2020年全国硕士研究生招生考试(数学三)--答案解析

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考研真题精品推荐 2020年(数学三)全国硕士研究生招生考试真题(1)

12. 设平面区域 D
=
(x, y)
x 2
y
1 1+ x2
,0
x
1,
则
D
绕
y
轴旋转所成旋转体体积为
______ .
答案： ln 2 − 3
解析
1 0
2
x
1
1 +x
2
dx
−
12 x xdx = ln 2 −
0
2
3
4
a 0 −1 1
0 a 1 −1
13. 行列式
=
−1 1 a 0
1 −1 0 a
+
DY
−
2 cov(X
,Y )]
=
1 (1+ 2 + 2) 5
=1
3
二、填空题
9.设 z = arctan xy + sin(x+ y), 则 dz (0,π) = ______ .
答案： ( −1)dx − dy
解析： dz = ( y + cos(x + y))dx + (x + cos(x + y))dy dz = ( −1)dx − dy
答案：5. C
解析：由于 A 是不可逆的，所以 r(A) 4 ，又由于 A12 0 ，所以 r(A) 3，故 r(A) = 3 ，
所以 r( A*) = 1，所以 A* x = 0 的基础解系中有 3 个向量，又因为 A12 0 ，所以 α1 ，α3 ，α4
线性无关，所以解为 x = k1α1 + k2α3 + k3α4 ，故选 C .
n
n
+ e−x 2sin 2xdx

2020年管理类联考数学真题解析(众凯MBA辅导)

法二：三角形面积可以用 S 1 a b sin c ， SBDC
2
SABF
sin 600 sin 300
3 ，正确答案 E。 1
（如果会三角函数面积关系就非常容易，此方法送给数学稍微好一点的同学）
11、若数列 an 满足 a1 1, a2 2 ，若 a n2 a n1an (n 1, 2, 3...) ，a100 （
2.设集合 A x x a 1, x R , B x x b 2, x R ，则 A B 的充分必要条
件是（）。 A. a b 1 B. a b 1 C. a b 1 D. a b 1 【答案】A 【解析】集合 A： x a 1 1 x a 1 a 1 x a 1 ；
器人从节点 A 出发，随机走了 3 步，则机器人未达到过节点 C 的概率为（）。
A. 4
B. 11
9
27
C. 10 27
D. 19 27
E. 8 27
【答案】E 【解析】A 点出发有 3 种选择，到达二步时有 3 种选择，到达第三步时有 3 种选
择，所以分母：33 27 ，分子：A 点出发可以选择的方式有 2 种，到达 B 或者 D 8

y2 的最大值在点（2,4）
x y 2
取得 20，最小值在点（1,1）处取得 2。
法二：凡是求解集，求范围的一律代数做。取 x y 1 ，排除 DE；取 x 2; y 4 ，
排除 AC（因为此时 x2 y2 为最大值），正确答案 B。
法三：图形 x 2 y 2 2 是 x y 2 平移所得到。x y 2 的图形为正方形，

2020年(数学一)全国硕士研究生招生考试真题(1)

z
=
x2 +
y2
的法向量是 n =
ìïï镲睚镲镲 ïî
x x2 +
y2
,
y ,- 1üïï ， x2 + y2 ïþ
则有
dydz x
=
x2 + y2
dzdx y
x2 + y2
=
dxdy -1
，即ìïïïïïïíïïïï?ïî ddyzddxz
= =
-
x dxdy x2 + y2
y dxdy
x2 y2
1 6
,1 12
处， AC
−
B2
=
3
0,
A
=1
0 ，从而函数在此处取
极小值，且
f
1 6
,1 12
=
−
1 216
.综上函数的极值为
f
1 6
,1 12
=
−
1 216
.
16
.计算曲线积分 I
=
L
4x − 4x2 +
y y
2
dx
+
x+ y 4x2 + y
dy ，其中
L
是
x2
+
y2
=
2 ，方向为逆时针方
答案：8. B
100
E
i =1
Xi
=
100 i =1
EX i
= 100
1 2
= 50
100
i =1
DXi
= 100
1 2
1 2
=
25
P
100 i =1
Xi 5

2023年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析(数学三)

