线性控制系统运动分析

e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
x(t) eA(tt0)x0
t eA(t )Bu( )d
t0
x(t)
eAt x(0)
t 0
2e(t ) 2e(t )
e2(t ) 2e2(t )
e (t e (t
) )
e2(t ) 2e2(t
)
101(
)d
2-4 线性定常系统的强迫运动
sI A
s
1 s 2 1
1
1
s
1 s 2
s2
1
2 s
1
s
2
1
s 2
1 s
s2
2 s
1
1
s2 2 s 1
1
s2 2 s 1
s
s2 2 s 1
eA(tt0 ) L1[(sI A)1]
e (tt0 )[cos 1 2 (t t0 )
e (t t0 )
sin
1 2
x1
2
x2
u(t
)
eA(tt0 ) L1[(sI A)1]
e
(
t
t0
)
[cos
1 2 (t t0 )
e (t t0 )
sin
1 2
1 2 (t t0 )
sin 1
1 2 (t t0 )]
e (t t0 ) sin
由 x& Ax Bu得 x& Ax Bu
对上式从0到t进行积分
t d (eA x( ))d t eA Bu( )d
0 d
0
可以得到
eAt x(t) x(0)I t eA Bu( )d 0
等式两端左乘 eAt
x(t) eAt x(0) t eA(t )Bu( )d 0
命题得证
2-4 线性定常系统的强迫运动
第二章 线性控制系统的运动分析
➢ 2-1 概 述 ➢ 2-2 线性定常系统的自由运动
➢ 2-3 矩阵指数 eAt 的计算方法
➢ 2-4 线性定常系统的强迫运动 ➢ 2-5 离散系统的状态空间描述 ➢ 2-6 线性离散系统的运动分析 ➢ 2-7 线性连续系统的离散化
2-4 线性定常系统的强迫运动
2-4 线性定常系统的强迫运动
线性定常系统状态方程
x& Ax Bu
x(t0 ) x0
t t0
给定初始变量的初值x(0)和控制输入u(t)，则系统的状态响应为：
x(t) eAt x0
t eA(t ) Bu( )d
0
t 0
将 x(t ) 左乘 e At 之后再求导
证明
d [e At x(t)] e At [x&(t) Ax(t)] e At Bu(t) dt
e (t t0 )
sin
1 2
1 2 (t t0 )z&(t0 )
以上是无控制输入的情况,当引入控制输入时,可参考上述 过程进行求解
2-4 线性定常系统的强迫运动
d 2z 2 dz z u(t), 求z
dt
dt
1 化为状态方程,令
x1 z, x2 z& x&1
则:
x&1 x2
x&2
系统状态方程为
2-4 线性定常系统的强迫运动
例2-3
x&1 x&2
0 2
1 3
x1 x2
0
1
u
t 0
解：
x(0)
0 1
, u(t)
1(t )
试求方程的解
x(t) eAt x0
t eA(t ) Bu( )d
0
根据例2-1和例2-2的结果，初始条件 x0 x(0)
e At
2et 2et
e2t 2e2t
1
2
et 1 e2t 2
et e2t
1
2
1 e2t 2 e2t
例2-4
2-4 线性定常系统的强迫运动
用状态转移矩阵求解下列二阶微分方程
d 2z 2 dz z 0, 求z
dt
dt
解：
先转换为状态方程,再用定理求解
1 化为状态方程,令
x1 z, x2 z& x&1
x(t) eA(tt0 ) x0
2-4 线性定常系统的强迫运动
e (tt0 )[cos
1 2 (t t0 )
sin 1
1 2 (t t0)]x1(t0)
e (tt0 )
sin
1 2
1 2 (t t0 )x2 (t0 )
e (tt0 )[cos
1 2 (t t0 )
自由运动 线性定常系统在没有外加输入作用下，即 u 0
由初始条件引起的运动
零输入响应
齐次状态方程（自由运动）
x& Ax
A Rnn
自由运动的解可表示为：
x(t) (t t0 ) x(t0 ) 状态转移矩阵
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
矩阵指数
2-4 线性定常系统的强迫运动
受控运动 线性定常系统在控制作用作用下的运动，即 u 0
则:
x&1 x2
x&2
x1
2
x2
即:
x&1 x&2
0 1
1 x1
2
x2
2-4 线性定常系统的强迫运动
2 根据定理求解
x(t) eA(tt0)x0
t eA(t )Bu( )d
t0
eAt L1[(sI A)1]
t t0
A
0 1
1
2
(sI A)1 1 (sI A)*
1 2 (t t0 )
sin 1
1 2 (t t0 )]
e (t t0 ) sin
1 2
1 2 (t t0 )
e (tt0 )[cos 1 2 (t t0 )
sin 1 2
1 2 (t t0 )]
x(t) eA(tt0)x0
t eA(t )Bu( )d
t0
0
t t0
x(t)
e At
x(0)
t 0
2e(t )
2e(t
)
e2(t ) 2e2(t
)
e (t e (t
) )
e2(t ) 2e2(t
)
101(பைடு நூலகம்
)d
2et e2t x(t) 2et 2e2t
et et
e2t 2e2t
0 1
1
2
et 1 e2t 2
et e2t
et et
更一般的形式:
x(t) eAt x(0) t eA(t )Bu( )d 0
x(t) eA(tt0)x0
t eA(t )Bu( )d
t0
t t0
初始状态的转移项
控制输入作用下的受控项
x(0) 0 零状态响应
受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的轨线满足期望要求的可能性 分析系统结构特性 对系统进行综合的基本依据
sin 1 2
1
2
(t
t0
)]x2
(t0
)
e (tt0 )
sin
1 2
1
2
(t
t0
)
x1
(t0
)
3 写出方程的解
2-4 线性定常系统的强迫运动
x1 z, x2 z& x&1
z(t) x1(t) e (tt0 )[cos
1 2 (t t0 )
sin 1
1 2 (t t0 )]z(t0 )