本空间总中数样 1为 04.本若使 4个数字组,成则偶只数需末位数即字可 . 为
上一页下一页返回
这有 5种可能 :0,2,4,6,8,
P ( A3 )
ห้องสมุดไป่ตู้
C
2 4
•
9
2
10 4
0 .0486
上一页下一页返回
例4： (一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6 与不出现双6的概率哪个大?
解：设A {出现双6},B {不出现双6},
一对骰子掷1次,有66 36种结果.
掷25次共有3625种结果,
掷一次出现双6只有1种结果,不出现双6共有
上一页下一页返回
解 : (1) A (B C ); (2) AC B或 AB C; (3 ) A B C A B C A B C ;
(4) ABCABCABCABC或 A BA CB;C
(5) AB 或 A C BC; (6) A BAC BC
或 AC BABCABC AB. C
上一页下一页返回
乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:

1.3 等可能概型、几何概型

2013年7月29日星期一中央财经大学《概率统计》课件--孙博第一章第三节 --第26页--
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙博
第一章第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一中央财经大学《概率统计》课件--孙博第一章第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中，需要根据实际情况去判断。在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.
2013年7月29日星期一中央财经大学《概率统计》课件--孙博第一章第三节 --第10页--

概率论

第 16 页
问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？ 3. 频率的特性频率的特性: 1）随机波动性：）随机波动性： 2）稳定性：）稳定性：较小时，当n较小时，波动大；较小时波动大；较大时，当n较大时，波动小。较大时波动小。设想当n－>∞时, fn(A)没有波动没有波动. 没有波动
第 6 页
（三）事件间的关系与事件的运算 1.包含关系和相等关系包含关系和相等关系: 包含关系和相等关系若事件A发生必然导致事件发生,则称事件发生必然导致事件B发生则称事件B包含若事件发生必然导致事件发生则称事件包含事件A,记作记作A⊂ 事件记作 ⊂B. 则称A与相等相等. 若A ⊂ B且A ⊃B, 即A=B, 则称与B相等且 (2)设A,B,C为任意三个事件事件间的包含为任意三个事件, 设为任意三个事件 (1)以后考虑事件间关系和运算时参加比较以后考虑事件间关系和运算时, 以后考虑事件间关系和运算时 B 关系有下列性质: 关系有下列性质或运算的事件都是同一样本空间的子集. 或运算的事件都是同一样本空间的子集 (a) φ⊂ ⊂S; φ⊂A⊂A S (b) A⊂A(自反性自反性); ⊂ 自反性 (c) 若A⊂1) 且B⊂C,则A⊂C(传递性传递性); ⊂B且 B 则 ⊂ 传递性 ⊂ ( A⊂ ⊂ (d) 若A⊂B且B⊂A, 则A=B(反对称性反对称性). ⊂ 且 ⊂ 反对称性
第 10 页
5. 对立事件逆事件：对立事件(逆事件逆事件)：
A 若 UB= S AIB=φ 则 A B 为事，称且，称与互逆件也对事 . : 一实中件与中然一为立件即在次验 , 事 A B 必有发 , 仅一发 . 个生且有个生

概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件

ppt课件
9
例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
ppt课件
10
概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
ppt课件
111
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
ppt课件
27
例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
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28
概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
ppt课件
33
(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,

P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一红一黄}，求P(B)．
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47
概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}

P

A

3 8
(2)P(B)

C31C51

概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率

AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差：若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标，直到射中为止，观察其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，

概率论第一章ppt课件

i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）：即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：

概率论第一章PPT课件

2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜，那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲甲甲甲乙甲甲乙甲甲乙甲甲乙甲甲甲乙甲甲乙
甲甲乙乙甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙甲甲乙甲乙甲
甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙
2021/3/24
-
8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生，即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机试验。
2021/3/24
-
20
§1.1.2 样本空间随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性，随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确定，二是结果不确定。