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学三）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)已知函数(,)ln(sin )f x y y x y =+，则()(A)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂不存在，存在(B)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂存在，不存在(C)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂，均存在(D)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂，均不存在(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩的原函数为()(A)),0()(1)cos sin ,0x x F x x x xx ⎧⎪-≤=⎨+->⎪⎩(B))+1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧⎪-≤=⎨+->⎪⎩(C)),0()(1)sin cos ,0x x F x x xx x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩(D))+1,0()(1)sin +cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+>⎪⎩(3)已知微分方程式0y ay by '''++=的解在(,)-∞∞上有界，则()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(4)已知(1,2,)n n a b n <=L ，若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“级数1nn b∞=∑绝对收敛”的()(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件(5)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*0A E B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)***0*A B B A B A ⎛-⎫⎪⎝⎭(B)***0*B A A B A B ⎛-⎫⎪⎝⎭(C)***0*B A B A A B ⎛-⎫⎪⎝⎭(D)***0*A B A B B A ⎛-⎫⎪⎝⎭(6)二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(7)已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由与12,ββ线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(8)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX -=()(A)1e(B)12(C)2e(D)1(9)设12,,,n X X X L 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y L 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111(1n i i S X X n ==--∑，22211(1mi i S Y Y m ==--∑，则()(A)2122(,)S F n m S :(B)2122(1,1)S F n m S --:(C)21222(,)S F n m S :(D)21222(1,1)S F n m S --:(10)设12,X X 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，其中()0σσ>是未知参数，记12ˆa x x σ=-，若()ˆE σσ=，则a =()(A)2(B)2(C)(D)二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)2_11l _im o ____(2si s __nc x x x x x→∞--=.(12)已知函数os p 满足22(,)xdy ydx df x y x y -=+,()1,14f π=,则)f =.(13)()2n=02!nx n ∞=∑.(14)设某公司在t 时刻的资产为()f t ，从0时刻到t 时刻的平均资产等于()f t t t-.假设()f t 连续且()00f =，则()f t =.(15)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a=,则11120a a ab =.(16)设随机变量X 与Y 相互独立，且()1,X B p :，()2,Y B p :，(0,1)p ∈,则X Y +与X Y -的相关系数为.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)已知可导函数()y y x =满足2ln(1)cos 0,xae y y x y b ++-++=且(0)0,(0)0y y '==.（Ⅰ）求,a b 的值.（Ⅱ）判断0x =是否为()y x 的极值点.(18)（12分）已知平面区域(),01D x y y x ⎧⎫⎪⎪=≤≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭（Ⅰ）求D 的面积.（Ⅱ）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(19)（12分）已知平面区域22{(,)(1)1}D x y x y =-+≤，计算二重积分1Ddxdy .(20)（12分）设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续倒数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a.(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(21)（12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232--x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求A .(II)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .(22)（12分）设随机变量X 的概率密度为2(),,(1)xx e f x x e =-<<+∞+∞令.x Y e =（Ⅰ）求X 的分布函数（Ⅱ）求Y 的概率密度（Ⅲ）Y 的期望是否存在？2023年答案及解析（数学三）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(A)【解析】(0,1)0=f ，由偏导数的定义000(0,1)ln(1sin1)(,1)(0,1)lim lim sin1lim →→→+∂-===∂x x x x x f f x f x x xx ，因为0lim 1+→=x x x，0lim 1-→=-x x x ，所以(0,1)∂∂fx 不存在，111(0,1)(0,)(0,1)ln 1lim lim lim 1111→→→∂--====∂---y y y f f y f y y y y y y ，所以(0,1)∂∂fy 存在.(2)【答案】(D)【解析】当0≤x时，1()ln(==+⎰f x dx x C 当0>x 时，()(1)cos (1)sin (1)sin sin =+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos =+++x x x C 原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处110lim ln(-→++=x x C C ，22lim(1)sin cos 1+→+++=+x x x x C C 所以121=+C C ，令2=C C ，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos ,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C x f x dx x x x C x ，结合选项，令0=C ，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos ,0⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩x x F x x x x x (3)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by 的特征方程为20++=a b λλ，当240∆=->a b 时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C 都不为零，则微分方程的解1212--=+xx y C eC e λλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b 时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b时，特征方程的根为1,222=-±a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+a x y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (4)【答案】(A)【解析】由条件知1()nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n b b a a b a a =-+≤-+与比较判别法，得1nn b∞=∑绝对收敛；设1nn b∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n a a b b b a b =-+≤-+与比较判别法，得1nn a∞=∑绝对收敛.(5)【答案】(B)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(B)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**B A EOB A E A B A B A B E OA B E OA B E ⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故(B)正确.