苏教版高三数学上学期开学月考试题(盐城中学)

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江苏省盐城中学高三数学上学期开学考试试题(含解析)

高三年级暑假学情情况检测数学试题填空题：1.集合{}1,0,1-共有个真子集.【知识点】子集与真子集．A1【答案解析】7 解析：∵集合{﹣1，0，1}含有3个元素，∴集合的真子集个数为23﹣1=8﹣1=7，故答案为：7．【思路点拨】根据集合元素个数与集合真子集之间的关系即可得到结论．【题文】2.若复数(1i)(2i)m-+是纯虚数，则实数m的值为．【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】-2 解析：化简可得（1﹣i）（2i+m）=2i+m+2﹣mi=m+2+（2﹣m）i，由纯虚数的定义可得m+2=0，且2﹣m≠0,解得m=﹣2故答案为：﹣2【思路点拨】化简复数，由纯虚数的定义可得m的式子，可得m的值．【题文】3.执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为．（第3题图）（第4题图）【知识点】程序框图．L1【答案解析】4 解析：由程序框图知：第一次循环b=2+1=3，a=2；第二次循环b=2×3+1=7，a=3；第三次循环b=2×7+1=15，a=4；第四次循环b=2×15+1=31，a=5．∵输出的b的值为31，∴跳出循环的a值为5，∴判断框内的条件是a≤4，故答案为：4．【思路点拨】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的b的值为31，确定跳出循环的a值，从而确定判断框的条件．【题文】4.函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则____)0(=f .【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．C4【答案解析】26解析：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f （x ）=sin （2x+），∴f（0=sin=26，故答案为：26．【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f （0）的值．【题文】5.已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为_________3cm ．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积．G7【答案解析】π12 解析：已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm2，所以圆锥的底面周长：6π,底面半径是：3,圆锥的高是：4此圆锥的体积为：,故答案为：12π【思路点拨】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．【题文】6.从5,4,3,2,1这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有K2【答案解析】51解析：从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4）（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有2种，即（1，2），（2，4），故其中一个数是另一个的两倍的概率为=，故答案为：【思路点拨】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案【题文】7.设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为．【知识点】椭圆的简单性质．H5【答案解析】34 解析：由题意可得：抛物线y2=8x 的焦点（2，0），∴c=2， ∵离心率为，∴a=4，∴b==2，即n=2，∴椭圆的短轴长为4，故答案为：4．【思路点拨】由题意可得：抛物线y2=8x 的焦点（2，0），可得c=2，利用离心率为，可得a=4，即可求出椭圆的短轴长．【题文】8.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r=___________.（第8题图）【知识点】向量在几何中的应用．F3 【答案解析】3 解析：，∵，∴，∵， ∴cos ∠DAC=sin ∠BAC ，，在△ABC 中，由正弦定理得变形得|AC|sin ∠BAC=|BC|sinB ，，=|BC|sinB==，故答案为．【思路点拨】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．【题文】9.曲线2ay y x x ==和在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a 的值是 .【知识点】曲线与方程；两条直线垂直的判定．H9 H2【答案解析】42±解析：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=﹣和 2x=2，∵切线互相垂直，∴﹣•2=﹣1，∴a=±，故答案为 a=±．【思路点拨】先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于﹣1，解出a 的值．【题文】10.设12 (1)()2 (12)8 (2)x x x f x x x ++≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若6()(),f t f t =则t 的范围_________________.【知识点】函数的值；分段函数的应用．B1【答案解析】[2,3]{6}.t ∈-U 解析：∵f （x ）=，f （t ）=f （），∴当t≤﹣1时，t+2=，解得t=﹣，或t=（舍）；当﹣1＜t ＜0时，2t+1=，无解；0＜t ＜2时，2t+1=8，t=2，不成立； 2≤t≤3时，f （t ）=f （）=8，成立； t ＞3时，8=2，解得t=3，不成立．综上所述，t 的范围为：[2，3]∪{﹣}．故答案为：[2，3]∪{﹣}．【思路点拨】利用分段函数的性质求解．【题文】11. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若23MN ≥则k 的取值范围是________．【知识点】直线与圆的位置关系．H4【答案解析】3[,0]4-解析：由圆的方程得：圆心（3，2），半径r=2，∵圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|≥2，∴2=2≥2，变形得：4﹣≥3，即8k2+6k≤0，解得：﹣≤k≤0，则k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]【思路点拨】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【题文】12. 方程22(01)xa x a a+=>≠且的解的个数为．【知识点】根的存在性及根的个数判断．菁优网B9【答案解析】2 解析：方程ax+x2=2（a＞0且a≠1）的解的个数为函数y=2﹣x2与函数y=ax的交点个数，作图如右图：可知，有2个交点，故答案为：2．【思路点拨】将方程解的个数化为函数交点的个数．【题文】13.若Rba∈,，且9422≤+≤ba，则22baba+-的最小值是____________.【知识点】基本不等式．E6【答案解析】2 解析：∵a，b∈R，且4≤a2+b2≤9,∴可令a=rcosθ，b=rsinθ （2≤r≤3），∴a2﹣ab+b2=r2cos2θ﹣r2sinθcosθ+r2sin2θ=r2（1﹣sinθcosθ）=r2（1﹣sin2θ），由三角函数可知当sin2θ取最大值1且r取最小值2时，上式取到最小值2故答案为：2【思路点拨】由题意令a=rcosθ，b=rsinθ （2≤r≤3），由三角函数的知识可得．【题文】14.无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a L 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++L 是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥*3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________.【知识点】数列与不等式的综合．D5【答案解析】{}6 解析：等差数列通项公式：an=10+（n ﹣1）（﹣2）=﹣2n+12，等比数列通项公式：an=•（）n ﹣m ﹣1=，由S128m+5=64S2m+a1+a2+a3+a4+a5=64[10m+（﹣2）+]+10+8+6+4+4，可得S128m+5=704m ﹣64m2+94﹣64•（）m≥2013，设f （m ）=704m ﹣64m2，g （m ）=1914+64•（）m ，g （m ）＞1914， f （m ）=﹣64（m2﹣11m ），存在m=﹣5或6时取最大f （x ）max=f （﹣5）=f （6）=1920，所以存在这样的m=6，使得S128m+5≥2013（m≥3，m ∈N*．因此m 的取值集合为{6}．故答案为：{6}．【思路点拨】由S128m+5=64S2m+a1+a2+a3+a4+a5=64[10m+（﹣2）+]+10+8+6+4+4，得S128m+5=704m ﹣64m2+94﹣64•（）m≥2013，设f （m ）=704m ﹣64m2，g （m ）=1914+64•（）m ，g （m ）＞1914，存在这样的m=6，使得S128m+5≥2013（m≥3，m ∈N*．由此能求出m 的取值集合为{6}．二、解答题:【题文】15.在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()()3,sin 2C A +=，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12cos 2,2cos 2B B ，且向量,共线.（1）求角B 的大小；（2）如果1b =，求ABC ∆的面积ABCS ∆的最大值.图1 图2C CD 【知识点】解三角形；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．【答案解析】（1）6B π=（2）(124解析：（1）由向量,m n →→共线有： 22sin()2cos 12,2B A C B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即tan 2B =又02B π<<，所以02B π<<，则2B =3π，即6B π=（2）由余弦定理得2222cos ,b a c ac B =+-则221(2a c ac =+-≥，所以2ac ≤当且仅当a c =时等号成立所以11sin (224ABC S ac B ∆=≤+。

2022-2023学年全国高中高三上数学苏教版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高三上数学月考试卷考试总分：130 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1. 设集合＝，＝，＝，则＝（）A.B.C.D.2. 命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C.，D.，3. 三个数：，，大小顺序正确的是A.B.C.D.4. 如图为函数＝的部分图象，则下列判断可能正确的是（）U {1,2,3,4,5}M {1,2,3}N {2,3,4,5}(M ∩N)∁U {2,3}{1,4,5}{2,3,4}{2,4,5}∀x ∈(0,+∞)sin x ≥x +1x ∀x ∈(0,+∞)sin x <x +1x∃x ∈(0,+∞)sin x ≥x +1x∃x ∈(0,+∞)sin x <x +1x∃x ∈(−∞,0]sin x <x +1xa =ln 23b =−log 332c =(23)13()c >a >bc >b >ab >a >ca >b >cy (x ≠0,a,b ∈Z)A.＝，＝B.＝，＝C.＝，＝D.＝，＝5. 如图，正方形的边长为，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积＝，那么对于函数有以下三个结论，其中不正确的是（）①②函数在上为减函数③任意，都有＝．A.①B.③C.②D.①②③6. 指数函数在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为A.a 1b −1a 1b 1a 2b −1a 2b 1ABCD 2O AD OP OA O OD ∠AOP x(x ∈[0,π])OP ABCD S f(x)f(x)f()=π33–√2f(x)(,π)π2x ∈[0,]π2f(x)+f(π−x)4y =,y =,y =,y =a x b x c x d xa,b,c,d 1()a <b <1<c <da <b <1<d <cB.C.D.7. 方程的根所在的一个区间是A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）8. 关于函数，下列命题正确的是( )A.由可得是的整数倍B.的图象关于点对称C.的表达式可改写成D.的图象关于直线对称9. 若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列关于的说法错误的是（）A.的最小正周期为B.图象的一个对称中心坐标为C.的值域为D.图象的一条对称轴方程为10. 函数对任意，总有＝，当时，，，则下列命题中正确的是（）A.是上的减函数a <b <1<d <c1<a <b <C <db <a <1<d <c+x −4=02x ()[−1,0][0,1][1,2][2,3]f(x)=3sin x cos x +3x −+13–√sin 233–√2f()x 1=f()x 2=1−x 1x 2πy=f(x)(,1)3π4y=f(x)f(x)=3cos(2x −)+15π6y=f(x)x =−π12g(x)g(x)g(x)2πg(x)g(x)g(x)f(x)x y ∈R f(x +y)f(x)+f(y)x <0f(x)<0f(x)R f(x)[−6,6]B.在上的最小值为C.是奇函数D.若，则实数的取值范围为11. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A.B.C.D.＝卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）12. 将直线＝向上平移个单位后，所得直线的表达式是________．13. 设，则________．14. 如图，直角中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则________．15. 已知，，则的最小值为________．四、解答题（本题共计 5 小题，每题 11 分，共计55分）16. 设函数，若，则________．17. 求值：（1）；f(x)[−6,6]−2f(x)f(x)+f(x −3)≥−1x x ≥0(−∞,0)y =x 2−−√3y =(12)|x|y =log 121|x |y sin xy 2x −45sin(+θ)=π413sin 2θ=△POB ∠PBO =90∘O OB OP A AB ˆ△POB ∠AOB =α=αtan αa>1b >2(a +b)2+−1a 2−−−−−√−4b 2−−−−−√{3x −b,x < 1，,x ≥12x f(f())=456b =sin sin −sin cos 25∘215∘245∘35∘(−)+tan 3π7π（2）． 18. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为万元，经营后每年的总收入为万元，该公司第年需要付出的超市维护和工人工资等费用为万元，已知为等差数列，相关信息如图所示．Ⅰ求；Ⅱ该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）Ⅲ该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利） 19. 已知函数＝ϖ,ϖ部分图象如图所示，函数＝（1）求函数的表达式（2）求函数的单调增区间和对称中心．20. 已知函数，求的单调区间．tan(−)+tan 3π47π121−tan 7π127250n a n {}a n ()a n ()()=n nf(x)A sin(x +ϕ)(A >0>0,0<ϕ<π)g(x)f(x)cos 2x g(x)g(x)f (x)=+a ln x (a ∈R,a ≠0)12x 2f (x)参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三上数学月考试卷一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】运用交集的运算求出，然后直接利用补集的运算求解．【解答】由＝，，，，∴＝，又＝，∴＝．2.【答案】C【考点】全称命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定是：，.故选.3.【答案】M ∩N M {1,2,3}343}M ∩N {1,2,8}∩{2,3,8,3}U {1,4,3,4,7}(M ∩N)∁U {1,4,3}∀x ∈(0,+∞)sin x ≥x +1x ∃x ∈(0,+∞)sin x <x +1x CA【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴.故选.4.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由图可知，函数为偶函数，且当时，，再结合选项即可确定和的值．【解答】由图可知，函数为偶函数，所以为偶数，排除选项和，当时，＝，所以不可能为，于是＝．5.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由图形可得函数的解析式，再分别判断，即可得出结论．0=ln 1>a =ln>b =−=23log 332log 323c =(>023)13c >a >b A f(x)0<x <1y <0a b f(x)a A B 0<x <1y b 1b −2【解答】当时，；当，在中，＝＝＝；当时，＝；当时，同理可得＝．当时，＝＝．于是可得：①，正确；②当时，由＝，为增函数．当时，＝，为增函数，因此不正确．③，由图形及其上面，利用对称性可得：＝，因此正确；6.【答案】D【考点】指数函数的图象与性质【解析】在已知函数图象中作直线然后由各交点向轴作垂线，很容易可以得出【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：令，，，0≤x ≤arctan 2f(x)=tan x 12arctan 2<x <π2△OBE f(x)−S 矩形OABM S △OME 2−EM ⋅OM 122−2tan x x =π2f(x)2<x ≤π−arctan 2π2f(x)2−2tan x π−arctan 2<x ≤πf(x)4−×1×tan(π−x)124+tan x 12f()=tan =π312π33–√2<x ≤π−arctan 2π2f(x)2−2tan x π−arctan 2<x ≤πf(x)4+tan x 12∀x ∈[0,]π2f(x)+f(π−x)4x =1y b <a <1<d <cf(x)=+x −42x f(1)=2+1−4<0f(2)=+2−4>022y =f(x)[1，2]又曲线在上不间断.故选.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）8.【答案】C,D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的对称性【解析】首先把函数的关系式，利用三角函数的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的周期，对称轴，对称中心的应用求出结果．【解答】解：．，，由于只有时，函数，，所以是的整数倍，故选项错误；，当时，，故选项错误；，利用诱导公式，故选项正确；，当时，，故选项正确．故选．9.【答案】A,C,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】y =f(x)[1，2]C f(x)=3sin x cos x +3x −+13–√sin 233–√2=sin 2x +−+1323(1−cos 2x)3–√233–√2=sin 2x −cos 2x +13233–√2=3sin(2x −)+1π3A T ==π2π2sin(2x −)=0π3f(x)=1−=x 1x 2π2−x 1x 2π2A B x =3π4f()3π4=3sin(−)+1=−3π2π312B C f(x)=3sin(2x −)+1π3=3cos(2x −)+15π6C D x =−π12f(−)=3sin(−−)+1=−3+1π12π6π3=−2D CD此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】B,C,D【考点】抽象函数及其应用【解析】利用赋值法求出的值，进而可以证明函数的奇偶性以及单调性，再利用赋值法求出＝，即可求解．【解答】令＝＝可得：＝，则＝，令＝，则＝，即＝＝，所以函数是奇函数，正确，任取，则＝，因为，所以，则，即，所以函数是上的单调递增函数，错误，又＝，则＝-，则＝，＝，正确，不等式可化为：，因为函数单调递增，所以，解得，正确，故选：．11.【答案】A,C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】结合奇偶性及单调性的定义，再结合指数与对数函数，幂函数及余弦函数的性质即可判断．【解答】解；结合幂函数的性质可知为偶函数且在上单调递减，符合题意；结合指数函数的性质可知，＝在上单调递增，不符合题意；f(0)f(−3)−1x y 0f(0)f(0)+f(0)f(0)0y −x f(x −x)f(x)+f(−x)f(0)f(x)+f(−x)0f(x)C <∈R x 1x 2f()−f()x 1x 2f(−)x 1x 2<x 1x 2−<0x 1x 2f(−)<0x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)R A f(1)f(−1)f(−3)−1f(−6)−2B f(x)+f(x −3)≥−1f(2x −3)≥f(−3)2x −3≥−3x ≥0D BCD y =x 2−−√3(−∞,0)y (12)|x|(−∞,0)(−∞,0)1结合对数函数的性质可知，＝上单调递减且为偶函数，符合题意；结合正弦函数的性质可知＝为奇函数，不符合题意．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）12.【答案】＝【考点】一次函数的性质与图象【解析】根据平移的性质，向上平移几个单位的值就加几．【解答】由题意得：向上平移个单位后的解析式为：＝＝．13.【答案】【考点】两角和与差的三角函数二倍角的三角函数【解析】利用两角和的正弦公式可得，平方可得，由此解得的值．【解答】∵，即，平方可得，解得，14.【答案】y log (−∞,0)121|x |y sin x y 2x +1b 5y 2x −4+52x +1−79sin θ+cos θ=2–√22–√213+sin 2θ=121219sin 2θsin(+θ)=π413sin θ+cos θ=2–√22–√213+sin 2θ=121219sin 2θ=−7912【考点】扇形面积公式【解析】设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中，，的面积为，由题意得，∴，∴．故答案为：．15.【答案】【考点】基本不等式及其应用函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则，∴PB tan ααr α12r 2POB PB =r tan α△POB r ×r tan α12r ×r tan α=2×α1212r 2tan α=2α=αtan α12126m =n =−1a 2−−−−−√−4b 2−−−−−√a =,b =+1m 2−−−−−−√+4n 2−−−−−√=(a +b)2+−1a 2−−−−−√−4b 2−−−−−√++2aba 2b 2m +n=++5+2⋅m 2n 2+1m 2−−−−−−√+4n 2−−−−−√m+n=++5+2m 2n 2+(4+)+4m 2n 2m 2n 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√m +n≥++5+2m 2n 2+2m 2n 24+4m 2n 2−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−√m +n =++5+2(mn +2)m 2n 2m +n =(m +n +9)2m +n(m +n)+≥2=6−−−−−−−−−−−−−，当且仅当，易知，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.四、解答题（本题共计 5 小题，每题 11 分，共计55分）16.【答案】【考点】分段函数的应用【解析】先求出，再分和两种情况分析求解即可.【解答】解：，由于，则，若，即，有，解得，舍去；若，即，有，解得，综上所述，.故答案为：.17.【答案】原式＝＝＝．=(m +n)+≥2=69m +n (m +n)⋅9m +n −−−−−−−−−−−−−√m +n =9m +nm +n >0m +n =3(a+b)2+−1a 2−−−−−√−4b 2−−−−−√6612f （）=−b 5652−b <152−b ≥152f （）=3×−b =−b 565652f (f ())=456f (−b)=452−b <152b >323×（−b ）−b =452b =78−b ≥152b ≤32=42−b 52b =12b =1212sin sin(+)−sin(−)cos 25∘180∘35∘270∘25∘35∘sin (−sin )−(−cos )cos 25∘35∘25∘35∘cos cos −sin sin 25∘35∘25∘35∘cos(+)=cos 60=25∘35∘12+tan 7π原式．【考点】两角和与差的三角函数【解析】（1）直接利用诱导公式的应用和特殊角三角函数的值的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用及和角公式的运用求出结果．【解答】原式＝＝＝．原式．18.【答案】（1）由题意知，每年需付出的费用是以为首项，为公差的等差数列，求得＝＝．（2）设超市第年后开始盈利，盈利为万元，则，由，得，解得，，故＝．即第年开始盈利．Ⅲ年平均盈利为．当且仅当，即＝时，年平均盈利最大．故经过年经营后年平均盈利最大，最大值为万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】Ⅰ由题意知，利用等差数列的通项公式求解即可．Ⅱ设超市第年后开始盈利，盈利为万元，列出不等式求解即可．Ⅲ列出年平均盈利的表达式，通过基本不等式转化求解即可．【解答】（1）由题意知，每年需付出的费用是以为首项，为公差的等差数列，==tan(+)=tan =tan(π−)=−tan =−tan +tan π47π121−tan tan π47π12π47π125π6π6π63–√3sin sin(+)−sin(−)cos 25∘180∘35∘270∘25∘35∘sin (−sin )−(−cos )cos 25∘35∘25∘35∘cos cos −sin sin 25∘35∘25∘35∘cos(+)=cos 60=25∘35∘12==tan(+)=tan =tan(π−)=−tan =−tan +tan π47π121−tan tan π47π12π47π125π6π6π63–√3124a n +4(n −1)a 14n +8n y y =50n −[12n +×4]−72=−2+40n −72n(n −1)2n 2y >0−20n +36<0n 22<n <18n ∈N n 33()=−2n −+40=−2(n +)+40≤−2×2+40=16y n 72n 36n n ⋅36n−−−−−√n =36n n 6696()()n y ()124+4(n −1)求得＝＝．（2）设超市第年后开始盈利，盈利为万元，则，由，得，解得，，故＝．即第年开始盈利．Ⅲ年平均盈利为．当且仅当，即＝时，年平均盈利最大．故经过年经营后年平均盈利最大，最大值为万元．19.【答案】由图可知＝，，所以＝，又因为＝，可得，则＝，所以＝＝＝＝．令，解得，，所以单调增区间为：．令，解得，所以对称中心为：．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）根据图象可求得＝，＝，，所以＝，进而求得＝；（2）令，求得单调增区间为：；令，求得对称中心为：．【解答】由图可知＝，，所以＝，又因为＝，可得，则＝，所以＝＝＝＝a n +4(n −1)a 14n +8n y y =50n −[12n +×4]−72=−2+40n −72n(n −1)2n 2y >0−20n +36<0n 22<n <18n ∈N n 33()=−2n −+40=−2(n +)+40≤−2×2+40=16y n 72n 36n n ⋅36n −−−−−√n =36n n 6696A 2T =−345π6π12ω2f()π122∅=π3f(x)2sin(2x +)π3g(x)f(x)cos 2x 2sin(2x +)cos 2x π32(sin 2x +cos 2x)cos 2x 123–√2sin 2x cos 2x +2x =sin 4x +cos 4x +=sin(4x +)+3–√cos 2123–√23–√2π33–√2−+2kπ≤4x +≤+2kππ2π3π2−+≤x ≤+5π24kπ2π24kπ2k ∈Z g(x)[−+,+](k ∈Z)5π24kπ2π24kπ24x +=kππ3x =−+π12kπ4(−+,)(k ∈Z)π12kπ43–√2A 2ω2∅=π3f(x)2sin(2x +)π3g(x)sin(4x +)+π33–√2−+2kπ≤4x +≤+2kππ2π3π2g(x)[−+,+](k ∈Z)5π24kπ2π24kπ24x +=kππ3(−+,)(k ∈Z)π12kπ43–√2A 2T =−345π6π12ω2f()π122∅=π3f(x)2sin(2x +)π3g(x)f(x)cos 2x 2sin(2x +)cos 2x π32(sin 2x +cos 2x)cos 2x 123–√22x cos 2x +2x =sin 4x +cos 4x +=sin(4x +)+–√–√–√．令，解得，，所以单调增区间为：．令，解得，所以对称中心为：．20.【答案】解：，①当时，，则在上单调递增；②当时，令，解得：，或舍），令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出，分和分类讨论导数的大小，即可得到函数的单调性.【解答】解：，①当时，，则在上单调递增；②当时，令，解得：，或舍），令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．sin 2x cos 2x +2x =sin 4x +cos 4x +=sin(4x +)+3–√cos 2123–√23–√2π33–√2−+2kπ≤4x +≤+2kππ2π3π2−+≤x ≤+5π24kπ2π24kπ2k ∈Z g(x)[−+,+](k ∈Z)5π24kπ2π24kπ24x +=kππ3x =−+π12kπ4(−+,)(k ∈Z)π12kπ43–√2(x)=x +f ′a x a >0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <0(x)>0f ′x >−a −−−√x <−(−a −−−√(x)<0f ′0<x <−a −−−√f (x)(,+∞)−a −−−√(0,)−a−−−√a >0f (x)(0,+∞)a <0f (x)(,+∞)−a −−−√(0,)−a −−−√(x)=x +f ′a xa >0a <0(x)=x +f ′a x a >0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a <0(x)>0f ′x >−a −−−√x <−(−a −−−√(x)<0f ′0<x <−a −−−√f (x)(,+∞)−a −−−√(0,)−a−−−√a >0f (x)(0,+∞)a <0f (x)(,+∞)−a −−−√(0,)−a −−−√。