概率论第一章课件

• 使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利［1654-1705］。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理” • 到了1730年，法国数学家棣莫弗和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布。
课程说明
• 期末闭卷考试，平时课后留作业，每周五收作业。 • 成绩计算方法：期末考试占70%，平时分占30% • 平时分计算方法：作业上交情况，平时上课做题情况，思考题，讨论题。按百分制记，每上黑板每上黑板做一次题加6分做一次思考题加10分做一次题加分，做一次思考题加分，讲解讨论题加16分一次作业没有交扣5分旷课扣15分题加分，一次作业没有交扣分，旷课扣分, 累计旷课3次平时分低于分。累计旷课次平时分低于40分次平时分低于 • 课程安排：讲解到7章，13周左右作一次概率论课程安排：讲解1到章周左右作一次概率论应用专题讲解，周课堂讨论我给出问题周课堂讨论我给出问题. 应用专题讲解，15周课堂讨论我给出问题上限100分，下限分. 注：上限分下限0分
摸球问题（例1.摸球问题（抽奖问题）摸球问题抽奖问题）
袋中有a只红球，b 袋中有a只红球，b只白球
（除颜色外无任何差别），现依次将球一只只摸出（不放回），求第k 求第k次摸到红球的概率
解：将这a + b只球进行编号，其中a只红球为1-a号， b只白球为a+1-a+b号， b只白球为a+1-a+b号，
a b
b
1 f ( x, y ) = 1( a ≤ x ≤b ,0≤ y ≤ M ) M (b − a )

概率论ppt

当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称事件Ａ发生．
实例抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 特别地：
基本事件由一个样本点组成的单点集实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件随机试验中必然发生的事件．实例上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件随机试验中不可能发生的事件. 实例上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
(2) 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验. (1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
例如只包含两个样本点的样本空间
{H,T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.
在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.
三、随机事件及其发生
随机事件：
通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的结果。根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！
Ω
.
样本点e
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
1 {H ,T }.
H 正面朝上 T 反面朝上
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.

概率论课件(总)

则称P(A)为事件A的概率。
3.概率的性质
• • • • • • • • (1) 加法公式:若A与B为互斥事件，则有： P(AB)=P(A)+P(B ) (2)求逆公式: 设A、 A 互为对立事件，则有： P( A)=1－P( A ) (3)减法公式: 若AB,则 P(A－B)=P(A)－P(B) P(A)P(B) (4)广义加法公式:P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)
§1 概率论的基本概念
• 必然现象: 在一定条件下必然发生或必然
不发生的现象.
•随机现象: 在一定条件下可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,结果的出现呈现出一定的偶然性.
统计规律性
:
联想举例？
某一随机现象,其结果的出现就个别试验而言好象没有规律性,但在大数次试验的情况下又呈现出某种规律性。
二.随机事件
随机事件：随机试验的结果叫事件。因为结果的出现是随机的，故也称为随机事件。随机事件常用大写字母A、B、C、…等表示。随机事件包括基本事件和复合事件。基本事件：仅包含一个样本点的事件。复合事件：包含两个及两个以上样本点的事件。以掷一枚骰子为例，观察下列随机事件：
A=｛1｝（表示掷出的点数是1） B= ｛1,2,3｝； C={5,6} 样本空间S：S={1,2,3,4,5,6} 结论：随机事件可看作是样本空间的子集。
第一章概率论基础
统计规律性必然现象和随机现象概率论是研究随机现象统计规律性的数学学科．概率论问题的起源: 1654年 De Mere Pascal(1623-1662) Fermat(1601-1665) 两赌徒各出32枚金币作为赌金，以先得3分为赢。第一人现得2分，第二人仅得1分，设赌局因故中断，问怎样分配赌金才算公平？