(6)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(7)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈(8)【答案】(C)【解析】法一：由题可知1EX =，所以1,0||1,1,2,X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩L，故，1||1{0}(1){}k E X EX P X k P X k ∞=-=⋅=+-=∑01(1){}(01){0}k k P X k P X e ∞==+-=--=∑112(1)(01)E X e e e=+---=，选（C ）法二：随机变量X 服从参数为1泊松分布，即()()110,1,2,...!P X k e k k -===期望()1E X =()()()()111111111101...1..0!1!2!!E X E X E X e e k e k -----=-=⋅+⋅+⋅++-⋅+()()111111112222211111!!!1!!k k k k k k e k e e e e e e e k k k k k ∞∞∞∞∞--------======+-⋅=+-=+--∑∑∑∑∑()()11111112e e e e e e ----=+----=选(C).(9)【答案】(D)【解析】12,,...,n X X X 的样本方差()221111n i i S X Xn ==--∑12,,...,n Y Y Y 的样本方差()222111mi i S Y Y m ==--∑则()()221211n S n χσ--:()()2222112m S m χσ--:，两个样本相互独立所以()()()()()21222211222212221121,11212n S n S S F n m m S S S m σσσσ--==----:选择(D).(10)【答案】(A)【解析】由题可知212~(0,2)X X N σ-.令12Y X X =-，则Y 的概率密度为2222()y f y σ-⋅=.22222240(||)||y y E Y y dy yedy σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰⎰，12(||)(||)E a X X aE Y -==.由ˆ()E σσ=，得2a =.选(A).二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】23.【解析】2233221111111lim (2sincos 2(())(1())62x x x x x x x x x x x x οο→∞⎡⎤--=--+--+⎢⎥⎣⎦22221112(623x x xx ο⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.(12)【答案】3π.【解析】由题意可得22(,),x y f x y x y -'=+则1(,)arctan ()arctan ()x xf x y y c y c y y y y=-⋅⋅+=-+,又因为22(,)y x f x y x y '=+可得()c y c '=，由(1,1)4f π=可得2c π=，即(,)arctan 2xf x y y π=-+，即3f π=.(13)【答案】1122x xe e -+【解析】令20()(2)!n n x s x n ∞==∑,则211()(21)!n n x s x n -∞='=-∑,22210()()(22)!(2)!n nn n x x s x s x n n -∞∞==''===-∑∑.即有()()0s x s x ''-=,解得12()x x s x C e C e -=+.又由(0)1,(0)0s s '==有121C C +=,120C C -=,解得1212C C ==.故11()22x x s x e e -=+.(14)【答案】222te t --【解析】由题意可得方程()()tf x dx f t t tt=-⎰，即20()()t f x dx f t t =-⎰.两边同时t 对求导得()()2f t f t t '=-,即()()2f t f t t '-=.由一阶线性微分方程通解公式有：11()2dt dtf t e te dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰()2tte tedt C-=+⎰()22t te t e C -⎡⎤=-++⎣⎦22t Ce t =--.又由于(0)0f =,则20C -=，即2C =.故()222tf t e t =--.(15)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.(16)【答案】13-【解析】因为()1,X B p ~，所以(1)DX p p =-.因为()2,Y B p ~，所以2(1)DY p p =-.ov(,)ov(,)ov(,)C X Y X Y C X Y X C X Y Y +-=+-+ov(,)ov(,)ov(,)ov(,)C X X C Y X C X Y C Y Y =+--(1)2(1)(1)DX DY p p p p p p =-=---=--因为X 与Y 相互独立,所以()3(1)D X Y DX DY p p +=+=-,()3(1)D X Y DX DY p p -=+=-故13ρ==-三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】（1）在题设方程两边同时对x 求导得，cos 2ln(1)sin 01x yae y y y x y y x'''+⋅+-++⋅⋅=+①将0x =，0y =代入题设方程得，0a b +=；将0x =，0y =，(0)0y '=代入①式得，10a -=综上：1a =，1b =-.（2）在等式①两边再对x 求导得，()22sin (1)cos 2()2ln(1)sin 0(1)x y y x yae y y y y x y y x '-⋅⋅+-'''''''++⋅+-++⋅⋅=+②将0x =，0y =，(0)0y '=代入②式得，(0)12y a ''=--=-.由于(0)0y '=，(0)2y ''=-，故0x =是()y x 的极大值点.(18)【解析】（1）面积2tan 2221444sec csc ln csc cot ln(1tan sec x ttS dt tdt t tt t ππππππ=+∞====-=+⋅⎰⎰⎰.（2）旋转体体积为2222211111111arctan (1)(1)14x V y dx dx dx x x x x x x ππππππ+∞+∞+∞+∞⎛⎫⎛⎫===-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰.(19)【解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进行计算：σσσσσd y x d y x d y x d y x d y x D D D D D D D 1212121213213212222222222-+++-++-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++分别采用极坐标进行计算：18613)1(13010221ππθσπ=⋅=-=+-⎰⎰⎰⎰dr r r d d y x D 3439166cos 38cos 2)1(1233223cos 20222+-=-=-=+-⎰⎰⎰⎰⎰ππππθπθθθθσd dr r r d d y x D 18334361cos 2cos 38)1(1302330cos 21223ππθθθθσππθ+-=+-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰d dr r r d d y x D 所以：33932121212132122222222++-=-+++-++-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πσσσσd y x d y x d y x d y x D D D D (20)【解析】（1）证明：22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,a a ξηη∈⊂-，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()2()(),f a f a a f ξ''+-=即()2()()f a f a f aξ+-''=.（2）证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x aγγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max ,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a a η''≥--(21)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)Tα=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(22)【解析】（I ）21(),(1)11xx x x x x x e e F x dx x R e e e -∞-∞==-=∈+++⎰（II ）【法一】分布函数法(){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤当0y <时，()0Y F y =；当0y ≥时，(){ln }(ln )1Y y F y P X y F y y=≤==+；所以Y 的概率密度为21,0(1)()0,Y y y f y ⎧>⎪+=⎨⎪⎩其他.【法二】公式法因为xy e =在(,)-∞+∞上单调且处处可导，当(,)x ∈-∞+∞，0y >，此时ln x y =，所以Y 的概率密度为ln 2ln 211,0,0(ln )(ln ),0(1)()(1)0,0,0,y y Y e y y f y y y y f y e y ⎧⎧>'⋅>>⎧⎪⎪+===+⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩其他其他其他.（III ）2001ln(1)(1)1y EY dy y y y +∞+∞⎛⎫==++=∞ ⎪++⎝⎭⎰，所以不存在.。