江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

第1页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题题号一二总分得分评卷人得分一、填空题本大题共14道小题。

1.如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =，则·AE BC =_______________．答案及解析：1.132-【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,2,2,A B C m C 则 ()(4,0,,2AB AC m ==，故 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即(2C ，则522E ⎛ ⎝⎭，据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2.设向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .答案及解析：2.必要不充分【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件考点：向量共线 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____．答案及解析：3.24 【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值.【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24。

江苏省盐城中学高三数学上学期10月月考试题文苏教版

盐城中学2015届高三第一次阶段考试数学试题（文）一、填空题：1.设全集为R ，集合}41|{<<=x x A ，集合}03|{≤-=x x B ，则⋂A (∁B R )=________▲___}43|{<<x x2.命题“对∀R x ∈，都有02≥x ”的否定为______▲____R x ∈∃，使得0<x3.已知α是第二象限角，且35sin(),πα+=-则2tan α=_____________ 4.等比数列{}n a 中，63=a ，前三项和183=s ，则公比q 的值为 21-或1 ． 5.已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =，若c b a //)2(-，则实数=k __▲___16.直线01=++y x 被圆0152622=---+y x y x 7.已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 ▲ .43443PQ a a k -==- 8. 过原点作曲线xe y =的切线，则此切线方程为________▲_________012ln =-+y x9.设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则11x y +的最小值是 ▲ .32 10.函数]2,0[,sin 21π∈-=x x x y 的单调增区间为______▲________)35,3(ππ 11. 已知函数x x x x f cos 43sin 4121)(--=的图像在点()00,y x A 处的切线斜率为21，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan 0πx 2+．12.设)(x f 是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间]2,0()0,2[⋃-，⎩⎨⎧≤<-<≤-+=20,102,)(x ax x b ax x f ，则=)2015(f ____▲_____2113.已知点()3,4P 和圆()22:24C x y -+=，,A B 是圆C 上两个动点，且AB =，则()OP OA OB ⋅+u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)的取值范围是 . [2,22]14. 如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围 ▲ .34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题：15. 设集合{}21A x x =-<<-，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当a =1时，求集合B ；（2）当A B B =U 时，求a 的取值范围．解：（1）}31|{<<=x x B （2）321-≤≤-a15. 设函数2()sin(2++cos cos 6f x x x x x π=g ）.(1). 已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； (2). 设,,A B C 为ABC ∆的三个内角，若15cos ,()=322C B f =，求sin A .解：（1）cos ()cos x f x x x x +=+++1122222222cos x x ++1222＝sin()x π++12262所以函数f(x)的最大值是52，最小正周期为π。

江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B =I （）A ．{3,4}B ．{0,1}C ．{}1,0,1-D ．{2,3,4}2．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知0x >，0y >，则（） A ．ln ln ln ln 777x y x y +=+ B ．()ln ln ln 777x y x y +=⋅ C ．ln ln ln ln 777x y x y ⋅=+D ．()ln ln ln 777xy x y =⋅4．若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A B C ．D ．25．已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A ．16B ．13C ．12D ．236．若函数()()12,152lg ,1a x x f x x x ⎧-+≤=⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．[)6,1-B ．(),1-∞C ．()6,1-D ．(),6-∞-7．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多选题9．下列导数运算正确的是（） A ．'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()e e x x --='C ．21(tan )cos x x =' D ．1(lg )ln10x x =' 10．已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A ．函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()g x 的最小正周期为2C ．函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()g x 的图象没有对称轴11．已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A ．ab 的最小值为9B ．22a b +的最小值为18C ．3111a b +--D ．4a b +的最小值为12三、填空题12．命题“2024,lg x x ∀…的否定为.13．若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =． 14．已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑．四、解答题15．已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求f (x )的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的最小值以及取得最小值时x 的集合．16．已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域； (2)解不等式：()()2231f x f x +≤+.17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值； (2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值． 18．已知函数()()12ln ,f x x g x ax x =+=.(1)求()f x 的单调区间；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19．设集合A 为非空数集，定义{}{},,,|,,A xx a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈∣. (1)若集合{}1,1A =-，直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{}02024,A xx x ⊆≤≤∈N ∣且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.。