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i 1 i 1
1 i j n
1 i j k n
维恩图
B ABA
证明
P ( A U B ) P ( A U B A ) P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
( 1 ) n 2 时，显然有 P ( A 1 U A 2 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 1 A 2 )
概率论的起源
帕斯卡、费尔马和惠更斯： 1657年；《论掷骰子游戏中的计算》
当时法国贵族盛行掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家输少赢多，而玩家总是输多赢少。
概率论的起源
后来为使游戏更刺激，游戏规则有了变化。玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现
统计学进入文学领域后，高鹗续写的定论遭到了计算机的质疑。 1981年，首届国际《红楼梦》研讨会在美国召开，美国威斯康星大学讲师陈炳藻独树一帜，宣读了题为《从词汇上的统计论〈红楼梦〉作者的问题》的论文，首次借助计算机进行《红楼梦》研究，轰动了国际红学界。陈炳藻从字、词出现频率入手，通过计算机进行统计、处理、分析，对《红楼梦》后40回系高鹗所作这一流行看法提出异议，认为120回均系曹雪芹所作。
《红楼梦》的作者到底是谁？
《红楼梦》成书迄今已逾200年，作为中国历史上最有影响的小说之一，《红楼梦》有各种不同的版本、数十种续书，流传到世界各国，被翻译成多种文字，感动了不同民族的长期以来，人们普遍认为曹雪芹只写了《红楼梦》的前80回，后40回是高鹗续写的，你认为这是真的吗？
来自“概率”理论的质疑
故
P图
AB
1.3.2 概率的单调性
若 AB
则 P(A)P(B)
因为 P (A B ) P (A ) P (B ) 0
所以 P(A)P(B)
1.3.2 概率的单调性
对任意两个事件 A , B ，有
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A B )
(2)假设 nm 时，有
mm
U P (A i ) P ( A i ) P ( A iA j ) P ( A iA jA k ) L ( 1 ) m 1 P ( A 1 A 2 L A m )
i 1 i 1
1 i j m
1 i j k m
那么， n m 1 时，有
证明：因为
P ( A ) P ( A B ) U A B P ( A B ) P ( A B )
所以 P (A B ) P (A ) P (A B )
例1.3.3
口袋中有编号为1，2，…，n的n个球，从
中有放回的任取m次，求取出m个球的最
大编号为k的概率。
3
4
2
1 ……
…
…
…
… n
所以 P ( ) P ( U U U L U U L ) P ( ) P ( ) P ( ) L P ( ) L
P ( ) P ( ) L P ( ) L 0
P() 0
1.3.1 概率的可加性
有限可加性若有限个事件 A1, A2,L An互不相容，则
归纳法
m 1
m
m
m
UU U U P (A i) P (A iU A m + 1 ) P (A i) P ( A m + 1 ) P [ (A i) A m + 1 ]
2个6点，玩家赢，否则庄家赢。 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵
族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。
练习1-答案
掷一颗骰子4次，至少出现一次6点的概率 1-(5/6)4=0.52 掷两颗骰子24次，至少出现一次双6点的
1.3.3 概率的加法公式
加法公式对任意两个事件A , B ，有
P (A U B ) P (A ) P (B ) P (A B )
对任意n个事件 A1, A2,L An，有
n
n
U P (A i) P ( A i) P ( A iA j) P ( A iA jA k ) L ( 1 ) n 1 P ( A 1 A 2 L A n )
教学目标
掌握概率的可加性、单调性和加法公式，并使用公式进行计算。
了解概率的连续性
教学内容
概率的可加性概率的单调性概率的加法原则概率的连续性
概率的公理与计算回顾
三条公理化定义事件的关系事件的运算事件的运算性质
不可能事件的概率
P() 0
证明：
因为 U U U L U U L
概率 1-(25/36) 24=0.99 1-(35/36)24=0.49
1.3.2 概率的单调性
若 AB
则 P (A B ) P (A ) P (B )
证明：因为 AB
所以
P ( A ) P ( B U A B ) P B U ( A B ) P ( B ) P ( A B )
证明：
n
n
P(UAi) P(Ai)
i1
i1
因为事件 A1, A2,L An 互不相容，且
A 1 U A 2 U L U A n A 1 U A 2 U L U A n U U U L
P ( A 1 U A 2 U L U A n ) P ( A 1 U A 2 U L U A n U U U L ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) L P ( A n ) P ( ) L P (A 1 ) P (A 2 ) L P (A n )
P(A)1P(A)
因为
1 P ( ) P (A U A ) P (A ) P (A )
所以
P(A) 1P(A)
例1.3.1
36只灯泡中有4只是60w，其余为40w，现从中任取3只，求至少取到1只60w灯泡的概率？
练习1
一赌徒认为掷一颗骰子4次，至少出现一次6点的概率，与掷两颗骰子24次，至少出现一次双6点的概率，两者是相等的，请问是否正确？