(全国III卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案

（3） 2 2 列联表如下：
人次 400
空气质量不好
33
空气质量好
22
人次 400 37 8
K2
100 338 37 222
5.820 3.841 ，
55 45 70 30
因此，有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考
根据题意画出图形，如图
理科数学参考答案 7
| BP || BQ | ， BP BQ ， PMB QNB 90 ，
又 PBM QBN 90 ， BQN QBN 90 ，
PBM BQN ，根据三角形全等条件“ AAS ”，可得：△PMB △BNQ ，
x2 16 y2 1 ， 25 25
【解析】【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 2 2 列联表，计算出 K2 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 2 16 25 0.43 ， 100
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得 a2 3a1 4 9 4 5 ， a3 3a2 8 15 8 7 ，
由数列an 的前三项可猜想数列an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 an 2n 1，
证明如下：
当 n 1 时， a1 3成立；
假设 n k 时， ak 2k 1 成立.
机密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试

2020-数一真题答案解析

由α1 ，α2 线性表示，故应选(C).
（ 7 ）设 A，B ，C 为三个随机事件，且 P= ( A) P= (B) P= (C) 1 ，P(= AB) 0 , 4
P= ( AC) P= (BC) 1 ，则 A，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 12
(A) 3 4
(B) 2 3
L
4x 4x2
− +
y y2
dx
+
x+ y 4x2 + y2
dy
，其中
L
是
x2
+
y2
= 2 ，方向
为逆时针方向.
【解析】
2020 数学（一）真题第 8 页共 13 页
0= ，n