【数学】盐城中学2022-2023学年高三上学期开学质量检测数学试题含解析

江苏省盐城中学高三年级开学质量检测数学试卷2022.08一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合321xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎤⎥⎝⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.已知i 为虚数单位，则复数11i iz i i+=++等于（）A.1322i -+ B.1322i - C.3122i - D.3122i -+3.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3πB.3π和2C.6π和D.6π和24.一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知1m >，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（）A.15B.16C.17D.185.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)1n n S a +=(n *∈N ).记1n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n项和，则使64n T >成立的最小正整数为（）A.5B.6C.7D.86.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，点M 是过原点O 且倾斜角为60︒的直线l 与椭圆C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.2C.1- D.27.已知函数())x x f x e e x -=-+，则不等式f (x )＋f (2x －1)＞0的解集是（）A.(1，＋∞）B.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(－∞，1)8.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O （О为球心）的球面上，ABC 为等边三角形，2AB BD ==，AD =AC BD ⊥，则二面角A CD O --的正切值为（）A.3B.6C.3D.6二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A.()00g = B.()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增C.()g x 的图象关于4x π=-对称 D.()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是110.若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111((22-=+x y n ，则（）A.0x <且1y <-B.m 的最大值为3-C.n 的最小值为7D.22m n ⋅<11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱AD 上的动点，平面α过点E 且与平面11A DC 平行，则（）A.11B E CD ⊥ B.三棱锥111E BCD -的体积为定值C.1D E 与平面11A DC 所成的角可以是3π D.平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线长之和为12.已知点F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点，直线l 过点()()0,0D m m >交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，11FA y =+.设O 为坐标原点，12,2x x P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线,PA PB 与x 轴分别交于,M N 两点，则以下选项正确的是（）A.2p =B.若1m =，则0OA OB ⋅=C.若m p =，则OAB 面积的最小值为 D.,,,M N P F 四点共圆三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()526012611mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；14.已知函数21,0,()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为___________.15.平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9，若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________．16.对任意100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式2121e m mx x m m -+>-恒成立，则正实数m 的取值范围为______.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+，②()2222cos 2a b c a c B a+--=，③()sin cos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．（1）求B（2）若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D，且5BD =，求ABC 的面积．18.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n项和为)*1,1,,2n n S a a n N n ==∈≥.（1）求证；数列是等差数列，并求{}na 的通项公式；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1,22,2,12⎡⎤-=-=⎣⎦，求22212111n a a a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦ 的值.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD ∥BC ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F 四点共面．（1）求证：F 为PC 的中点；（2）若△PAD 为等边三角形，二面角P AD B --的大小为120︒，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值．20.乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望.21.已知曲线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =，过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B .（1）求证：直线AB 与x 轴相交于定点N ；（2）试探究x 轴上是否存在定点M 满足ANM BNM S AMS BM= 恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.22.已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个零点()123123,,x x x x x x <<.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：①123x x a +>-；②232e x x +>.（两者选择一个证明）江苏省盐城中学高三年级开学质量检测数学试卷2022.08一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合321x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先解分式不等式，化简集合A ，再由A B ⊆，即可列出不等式求出结果.【详解】因为{}3322220012111x x x x A x x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫---=≤=≤=≤=-<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬+++⎩⎭⎩⎭⎩⎭，又{}221B x a x a =-<<+，A B ⊆，所以21212a a -≤-⎧⎨+>⎩，解得112a <≤.故选：B.【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型.2.已知i 为虚数单位，则复数11i iz i i+=++等于（）A.1322i -+ B.1322i - C.3122i - D.3122i -+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算算出答案即可.【详解】()()()()21111311111222i i i i i i i z i i i i i i i -+++=+=+=+-=-++故选：C 3.函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和 B.3π和2C.6πD.6π和2【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sincos sin co 3s 3323234x x x x f x x π=+=+⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==.故选：C ．4.一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知1m >，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（）A.15B.16C.17D.18【答案】C 【解析】【分析】由题意得22A A 62n mn +-=，化简计算可得3112m n m -=-，由于1m >，0n >，可得3112m m ->，从而可求出18m <≤，经验证可得答案【详解】原来n 个车站有2A n 种车票，新增了m 个车站，有2A n m+种车票，由题意得22AA 62n m n +-=，即()(1)(1)62m n m n n n ++---=，整理得2262mn m m +-=，∴3112m n m -=-，∵1m>，0n >，∴3112m m ->，∴2620m m --<，解得112m +<<，即18m <≤.当3,4,5,6,7,8m =时，n 均不为整数，只有当2m =时，15n =符合题意，∴17m n +=，故现在有17个车站.故选：C.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且)1n n S a +=(n *∈N ).记1n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n项和，则使64n T >成立的最小正整数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】根据,n n S a 之间的关系证明{}n a 为等比数列，然后再证明{}n b 也是等比数列，由此求解出nT .根据不等式结合指数函数单调性求解出n 的取值范围，从而确定出n 的最小整数值.【详解】解析：由)1n n S a -+=，可知)111n n S a +++=∴)()1110n n n n S S a a ++--+-=1n n a +=.1n =时，)111a a +=1a =，∴0n a ≠，∴12n n a a +=，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列.∴211221122n n n n n n n n b a a a b a a a +++++⎛==== ⎝⎭.又1122b a a ==，∴数列{}n b是以2为首项，以12为公比的等比数列.∴1122111212n nn T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎥⎪⎝⎭⎥⎣⎦-.又64nT >，∴1631264n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即61112642n⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴6n>.又n *∈N ，∴n 的最小值为7.故选：C .6.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，点M 是过原点O 且倾斜角为60︒的直线l 与椭圆C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=- ，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.2C.1- D.2【答案】C 【解析】【分析】由1212MF MF MF MF +=- 分析可得出△12MF F 为直角三角形，再结合条件及椭圆定义得到2,c a +=即得.【详解】不妨设M 在第一象限，由1212MF MF MF MF +=-，两边平方后化简得：12·0MF MF = ，所以12MF MF ⊥ .在Rt △12MF F 中，∵2260,,MOF OM c OF c ∠=== ，∴2160MFF ∠= ，21,,MF c MF ==由椭圆定义可知：212,MF MF c a +==所以离心率1c e a ==.故选：C.7.已知函数())x x f x e e x -=-+，则不等式f (x )＋f (2x －1)＞0的解集是（）A.(1，＋∞）B.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.(－∞，1)【答案】B 【解析】【分析】先分析出()f x 的奇偶性，再得出()f x 的单调性，由单调性结合奇偶性可解不等式.【详解】()f x 的定义域满足0x >x x >≥，0x ->在R 上恒成立.所以()f x 的定义域为R())x x f x e e x --=-+则()()))x x x x e e x f e e f x x x --⎡⎤⎡⎤-++-+⎣⎦-=⎣+⎦))ln10x x =++==所以()()f x f x =--，即()f x 为奇函数.设())g x x =，由上可知()g x 为奇函数.当0x ≥时，y =y x =均为增函数，则y x =在[)0,∞+上为增函数.所以())g x x =在[)0,∞+上为增函数.又()g x 为奇函数，则()g x 在(],0-∞上为增函数，且()00g =所以()g x 在R 上为增函数.又x y e =在R 上为增函数，x y e -=在R 上为减函数所以x x y e e -=-在R 上为增函数，故()f x 在R 上为增函数由不等式()()210f x f x +->，即()()()2112f x f x f x >--=-所以12x x >-，则13x >故选：B8.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O （О为球心）的球面上，ABC 为等边三角形，2AB BD ==，AD =且AC BD ⊥，则二面角A CD O --的正切值为（）A.3 B.6C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】若E 为AC 中点，连接,BE DE ，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面ADC ⊥面ABC ，结合已知条件有△ADC 为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，若F 为DC 中点，连接,EF OF ，易知EFO ∠即为二面角A CD O --的平面角，即可求其正切值.【详解】若E 为AC 中点，连接,BE DE ，由ABC 为等边三角形，则BE AC ⊥，又AC BD ⊥，且BE BD B ⋂=，∴AC ⊥面BDE ，又DE ⊂面BDE ，即AC DE ⊥，由题设，BE =，1AE DE CE ===，而2BD =，∴222DE BE BD +=，即DE BE ⊥，又AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂面ABC ，∴DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADC ，则面ADC ⊥面ABC ，由上可得：DC =，则222DC AD AC =+，故△ADC 为等腰直角三角形，∴综上，四面体ABCD 的球心O 为△ABC 的中心，即BE 靠近E 的三等分点，若F 为DC 中点，连接,EF OF ，易知：EFO ∠即为二面角A CD O --的平面角，由上BE AC ⊥、DE BE ⊥且AC DE E = ，,AC DE ⊂面ADC ，可得BE ⊥面ADC ，又EF ⊂面ADC ，则BE EF ⊥，即OE EF⊥，∴tan OE EFO EF ∠=，而,332BE OE EF ===，∴tan 3EFO ∠=.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据线线垂直、勾股定理，结合线面、面面垂直的判定证面ADC ⊥面ABC 且△ADC 为等腰直角三角形，即可确定四面体球心的位置，再由二面角的定义找到其平面角，最后由已知条件求其正切值即可.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A.()00g = B.()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增C.()g x 的图象关于4x π=-对称 D.()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是1【答案】AC 【解析】【分析】由周期求出ω，由图象变换求得()g x 的解析式并化简，然后由正弦函数的性质判断各选项．【详解】由题意222ππω=，2ω=，所以()cos(4)6f x x π=-，1()cos[4(]cos(4sin 4662g x x x x πππ=+-=+=-，()sin 2=-g x x ，(0)0g =，A 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =递增，()g x 递减，B 错；()sin(142g ππ-=--=是最大值，C 正确；,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，sin 2y x =的最小值是12-，()g x 的最大值是12，D 错；故选：AC ．10.若实数x ，y 满足1221xy ++=，m x y =+，111()(22-=+x y n ，则（）A.0x <且1y <- B.m 的最大值为3-C.n 的最小值为7 D.22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C ，根据指数幂的运算判断D ；【详解】解：因为1221xy ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <，同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确；又1122x y +=+≥=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222x y +==，即1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确；又()111111112222222244x y x y x y x y n+-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭1145592222y x x y ++⋅=+≥++，当且仅当1142222y x x y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112((22222222mx y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确；故选：ABD11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱AD 上的动点，平面α过点E 且与平面11A DC 平行，则（）A.11B E CD ⊥B.三棱锥111E B C D -的体积为定值C.1D E 与平面11A DC 所成的角可以是3πD.平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线长之和为【答案】AB 【解析】【分析】由11CD C D ⊥、111B C CD ⊥可证得1CD ⊥平面11AB C D ，由线面垂直的性质可证得A 正确；由线面平行的判定可知//AD 平面111B C D ，知点E 到平面111B C D 的距离为1，由棱锥体积公式可知B 正确；以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，假设线面角为3π，利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无解知C 错误；将底面ABCD 和侧面11CDD C 展开到同一平面，可得交线的轨迹，由平行关系可知EG AC ==D 错误.【详解】对于A ，四边形11CDD C 为正方形，11CD C D ∴⊥；11B C ⊥ 平面11CDD C ，1CD ⊂平面11CDD C ，111B C CD ∴⊥，又1111B C C D C =I ，111,B C C D ⊂平面11AB C D ，1CD ∴⊥平面11AB C D ；1B E ⊂ 平面11AB C D ，11B E CD ∴⊥，A 正确；对于B ，1111////AD A D B C ，AD ⊄平面111B C D ，11B C ⊂平面111B C D ，//AD ∴平面111B C D ，又E AD ∈，∴点E 到平面111B C D 的距离即为11AA =，111111111111113326E B C D B C D V S AA -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，B 正确；对于C ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，则()11,0,1DA = ，()10,1,1DC =，设平面11A DC 的法向量(),,n x y z = ，则110DA n x z DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，解得：1y =，1z =-，()1,1,1n ∴=- ；设()(),0,001E λλ≤≤，则()1,0,1D E λ=-，111cos ,D E n D E n D E n ⋅∴<>==⋅ 若1D E 与平面11A DC 所成的角为3π，则11cos ,2D E n <>= ，方程无解，1D E ∴与平面11A DC 所成的角不能为3π，C 错误；对于D ，设平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线分别为,EF FG ，则//EF AC ，1//FG C D ，将底面ABCD 和侧面11CDD C 沿CD 展开到同一平面，则,,E F G 三点共线且//EG AC，EG AC ∴==D 错误.故选：AB .12.已知点F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点，直线l 过点()()0,0D m m >交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，11FA y =+.设O 为坐标原点，12,2x x P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线,PA PB 与x 轴分别交于,M N 两点，则以下选项正确的是（）A.2p =B.若1m=，则0OA OB⋅=C.若m p =，则OAB面积的最小值为D.,,,M N P F 四点共圆【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线焦半径公式可直接构造方程求得2p =，知A 正确；设:l y kx m =+，与抛物线方程联立可得1212,x x y y ，由向量数量积的坐标运算可知B 错误；由1212OABSOD x x =⋅-≥ C 正确；表示出直线PA 方程后，可求得M 点坐标，进而得到1AP MF k k =-⋅，知AP MF ⊥，同理可得BP NF⊥，由此可知D 正确.【详解】对于A ，由抛物线焦半径公式得：1112pFA y y =+=+，解得：2p =，A 正确；对于B ，由题意知：直线l 斜率存在，设:l y kx m =+，由224x py y y kx m⎧==⎨=+⎩得：2440x kx m --=，124x x m ∴=-；由1m=得：124x x =-，则()21212116x x y y ==，12123OA OB x x y y ∴⋅=+=-，B 错误；对于C ，若2mp ==，则1280x x =-<，不妨设120x x <<，则()122111222OABSOD x x x x =⋅-=⨯⨯-≥= （当且仅当12x x -==时取等号），即OAB面积的最小值为，C 正确；对于D ，直线PA 的斜率为2112111212144222PAx x x y m x k x x x x x -+===+--，∴直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，令0y =得：()2111124x x y x x -=-=-，∴点M的横坐标为12M x x =，即1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线MF 的斜率1110202MF k x x -==--，1AP MF k k ∴=-⋅，AP MF ∴⊥，同理可得：BP NF ⊥，,,,M N P F ∴四点共圆，D 正确．故选：ACD ．【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用的问题，本题D 选项中，证明四点共圆的基本思路是能够通过说明两条直线斜率乘积为1-，得到两条直线互相垂直，进而得到四边形对角互补，得到四点共圆.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()526012611mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；【答案】1-【解析】【分析】求出()51x +展开式的通项，从而求得m ；【详解】因为5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+其中()51x +展开式的通项为15r r r TC x +=，令1r =，则11255TC x x ==，令2r =，则2223510T C x x ==，所以()()51+1mx x +展开式中2x 项为2210+55x mx x x ⋅=，故1m =-，故答案为：1-14.已知函数21,0,()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为___________.【答案】12【解析】【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点，从而得解．【详解】解：0x 时，10x +=，1x =-，由()1f x =-，可得11+=-x 或2log 1x =-，2x ∴=-或12x =；0x >时，2log 0x =，1x =，由()1f x =，可得11x +=或2log 1x =，0x ∴=或2x =；∴函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点为2-，12，0，2，所以所有零点的和为1120222-+++=故答案为：12．15.平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9，若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________．【答案】2281x y +=【解析】【分析】由题知圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径，圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径，进而设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r 得2222121,9r CC r CC =+=+，再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】解：圆C 平分圆C 1等价于圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径．同理圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r ，则()222x a y r -+=，所以2222121,9r CC r CC =+=+，即()()()222222481669a r a r⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得20,81.a r =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为2281x y +=．故答案为：2281x y +=16.对任意100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式2121e m mx x m m -+>-恒成立，则正实数m 的取值范围为______.【答案】103m <≤或3m ≥【解析】【分析】将不等式右边通分后再分类讨论，当10mx ->时，通过构造函数并研究其单调性来解决不等式问题.【详解】由2121em mx x m m-+>-，有212211em mx x mx m m m-+->-=.当10mx -≤时，不等式显然成立，又100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1m x ≤，即310m ≤时不等式恒成立，又m 为正实数，所以3010m <≤；当10mx->时，令1mx t -=，则22e mtm t ->，即有2222ln ln ln ln m t t m m m t t ->-⇒+>+，令()ln f x x x =+，易知()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以22ln ln m m t t +>+，即2()()f m f t >，所以2m t >，即211mx x mm m -⇒+>>，所以1103m m +≥，解得3m ≥或103m <≤（m 为正实数）.综上可知：103m <≤或3m ≥.故答案为：103m <≤或3m ≥四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+，②()2222cos 2a b c a c B a+--=，③()sincos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．（1）求B （2）若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且5BD =，求ABC 的面积．【答案】（1）=3B π（2析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为π，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S =+△△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可【小问1详解】选择条件①：根据正弦定理，可得：()()()a c abc b c -=-+可得：222a cb ac +-=根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac +-==()0,,=3B B ππ∈∴选择条件②：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2ab Ca c Bb C a-=根据正弦定理，可得：(2sinsin )cos sin cos A C B B C-=整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A=+=可得：1cos 2B=()0,,=3B B ππ∈∴选择条件③：易知：A B C π++=可得：sin cos()6a A Bb π=-根据正弦定理，可得：sin sin cos(sin 6A AB B π=-可得：1sin cos()62BB B Bπ=-=+整理可得：tan B =()0,,=3B B ππ∈∴【小问2详解】根据题意，可得：ABCABD BCDS S S =+△△△可得：111sin sin sin 23256256ac πππ=⨯+⨯整理可得：54ac ac +=根据余弦定理，可得：2222cos b a c ac ABC=+-∠可得：2213=a c ac +-，即2()313a c ac +-=可得：225()482080ac ac --=解得：4ac =或5225ac =-（舍）故1=sin 23ABCSac π=△18.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n项和为)*1,1,,2n n S a a n N n ==∈≥.（1）求证；数列是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1,22,2,12⎡⎤-=-=⎣⎦，求22212111n a a a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦ 的值.【答案】（1）证明见解析，21na n =-（2）1【解析】【分析】（1）用1n n S S --替换给定关系中的n a()12n -=≥，由此求出2,n S n =进而求出n a .（2）对21na 适当放大为2144n n-，再利用裂项相消法求其前n 项和，再确定这个和所在区间即可得解.【小问1详解】因为na=2n ≥时，1n n S S --=+，即=+，而0na >0>()12n -=≥所以数列1==为首项，公差为1的等差数列；()111n n =+-⨯=，则2,n S n =当2n ≥时，121n a n n n ==+-=-，又11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-.【小问2详解】222111(21)441n a n n n ==--+，当2n ≥时，22111114441n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭，故22212111111111111151111412231444n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++=+-<+= ⎪-⎝⎭⎝⎭ ，当1n=时，211514a =<，所以对任意的*n ∈N ，都有2221211154n a a a +++< ，又222212111111n a a a a +++≥= ，所以22212111514n a a a ≤+++< .所以222121111n a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ .19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD ∥BC ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F四点共面．（1）求证：F 为PC 的中点；（2）若△PAD 为等边三角形，二面角P AD B--的大小为120︒，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明AD ∥平面PBC ，再根据线面平行的性质定理即可证明EF ∥AD ,即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关各点坐标，求得平面ADFE 的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】证明：四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，∴AD ∥平面PBC ．由题意A 、D 、E 、F 四点共面，平面ADFE平面PBC =EF ，∴AD ∥EF ，而AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∵E 是棱PB 的中点，∴F 为PC 中点．【小问2详解】如图，以BC 为x 轴，连接BC 中点O 和AD 中点G ,以OG 为y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为AB =CD ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒设AD =a ，则BC =2a ，AB CD a==，所以33,(,,0),(,0,0),(,,0),(,0,0)222223a a OG a A B a D a C a =--，33(,,0),(,0,0)22BD a a AD a == ，因为△PAD 为等边三角形，所以PG ⊥AD ，由题意知OG AD⊥,所以∠PGO 为二面角P AD B--的平面角，又二面角P AD B --的大小为120︒，所以120PGO∠=︒，因为PG ⊥AD ，GO ⊥AD ，,,PG GO G PG GO =⊂ 平面PGO，所以AD ⊥平面PGO ，过P 作PH 垂直于y 轴于点H ，因为PH ⊂平面PGO ，所以AD ⊥PH ，又PH ⊥GH ，,GH AD ⊂平面ABCD ，GH AD G= ，所以PH 垂直于平面ABCD ，且60PGH∠=,3,,22244PG a PH a a GH a ==⨯==，244OH OG GH a a a =+=+=，∴30,,44P a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为E ，F 分别为PB ，PC 的中点，所以33(,,),(,,),(0,,)288288388a a E a F a AE a a -=- ，设平面ADFE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AE n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以30880ay az ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，取z=1，n = ，设BD 与平面ADFE 所成角为θ，则3sin |cos ,|4a BD θ=〈〉= n ，即直线BD 与平面ADFE所成角的正弦值为4．20.乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）1627（2）X 1234p34316364164数学期望为8564.【解析】【分析】（1）分析出两种情况，甲乙再打3个球，这三个均为甲赢和甲乙再打4个球，其中前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，分别求出概率，相加即为结果；（2）求出X 的可能取值为1，2，3，4，及对应的概率，写出分布列，求出期望值.【小问1详解】设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A ，则事件A 中包含事件B 和事件C ，事件B ：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C ：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.事件B ：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则()33328327p B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，事件C ：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则()223212833327p C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；则()()()8816272727p A P B P C =+=+=【小问2详解】X 的可能取值为1，2，3，4.()314p X ==，()13324416p X ==⨯=，()1133344464p X ==⨯⨯=，()1111444464p X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 1234p34316364164其中()331851234416646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.即数学期望为8564.21.已知曲线2:2(0)Cy px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =，过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B .（1）求证：直线AB 与x 轴相交于定点N；（2）试探究x 轴上是否存在定点M满足ANM BNM S AMS BM= 恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，()4,0M -【解析】【分析】（1）由焦半径公式代入求解p ，从而得抛物线方程；设直线方程:=+AB l x ty n ，联立方程组，通过OA OB ⊥可得n 的值，即可求出定点坐标；（2）由题意得出x 轴为AMB ∠的角平分线，将韦达定理代入所给条件求解即可．【小问1详解】解：()0,Q x p 在22y px =，即202p px =，解得02p x =，所以022p QF x p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，故抛物线为24y x =，易知直线AB 的斜率不为0，故设:=+AB l x ty n ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立224404x ty n y ty n y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，故124y y t +=，124y y n =-，所以222121244y y x x n =⋅=，因为OA OB ⊥，则2121240OA OB x x y y n n ⋅=+=-= ，则4n =或0n =（舍)，故(4,0)N ．【小问2详解】解：假设存在设(),0M m ，其中4m ≠，因为ANM BNM S AM S BM = ，那么AM AN BM BN =，则x 轴为AMB ∠的角平分线，若1m x =，则AM 垂直于x 轴，x 轴平分AMB ∠，则BM 垂直于x 轴，则直线AB 的方程为4x =，此时4m n ==，而M ，N 相异，故1m x ≠，同理2m x ≠故AM与BM 的斜率互为相反数，即12122112120y y x y x y m x m x m y y ++=⇒=--+1221121212(4)(4)2324444ty y ty y ty y t m y y y y t +++-⇒==+==-++为定值．故当(4,0)M -时，ANM BNM S AM S BM = 恒成立．22.已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个零点()123123,,x x x x x x <<.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：①123x x a +>-；②232e x x +>.（两者选择一个证明）【答案】（1）()111e e 1a <<+-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令ln x t x =转化为2(1)10(*)t a t a +-+-=在(-∞，1]e 上有两不等实根1t ，212()t t t <．从而得出参数a 的范围，（2）设函数ln ()x h x x =在1x =处的切线:1l y x =-，记切线l 与1y t =，2=t t 的交点的横坐标分别为1x '，2x '，又由ln 1x x x≤-可得1111ln 1x t x x =<-，从而可证明①；根据对数均值不等式可证明②．【小问1详解】()0f x =可以等效化简为ln ln 110x x a x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即令ln x t x =，由ln x t x =，则21ln x t x -'=，令21ln 00e x t x x -'=>⇒<<，21ln 0e x t x x -'=<⇒>，故ln x t x=在()0e ，单调递增，在(e,)+∞单调递减，当e x =时，1et =，所以ln 1e x t x =≤，且当1x >时，ln 0x t x =>,当01x <<时，ln 0x t x =<，ln x t x =的图像如下图所示，题意等价于()2110t a t a +-+-=(*)，必有两个实根1t ，212()t t t <．判别式2(1)4(1)0a a ∆=--->，有3a <-或1a >，两根情况讨论如下：①当110,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21e t =时，从而将21e t =代入(*)式，得211e ea =+-，又12211e et t a =-=--，有12e 10e e e 1t =-=-<--不符合题意，故舍去；②当10t ≤，210,et ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令2()(1)1g t t a t a =+-+-，)i 当10t =时，有10a -=，得1a =，此时(*)式为20t =，不符合题意；)ii 当10t <时，则有2(0)10111(1)10e e e g a g a a =-<⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+-⋅+-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得111e(e-1)a <<+，综上知a 的取值范围为11,1e(e-1)⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【小问2详解】选①由（1）知112a t --=，212a t -+=，考虑函数2()ln h x x x x =-+，故()()211()21=1x x h x x x x -+-'=-+，当1x >时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>，故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故()(1)0h x h ≤=，因此2ln 0x x x -+≤，故得：ln 1x x x-，记直线:l 1y x =-，l 与1y t =，2=t t 的交点的横坐标分别为1x '，2x '，则11x '=，21x '=，又11111ln 11x t x x x ='-=<-，则11x x '<，同理22x x '<，故12123x x x x a +>'+'=-．若选②先证：对任意的0a b >>，有ln ln 2a b a b a b->-+，记()()()()2221114()ln 21,()111x x p x x x p x x x x x x --'=->=-=+++，当1x >时，()0p x '>，故()p x 在()1+∞，上单调递增，因此()(1)0p x p ≥=，故1ln 201x x x -->+，不妨设0a b >>,取1a x b =>，代入1ln 201x x x -->+得：1ln 20ln 201a a a a b b a b b a b b--->⇒->++，则ln ln 2a b a b a b ->-+故对任意的0a b >>，有ln ln 2a b a b a b->-+，选②：32322232323232ln ln ln ln 22x x x x t x x x x x x x x t -===>⇒+>-+由于210,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故23222e x x t +>>【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题，考查复合方程的根的问题．解得本题的关键是先令ln x t x=，先研究出其性质大致图像，然后将问题转化为2(1)10(*)t a t a +-+-=在(]0-∞，和10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个实根1t ，212()t t t <，从而使得问题得以解决，证明不等式时，主要采用了放缩法以及利用对数不等式对任意的0a b >>，有ln ln 2a b a b a b -+<-进行证明,属于难题．。

