概率与统计初步习题答案及分析整理

概率与统计初步

§9.1 计数原理

(1) 某人到S 城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有 种不同的选择； 解：共有212964=+++不同的选择；(分析：只需要订一间房，“一步可以做完”，应该用加法计数原理)

(2) 一家人到S 城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有 种不同的选择； 解：共有：96812=⨯种不同选择；(分析：要订两间房，可以分成两步完成：第一步，先订一间单人房，有12种不同选择；第二步，再订一间双人房，有8种不同选择；用乘法计数原理，共有96812=⨯种不同选择；)

(3) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 分析：“投递的是信件”，从信件入手考虑问题；本题没有其它限制条件，一共有四封信，分成四步完成：第一步，投递第一封信，投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第二步考虑第二封信的投递方法，同样是投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第三步考虑第三封信、第四步考虑第四封信，同样都有3种不同的投递方法,所以完成这件事情共有：81333334==⨯⨯⨯种不同的投递方法；

(4) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有 种；

分析：（捆绑法）分两步：第一步在四封信中抽出两封，有42C 种不同的方法；第二步把这两封信捆绑，看成一封信，和剩下的另外两封信构成三封信，按排列的方法放入三个邮箱（即：三个位置），有33A 种不同的方法；所以完成这件事情共有：

361231

2343342=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅A C 种不同的投递方法；

(5) 3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 分析：从信件入手考虑问题；共3封信，每封信都可以投入4个信箱中的任意一个，即每封信均有4种不同的投递方法，分四步投递四封信，方法同题3，，所以共有6444443==⨯⨯种不同的投递方法；

(6) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 种； 解：共有：21687=++种不同的选法；（只选一本书，“一步可完成”，用加法原理）

(7) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本

文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有 种； 解：共有：5678=⨯种不同的选法；（分析：需要选两本不同的书，可以两步完成，用乘法原理：第一步，从8本不同的文艺书中任选一本，有8种不同的选法；第二步，从7本不同的科技书中任选一本，有7种不同的选法）

(8) 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有 个； 解：共有12555553==⨯⨯个三位数；(分析组成三位数的各个位数上的数字可以重复，分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有5种选法；第二步，填写十位上的数字，由于数字允许重复，仍然从5个数字中任取一个，同样有5种选法；第三步，填写个位上的数字，与第二步相同，有5种选法；所以完成这件事情，共有12555553==⨯⨯个三位数，如图： )

(9) 由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个； 解：共有60345=⨯⨯个三位数；（组成三位数的各个位数上的数字不可以重复，可以分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有5种选法；第二步，填写十位上的数字，由于数字不允许重复，只能从剩下的4个数字中任取一个，有4种选法；第三步，填写个位上的数字，从剩下的3个数字中任取一个，有3种选法；完成这件事情，共有60345=⨯⨯个三位数，如图： ）

§9.2 排列组合

(10) 7人站成一排，一共有

种不同的排法； 解：共有5040123456777=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A 种；（分析：与顺序有关，是排列问题）

(11) 7人中选出3人排成一排，一共有

种不同的排法； 解：共有21056737=⨯⨯=A 种不同的排法；（分析：与顺序有关，是排列问题）

(12) 7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有

种不同的选法； 解：共有351

2356737=⨯⨯⨯⨯=C 种不同的选法；（分析：与顺序无关，是组合问题） (13) 5人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有

种不同的排法； 解：共有24144=⨯A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先排头，把甲放到

第一位，有1种排法；第二步，将剩下的四个人排在后面，有2412344

4=⨯⨯⨯=A

种

百位 十位 个位 方法数： 5 5

5 百位 十位 个位 方法数： 5 4 3

不同的排法；所以共有：24144=⨯A 种不同的排法；）

小结：若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先安排这些特殊元素或位置，然后再安排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法，计算方法用分步乘法原理；

(14) 8人排成一排，其中A 、B 两人必须排在一起，一共有 种不同的排法； 解：共有10080250402277=⨯=⋅A A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，将A 、B 两人捆绑，看成一个人，则原来的8个人可以看成是7个人排成一排，共有504012345677

7=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A 种不同的排法；第二步，将A 、B 两人在队伍中进行排列，不同的排法有21222=⨯=A 种；用分步乘法计算，完成这件事情共有：10080250402

277=⨯=⋅A A 种不同的排法）

小结：如果排列中有某些元素需要排在一起，可以先将它们捆绑，看成一个元素与其它元素进行排列后，再松绑，将需要排在一起的元素在队伍里进行第二步排列，这种方法称为“捆绑法”；

(15) 8人排成一排，其中A 、B 、C 三人不在排头并且要互相隔开，一共有

种不同的排法； 解：共有：7200601203555=⨯=⋅A A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先不排A 、B 、C 三人，把剩下的5个人进行排列，共有1201234555=⨯⨯⨯⨯=A 种不同的排法；第二步，将A 、B 、C 三人放入5个人排好的队伍间隔中，由于A 、B 、C 三人不能排头并且互相要隔开，只能从如下图箭头所示的5个位置中任取3个位置进行排列，共有6034535=⨯⨯=A 种不同的排法；共有：72003555=⋅A A 种不同排法）

小结：当某几个元素要求不相邻（即有条件限制）时，可以先排没有条件限制的元素，再将不能相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。

(16) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至少有一件次品的取法共有 种； 解：共有24321231713=+=+⋅C C C 种不同的取法；（分析：取出的两件产品不需要排序，与顺序无关，是组合问题；至少有一件次品包含两种情况：恰有一件次品和恰有两件次品，两种情况之间要用加法原理：恰有一件次品（即：一件次品和一件正品）的