∂f ∂x
，∂f ∂y
，−1
(0 ，0)
且非
零向量 d 与 n 垂直，则
(A) lim | n ⋅ (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
x2 + y2
(B) lim | n× (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
y= − b2 b1
z
− c2 c1
与直线
L2
：x= − a3 a2
y= − b3 b2
z − c3 相交于 c2
一点，法向= 量 αi = abii ，i 1，2 ，3.则 ci
(A) α1 可由 α2 ，α3 线性表示 (C) α3 可由 α1 ，α2 线性表示
(B) α2 可由 α1 ，α3 线性表示 (D) α1 ，α2 ，α3 线性无关
x a3 a2

东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题(学科数学)参考答案

东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题（学科数学）参考答案一、计算题（本题56分，每题8分）（1）求极限30tan sin limx x xx→- 解 201sin 1cos lim cos x x xx x x →-=⋅0sin 1lim 22x x x →==（2）求极限32cos 0lim(1)x x x →+解：2330lim cos 2cos 00lim(1)1x x xxx x ee →→+===（3）设2sin y x x =，求高阶导数(100)y解令2u x =，sin v x =，则2u x '=，2u ''=，()0n u =，3n ≥，()sin()2n n v x π=+，所以 100(100)()(100)1000n n n n yC u v -==∑21210010099sin(50)2sin()2sin(49)2x x C x x C x πππ=+++++ 2sin 200cos 9900sin x x x x x =-- （4）求极限0lim x +→解：12102112lim lim 2x x x x e ++-→→-== （5）求不定积分1x >解：1()1arccos d C x =-=+⎰（6）求极限111lim()122n n n n→∞++++ 解 101111111lim()lim ln 212211n n n k dx k n n n n xn→∞→∞=++===++++∑⎰（7）求22ln()u xy x y =+的偏导数解：22222222222ln()ln()u x x y y x y xy y x y x x y x y ∂=++=++∂++ 22222222222ln()ln()u y xy x x y xy y x y y x y x y ∂=++=++∂++ 三、论述题（本题20分）讨论33(,)3f x y x y xy =+-的极值点33(,)3f x y x y xy =+-的偏导数为'2(,)33x f x y x y =-，'2(,)33y f x y y x =-，''(,)6xx f x y x =，''(,)6yy f x y y =，''(,)3xy f x y =- 解方程22330330x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，得到函数(,)f x y 的稳定点(0,0)和(1,1)在稳定点(0,0)处，2= -9<0xx yy xy f f f ∆=-，''(,)0xx f x y =，所以点(0,0)不是极值点。

北京大学2020年高等代数与解析几何试题及解答

5. 当 rank(A) < n − 1 时, A∗ = 0, 于是 A∗ 的特征值为 0, 特征向量为 Cn 中任意非零向量.
当 rank(A) = n − 1 时, rank (A∗) = 1, 于是 A∗ 的特征值为 0 (n − 1 重), tr (A∗) (1 重), 设 A∗ = αβT, 则 tr (A∗) 对应的特征向量为 kα, k ̸= 0; 0 对应的特征向量为由 A 的列向量线性生成的非零向量.
8. (20 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 设该平面里的一条二次曲线 γ 的方程为 x2 + 2y2 + 6xy + 8x + 10y + 6 = 0.
(1) 证明: γ 是双曲线. (2) 写出 γ 的长短轴方程和长短轴长, 并指出长短轴中哪一个与 γ 有交点.
9. (15 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 已知该平面里的一个椭圆 γ 的方程为 x2+8y2+4xy+6x+20y+4 = 0. 求 γ 的内接三角形 (即三个顶点都在 γ 上的三角形) 的面积的最大值.
− sin φj cos φj
=
− sin φj cos φj
][ ]
cos φj
01 ,
sin φj 1 0
(φj ̸= kπ, j = 1, 2, . . . , l) .
注意到若 σ 是正交变换, 则 σ 是镜面反射当且仅当 σ 在 V 中的标准正交基下的矩阵的特征值为 1 (n − 1 重), −1 (1 重), 而把 J 分解成有限个那样的正交矩阵的乘积的分解是存在的, 这里的有限个更精确一点可改为不超过 n 个, 于是 σ 可以表示为一系列镜面反射的乘积.