江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

2019-2020学年江苏省盐城中学高三（上）第一次质检数学试卷一、填空题（本大题共14小题）1.已知集合{}=11A x x -<<，{}1,0,3B =-，则A B =__________．【答案】{}0 【解析】【分析】根据交集的概念，求得两个集合的交集.【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故{}0A B ⋂=. 故答案为{}0.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.设幂函数()af x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________．【答案】32【解析】由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 3.若命题“∃t∈R，t 2﹣a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．【答案】0,∞（+）【解析】命题“20t R t a ∃∈，﹣＜”是真命题，040a ∴=﹣（﹣）＞． 0a ∴＞，则实数a 的取值范围是0+∞（，）．故答案为∞（0，+）． 4.函数()ln(1)2f x x x =-+-______．【答案】(1,2] 【解析】【详解】由10{20x x ->-≥ 可得，12x <≤ ，所以函数()ln(1)2f x x x =-+-(]1,2 ，故答案为(]1,2.5.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P -，则2sin α=______．【答案】45- 【解析】【分析】根据三角函数定义求cos α和sin α，最后代入公式sin 22sin cos ααα=求值.【详解】解：由题意可得1x =-，2y =，r OP ==x cos r α∴===，y sin r α===， 4225sin sin cos ααα∴==-，故答案为：45-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____．【答案】24 【解析】【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.7.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()2x f x x =-，则(1)f -=＝________．【答案】1-【解析】由()f x 为奇函数可得：()()()11211f f -=-=--=-，故答案为1-. 8.已知函数()2sin(2)(0)4f x x πωω=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为．【答案】13[,]44- 【解析】试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f x x ππ=-，令22242k x k ππππππ-+≤-≤+，解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1,1]x ∈-，所以1344x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-.考点：三角函数的图象与性质.9.设向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 【答案】必要不充分【解析】【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件考点：向量共线10.已知函数()ln ()x xf x e x ae a R =-∈,若()f x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是_____．【答案】(],1-∞ 【解析】【分析】对函数()f x 求导，根据函数在()0,∞+上单调递增列不等式，分离常数a 后，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】依题意，当()0,x ∈+∞时，()'1ln 0x f x e x a x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，即1ln 0x a x +-≥，也即1ln a x x ≤+在()0,∞+上恒成立，构造函数()()1ln 0h x x x x =+>，则()'21x h x x-=，所以函数()h x 在区间()0,1上递减，在区间()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值也即是最小值，故()()11h x h ≥=，所以1a ≤. 故答案为(],1-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.11.如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =，则·AE BC =_______________．【答案】132- 【解析】【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,2,2,A B C m C 则 ()(4,0,,2AB AC m ==，故 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即(2C ，则52,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.12.若函数2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[)0,2ln 2+ 【解析】【详解】试题分析:由题设可知函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个根, ,即,所以,故答案[)0,2ln 2+.考点：函数的图象及零点的确定．【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>背景的零点个数的综合应用问题.将问题等价转化为两个函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组,通过解不等式组从而获得答案.13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=.且角A 为锐角，则m 的取值范围是_______．【答案】2⎛ ⎝ 【解析】【分析】利用正弦定理化简()sin sin sin B C m A m R +=∈，利用余弦定理表示出cos A ，根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围.【详解】依题意，由正弦定理得b c ma +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=()2222b c bc a bc+--=2222222a m a a a --=223m =-，由于A 锐角，所以0cos 1A <<，所以20231m <-<，即2322m <<，由于m为正数，故2m <<故答案为⎝.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 14.已知函数()2ln(2)f x tx x n =+-+，1()g x t x=-，若函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，且()()0f x g x ≤在定义域上恒成立，则实数t 的取值范围是______．【答案】{}21,2e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据()'0h x ≥求得n 的值，由此化简()()0f x g x ≤，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】由于函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上增函数，所以()()'24210h x x nx n =---≥恒成立，故()241610n n ∆=+-≤，即()220n -≤，所以2n =.故()()0f x g x ≤即()12ln 0tx x t x ⎛⎫+-≤⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，等价于2ln 010tx x t x +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩①，或2ln 010tx x t x+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩②. 由①得ln 21x t xt x⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩③，构造函数()()ln 0x m x x x =->，()'2ln 1x m x x -=，所以()m x 在()0,e 上()'0m x <，()m x 递减，在(),e +∞上()'0m x >，()m x 递增，最小值为()1m e e=-，所以③等价于120t e t ⎧≤-⎪⎨⎪≤⎩，解得12t e ≤-.由②得ln 21x t xt x⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩④.由ln 12x x x -=解得21x e =.根据()m x 和1y x =的单调性可知，当且仅当21t e x==时，④成立. 综上所述，t 的取值范围是{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.故答案为{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题（本大题共6小题）15.已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}22B y y x x a ==-+，集合{}2|40C x x ax =--≤，命题:p A B φ⋂≠，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a >；（2）(,0)(3,)-∞⋃+∞ 【解析】【分析】先求出集合{}12A x x =≤≤和{|1}B y y a =≥-；（1）由题意得=A B φ⋂，由集合的交集运算得a 的取值范围；（2）先求出p q ∧为真命题时a 的取值范围，从而求出p q ∧为假命题时a 的范围.【详解】∵222(1)11y x x a x a a =-+=-+-≥-，∴集合{|1}B y y a =≥-，集合{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤，集合{}240C x x ax =--≤. （1）由命题p 是假命题，可得=A B φ⋂，即得12a ->，∴3a >. （2）当p q ∧为真命题时，,p q 都为真命题，即A B φ⋂≠，且A C ⊆，∴2121402240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩330a a a ≤⎧⎪⇒≥-⎨⎪≥⎩，解得03a ≤≤. ∴当p q ∧为假命题时，0a <或3a >，∴a 的取值范围是：(,0)(3,)-∞⋃+∞【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.16.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若a =ABC 面积的最大值．【答案】（1）19-；（2）4【解析】【分析】(1)将2sincos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.详解】()2221sincos2sin 2cos 122B C A A A π+-+=+- 2221cos cos2cos 12cos 122A A A A +=+-=+-1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A=，可得122sin 193A =-=，由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号．则ABC 面积为1192232sin 224bc A ≤⨯⨯=．即有32b c ==时，ABC 的面积取得最大值324．【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 17.如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =.（1）求AD BC ⋅的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=，求实数t 的值. 【答案】（1）83-（2）1514t = 【解析】【分析】（1）将,AD BC 都转化为用,AB AC 为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅=转化为2AB CD t CD⋅=，同（1）的方法，将CD 转化为用,AB AC 为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值.【详解】（1）D 是边BC 上一点，2DC BD =()1133BD BC AC AB ∴==-()121333AD AB AC AB ABAC =+-=+()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22121333AC AB AB AC =-+⋅18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=- （2）()0AB tCD CD -⋅=，2AB CD t CD⋅∴=()2233CD CB AB AC ==-，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=2222839CD CB ⎛⎫==⎪⎝∴⎭2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭22233AB AC AB =-⋅821012cos120333=-⨯⨯⨯︒=1514t ∴=【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB 和两条长度相等的直线型路面AD 、BE ，桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切.设ADO θ∠=，已知直线型桥面每米修建费用是a 元，弧形桥面每米修建费用是43a元.（1）若桥面（线段AD 、BE 和弧ACB ）的修建总费用为W 元，求W 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，桥面修建总费用W 最低？【答案】（1）3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）3πθ= 【解析】【分析】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，通过解直角三角形以及弧长公式，求得,AD AC 的长，由此计算出修建总费用W 的表达式，根据DE 长度的限制，和圆的直径，求得θ的取值范围.（2）利用导数求得W 的单调区间，进而求得当θ为何值时，W 取得最小值. 【详解】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，则OA AD ⊥ 在OAD ∆中，3cos tan sin OA AD θθθ==. 又因为AOC ADO θ∠=∠=，所以弧AC 长为3l θ=，所以423a W l AD a ⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭43cos 233sin a a θθθ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭3cos 24sin a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当6DE =时，2πθ=；当12DE =时，6πθ=，所以62ππθ≤<所以3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）设()3cos 4sin f θθθθ=+，则()22234sin 34sin sin f θθθθ-'=-=，令()0f θ'=得,362πππθ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭当,63ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f θ'<，函数()f θ单调递减；当,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f θ'>，函数()f θ单调递增；所以当3πθ=时，函数()fθ取得最小值，此时桥面修建总费用最低.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的计算，属于中档题.19.已知函数21()ln (1)()22x f x ax x a x a a R =-+-+-∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0a ≤时，证明：函数()f x 只有一个零点；（3）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0y =（2）证明见解析（3）(),1-∞ 【解析】【分析】（1）求得函数在1x =处的导数，由此求得切线方程. （2）通过求()f x 的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数()f x 的单调区间，由此证得函数()f x 只有一个零点.（3）当0a ≤时根据（2）的结论证得结论成立.当0a >，根据()f x 的二阶导数，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况，利用()f x 的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数a的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()21ln 22x f x x x =-+，()ln 1f x x x '=+-，()10f '=，()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()()ln 10f x a x x x '=-+>，令()ln 1g x a x x =-+，()1a a x g x x x-'=-= 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减所以()()10f x f ≤=，所以()f x 只有一个零点1x =.（3）①当0a ≤时，由（2）知，()f x 的极大值为()10f =，符合题意；②当0a >时，令()0g x '=，得x a =，当()0,x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x a ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，注意到()10g =，（ⅰ）当01a <<时，()()10g a g >=，又111110a aa g e e e ---⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭.所以存在()10,x a ∈，使得()10g x =，当()10,x x ∈时， ()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，当()1,1x x ∈时，()()0g x f x '=>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()10f =，符合题意；（ⅱ）当1a =时，()()()10g x f x g '=≤=恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递减，无极值，不合题意；（ⅲ）当1a >时，()()10g a g >=，又()21aag e a e =-+，令()()211xx x x eϕ+=> ()()210xx x eϕ-'=-<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()211x eϕϕ<=<，所以()210a a g e a e =-+<，存在()2,x a ∈+∞，使得()()220g x f x '==，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()21,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()2f x ，且()()210f x f >=，不合题意.综上可知，a 的取值范围是(),1-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N+=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列. 【答案】（1）21n a n =-（2）n T 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦；21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）1，2，3，4，5和5，4，3，2，1.【解析】【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得n S 的表达式，然后利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .利用差比较法证得数列{}n T 递增，进而求得n T 的取值范围.（3）先判断出数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有3项.由此求得所有满足条件的等差数列.【详解】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =，由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-=所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-==所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)nn n ++-+2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++ 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增，所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （3）2,212,2n n n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥.因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数. 假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<，则1122222i ji j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =.又1122222j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾．又因为2k ≥，所以2k =，即偶数只有两项，则奇数最多有3项，即s k +的最大值为5.设此等差数列为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，则1d ，3d ，5d 为奇数，2d ，4d 为偶数，且22d =. 由13224d d d +==，得11d =，33d =，此数列为1，2，3，4，5. 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1.综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.。

2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题一、填空题1 •已知集合A= x 1 x 1 , B 1,0,3 ，则AI B ___________________ 【答案】0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集•【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故 A B 0 .故答案为：0【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题2•设幕函数f （x）kx a的图像经过点（4,2），则k3【答案】-21【解析】由题意得k 1,2 4 丄k3223 .若命题“ ？t € R, t2 - a v 0”是真命题，则实数a的取值范围是【答案】（0,）【解析】命题"t R, t2- a v 0 ”是真命题,a>0,则实数a的取值范围是（0,）故答案为（0, + ）•4 .函数f(x) In(x 1) 42x的定义域为__________【答案】（1,2]【解析】【详解】由｛X 1 0可得，1 x 2，所以函数f （x） ln（x 1）、厂的定义域为1,2 2x0，故答案为1,2V 0-4( - a)> 0故答案为: 【点睛】【答案】24【解析】首先根据等差数列的前 n 项和公式和等差中项，即可求出差数列的通项公式和 89 30，即可求出a g ，进而求出cll 2的值.【详解】因为 S n 132，所以，=132，即 11 a 6 = 132，所以，a 6 = 122又 a 6 a 9 30，所以，8g = 18，因为 86 812 2a g ，所以，可求得： 3i 2 = 24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前 n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键 . 7.定义在R 上的奇函数f(x)，当x 0时，f(x) 2xx 2，则f( 1) = _________ .【答案】 1【解析】由f x 为奇函数可得:5.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P 1,2 ,则 sin2 【答案】【解析】 5根据三角函数定义求 cos和sin，最后代入公式sin 22sin cos 求【详解】解：由题意可得OPcos品i,sin5y 2 2、57 5 ，sin22sin cos本题主要考查任意角的三角函数的定义, 属于基础题. 6 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ,S n132,a6a930, 则a i2的值为a 6的值，再根据等1 f 12 1 1，故答案为1.依题意,0,时，f xe x lnx 1x0恒成立，即也即aln x 1_在 x0,上恒成立，构造函数0，则，所以函数 h x 在区间0,1上递减，在区间1,上递增，在8 •已知函数f(x) 2sin(2 x )(0)的最大值与最小正周期相同，贝y 函数f(x)在 4［1,1］上的单调增区间为 _________ •1 3 【答案】［丄，二4 4【解析】试题分析：条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要” ).【答案】必要不充分【解析】【详解】试题分析：r r 2 a //b (sin 2 ,cos ) / /(cos ,1) sin 2 cos cos 0或 2sin cos1r r1cos 0或tan，所以“ a//b ”是“ tan- ”成立的必要不充分条件【考点】向量共线10 •已知函数f(x) e x lnx ae x (a R),若f x 在0, 上单调递增，贝U 实数a的取值范围是 ______ . 【答案】,11构造函数h x In x — x 0，利用导数求得h x 的最小值，进而求得 a 的取值范x围• 【详解】由题意可知，函数 f (x) 2sin( x1 32k x -2k, k Z ，又x44上的单调递增区间为 [1 ,3].-)，令一2k 4 21[1,1]，所以 x4x 2k ，解得4 23，所以函数f(x)在［1,1］49 .设向量 a (sin2 ,cos ) , b(cos ,1)，则“ ；//b ”是 “ tan£ ”成立的【解析】对函数f x 求导，根据函数在 0,上单调递增列不等式，分离常数a 后,4 4【考点】三角函数的图象与性质取得极小值也即是最小值，故h x h 1 1,所以a 1.故答案为： ,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题• 11•如下图，在直角梯形 ABCD 中，AB//CD, ADC 90°, AB 4, AD ,2, E 为uuv umv nrt uuv uuuvBC 中点，若 AB AC 4，贝V AE BCuuuruuir得：A 0,0 ,B 4,0 ,C m, .2 ,C 0, ,2 ,则 AB 4,0 ,AC【答案】13 2【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设CD m m 0，结合题意可uuu uuur 故AB AC 4m 4, m1，即 C 1, 2，则 E5 V 2 2, 2uuiu 5 uuLT据此有AE —,— ,BC2 2 uuiu uuu 3/2 ,AE BC22第5页共15页依题意, 由正弦定理得 b c ma ，由余弦定理得cosA2 2b c 2 2bc a 2m a2bc2bc2a2—2m 3，由于A 为锐x ax 012 •若函数y {，在区间2,2上有两个零点，则实数 a 的取值范x a ln x, x 0围为 ___________ • 【答案】0,2 In 2【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数的区间-..和区间--内分别有一个根:_ 」.■， - 与函数；--L J 在给定‘一仃兰0* 4 —a > 01 -a+hi2 > 0故答案0,2 In 2【考点】函数的图象及零点的确定. 【易错点晴】用问题•将问题等价转化为两个函数 .- 与函数；-二-吗■-芒:V 在给定的区间-^<0(-2,0］和区间(0=2〕内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组4-0 >0,通— a + lii 2 > 0 过解不等式组从而获得答案 •13 •在 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别是a , b , c ，已知sinB sinC msinA m R ，且a 2 4bc 0.且角A 为锐角，则 m 的取值范围是【详解】a >0,即^ <4a <2 2,所以本题设置了一道以分段函数的解析式a,x 0In x, x 背景的零点个数的综合应【解析】利用正弦定理化简 sinB sinC msinA m R ，利用余弦定理表示出 cosA ,根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围22 3 2 _角，所以0 cosA 1，所以o 2m 3 1，即—m 2，由于m为正数，故2— m 2.26 _故答案为：6 2 .2【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.114 •已知函数f(x) 2tx ln(x n 2), g(x) t，若函数xh(x) 4x3 nx2 (1 n)x n 8在，上是增函数，且f x g x 0在定义3域上恒成立，则实数t的取值范围是_________ •1 2【答案】, U e22e【解析】根据h' x 0求得n的值，由此化简f x g x 0，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t的取值范围【详解】4 3 2由于函数h(x) x3 nx2(1 n)x n 8在3上是增函数，所以' 2h x 4x 2nx 1 n 0恒成立，故2 24n 16 1 n 0,即n 2 0,所以n2.故f x g x 0 即2tx l nx 2tx ln x02tx ln x 01 t0①，或1②. t 0x2t In xx由①得tx③,1构造函数m xx1-t 0在0, 上恒成立，等价于xln x 小ln x 1 十，x 0 , m x2,所以m xx x在0,e上m x 0 , m x递减，在e, 上m x 0 , m x递增，最小值为1-,所以③等价于e 1e，解得t丄2e【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题, 恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题二、解答题2 215 .已知集合 A x | x 3x 20，集合B y y x 2x a ，集合2C x|x ax 4 0，命题 p ： A B ，命题 q: A C .(1) 若命题P 为假命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题P q 为假命题，求实数 a 的取值范围.【答案】(1) a 3; (2) ( ,0) (3,)【解析】先求出集合A x 1 x 2和B {y | y a 1}；(1) 由题意得A B=，由集合的交集运算得 a 的取值范围；(2) 先求出P q 为真命题时a 的取值范围，从而求出 P q 为假命题时a 的范围.【详解】••• y2小 /x 2x a (x 1)2a 1 a 1 , •••集合B{y|y a 1},集合 A x x 2 3x 2x 1 x 2 ，集合Cx 2 x ax 4 0(1) 由命题P 是假命题，可得A B =即得a 1 2, • a 3.(2) 当Pq 为真命题时,p,q 都为真命题, 即 A B，且 AC ,2t由②得tIn xx④.由也2x1 解得x1 .根据m X 和y -的单调性可知，当e "且仅当t2e 时，④成立.综上所述, t 的取值范围是丄2e故答案为—U e 2 2e考查利用导数求解不等式a 1 2 a 3 1 a 4 0 a3，解得0a 3.22 2a 4 0a 0p q 为假命题时，a 0 或 a 3，••• a 的取值范围是：（,0）（3,）【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题•116. ABC 中，角A , B, C 所对边分别是 a 、b 、c ,且cos A -.3B C（1）求 sin 2cos2A 的值；2⑵若a ,3，求△ ABC 面积的最大值.【答案】（1）B C【解析】（1）将sin 2cos2A 化简代入数据得到答案•29（2）利用余弦定理和均值不等式计算 bc ，代入面积公式得到答案4则厶ABC 面积为IbcsinA 1 - 乙2 土22 2 43 43—时，△ ABC 的面积取得最大值 * •24【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型,.2B C. 2A 1 sincos2A sin -222 A 2八 ,1 cosAcos2cos A 1 -22,11 -」2 1 1 -；29 9⑵由cosA1 ，可得si nA i 门392、2 3 < b 2 c 2 2be 2bc - bc -bc ,3 3 3即有bc < 3 a 249-，当且仅当bc 3，取得等号即有b【详解】由余弦定理可得a 2 b 2 c 22cos 2 A 12cos 2A 1UU UT UULT2 UUUAB31UUUTUULTACUUUAB1UULT一2 UUU 2一AB1 UUUUULT-AB AC3(2) UUUAB1 2 cos120UUUTtCDUULTCD13UUUAB3 'UUUCDUULTADUUUBCUUU Q CD 2 UUUCB3UULTUUU ABACUUT 2BCUU U CD 2 UUUCB328UUUUUUT Q AB CD UUU 2 UUU 2UULTAB AB AC3 3UUU2CD2 UUU 2-AB2 UUUTUUUAC AB3cos120 717 .如图，在ABC 中，BAC 120 , AB 2 , AC 1, D 是边BC 上一点, lur uuu DC 2 BD .uuu UULTLUUT(2)若AB tCD CD8 15【答案】（1）（2）t3 14UULT UUU UUU UUUT【解析】（1 ）将AD,BC都转化为用AB, AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求/ 曰UUUT UUU得AD BC的值•UUU UUTUULT UUU UUUT AB CD UUU （2）将原方程AB tCD CD 0转化为t LUU 2，同（1）的方法，将CD转化CDUUU UULT为用AB,AC为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t的值.【详解】UU UU（1）Q D是边BC上一点，DC2BDUU1UU1UUL UUUBD BC AC AB33UUL UU1UU UUU2AD AB1AC AB-AB330 ,求实数t的值.31 UUU T AC3制，和圆的直径，求得的取值范围.(2)利用导数求得 W 的单调区间，进而求得当为何值时， W 取得最小值.【详解】(1)设C 为弧AB 的中点，连结OA , OC , OB ，则OA AD8 21 2 cos120 3 3 10 T15 14【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理, 数学思想方法，属于中档题 • 18 .某公园为了美化环境和方便顾客,考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面 ACB 和两条长度相等的直线型路面 AD 、BE ,桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点 A 和B 处相切•设 ADO，已知直线型桥面每米修4a 一兀•3W 元，求W 关于的函数(2)当为何值时，桥面修建总费用W 最低？【答案】 (1) 3cos W 2a 4sin【解析】 (1) 设C 为弧AB 的中点，连结OA , OC , OB ，通过解直角三角形以及弧长公式，求得AD,A C 的长，由此计算出修建总费用 W 的表达式，根据 DE 长度的限在OAD 中，ADtan又因为 AOC ADO 3cossin，所以弧AC 长为I 3关系式; )的修建总费用为当孑3时，f，函数f 单调递减;当一，一时，fo ，函数f 单调递增;2 2所以当时，函数f取得最小值，此时桥面修建总费用最低 •3【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用, 计算，属于中档题•X1 19•已知函数 f (x) axlnx (1 a)x a (a R).22(1) 当a 1时，求函数f x 在x 1处的切线方程； (2) 当a 0时，证明：函数 f x 只有一个零点； (3) 若函数f x 的极大值等于0 ,求实数a 的取值范围【答案】(1) y 0 (2)证明见解析(3),1【解析】(1)求得函数在x 1处的导数，由此求得切线方程所以W4a ~3込 a 2a 4 sin 3cos sin当DE6时,2 ；当 DE12时,6，所以62a , 3cos4sin3_~2sin4sin 2；~2 sin3，令考查弧长的所以W(2)通过求f X的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数 f X的单调区间，由此证得函数f X只有一个零点•(3)当a 0时根据(2)的结论证得结论成立.当a 0，根据f x的二阶导数，对a分成0 a 1,a 1,a 1三种情况，利用f 的一阶导数，结合零点的存在性定理,求得实数a的取值范围.【详解】x2(1)当a 1 时，f x xl nx2In x 1所以f x在x 1处的切线方程为y0.(2) f x alnx x 1 x 0，令g x aln x x当a 0时, x在0, 上单调递减，又所以当x0,1 时，f x x单调递增，当x1,时，f单调递减所以0,所以f只有一个零点x 1 .(3)①当a 0时, 由(2)知, x的极大值为f 10，符合题意;②当a 0时，令g x 0,得a，当x 0,a 时,单调递增,a, 时, x单调递减，注意到(i)当01a1 时，g a g 1 0,又g e a1e a0.所以存在X10,a，使得g x1 0，当x 0,为时,单调递减，当x 为，1时，g x x单调递增，当x 1, 时, x 0 , f x单调递减，所以 f x的极大值为f 1 0，符合题意; (ii)当a 1 时，g x0恒成立，f x在0, 上单调递减, 无极值，不合题意;(iii)当a 1 时，g a g 1 0,又g 2 aa e 1，令2xX 1 0, x 在1,上单调递减，e 'X所以 x1-1，所以 g e a a 2 e a 1 0,e存在x 2 a,使得 g X 2 f X 2 0,当 x 0,1时,f x 0, f x 单调递减，当X 1,x 2 时，f x 0, f x 单调递增，当 X X 2,时，f x 0, f x 单调递减，所以f X 的极大值为f X 2 ,且f X 2 f 1 0,不合题意.综上可知， a 的取值范围是,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题•2 *20.已知正项数列 a n 的前n 项和为S n ，且a n 2a n 4S n 1 n N .和 5 , 4 , 3, 2 , 1.(2)由(1 )求得S n 的表达式，然后利用裂项求和法求得较法证得数列 T n 递增，进而求得T n 的取值范围(3)先判断出数列 C n 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数•然后假设抽出的数列中(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 若b na n 1-，数列b n 的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围;S 2n 1 S 2n 1(3) 若C n1-a n 1 , n 为奇数*2n N ,从数列C n 中抽出部分项(奇数项与偶n22, n 为偶数数项均不少于两项)，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列 •当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列【答案】(1) a n 2n1( 2) T n1 (2n 1)22,丄(3) 1, 2 , 3, 4 , 59 4【解析】(1)利用a nS 1, n 1S nS n 1, n，求得数列a n 的通项公式•b n 的前n 项和T n .利用差比有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项 •进而证得奇数最多有 3项•由此求得所有满足条件的等差数列. 【详解】n, n 2k 1（3） C n n22, n 2k设奇数项取了 s 项，偶数项取了 k 项，其中s ，k N *，s 2，k 2.2 2 a n 1an22a n 1 2 a n 4a . 1，即 a n 12a n 2 a n 1 a n 0 ,即a n 1 a n2a n 1 a n因为数列 a n 各项均为正数,所以 a n 1 a n 0，所以 a n 1a n 2所以数列 a n 是以1为首项, 2为公差的等差数列•因此，a n1 2(n 1) 2n1，即数列a n 的通项公式为a n 2n 11，两式相减, 得12an 14Sn 由 a ； 2a n 4S n 1，得 a ； 12(1)当 n 1 时，由 a ； 2a n24S n 1，得 a 1 2a 1 4a 11，得 a i1，(2)由1）知 a n2n 1，所以S nn(1 2n 1)2n所以b na n 1S2n 1 S2n 12n (2n 1)2(2 n 1)21 (2n 1)21 (2n 1)2所以T n2n(2n 1)2(2n1)21 1 3232(2n1(2n 1)2411 (2n 1)2令 f (n)(2n 1)2，则f(n 1)f(n) 1 2(2n 1)(2n 3)28(n 1)(2n 3)2(2n1)2 0 所以f n是单调递增数列，数列 T n 递增,所以T n T 1-，又T n -，所以T n 的取值范围为 9 4因为数列 c n 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ， 2j ， 2p 1 i j p ，2 j 2 P又2——— 2j 1 2P 1为奇数，而j 2， p 3，则2j 1与2P 1均为偶数，矛盾。