2020考研数学三真题及答案,最新数学考研真题

2020年全国硕士研究生招生考试数学三答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．J(x)-a(l)设lim=b, 则limsinf(x)-sin aX ➔ a x-aX ➔ a x-a(A)bsina 【答案】(B)(B)bcosa(C)bs inf (a)(D)bc osf (a)【解析】因为limf(x )-a、=b ,即lim f x =a , （） x-+a -a •'4"（）故Jim s i n .f ()-s i n a = J im s in / (x)-s i n a (: 生匕:)=b l i m s in f()一si n a =b li m sin t -s i na =bc osa X->a X -a X->a f () -a -a .<->a f ()-a t ->a t -a 1下lnl1+xi(2)函数f(x)=产e x-l)(x-2的第二类间断点的个数为(A)l【答案](C)【解析】题目中八）X =(B)2(C)3I产lnj l+x(e x-l)(-2)中，IIimf() e 言l n (l+x)e -'x 1 x =lun =—l i m-=, ,Y➔ 0 .T ➔。

(e 入•-l )(x -2)-2• ➔ o x -2e II(D)4产lnll + xie 言!ni l +II lim f() = l i m = liln =oo,X--+I 呻入．➔I 令(e x -l )(-2)己1-(e -t )(t-2)IIlimf()产l n l l +x 产l n j l +21 x = hm = lim = oo , X->2 X 一）1 (矿-l )(-2)•丑(e 2-1)(X -2)IJim /{x)= lim 产Lnl l+xiX-+-1 X ➔ -1 (e x-1) { -2)＝中．故选(C)(3)设奇函数f(x)在(-oo,+ro )上具有连续导数，则(A)f [co寸(t)+f'(t)]dt是奇函数。

2020-1987年考研数学三真题及答案

历年考研数学三真题解析及复习思路（数学三）2020年-1987年2020全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()limx af x f a b x a →-=-，则sin ()sin lim x a f x ax a→-=- （）（A ）sin b a （B ）cos b a （C ）sin ()b f a （D ）cos ()b f a 【答案】（B ）【解析】由()lim,x a f x ab x a →-=-得(),()f a a f a b '==，则（2）函数11ln 1()(1)(2)x xe xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此11121111ln 1lim ()limlim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---； 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---； 1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x e x f x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---；112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞---- 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。

2021考研数学三真题及答案解析

2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当0x →，23(e 1)d x t t -⎰是7x 的A.低阶无穷小.B.等价无穷小.C.高阶无穷小.D.同阶但非等价无穷小.【答案】C 【解析】()()2366755e 1d 2e12limlim lim 077x t x x x x t xx x x →→→--===⎰,故选C.2.函数e 1,0,()1,0x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处A.连续且取极大值.B.连续且取得最小值.C.可导且导数等于零.D.可导且导数不为零.【答案】D【解析】因为)0(11e lim 0f xxx ==-→，故连续；又因为211e 11e lim 220=--=--→x x x x x x x ，故可导，所以选D3.设函数()ln (0)f x ax b x a =->有2个零点，则ba 的取值范围A.()e,+∞. B.()0,e .C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【答案】A【解析】()ln f x ax b x,=-若0<b ，不满足条件，舍去若0>b 令()=0bf x a x'=-，得b x a =.在()()000b b ,f x ,,f x .a a ⎛⎫⎛⎫''<∞> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()0x x lim f x ,lim f x +→+∞→=+∞=+∞，令=ln 1ln 0b b b f b b b ,a a a ⎛⎫⎛⎫-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ln 1b a >，即e b a >.故选A.4.设函数(),f x y 可微，且()222+1,e (1),(,)2ln ,xf x x x f x x xx =+=则()d 1,1f =A.d d x y +.B.d d x y -.C.d y .D.d y -.【答案】选C【解析】由于2(1,e )(1)x f x x x +=+两边同时对x 求导得212(1,e )(1,e )e (1)2(1)xxxf x f x x x x ''+++=+++令0x =得12(1,1)(1,1)10f f ''+=+222121(,)(,)24ln 2f x x f x x x x x x x''+=+⋅令1x =得12(1,1)2(1,1)02f f ''+=+因此1(1,1)0f '=；2(1,1)1f '=.所以d (1,1)d f y =，答案选C5.二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为A.02，B.11，C.12，D.21，【答案】B【解析】()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =+++--222222112222333131222x x x x x x x x x x x x =+++++-+-221223132222x x x x x x x =+++二次型对应矩阵为011121110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,11101||121=1211111E A λλλλλλλλ--+---=----------100(1)122111(1)((2)(1)2](1)(3)λλλλλλλλλ=+------=+---=+-则11p q ==.6.设1234(,,,)=A a a a a 的4阶正交矩阵，若矩阵T 1T 2T 31,11⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a B a a β，k 表示任意常数，则线性方程组=Bx β的通解=x A.2341.k +++a a a a B.1342.k +++a a a a C.1243.k +++a a a a D.1234.k +++a a a a 【答案】D【解析】()T 1T 21234T 3111k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ααααααα，不难验证A,B,C 均不是方程组的解.7.已知矩阵101211125-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为对角矩阵，则、P Q 分别取（）.100101100100.010,013.210,010001001321001100101100123.210,013.010,012321001131001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】通过代入验证100101100210013010.3210011012111250010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭-⎝选C8.设B A ,为随机事件，且()10<<B P ，下列为假命题的是A.若()()A P B A P =，则()()A P B A P =B.若()()A P B A P >，则()()A P B A P >C.若()()B A P B A P >，则()()A P B A P >D.若()()B A A P B A A P ⋃>⋃，则()()B P A P >【答案】选D【解析】A.条件失效，独立，显然成立B.()(|)()()()()()P AB P A B P A P AB P A P B P B =>⇒>()()1()()()(|()1()1()()()()1()1()()[()1]1()1()P AB P A P B P AB P A B P B P B P A P B P A P B P B P B P A P B P B P A P A --+==---+>--+-=-=-=故B 正确.C.显然()()()P AB P A P B >，()(|)()()P AB P A B P A P B =>故C 正确.D.[()]()()()()()()()()()P A A B P AB P B P AB P AA B P A B P A B P A P B P AB ⋃-⋃===⋃⋃+-∣，()()()P A P B P AB >-，不能说明()()P A P B >，错误.故选D.9.设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本，令121111=,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ==-===-∑∑ ,则A.()()2212,E D nσσθθθ+==.B.()()2212122,E D nσσρσσθθθ+-==.C.()()2212,E D nσσθθθ+≠=.D.()()2212122,E D nσσρσσθθθ+-≠=【答案】B【解析】11ˆ()E E X Y E X EY θμμ=-=-=-.221212ˆ()2Cov(,)2D D X Y D X DY X Y n n nσσσθρσ=-=+-=+-10.设总体X 的概率分布{}{}{}111,23,24P X P X P X θθ-+======利用来自总体X 的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得θ的最大似然估计值为A.1.4B.3.8C.1.2D.5.8【答案】A【解析】()351124L θθθ-+⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()4ln 51ln 52ln 313ln 415ln 213lnln -++--=++-=θθθθθL 令()01513d dln =++--=θθθθL 得1ˆ4θ=二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.若cos ey =则1d d x y x==.【答案】1sin e 2e-.【解析】可得y '=111sin e 2ex x y -=='==.12.5x =_______.【答案】6【解析】5353x x x=+⎰()()352231199622x x =--+-=⎰.13.