2022-2023学年全国高中高三上数学苏教版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高三上数学月考试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 设全集＝，集合＝，那么为（）A.B.C.D.2. 已知命题，，则为( )A.，B.，C.，D.，3. 已知为虚数单位，则下列是纯虚数的是（）A.B.C.D.4. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.U {0,−1,−2,−3,−4}M {0,−1,−2}M ∁U {0}{−3,−4}{−1,−2}∅p :∀x ∈R −≥12x x 2¬p ∀x ∈R −<12x x 2∃∈R x 0−<12x 0x 20∀x ∈R −<12x x 2∃∈R x 0−<12x 0x 20i 22+i2ii 2ABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3)−−−−−−−−−5. 函数的定义域是（）A.）B.C.D.6. 函数在区间上的图象大致为（）A.B.C.D.f (x)=x −1log 12−−−−−−−−−√3x −1[,+∞12(0,)∪(,]131312(0,)∪(,2]1313(0,]12f(x)=sin x −x x 2[−π,π]27. 已知线段、，且，则下列说法错误的是（）A.B.C.D.8. 函数的图象大致为（）A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 若函数＝，则函数的零点个数是（）A.个B.个C.个D.个10. 设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则下列说法正确的有( )A.点可能是线段的中点B.点可能是线段的中点C.点，不可能同时在线段上a b =ab 23a =2cm ，b =3cma =2k ，b =3k (k ≠0)3a =2ba =b23y =x −sin x+e x e −x f(x)|x |y =f(x)−lo |x |g 125432A B C D =m AC −→−AB −→−=n AD −→−AB −→−m +n =2mnC AB B AC CD AB C ABD.点，可能同时在线段的延长线上11.函数＝的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数C.若把函数的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数D.，若恒成立，则的范围为12. 在三棱锥中，，的内心到三边的距离均为，平面，且三棱锥的三个侧面与底面所成的角都为，则下列说法正确的是（）A.的周长为B.C.三棱锥的体积为D.三棱锥的内切球的体积为卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若偶函数对任意，都有，且时，，则________．14. 已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则________．15. 在同一平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则________．C D ABf(x)2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)f(x)f(x)aP−ABC AB∶BC∶AC=5∶3∶4△ABC O2PO⊥ABC P−ABC60∘△ABC10PO=23–√P−ABC163–√P−ABCπ323–√27f(x)x∈R f(x+3)=−1f(x)x∈[−3,−2]f(x)=2xf(101.5)=OA−→−OB−→−OC−→−123OA−→−OC−→−αcosα=13OB−→−OC−→−60∘=m+n(m,n∈R)OC−→−OA−→−OB−→−m+3n=16. 已知若且方程有个不同根，则的取值范围为________四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分） 17. 在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点．记．求函数的值域；设的角，，所对的边分别为，，，若，且，，求. 18. 已知函数的图象（部分）如图所示．（1）求函数的单调递减区间和对称中心；（2）求函数在区间上的最大值及最小值；（3）将函数的图象作怎样的变换可的图象？19. 锐角中，，，分别为角，，所对的边，且.求角；若，求的最大值． 20. 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是万件．已知生产该产品的固定投入为万元，每生产一万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；该厂家年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21. 已知函数．f(x)= |lgx |,≤x ≤10，110−−2x,x ≤0，x 2{ −1≤a ≤1，−1≤b ≤1，[f(x)−af(x)+b ]2=05|2a −b +1|5–√xOy αx P(,)x 1y 1OP O π2Q(,)x 2y 2f(α)=+y 1y 2(1)f(α)(2)△ABC A B C a b c f(C)=2–√a =2–√c =1b f(x)=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<)π2f(x)f(x)[,π]π2y =sinx f(x)=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<)π2△ABC a b c A B C 2sin B (a cos C +c cos A)=b 3–√(1)B (2)b =3–√2a +c 20202020x m m ≥0x =4−k m +1k 28161.58+16x x (1)2020y m (2)2020f (x)=x ln x (1)y =f (x)求曲线在处的切线方程；对任意，恒成立，求实数的取值范围． 22. 已知函数.讨论函数的单调区间；当时，若函数在（，是自然对数的底数）上有两个零点，求的最小值.(1)y =f (x)x =1(2)x >1f (x)<a (−1)x 2a f (x)=+−1(k ∈R,k ≤1)k 2x 2x +1ex (1)f (x)(2)k =18f (x)(−∞,]e n n ∈Z e n参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三上数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】补集及其运算【解析】由全集及，求出的补角即可．【解答】∵全集＝，集合＝，∴＝，2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式：将量词“”与“”互换，结论同时否定，写出命题的否定即可【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题，的否定是，.故选.3.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念U M M U {0,−1,−2,−3,−4}M {0,−1,−2}M ∁U {−3,4}∀∃p :∀x ∈R −≥12x x 2∃∈R x 0−<12x 0x 20D【解析】利用复数的运算，复数的概念求解即可.【解答】解：，为实数；，为复数，不是纯虚数；，，是纯虚数；，为实数.故选.4.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：A 2B 2+i C =2i 2i i 2=−2i D =−1i 2C A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−=−−12，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.5.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】B 6.【答案】D【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，故排除和；，故排除．故选．7.==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A f(x)=sin x −x x 2f(π)=−π<0B C f (−)=−+<0π2π24π2A D【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，故选项错误；，，根据等比性质，，，故选项正确；，，故选项正确；，，故选项正确．故选．8.【答案】B【考点】函数的图象函数奇偶性的性质利用导数研究函数的单调性【解析】首先判断函数奇偶性，然后证明当时，恒成立，进而可得出答案．【解答】解：因为，所以，可得，所以为奇函数，排除；设，恒成立，所以在，单调递增，且，故在上恒成立，排除，故选．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.A B =a b 23a =2k b =3k(k >0)C =⇒3a =2b a b 23D =⇒a =b a b 2323A x >0x −sin x >0y =f (x)=x −sin x +e x e −xf (−x)==−x −sin(−x)+e −x e x −x +sin x +e x e −xf (x)=−f (−x)y =x −sin x +e x e −xC g(x)=x −sin x (x)=1−cos x ≥0g ′[0,+∞)g(x)=x −sin x g(x)≥0−sin 0=0y =≥0x +sin x +e x e −x[0,+∞)AD B【答案】【考点】函数零点的判定定理【解析】作出＝与的函数图象，根据图象交点个数得出答案．【解答】作出＝与的函数图象如图所示：由图象可知两图象有个交点，∴函数有两个零点．故选：．10.【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】无【解答】解：因为，所以．，若是线段的中点，则，则不存在，故点不可能是线段的中点，故错误；，若可能是线段的中点，则，则，故点可能是线段的中点，故正确：，若点，同时在线段上，则，，则，y f(x)y =|x |log 12y f(x)y =|x |log 122y =f(x)−lo |x |g 12D m +n =2mn +=21m 1n A C AB m =12n C AB A B B AC m =2n =23B AC B C C D AB 0≤m ≤10≤n ≤1m =n =1C此时，重合，与已知矛盾，故点，不可能同时在线段上，故正确；，若点，同时在线段的延长线上，则，，则，这与矛盾，所以点，不可能同时在线段的延长线上，故错误.故选．11.【答案】B,C,D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数图象可求其周期，利用周期公式可求的值，由＝，可得＝，结合范围，可求＝-，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质以及函数＝的图象变换规律即可求解．【解答】把＝的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数＝（），∵，∴-，∴＝（）在上单调递增，故正确（1）把＝的图象向左平移个单位，则所得函数＝+）]＝，是奇函数，故正确（2）由（）可得（），，]恒成立，令＝（），，]，则＝），∵-，∴-，∴，∴，∴则的范围为，故正确．故选：．12.【答案】B,C,D【考点】C DC D AB CD C D ABm>1n>1+<21m1n+=21m1nC D AB DBCωf(2π)2φ2kπ−(k∈Z)|φ|<πφy A sin(ωx+φ)y f(x)y2sin x−x∈≤x−≤y2sin x−B y f(x)y2sin[(x−2sin C f(3x)+a≥f a≥f −f(3x)∀x∈[−g(x)f−f(3x)∀x∈[−g(x)−2sin(x−≤x≤≤x−≤−1≤g(x)≤+2a≥+2a DBCD命题的真假判断与应用柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】解：，过作于点，于点，于点，如图，因为的内心到三边的距离均为，所以．因为，所以可设，，，所以，，所以，所以，所以，，，的周长为，所以选项错误；，连接，如图，因为三棱锥的三个侧面与底面所成的角都为，平面，所以，则，所以选项正确；，易知，所以选项正确；，由题意可知三棱锥的内切球的球心在线段上，设内切球的半径为，在中，，，即，解得，所以该三棱锥的内切球的体积为，所以选项正确．故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】A O OD ⊥AC D OE ⊥BC E OF ⊥AB F △ABC O 2OD =OE =OF =2AB ∶BC ∶AC =5∶3∶4AB =5x BC =3x AC =4x AF =AD =4x −2BF =BE =3x −24x −2+3x −2=5x x =2AB =10BC =6AC =8△ABC 10+6+8=24A B PD P −ABC 60∘PO ⊥ABC ∠PDO =60∘PO =2tan =260∘3–√B C =⋅PO =××6×8×2=16V P−ABC 13S △ABC 13123–√3–√C D P −ABC O ′PO R △POD PD ==42cos 60∘sin ∠DPO ==OD PD R PO −R =24R 2−R 3–√R =23–√3π=π=π43R 343()23–√33323–√27D BCD 15【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据题意，分析可得，即函数是周期为的周期函数，进而可得＝＝，结合函数的奇偶性以及解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，满足，则，即函数是周期为的周期函数，则.又由为偶函数，则，又由，则.故答案为：.14.【答案】【答________【考点】函数的对称性【解析】由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，即，得解．【解答】由知：得函数的图象关于点对称又函数的图象关于点对称则函数图象与函数图象的交点关于点对称则故f(x +6)==f(x)1f(x +3)f(x)6f(101.5)f(−0.5+17×6)f(−0.5)f(x)f(x +3)=−1f(x)f(x +6)=−=f(x)1f(x +3)f(x)6f(101.5)=f(−0.5+17×6)=f(−0.5)f(x)f(−0.5)=f(0.5)f(0.5)=f(−2.5+3)=−1f(−2.5)=−=12×(−2.5)15f(101.5)=15154038.f (x)g(x)(1.1)+=+=+=⋯=2=2+=+=+=⋯=2=2x 1x 2019x 2x 2013x 3x 2017x 1010y 1y 2019y 2y 2018y 3y 2017y 1017(x +yy38∑i=1201g(x)=+1(x −1)3g(x)+g(2−x)=2y =g(x)(1.1)f (x)(1,1)f (x)g(x)(1.1)+=+=+=⋯=2=2x 1x 2019x 2x 2018x 2x 217x 1019+=+=+=⋯=2=2y 1y 2019y 2y 2018y 3y 2017y 1010++⋯++=2019++⋯++=2019x 1x 2x 2018x 2019y 1y 2y 118y 2019即本题正确结果：15.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算【解析】在条件的两边同时乘以向量，结合向量数量积的定义进行计算即可．【解答】解：∵，∴，即，即，则.故答案为：.16.【答案】【考点】函数与方程的综合运用简单线性规划函数的零点【解析】画出函数的图象，结合图象求得方程方程＝有个不同根时的取值范围，再构造函数，利用二次函数的图象与性质求出关于、的不等式组，结合已知条件得到关于、的线性约束条件，再作出可行域，利用几何意义求解．【解答】解：画出函数的图象如下图所示，201s(+)=4038∑i=1nx 1y 440389=m +n (m,n ∈R)OC →OA →OB →OC →=m +n (m,n ∈R)OC −→−OA −→−OB −→−⋅=m ⋅+n ⋅OC −→−OC −→−OA −→−OC −→−OB −→−OC −→−|=m ||⋅||cos α+n ||⋅||cos OC −→−|2OA −→−OC −→−OB −→−OC −→−60∘9=1×3×m +2×3×n =m +3n 1312m +3n =99[0,)35–√5f(x)[f(x)−af(x)+b ]205f(x)a b a b f(x)= |lgx |,≤x ≤10，110−−2x,x ≤0x 2令，由方程有个不同根可知，方程有两个不同的实根，，且，，设，由二次函数的图象及性质可知，又若故实数，满足约束条件作出可行域如下图所示，其中表示上图阴影部分中的任意一点（不含边界的虚线部分），而表示点到直线的距离，由图可知，距离的最小值为，最大值为边界点到直线的距离为，但边界点不在阴影部分内，∴所求取值范围为．故答案为：．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：由题意得：，，∴.∵，∴，则当，即时，单调递增；当，即时，单调递减，又，，，∴的值域为.∵，f(x)=t [f(x)−af(x)+b ]2=05−at +b t 2=0t 1t 2<0t 10<<1t 2g(t)=−at +b t 2{ g(0)=b <0，g(1)=1−a +b >0，{ −1≤a ≤1，−1≤b ≤1，a b −1≤a ≤1，−1≤b <0，1−a +b >0，(a,b)|2a −b +1|5–√(a,b)2x −y +1=00A(1,0)2x −y +1=0=|2×1−0+1|5–√35–√5A(1,0)[0,)35–√5[0,)35–√5(1)=sin αy 1=sin(α+)=cos αy 2π2f(α)=+=sin α+cos α=sin(α+)y 1y 22–√π4α∈(0,)π2α+∈(,)π4π43π4<α+≤π4π4π20<α≤π4f(α)<α+<π2π43π4<α<π4π2f(α)f(0)=1f()=1π2f()=π42–√f(α)(1,]2–√(2)f(C)=sin(+C)=2–√π42–√(+C)=1π即，且为三角形内角，∴，在中，由余弦定理得：，即，解得：.【考点】两角和与差的正弦公式任意角的三角函数诱导公式余弦定理正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域三角函数值的符号【解析】（1）根据题意确定出与，进而表示出，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦函数的单调性即可确定出单调性；（2）由，结合（1）中解析式求出的度数，再由，，的值，利用余弦定理求出的值，即可确定出三角形面积．【解答】解：由题意得：，，∴.∵，∴，则当，即时，单调递增；当，即时，单调递减，又，，，∴的值域为.∵，即，且为三角形内角，∴，在中，由余弦定理得：，即，解得：.18.【答案】【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换sin(+C)=1π4C C =π4△ABC =+−2ab cos C c 2a 2b 21=2+−2b b 2b =1y 1y 2f(α)f(α)f(C)=2–√C a c cos C b (1)=sin αy 1=sin(α+)=cos αy 2π2f(α)=+=sin α+cos α=sin(α+)y 1y 22–√π4α∈(0,)π2α+∈(,)π4π43π4<α+≤π4π4π20<α≤π4f(α)<α+<π2π43π4<α<π4π2f(α)f(0)=1f()=1π2f()=π42–√f(α)(1,]2–√(2)f(C)=sin(+C)=2–√π42–√sin(+C)=1π4C C =π4△ABC =+−2ab cos C c 2a 2b 21=2+−2b b 2b =1正弦函数的定义域和值域正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：由正弦定理，得，整理，得，即，解得.∵为锐角，∴．由得，，，∴.∵，∴，∴，(其中).∵，，的最大值为．【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】【解答】解：由正弦定理，得(1)2sin B (sin A cos C +sin C cos A)=sin B3–√sin A cos C +sin C cos A =3–√2sin(A +C)=3–√2sin B =3–√2B B =π3(2)==a sin A 3–√3√2csin C a =2sin A c =2sin C .2a +c =4sin A +2sin C A +C =π23C =π−A 232a +c =4sin A +2sin(−A)2π3=5sin A +cos A3–√=2sin(A +β)7–√tan β=3–√5<A <π6π2β<π6∴2a +c 27–√(1)2sin B (sin A cos C +sin C cos A)=sin B –√，整理，得，即，解得.∵为锐角，∴．由得，，，∴.∵，∴，∴，(其中).∵，，的最大值为．20.【答案】解：由题意可知，当时，（万件），∴，解得，∴．∴每件产品的销售价格为（元），∴年的利润.∵当时，，∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当，即万元时，（万元）．所以当该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大为万元．【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型函数最值的应用【解析】2sin B (sin A cos C +sin C cos A)=sin B 3–√sin A cos C +sin C cos A =3–√2sin(A +C)=3–√2sin B =3–√2B B =π3(2)==asin A 3–√3√2c sin C a =2sin A c =2sin C .2a +c =4sin A +2sin C A +C =π23C =π−A 232a +c =4sin A +2sin(−A)2π3=5sin A +cos A3–√=2sin(A +β)7–√tan β=3–√5<A <π6π2β<π6∴2a +c 27–√(1)m =0x =22=4−k k =2x =4−2m +1 1.5×8+16x x 2018y =1.5x ×−(8+16x +m)=36−−m(m ≥0)8+16x x 16m +1(2)m ≥0m +1>0+(m +1)≥2=816m +116−−√m =3y ≤−8+37=29=m +116m +1m =3=29y max 2018329此题暂无解析【解答】解：由题意可知，当时，（万件），∴，解得，∴．∴每件产品的销售价格为（元），∴年的利润.∵当时，，∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当，即万元时，（万元）．所以当该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大为万元．21.【答案】解：∵，∴，∴，，∴，即，∴曲线在处的切线方程为.对任意，，即，令，∴.∵，∴，即，解得，当时，，，则，在上单调递减，∴，符合条件，综上所述，的取值范围为.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】(1)m =0x =22=4−k k =2x =4−2m +1 1.5×8+16x x 2018y =1.5x ×−(8+16x +m)=36−−m(m ≥0)8+16x x 16m +1(2)m ≥0m +1>0+(m +1)≥2=816m +116−−√m =3y ≤−8+37=29=m +116m +1m =3=29y max 2018329(1)f (x)=x ln x (x)=ln x +1f ′(1)=1f ′f(1)=0y −0=x −1x −y −1=0y =f (x)x =1x −y −1=0(2)x >1x ln x <a(−1)x 2ln x −ax +<0a x g(x)=ln x −ax +a x (x)=−a −=g ′1x a x 2−a +x −a x 2x 2g(1)=0(1)≤0g ′1−2a ≤0a ≥12a ≥12Δ=1−4≤0a 2−a +x −a ≤0x 2(x)≤0g ′g(x)(1,+∞)g(x)<g(1)=0a [,+∞)12(1)f (x)=x ln x解：∵，∴，∴，，∴，即，∴曲线在处的切线方程为.对任意，，即，令，∴.∵，∴，即，解得，当时，，，则，在上单调递减，∴，符合条件，综上所述，的取值范围为.22.【答案】解：函数的定义域为，由，得，①当时，对任意的都有，当变化时，的变化如下表：递增极大值递减此时的递增区间为，递减区间为②当时，，令，则或，当变化时，，的变化如下表：递增极大值递减极小值递增此时的递增区间为，，递减区间为，③当时，，此时在上单调递增．(1)f (x)=x ln x (x)=ln x +1f ′(1)=1f ′f(1)=0y −0=x −1x −y −1=0y =f (x)x =1x −y −1=0(2)x >1x ln x <a(−1)x 2ln x −ax +<0a x g(x)=ln x −ax +a x (x)=−a −=g ′1x a x 2−a +x −a x 2x 2g(1)=0(1)≤0g ′1−2a ≤0a ≥12a ≥12Δ=1−4≤0a 2−a +x −a ≤0x 2(x)≤0g ′g(x)(1,+∞)g(x)<g(1)=0a [,+∞)12(1)f (x)R f (x)=+−1k 2x 2x +1e x (x)=kx +=f ′−(x +1)e x e x ()e x 2x (k −1)e x e x k ≤0x ∈R k −1<0e x x (x)f ′f (x)x (−∞,0)0(0,+∞)(x)f ′+0−f(x)f (x)(−∞,0)(0,+∞)0<k <1f (x)=kx (−)e x 1ke x (x)=0f ′x =0x =−ln k >0x (x)f ′f (x)x (−∞,0)0(0,−ln k)−ln k (−ln k,+∞)(x)f ′+0−0+f(x)f (x)(−∞,0)(−ln k,+∞)(0,−ln k)k =1(x)=≥0f ′x (k −1)e x e x f (x)R k ≤0f (x)(−∞,0)(0,+∞)综上所述，当时的递增区间为，递减区间为;当时的递增区间为，递减区间为（，）；当时，在上单调递增．当时，，由可知在上为增函数，且，在上为减函数，则必有，要使函数在（上还有一个零点，同时考虑到函数在上为增函数，则只需，且，又，且，，所以当时，函数在上还有一个零点，则的最小值为.综上所述，若在上有两个零点，则的最小值为.【考点】利用导数研究函数的单调性导数求函数的最值【解析】（）对求导，分类讨论进行求解；（Ⅱ）根据函数的单调性、零点存在性定理确定相应的零点所在区间，进而解决问题．【解答】解：函数的定义域为，由，得，①当时，对任意的都有，当变化时，的变化如下表：k ≤0f (x)(−∞,0)(0,+∞)0<k <1,f (x)(−∞,0),(−ln k,+∞)0−ln k k =1f (x)R (2)k =18f (x)=+−1116x 2x +1e x (1)f (x)(−∞,0)f (0)=0f (x)(0,3ln 2)f (3ln 2)<0f (x)0,]e n f (x)(3ln 2,+∞)>3ln 2e n f ()≥0e n 0<3ln 2<3f (3)=+−19164e 3=−<−<04e 3716416716f (4)=1+−1=>05e 45e 4>4>3>e e 2n ≥2f (x)(0,]e n n 2f (x)(−∞,]e n n 21f (x)(1)f (x)R f (x)=+−1k 2x 2x +1e x (x)=kx +=f ′−(x +1)e x e x ()e x 2x (k −1)e x e x k ≤0x ∈R k −1<0e x x (x)f ′f (x)x (−∞,0)0(0,+∞)(x)f ′+0−f(x)递增极大值递减此时的递增区间为，递减区间为②当时，，令，则或，当变化时，，的变化如下表：递增极大值递减极小值递增此时的递增区间为，，递减区间为，③当时，，此时在上单调递增．综上所述，当时的递增区间为，递减区间为;当时的递增区间为，递减区间为（，）；当时，在上单调递增．当时，，由可知在上为增函数，且，在上为减函数，则必有，要使函数在（上还有一个零点，同时考虑到函数在上为增函数，则只需，且，又，且，，所以当时，函数在上还有一个零点，则的最小值为.综上所述，若在上有两个零点，则的最小值为.f(x)f (x)(−∞,0)(0,+∞)0<k <1f (x)=kx (−)e x 1ke x (x)=0f ′x =0x =−ln k >0x (x)f ′f (x)x (−∞,0)0(0,−ln k)−ln k (−ln k,+∞)(x)f ′+0−0+f(x)f (x)(−∞,0)(−ln k,+∞)(0,−ln k)k =1(x)=≥0f ′x (k −1)e x e x f (x)R k ≤0f (x)(−∞,0)(0,+∞)0<k <1,f (x)(−∞,0),(−ln k,+∞)0−ln k k =1f (x)R (2)k =18f (x)=+−1116x 2x +1e x (1)f (x)(−∞,0)f (0)=0f (x)(0,3ln 2)f (3ln 2)<0f (x)0,]e n f (x)(3ln 2,+∞)>3ln 2e n f ()≥0e n 0<3ln 2<3f (3)=+−19164e 3=−<−<04e 3716416716f (4)=1+−1=>05e 45e 4>4>3>e e 2n ≥2f (x)(0,]e n n 2f (x)(−∞,]e n n 2。

江苏省盐城市高三上学期数学第一次月考试卷

江苏省盐城市高三上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·江南模拟) 已知集合，（为整数集），则（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·随县模拟) 设，，，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .3. （2分）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=（）A . -1B . 0C . 1D . 24. （2分）(2018·保定模拟) 已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A . 是奇函数B . 的一条对称轴为直线C . 的最小正周期为D . 在上为减函数5. （2分）(2020·天津模拟) 已知是定义在R上的偶函数且在区间单调递减，则（）A .B .C .D .6. （2分）下面四个命题中正确的是：（）A . “直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直线”的充分非必要条件B . “平面”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的充要条件C . “a垂直于b在平面内的射影”是“直线”的充分非必要条件D . 直线a平行于平面内的一条直线”是“直线平面”的必要非充分条件7. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 在△ABC中，∠A= ，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（）A . 1B .C . 2D . 38. （2分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A . y=sinxB . y=sin2xC . y=tan2xD . y=cos2x9. （2分） (2017高一下·长春期末) 若x, y满足约束条件 ,则z=x+2y的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）若函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=2xex ， f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的最大值为（）A .B . 2C . 2D . 4二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2016高二上·重庆期中) 过直线x=4上动点P作圆O：x2+y2=4的两条切线PA，PB，其中A，B 是切点，则下列结论中正确的是________．（填正确结论的序号）①|OP|的最小值是4；② • =0；③ • =4；④存在点P，使△OAP的面积等于；⑤任意点P，直线AB恒过定点．12. （1分） (2019高一上·石河子月考) 已知函数 .（1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间.13. （1分）函数的最大值与最小值之和为________14. （1分） (2016高一上·宿迁期末) 已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为________15. （1分） (2018高一上·台州期中) 已知f（x）=9x-t•3x ，，若存在实数a，b同时满足g （a）+g（b）=0和f（a）+f（b）=0，则实数t的取值范围是________．16. （1分） (2019高一上·启东期中) 正数满足，则的值为________．17. （1分）设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为________三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2017高一上·蓟县期末) 已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+ ）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．19. （10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．20. （10分） (2018高一下·沈阳期中) 已知向量且（1）求及；（2）若的最小值是，求实数的值.21. （10分） (2016高一上·宿迁期末) 已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．22. （10分）(2018·茂名模拟) 已知 .（1）讨论的单调性；（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、12-2、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

盐城中学高三年级数学月考试卷1

2n n nx2 y2江苏省盐城中学 2021 届高三年级第一次阶段性质量检测正确的有( )数学A.点P 的横坐标为20B.△PFF 的周长为803 1 2 3C.∠FPF小于πD.△PFF的内切圆半径为3无锡韩杰整理2020.09 1 2 3 1 2 4一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M = x|-1<x<2，N = x|1≤x≤3，则M∩N= ()A.-1,3B.-1,2C.1,2D.2,32.已知直线l:x-2y+a -1= 0与圆x-12+y+22= 9相交所得弦长为4，则a = ()A. 1 或2B. 1 或-9C. 1 或-2D. 1 或912.若存在实常数k和b，使得函数F x和G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：F x≥kx+b和G x≤kx+b恒成立，则称此直线y= kx+b为F x和G x的“隔离直线”，已知函数f x= x 2x∈R，g x=1x<0，h x= 2e ln x(e 为自然对数的底数)，则()xA.m x= f x-g x在x∈-1,0内单调递增；323.设x、y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“+≤1”的()B.f x和g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-4；C.f x和g x之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是-4,1；16 9A.必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.关于二次函数y= 2x2+4x-1，下列说法正确的是()A.图像与y轴的交点坐标为0,1B.图像的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y 的最小值为-3D.f x和h x之间存在唯一的“隔离直线”y= 2 e x-e.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)= 2x f(e)+ln x，则f(e)等于．14.关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为x|1<x<2，则不等式bx+a >5的解集为．5.在数列{a }中，a =1，a = 1-1(n≥2，n∈N)，则a= ( )15.已知F ，F是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF>PF，线段PF 的垂直平分线过F ，n 1 2 n a n - 1+ 2020 1 2 1 2 1 2A.1B.2C. -1D. 2若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e1+e2的最小值为．22216.若ln x1-x1-y1+2= 0，x2+2y2-4-2ln2= 0，当x2= 时,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.6.函数y= x -2ax-8a (a >0)，记y≤0的解集为A，若-1,1⊆A，则a 的取值范围()( 第一个空3 分，第二个空2 分)A.1,+∞B.1,+∞C.1,1D.1,12 4 4 2 4 2四、解答题：本题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.7.如果关于x的不等式x3-ax2+1≥0在-1,2上恒成立，则实数a 的取值范围为()17.已知二次函数f x= ax2+b-2x+3，且-1,3是函数f x的零点.A.a ≤322B. a ≤2C. a ≤0D. a ≤1(1)求f x 解析式；(2)解不等式f x≤3.8.过抛物线E:y2= x的焦点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点，则AB+4C D的最小值为()A. 4B. 9C. 5D. 8二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分.9.若等比数列a n的公比为q，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4 成等差数列，则q的值可能为()18.记S 为数列a的前n 项和，已知S = n2 + 2n．A.12B. 1C. 2D. 3(1)求数列a n 的通项公式；110.设正实数a,b满足a +b= 1，则()(2)若a n b n= 1，求满足b1b2+b2b3+⋯+b n b n+ 1<7的正整数n的最大值．111A.a+b有最小值4 B. ab 有最小值2221C. a + b 有最大值 2D. a + b 有最小值2211.已知点P 是双曲线E :16-29= 1的右支上一点，F1F2双曲线E的左、右焦点，△P F1F2的面积为20，则下列说法试卷来自网络图片，若有侵权，敬请联删19. 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过点 A (1，0)，B (3，2) (1) 求圆 C 的标准方程； (2) 若直线 l 过点 P (0，2)，且与圆 C 相切，求直线 l 方程．21. 已知抛物线 C : y 2 = 2px (p > 0) 经过点 M (1，2). 点 P 在 y 轴左侧 ( 不含 y 轴 ). 抛物线 C 上存在不同的两点 A ,B 满足 PA ,PB 的中点均在 C 上。

盐城中学高三数学上学期开学考试试题

盐城中学高三数学上学期开学考试试题高中最重要的阶段，大家一定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了盐城中学高三数学上学期开学考试试题，希望对大家有协助。

一、填空题：1.集合共有个真子集.2.假定双数是纯虚数，那么实数的值为 .3.执行如下图的顺序框图，假定输入的的值为31，那么图中判别框内①处应填的整数为 .(第3题图) (第4题图)4.函数是常数，的局部图象如下图，那么 .5.圆锥的母线长为，正面积为，那么此圆锥的体积为_________ .6.从这五个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率为 .7.设椭圆 ( ， )的右焦点与抛物线的焦点相反，离心率为，那么此椭圆的短轴长为 .8.如图，在中，，，，那么 =___________.(第8题图)9.曲线在它们的交点处的两条切线相互垂直，那么的值是 .10.设，假定那么的范围_________________.11. 直线与圆相交于M,N两点，假定，那么k的取值范围是________.12. 方程的解的个数为 .13.假定，且，那么的最小值是____________.14.无量数列中，是首项为10，公差为的等差数列; 是首项为，公比为的等比数列(其中 )，并且关于恣意的，都有成立.记数列的前项和为 ,那么使得的的取值集合为____________.二、解答题:15.在锐角中，内角、、所对的边区分为、、，向量，，且向量共线.(1)求角的大小; (2)假设，求的面积的最大值.16.四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB(如图1)。

现将△ADE沿DE折起，使得AEEB(如图2)，连结AC，AB，设M是AB的中点。

(1)求证：BC平面AEC;(2)判别直线EM能否平行于平面ACD，并说明理由.17.点点依次满足 , .(1)求点的轨迹;(2)过点作直线与以为焦点的椭圆交于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程.查字典数学网小编为大家整理了盐城中学高三数学上学期开学考试试题，希望对大家有所协助。

江苏省盐城中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

江苏省盐城中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()U A B ⋃=ð（） A ．{}2,3- B ．{}3,2,3- C ．{}3,2,3-- D ．{}3,2,1,0,2,3---2．若复数z 满足1ii z-=，则z =（）AB ．2C D ．13．“213x -≥”是“201x x -≥+”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC V 中，2,CD DB AE ED ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则CE =u u u r（）A ．1163AB AC -u u ur u u u rB ．1263AB AC -u u ur u u u rC ．1536AB AC -u u ur u u u rD ．1133AB AC -u u ur u u u r5．在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”．用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为0W ，则经过t 秒后这段声音的声强变为()0e tW t W τ-=（τ为常数）．把混响时间()R T 定义为声音的声强衰减到讲话之初的610-倍所需时间，则R T 约为（）（参考数据ln 20.7≈，ln5 1.6≈） A ．4.2τB ．9.6τC ．13.8τD ．23τ6．化简cos20sin30cos40sin40cos60-=o o oo o（）A ．1BC ．2D 7．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对于任意的*n ∈N ，均有121n n a a +=+，()22log 11n n b a =+-.若在数列{}n b 中去掉{}n a 的项，余下的项组成数列{}n c ，则1220c c c +++=L （）A ．599B ．569C ．554D ．5688．已知函数11()221xf x =-+，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（） A ．()()0f x f x --= B ．()0f x '<C ．若120x x <<，则()()1221x f x x f x >D ．若120x x <<，则()()()1212f x f x f x x +>+二、多选题9．下列命题中，正确的是（）A ．在ABC V 中，若cos cos a A bB =，则ABC V 必是等腰直角三角形 B ．在锐角ABC V 中，不等式sin cos A B >恒成立 C ．在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >D ．在ABC V 中，若260,B b ac =︒=，则ABC V 必是等边三角形 10．已知0,0,2a b a b >>+=，则（）A ．1≥abB ．222a bb a +≥ C ．145aa b+≥ D ．224a b ab ++<11．已知函数()2ln 11f x x x =---，则下列结论正确的是（） A ．若0a b <<，则()()f a f b < B ．()()20242025log 2025log 20240f f +=C ．若()()()e 1,0,1,0,e 1b b f a b a b +=-∈∈+∞-，则e 1b a =D ．若()1,2,a ∈则()()1f a f a ->三、填空题12．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则sin C =. 13．已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为．14．已知函数32()f x x ax bx c =+++恰有两个零点12,x x 和一个极大值点()0102x x x x <<，且102,,x x x 成等比数列.若()0()f x f x >的解集为(5,)+∞，则0x =.四、解答题15．已知函数()ππsin 2cos cos 2cos 022f x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，对x ∀∈R ，有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． (1)求ϕ的值及()f x 的单调递增区间； (2)若()00π10,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦时，求0sin 2x ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112,34n n n a S S a ++=+=-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个实数，使这n +2个数依次组成公差为dn 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn17．在ABC V 中，AC =，且BC 边上的中线AD 长为1． (1)若5π6BAC ∠=，求BC 的长； (2)若2ABC DAC ∠=∠，求BC 的长． 18．设函数()e ,()ln x f x g x x ==．(1)已知e ln x kx x ≥≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围； (2)已知直线l 与曲线(),()f x g x 分别切于点()()()()1122,,,x f x x g x ，其中1>0x ． ①求证：212e e x --<<；②已知()21e 0xx x x λ-++≤对任意[)1,x x ∞∈+恒成立，求λ的最大值．19．若数列 a n 的各项均为正数，且对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,，都满足211t t t a a a -+≤，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,，都满足112t t t a a a -++≤则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列{}n c 是一个“凸数列”，且e n c na =，（其中e 为自然常数，*N n ∈），证明：数列 a n 是一个“对数性凸数列”；(2)若关于x 的函数231423()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．证明：数列1234,,,b b b b 是一个“对数性凸数列”；(3)设正项数列01,,,n a a a L 是一个“对数性凸数列”证明：110101111111n n n n i j i j i j i j a a a a n n n n --====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑．。

江苏盐城五校联考2025届高三10月月考数学试题+答案

（总分150江苏盐城五校联考2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题分考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B = （）A.{3,4}B.{0,1}C.{}1,0,1- D.{2,3,4}2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.83.已知0x >，0y >，则（）A .ln ln ln ln 777x y x y+=+ B.()ln ln ln 777x y x y +=⋅C.ln ln ln ln 777x y x y⋅=+ D.()ln ln ln 777xy x y=⋅4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A.B.2C. D.25.已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A.16B.13C.12D.236.若函数f （x ）=()12,152,1a x x lgx x ⎧-+≤⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.[)61-，B.()1-∞，C.()61-，D.()6-∞-，7.已知函数()()sin cos 06πf x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列导数运算正确的是（）10.已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A.函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B.函数()g x 的最小正周期为2C.函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.函数()g x 的图象没有对称轴11.已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A.ab 的最小值为9B.22a b +的最小值为18C.3111a b +-- D.4a b +的最小值为12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“2024,lg x x ∀≥<”的否定为__________.13.若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =________．14.已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16.（本题15分）已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域；(2)解不等式：()()2231f x f x +≤+17.（本题15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；(2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值．18.（本题17分）已知函数()12ln f x x x=+，()g x ax =．（1）求()f x 的单调区间；（2）当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19.（本题17分）设集合A 为非空数集，定义{|,,},{|,,}A x x a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈.(1)若集合{}1,1A =-,直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{|02024,N}A x x x ⊆≤≤∈且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准1-8BBDADAAB 9-11ACD,ABD,ABC12-142024,lg x x ∃≥≥,4,405115.（1）44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π=+，7分故()f x 的最小正周期T π=；8分（2）由[0,]2x π∈可得2[44x ππ+∈，5]4π，10分当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，时()min f x =13分16.（1）()f x 为定义在上的奇函数，()0020021af -∴==+，1a ∴=，2分当1a =时，()()21122121x xx x f x f x -----===-++，符合题意，()21212121x x xf x --∴==+++，20x > ，22021x-\-<<+，()11f x ∴-<<，∴的值域为−1,1；7分（2）由（1）有()10f x +>，8分∴原不等式可化为()()()21231f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅++≤+⎣⎦⎣⎦，令()f x t =，则2210t t --≤，112t ∴-≤≤，即1211221x --≤+≤+，12分123x ∴≥，21log 3x ∴≥，14分∴不等式的解集为21log ,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.15分17.（1）因为A 点的横坐标为35，且1OA =，A 点在第一象限，所以A 点纵坐标为45，所以3cos 5α=，4sin 5α=.2分所以2222πcos 2sin 22sin cos 2sin cos sin ααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=++-2422sin cos 2sin 853cos cos 35ααααα⨯====.7分（2）因为63cos 65AOC ∠=-，由图可知：16sin 65AOC ∠=.9分而2,k AOC k βπα-+=-∠∈Z ，故2πAOC k αβ+=∠+（Z k ∈）⇒2πAOC k βα=∠-+（Z k ∈），12分所以()()cos cos 2πcos AOC k AOC βαα=∠-+=∠-cos cos sin sin AOC AOC αα=∠+∠633164565565513⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.15分18.（1）由题意可知：()f x 的定义域为0,+∞，且()222121x f x x x x='-=-，2分令'>0，解得12x >；令'<0，解得102x <<；所以()f x 的单调递增区间为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．6分（2）设()()()12ln h x g x f x ax x x=-=--，当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，即()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，取1x =，解得1a ≥；若1a ≥，则()112ln 2ln h x ax x x x x x=--≥--，设()12ln ,1m x x x x x =--≥，则()()22212110x m x x x x-='=-+≥，可知()m x 在[1,)+∞上单调递增，则()()10m x m ≥=，此时()0h x ≥，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为[1,)+∞．17分19.（1）由{}1,1A =-，112,110,112--=--+=+=，故{2,0,2}A +=-；|1(1)||11|0,|11||1(1)|2---=-=--=--=，故{0,2}A -=.3分（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即213141{0,,,}A x x x x x x -=---6分剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；7分（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12,k a a a <<< 1121312312......2,k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<所以21,A k +≥-1121311...,k a a a a a a a a -<-<-<<-所以||A k -≥，因为,A A +-⋂=∅由容斥原理31,A A A A k +-+-⋃=+≥-A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2,k a 所以21,k A A a +-⋃≤+则()*31214049N ,k k a k -≤+≤∈所以1350k ≤，当{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，证明如下：设{,1,2,...,2024}A m m m =++且N m ∈，则{2,21,22,...,4048}A m m m +=++，{0,1,2,...,2024}A m -=-，依题意有2024202423m m m -<⇒>，故m 的最小值为675，于是当675m =时A 中元素最多，即{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.17分。

江苏省盐城中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

江苏省盐城中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（） A ．1 B ．2C ．3D ．42． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣203．已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，的取值范围是（）A ． ()0,1B ．3⎛ ⎝C ．()1,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．(4．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）A ．直线1AAB ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11BC 5．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（）A ．6B ．9C ．12D ．186．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

ABC D7． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 8．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 33αα+ C. 3sin 31αα+ D ．2sin cos 1αα-+9．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 10．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（）A ．14 B ．12C ．1D ．2 11．已知()(2)(0)xb g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a的取值范围是（）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)-12．已知函数(5)2()e 22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．14．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 15．已知点E 、F 分别在正方体的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

苏教版高三数学上学期开学月考试题(盐城中学)

苏教版高三数学上学期开学月考试题（盐城中学）苏教版2019届高三数学上学期开学月考试题（盐城中学）苏教版2019届高三数学上学期开学月考试题（盐城中学）一、填空题：1.集合共有个真子集.2.若复数是纯虚数，则实数的值为 .3.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 .(第3题图) (第4题图)4.函数是常数，的部分图象如图所示，则 .5.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为_________ .6.从这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为 .7.设椭圆 ( ， )的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为 .8.如图，在中，，，，则 =___________.(第8题图)9.曲线在它们的交点处的两条切线互相垂直，则的值是 .10.设，若则的范围_________________.11. 直线与圆相交于M,N两点，若，18.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为 (单位：元).(1)将表示为的函数：(2)试确定 ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.19. 已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且 .(1)求a1;(2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;(3)设 ,试问是否存在正整数p,q(其中120.已知函数，，，其中，且 .⑴当时，求函数的最大值;⑵求函数的单调区间;⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数 ( )，使得成立，求实数的取值范围.盐城中学2019-2019学年高二年级期末考试数学(理科)答题纸2019、1一、填空题(145=70分)1、72、3、44、5、6、7、8、9、10、11、12、213、214、二、解答题(共90分)苏教版2019届高三数学上学期开学月考试题就分享到这里了，更多相关信息请继续关注高考数学试题栏目！。

2022-2023学年全国高中高三上数学苏教版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高三上数学月考试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 若1+ai2−i 为实数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为( )A.2B.−12C.12D.−22. 已知集合A ={x |−2<1−x <3}，B ={x ∈N |x 2≤6x }，则(∁R A )∩B =( )A.(3,6]B.(2,6]C.{3,4,5,6}D.{4,5,6}3. 洛书，是远古文明的产物，是一种关于天地空间变化脉络图案．它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合，并整体上排列成矩阵的图式．其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的概率是( )A.928B.1021C.1156D.1972 4. 函数f(x)=(1−21+e x )⋅sinx 的图象形状大致是( )1+ai 2−i i a 2−1212−2A ={x|−2<1−x <3}B ={x ∈N|≤6x}x 2(A)∩B =∁R (3,6](2,6]{3,4,5,6}{4,5,6}33928102111561972f(x)=(1−)⋅sin x 21+e x()A. B. C.D.5. (x 2−√3x )6的展开式中的常数项为( )A.60√3B.6√3C.135D.456. 根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：则下列说法错误的是（）A.2018年的水质情况好于2017年的水质情况B.2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C.2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D.2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%7. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x =2对称，当0<x <2时，f(x)=2x+2−x ，则f(5)=( )A.3B.−3C.7D.−78. 设函数y =f(x)的图像与y =2x+2的图像关于直线y =−x 对称，则f(−2)=( )(−)x 23–√x6603–√63–√1354520172018201820172018201720182017201860%f (x)R f (x)x =20<x <2f (x)=−x 2x+2f (5)=3−37−7y =f (x)y =2x+2y =−x f (−2)=A.1B.2C.3D.4二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是( )A.PC ⊥BCB.AC ⊥平面PBCC.平面PAB ⊥平面PBCD.平面PAC ⊥平面PBC10. 在数列{a n }中，若a 2n −a 2n−1=p ，（n ≥2，n ∈N ∗，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A.若{a n }是等差数列，则{a 2n }是等方差数列B.{(−1)n }是等方差数列C.若{a n }是等方差数列，则{a kn }（k ∈N ∗，k 为常数）也是等方差数列D.若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列11. 将函数y =2cosx +1图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，得到f(x)的图象，下列说法正确的是( )A.点(π6,0)是函数f(x)图象的对称中心B.函数f(x)在(0,5π12)上单调递减C.函数f(x)的图象与函数g(x)=2sin (2x +2π3)+1的图象相同D.若x 1，x 2是函数的零点，则x 1−x 2是π的整数倍12. 定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x 1，x 2都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则称函数f(x)为“Z 函数”，以下函数中为“Z 函数”的是( )A.y =−x 2+1B.y =3x −2sinx −2cosx y =f (x)y =2y =−x f (−2)=1234PA AB C A B PC ⊥BCAC ⊥PBCPAB ⊥PBCPAC ⊥PBC {}a n −=p a 2n a 2n−1n ≥2n ∈N ∗p {}a n {}a n {}a 2n {(−1})n {}a n {}a kn k ∈N ∗k {}a n y =2cos x +112π12f (x)(,0)π6f (x)f(x)(0,)5π12f (x)g(x)=2sin(2x +)+12π3x 1x 2−x 1x 2πR f(x)x 1x 2f()+f()>f()+f()x 1x 1x 2x 2x 1x 2x 2x 1f(x)Z Zy =−+1x 2y =3x −2sin x −2cos xC.y ={ln |x |,x ≠0，0,x =0D.y ={x 2+4x ，x ≥0，−x 2+x ，x <0卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥D ′−ABC ，使得BD ′=4，若三棱锥D ′−ABC 的外接球的半径为2√2，则三棱锥D ′−ABC 的体积为________.14. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足当x ≥0时，f(x)=−√x +e −2x −1，则不等式f(2x 2−10x)+f(x 2−6x −12)<0的解集为________.15. 若x ∈(0,+∞)，则x +4x 的最小值是________.16. 若函数f(x)=x2+ln √x 在某区间[a,b]上的值域为[ta,tb]，则t 的取值范围________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知集合A ={x |a −1<x <2a +3},B ={x |−2≤x ≤4} ，全集 U =R.(1)当a =2时，求A ∪B ；(2)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围. 18. 已知数列{a n },{b n }，其中{a n }为等差数列，且满足a 1=b 1=1，b 2=3，a n b n+1=a n+1b n +n(n +1)2n ，(n ∈N ∗).(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n =a n −1(2a n+1−b n+1)(2a n −b n )2n ，求证： c 1+c 2+c 3+⋯+c n <2n n −1. 19. 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下列联表，并判断能否在犯错误率不超过0.05的前提下认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．y ={ln |x |,x ≠0，0,x =0y ={+4x ，x ≥0，x 2−+x ，x <0x 2ABCD AC −ABC D ′B =4D ′−D ′ABC 22–√−ABC D ′R f (x)x ≥0f (x)=−+−1x −√e −2x f(2−10x)+f(−6x −12)<0x 2x 2x ∈(0,+∞)x +4xf(x)=+ln x 2x −√[a,b][ta,tb]t A ={x|a −1<x <2a +3},B ={x|−2≤x ≤4}U =R (1)a =2A ∪B(2)A ∩B =A a{}a n {}b n {}a n ==1a 1b 1=3b 2=+a n b n+1a n+1b n n (n +1)2n (n ∈)N ∗(1){}a n {}b n (2)=c n −1a n (2−)(2−)a n+1b n+1a n b n 2n +++⋯+<−1c 1c 2c 3c n 2n n1005540100.05502212附：K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d),n =a +b +c +d . P (K 2≥k 0)0.050.01k 0 3.8416.63520. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠DAB =5π6，∠ADC =π4，AB =2AC =2√2，CD =1．(1)求∠ACD 的大小；(2)求BC 的值． 21. 已知正方形ABCD 的边长为2，沿AC 将三角形ACD 折起到PAC 位置（如图），G 为三角形PAC 的重心，点E 在边BC 上，GE//平面PAB ．(1)若CE =λEB ，求λ的值；(2)若GE ⊥PA ，求平面GEC 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值． 22.已知函数f(x)=lnx +a (1x −1),a ∈R.(1)若f(x)≥0，求实数a 取值的集合；(2)证明：e x +1x ≥2−lnx +(e −2)x.=,n =a +b +c +d K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)P (≥)K 2k 00.050.01k 0 3.8416.635ABCD ∠DAB =5π6∠ADC =π4AB =2AC =22–√CD =1(1)∠ACD(2)BC ABCD 2AC ACD PAC G PACE BC GE//PAB(1)CE =λEB λ(2)GE ⊥PA GEC PACf(x)=ln x +a (−1),a ∈R1x (1)f(x)≥0a(2)+≥2−ln x +(e −2)x e x 1x参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三上数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】复数的基本概念【解析】由已知得化简，再令虚部等于零，即可得出答案.【解答】解：由题意，得1+ai2−i=(1+ai)(2+i)5=−a+25+2a+15i，∵复数1+ai2+i为实数，∴2a+15=0，解得a=−12．故选B.2.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出∁R A，再计算(∁R A)∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|−2<1−x<3}={x|−2<x<3}，∴∁R A={x|x≤−2或x≥3}，∵B={x∈N|x2≤6x}={x∈N|x(x−6)≤0}={x∈N|0≤x≤6}={0,1,2,3,4,5,6}，∴(∁R A)∩B={3,4,5,6}.故选C．3.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式排列、组合及简单计数问题【解析】无【解答】解：根据题意，四个阴数即4个偶数：2，4，6，8，五个阳数即5个奇数：1，3，5，7，9，从中任选3个，共有C39种选法．若选出的3个数的和为奇数，有2种情况：①选出的3个数都是奇数，有C35=10种选法，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，有C24C15=30种选法，一共有30+10=40种选法．故所求概率为p=40C39=1021．故选B．4.【答案】B【考点】函数的图象函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=(1−21+e x)⋅sinx=ex−11+e xsinx，f(−x)=e −x−11+e−xsin(−x)=ex−1e x+1sinx=f(x)，∴f(x)为偶函数，排除C，D；当0<x<π时，sinx>0，1+e x>0，ex−1>0，则f(x)>0，∴当0<x<π时，f(x)>0，故排除A.故选B.5.【答案】C【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】根据题意，写出展开式通项，令x的指数为0，即可求解【解答】解：由题意得，二项式(x2−√3x)6的通项公式为：T r+1=Cr6(x2)6−r(−√3x)r=(−√3)r C r6x12−3r，令12−3r=0，得r=4，所以常数项为(−√3)4×C46=135.故选C.6.【答案】进行简单的合情推理【解析】根据图象所给信息逐一进行判断即可【解答】根据图象中的数据可知2018年的水质情况好于2017年的水质情况，同时2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加，故A 、B 对；而2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅲ类水质，故C 错；2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比等于5.7%+54.7%>60%，故D 对，7.【答案】D【考点】奇偶函数图象的对称性函数奇偶性的性质函数的求值【解析】【解答】解：由题意可得f(x +2)=f(−x +2)，所以f(5)=f(3+2)=f(−3+2)=f(−1)=−f(1)=−(23−1)=−7．故选D.8.【答案】A【考点】对数及其运算函数解析式的求解及常用方法【解析】根据点的对称关系求解函数y =2x+2关于直线y =−x 对称的函数f(x)的解析式，即可求解.【解答】解：在函数f(x)的图像上取点(x,y)，则关于直线y =−x 的对称点为(−y,−x)，代入y =2x+2得−x =2−y+2，整理得y =2−log 2(−x)，故函数y =2x+2关于直线y =−x 对称的函数为f(x)=2−log 2(−x)，∴f(−2)=2−log 22=1.故选A.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）A,D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定两条直线垂直的判定【解析】在A中，BC⊥AC，BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC，进而PC⊥BC；在B中，由PA⊥AC，得AC与PC不垂直，从而AC与平面PBC不垂直；在C中，∠PCA是平面PAB与平面PBC所成二面角，由∠PCA是锐角，得平面PAB和平面PBC不垂直；在D中，由BC⊥平面PAC，BC⊂平面PBC，得平面PAC⊥平面PBC．【解答】解：由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，可知：在A中，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC，故A正确；在B中，∵PA⊥AC，AC∩PC=C，∠PCA<π2，∴AC与PC不垂直，∴AC与平面PBC不垂直，故B错误；在C中，∵BC⊥平面PAC，∠PCA是平面PAB与平面PBC所成的二面角，∠PCA是锐角，∴平面PAB和平面PBC不垂直，故C错误；在D中，∵BC⊥平面PAC，BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC，故D正确．故选AD．10.【答案】B,C,D【考点】等差数列的性质命题的真假判断与应用【解析】利用等方差的定义逐一核对四个选项得答案．【解答】解：A，若{a n}是等差数列，设其通项公式为a n=kn+b，则a n 2−an−12=(kn+b)2−[k(n−1)+b]2=2k2n−k2+2kb不是常数，∴{a2n}不是等方差数列，故A错误；B，数列{(−1)n}中，a 2n −a2n−1=[(−1)n]2−[(−1)n−1]2=0，(n≥2,n∈N∗)，∴数列{(−1)n}是等方差数列，故B正确；C，数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k，…，a2k，…数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，…∵(a2k+1−a2k)=(a2k+2−a2k+1)=⋯=a22k −a22k−1=p，∴(a2k+1−a2k)+(a2k+2−a2k+1)+...+(a22k−a22k−1)=kp，∴a22k−a2k=kp，∴a2kn−a2k(n−1)=kp，故数列{a kn}是等方差数列，故C正确；D，∵数列{a n}是等差数列，∴a n−a n−1=d，数列{a n}是等方差数列，∴a2n−a2n−1=p，∴(a n+a n−1)d=p，∴当d≠0时，a n=d2+p2d，{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列；当d=0时，必为常数列，则该数列必为常数列，故D正确．故选BCD.11.【答案】B,C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换余弦函数的对称性余弦函数的单调性【解析】本题考查了三角函数图象的变换及性质，首先求得变换后的解析式，再根据对称性，单调性，结合诱导公式及零点对答案逐一判断即可【解答】解：依题意f(x)=2cos(2x+π6)+1，A，当x=π6时，f(x)=1，∴点(π6,0)不是f(x)图象的对称中心，故A错误；B，令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)，(0,5π12)⊆[−π12,5π12]，故B正确；C，f(x)=2cos(2x+π6)+1=2sin(π2+2x+π6)+1=2sin(2x+2π3)+1，∴f(x)与g(x)为同一函数，它们的图象相同，故C正确；D，f(x)的周期为π，∴x1−x2应为π2的整数倍，故D错误.故选BC.12.【答案】B,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的判断与证明【解析】不等式x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解：∵对于任意给定的不相等实数x 1，x 2，不等式x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)恒成立，等价为(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R 上的增函数．对于A ，y =−x 2+1，则y ′=−2x ，∴函数在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，y =3x −2(sinx +cosx)，y ′=3−2(cosx −sinx)=3−2√2cos(x +π4)>0，函数单调递增，满足题意，故B 正确；对于C ，y ={ln |x |,x ≠0，0,x =0，当x >0时，函数单调递增，当x <0时，函数单调递减，不满足题意，故C 错误；对于D ，y ={x 2+4x ，x ≥0,−x 2+x ，x <0,当x <0时，y =−x 2+x 单调递增，当x ≥0时，y =x 2+4x 单调递增，且在x =0处连续，故函数在R 上单调递增，满足题意，故D 正确．故选BD.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】16√23【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，三棱锥D ′−ABC 的外接球的球心O 位于AC 的中点，所以|OD ′|=|OB |=2√2，又|BD ′|=4，所以DO ′⊥OB ，易得DO ′⊥平面ABC ，V D −ABC =13×2√2×12×4√2×2√2=16√23．故答案为：16√23 ．14.【答案】(−∞,−23)∪(6,+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质利用导数研究函数的单调性【解析】由已知求得函数解析式，再由导数研究函数的单调性，把f (2x 2−10x )−f (x 2−6x −12)<0转化为关于x 的一元二次不等式求解．解：∵x ≥0时，f(x)=−√x +e−2x −1，f ′(x)=−12⋅1√x −2e −2x =−(12√x +2e −2x )(x >0)，∵x >0时，12√x >0，−2x <0，e −2x ∈(0,1)，∴12√x +e−2x >0，∴−(12√x +e−2x )<0，∴f ′(x)<0，∴f(x)在(0,+∞)上为减函数，∵f(0)=−√0+e 0−1=1−1=0，且f(x)为R 上的奇函数，∴可得f(x)图象关于(0,0)对称，且在R 上为一连续不间断的曲线，∴f(x)在R 上为减函数，且f(−x)=−f(x)，∴f (2x 2−10x )+f (x 2−6x −12)<0化为f(2x 2−10x)<−f(x 2−6x −12)=f(−x 2+6x +12)，∵f(x)为R 上减函数，∴2x 2−10x >−x 2+6x +12，即 3x 2−16x −12>0，解得x <−23或x >6，∴解集为 (−∞,−23)∪(6,+∞)．故答案为：(−∞,−23)∪(6,+∞)．15.【答案】4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】直接利用基本不等式求最值即可.【解答】解：∵x ∈(0,+∞)，∴x +4x ≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x =4x ，即x =2时取等号，∴x +4x 的最小值为4.故答案为：4.16.【答案】(12,1+e2e )【考点】函数单调性的性质【解析】{a2+12lna=ta b2+12lnb=tb，即x2+12lnx=tx在(0,+∞)上有2个不等实数根，故函数y=x2+12lnx的图象与函由题意可得数y=tx的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点．求得t的范围．【解答】解：函数f(x)=x2+ln√x在(0,+∞)为增函数，某区间[a,b]上的值域为[ta,tb]，{a2+12lna=ta b2+12lnb=tb，即x2+12lnx=tx，变形为12lnx=x(t−12)在(0,+∞)上有2个不等实数根，可得故函数y=12lnx的图象与函数y=(t−12)x的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点，∴t−12>0，解得：t>12令F(x)=x2+12lnx−tx则F′(x)=12x+12−t令F′(x)=0，解得：x=12t−1故当x=12t−1是函数y=12lnx的图象与函数y=(t−12)x的图象切点．故得(t−12)12t−1=12ln(12t−1)，解得：t=1+e2e故得t的取值范围是12<t<1+e2e．故答案为：(12,1+e2e)四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：(1)当a=2时，A={x|1<x<7}，所以A∪B={x|−2≤x<7}.(2)因为A∩B=A ，所以 A⊆B，①当A=∅时，即a−1≥2a+3，即a≤−4 时，满足题意；②当A≠∅时，由A⊆B，{a−1<2a+3，2a+3≤4，a−1≥−2，即{a>−4，a≤12，a≥−1，有即−1≤a≤12.综合①②得：实数a的取值范围为a≤−4或−1≤a≤12.【考点】集合关系中的参数取值问题并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=2时，A={x|1<x<7}，所以A∪B={x|−2≤x<7}.(2)因为A∩B=A ，所以 A⊆B，①当A=∅时，即a−1≥2a+3，即a≤−4 时，满足题意；②当A≠∅时，由A⊆B，有{a −1<2a +3，2a +3≤4，a −1≥−2，即{a >−4，a ≤12，a ≥−1，即−1≤a ≤12.综合①②得：实数a 的取值范围为a ≤−4或−1≤a ≤12.18.【答案】(1)解：当n =1时，a 1b 2=a 2b 1+1，已知a 1=b 1=1，b 2=3，解得a 2=2，公差d =1，a n =n ．因此nb n+1=(n +1)b n +n(n +1)2n ，b n+1n +1=b n n +12n ，所以b 22−b 11=12，b 33−b 22=122，b 44−b 33=123，……b n n −b n−1n =12n−1(n ≥2)，累加得b n n −b 11=1−12n−1⇒b n =2n −n2n−1．(2)证明：c n =a n −1(2a n+1−b n+1)(2a n −b n )2n =(n −1)2n−1n(n +1)=2n n +1−2n−1n ,c 1+c 2+c 3+⋯+c n=(212−201)+(223−212)+(234−223)+⋯+(2n n +1−2n−1n)=2n n +1−1<2n n −1.【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】【解答】(1)解：当n =1时，a 1b 2=a 2b 1+1，已知a 1=b 1=1，b 2=3，解得a 2=2，公差d =1，a n =n ．因此nb n+1=(n +1)b n +n(n +1)2n ，b n+1n +1=b n n +12n ，所以b 22−b 11=12，b 33−b 22=122，b 44−b 33=123，……b n n −b n−1n =12n−1(n ≥2)，累加得b n n −b 11=1−12n−1⇒b n =2n −n2n−1．(2)证明：c n =a n −1(2a n+1−b n+1)(2a n −b n )2n =(n −1)2n−1n(n +1)=2n n +1−2n−1n ,c 1+c 2+c 3+⋯+c n =(212−201)+(223−212)+(234−223)+⋯+(2n n +1−2n−1n)=2n n +1−1<2n n −1.19.【答案】（1）不能在犯错也不超过0.05的前提下认为“体育迷”与性别有关．（2）710 ．【考点】频率分布直方图独立性检验列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）由频中分和白方图可知，在抽取的100人中，“小白述”的人数为100×10×(0.02+0.015)=25人．从而得列联表如：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数供代入公式计算得K 2=100×(30×10−45×15)275×25×45×55=10033=3.030，因为3.030<3.841，所以不能在犯错也不超过0.05的前提下认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图可知，“超级体白述”有5人，其中2名女性观众分别记为A 、B 名男性观众分别记为a 、b 、c ，从“超级体育迷”中任意选取2人，所省的基本事件(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c) ，共10个，其中，事件“从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众包含的基本事件有：(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)，共7个，因此，所求事件的概率为p =710 ．【解答】解：（1）由频中分和白方图可知，在抽取的100人中，“小白述”的人数为100×10×(0.02+0.015)=25人．从而得列联表如：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数供代入公式计算得K 2=100×(30×10−45×15)275×25×45×55=10033=3.030，因为3.030<3.841，所以不能在犯错也不超过0.05的前提下认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图可知，“超级体白述”有5人，其中2名女性观众分别记为A 、B 名男性观众分别记为a 、b 、c ，从“超级体育迷”中任意选取2人，所省的基本事件(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c) ，共10个，其中，事件“从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众包含的基本事件有：(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)，共7个，因此，所求事件的概率为p =710 ．20.【答案】解：(1)由正弦定理，得ACsin ∠ADC =CDsin ∠CAD ，即√2√22=1sin ∠CAD ．所以sin ∠CAD =12，故∠CAD =π6．(2)由(1)可知∠CAD =π6，所以∠BAC =2π3．由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos 2π3=14，所以BC =√14．【考点】正弦定理两角和与差的余弦公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由正弦定理，得ACsin ∠ADC =CDsin ∠CAD ，即√2√22=1sin ∠CAD ．所以sin ∠CAD =12，故∠CAD =π6．所以cos ∠ACD =cos[π−(π6+π4)]=−cos(π6+π4)=−cos π6cos π4+sin π6sin π4=√2−√64．(2)由(1)可知∠CAD =π6，所以∠BAC =2π3．由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos 2π3=14，所以BC =√14．21.【答案】解：(1)如图，连接CG 延长交PA 于F 点，连接BF ，因为GE//平面PAB ，GE ⊂平面CBF ，平面CBF ∩平面PAB =BF ，所以GE//BF.因为G 为三角形PAC 的重心，所以F 为PA 的中点，所以CG =2GF ，所以CE =2EB ，所以λ=2.(2)因为GE ⊥PA ，由(1)知GE//BF ，所以BF ⊥PA.因为F 为PA 的中点，所以PB =AB =2.取AC 中点O ，连接PO ，则PO =√2，BO =√2，在△POB 中，PO 2+BO 2=PB 2，所以PO ⊥BO ，又PO ⊥AO ，且AO ∩BO =O ，所以PO ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则OP =OA =OB =√2，A(0,−√2,0)，B(√2,0,0)，C(0,√2,0)，P(0,0,√2)，F(0,−√22,√22)，→FC =(0,3√22,−√22)，→BC =(−√2,√2,0)，设平面BCF 的法向量为→m =(x,y,z)，则{→FC ⋅→m =0，→BC ⋅→m =0，即{32y −12z =0，−x +y =0，令x =1，可得→m =(1,1,3)为平面BCF 的一个法向量，平面PAC 的法向量为→n =(1,0,0)，设平面PAC 与平面BCF 所成锐二面角的大小为α，cosα=|cos <→m,→n >|=1√11×1=√1111.即平面GEC 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为√1111.【考点】两条直线平行的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图，连接CG 延长交PA 于F 点，连接BF ，因为GE//平面PAB ，GE ⊂平面CBF ，平面CBF ∩平面PAB =BF ，所以GE//BF.因为G 为三角形PAC 的重心，所以F 为PA 的中点，所以CG =2GF ，所以CE =2EB ，所以λ=2.(2)因为GE ⊥PA ，由(1)知EG//BF ，所以BF ⊥PA.因为F 为PA 的中点，所以PB =AB =2.取AC 中点O ，连接PO ，则PO =√2，BO =√2，在△POB 中，PO 2+BO 2=PB 2，所以PO ⊥BO ，又PO ⊥AO ，且AO ∩BO =O ，所以PO ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则OP =OA =OB =√2，A(0,−√2,0)，B(√2,0,0)，C(0,√2,0)，P(0,0,√2)，F(0,−√22,√22)，→FC =(0,3√22,−√22)，→BC =(−√2,√2,0)，设平面BCF 的法向量为→m =(x,y,z)，则{→FC ⋅→m =0，→BC ⋅→m =0，即{32y −12z =0，−x +y =0，令x =1，可得→m =(1,1,3)为平面BCF 的一个法向量，平面PAC 的法向量为→n =(1,0,0)，设平面PAC 与平面BCF 所成锐二面角的大小为α，cosα=|cos <→m,→n >|=1√11×1=√1111.即平面GEC 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为√1111.22.【答案】(1)解：由已知，有f ′(x)=1x −ax 2=x −ax 2.当a ≤0时，f (12)=−ln2+a <0，与条件f(x)≥0矛盾；当a >0时，若x ∈(0,a)，则f ′(x)<0，f(x)单调递减；若x ∈(a,+∞)，则f ′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)在(0,+∞)上有最小值f(a)=lna +a (1a −1)=lna +1−a.由题意f(x)≥0，所以lna +1−a ≥0.令g(x)=lnx −x +1，所以g ′(x)=1x −1=1−xx .当x ∈(0,1)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)在(0,+∞)上有最大值g(1)=0.所以g(x)=lnx −x +1≤0.所以lna −a +1≤0.所以lna −a +1=0，所以a =1，综上，当f(x)≥0时，实数a 取值的集合为{1}.(2)证明：由(1)知，当a =1时，f(x)≥0，即lnx ≥1−1x 在x ∈(0,+∞)恒成立.要证e x +1x ≥2−lnx +x 2+(e −2)x ，只需证当x >0时，e x −x 2−(e −2)x −1≥0.令h(x)=e x −x 2−(e −2)x −1(x ≥0).则h ′(x)=e x−2x −(e −2).令u(x)=e x −2x −(e −2)，则u ′(x)=e x −2.由u ′(x)=0，得x =ln2.当x ∈[0,ln2)时，u ′(x)<0,u(x)单调递减；当x ∈[ln2,+∞)时，u ′(x)>0,u(x)单调递增.即h ′(x)在(0,ln2)上单调递减，在([ln2,+∞)上单调递增.而h ′(0)=1−(e −2)=3−e >0,h ′(ln2)<h ′(1)=0，所以∃x 0∈(0,ln2)，使得h ′(x 0)=0.当x ∈(0,x 0)时，h ′(x)>0,h(x)单调递增；当x ∈(x 0,1)时，h ′(x)<0,h(x)单调递减；当x ∈(1,+∞)时，h ′(x)>0,h(x)单调递增.又h(0)=1−1=0,h(1)=e −1−(e −2)−1=0，所以对∀x >0,h(x)≥0恒成立，即e x −x 2−(e −2)x −1≥0.综上所述，e x +1x ≥2−lnx +x 2+(e −2)x 成立.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由已知，有f ′(x)=1x −ax 2=x −ax 2.当a ≤0时，f (12)=−ln2+a <0，与条件f(x)≥0矛盾；当a >0时，若x ∈(0,a)，则f ′(x)<0，f(x)单调递减；若x ∈(a,+∞)，则f ′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)在(0,+∞)上有最小值f(a)=lna +a (1a −1)=lna +1−a.由题意f(x)≥0，所以lna +1−a ≥0.令g(x)=lnx −x +1，所以g ′(x)=1x −1=1−xx .当x ∈(0,1)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)在(0,+∞)上有最大值g(1)=0.所以g(x)=lnx−x+1≤0.所以lna−a+1≤0.所以lna−a+1=0，所以a=1，综上，当f(x)≥0时，实数a取值的集合为{1}.(2)证明：由(1)知，当a=1时，f(x)≥0，即lnx≥1−1x在x∈(0,+∞)恒成立.要证e x+1x≥2−lnx+x2+(e−2)x，只需证当x>0时，ex−x2−(e−2)x−1≥0.令h(x)=ex−x2−(e−2)x−1(x≥0).则h′(x)=e x−2x−(e−2).令u(x)=e x−2x−(e−2)，则u′(x)=e x−2.由u ′(x)=0，得x=ln2.当x∈[0,ln2)时，u ′(x)<0,u(x)单调递减；当x∈[ln2,+∞)时，u ′(x)>0,u(x)单调递增.即h ′(x)在(0,ln2)上单调递减，在([ln2,+∞)上单调递增.而h ′(0)=1−(e−2)=3−e>0,h′(ln2)<h′(1)=0，所以∃x0∈(0,ln2)，使得h′(x0)=0.当x∈(0,x0)时，h′(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(x0,1)时，h′(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，h ′(x)>0,h(x)单调递增.又h(0)=1−1=0,h(1)=e−1−(e−2)−1=0，所以对∀x>0,h(x)≥0恒成立，即ex−x2−(e−2)x−1≥0.综上所述，e x+1x≥2−lnx+x2+(e−2)x成立.。

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