设平面区域D由曲线y x π=(0≤x ≤1)与x 轴围成，则D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积________.【答案】π4【解析】利用旋转体体积计算公式得()2120ππd πsin d 4baV yx x x x x π===⎰⎰14.差分方程t y t ∆=的通解t y =.【答案】()12t ty t C =-+.【解析】先解齐次差分方程10t t y y +-=，t y C=再设非齐次的解为()*01t y t A At =+，代入差分方程()()()01011t+1t A A t A A t ++-+⎡⎤⎣⎦整理得0112A A t A t++=对比系数后得011212A A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得通解()12t ty t C =-+15.多项式12121()211211xx x x f x xx-=-中的3x 项的系数为______.【答案】5-【解析】3x 项为()()1+2+213331415x x x -+-=-，因此3x 项系数为5-16.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则,X Y 的相关系数为.【答案】15【解析】3111022EXY EX EY ===221()4DX EX EX =-=，221()4DY EY EY ==-111152220ρ==⋅三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知()101lim arctan 1x x a x x →⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在，求a 的值.【解析】()+101lim arctan 1e 2x x a x a x →π⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，()1011lim arctan 12e x x a x a x -→π⎡⎤+-=-+⎢⎥⎣⎦，由于()101lim arctan 1x x a x x →⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在，得1e=+22e a a ππ+-，得11=e e a ⎛⎫- ⎪π⎝⎭.18.（本题满分12分）求函数222(1)(,)2ln ||2x y f x y x x-+=+的极值.【解析】()()()()22222423212411221,04x x x x x y x y x f x y x xx x x ⎡⎤-⋅--+-+-⎣⎦'=+=+-=，()222,02y y yf x y x x'===，得0y =,代入()()()()22222233331211212+2121,0x x x x x x x x x x x x f x y x x x x x x--+-+---+-'=+-====，得1,12x x ==-.故得坐标()1,0,1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.()()()()()2322222236443221[1]32122233,;21,;,.xx xyyy x x x y x x x y f x y x x x x x x y f x y f x y x x-⋅--+⋅--+''=--+-=+''''=-=在点1,02⎛⎫⎪⎝⎭处，得224;0;4,960.0A B C AC B A ===-=>>,取极小值11,0ln 422f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；在点()1,0-处，得23;0;1,30.0A B C AC B A ===-=>>,取极小值()1,02f -=.19.（本题满分12分）设有界区域D 是圆221x y +=和直线y x =以及x 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分()()222ed d .x y Dxy x y +-⎰⎰【解析】()()()()()222222222222211sin cos 223sin 2344011111sin 222sin 22224400000002ed d d ecos2d d e cos2d 11111d e d sin 2e d e e d e e 224841e 1.8x y r rr Dr r r r r r r rxy x y r r r rr r r r r r r θθθθθθθθθθππ+++ππ++-===+==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）设n 为正整数，()n y y x =是微分方程()10xy n y '-+=满足条件()()111n y n n =+的解.(1)求()n y x .(2)求级数()1nn y x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】(1)由微分方程()10xy n y '-+=得()1d 1en x n xny x C Cx ++⎰=⋅=代入()()111n y n n =+，得()11C n n =+,故()()111n ny x x n n +=+.（2）1lim1n n na a ρ+→∞==,11R ρ==，当1x =±时，()1n n y x ∞=∑收敛，故收敛域[]1,1-.()()()[]111,1,11n n n S x y x x x n n ∞+===∈-+∑,则有()1111n n S x x x∞-=''==-∑，得()()()()001d 0d 0ln 11xxS x S t t S t x t''''=+=+=---⎰⎰，()()()()()()0d 0ln 1d 01ln 1xxS x S t t S t t x x x '=+=--+=--+⎰⎰.21.设矩阵2101201a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 仅有两不同的特征值，若A 相似于对角矩阵，求,a b 的值，并求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.【解析】2210||120()[(2)1]1E b a bλλλλλλ---=--=------A ()2()43()(1)(3)0.b b λλλλλλ=--+=---=当1b =时，1a =，1233,1λλλ===，110110101⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P .当3b =时，1a =-，1233,1λλλ===，101101011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P .22.（本题满分12分）在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=.（1）求X 的概率密度；（2）求Z 的概率密度；（3）求X E Y⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意得，~(0,1)X U ,101,()0.x f x <<⎧=⎨⎩其他（2）221X Y X XZ X -===-;当1z <时，()0z F z =;当1z ≥时，()0z F z =221222{}(1)1d 2.11z P Z z P z P X x X z z +⎧⎫=≤=-=≥==-⎨⎬++⎩⎭⎰ 故22,1(1)()0,Z z z f z ⎧>⎪+=⎨⎪⎩，其他..（3）221112111d 2d (1)1(1)2ln 2 1.E E z z z z z z z X YZ +∞+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎰⎰.。

2020年考研数学(三)真题(后附解析答案)

2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)设1口心—°= b,则lim sinfQ)—sina=().x-^a x——a x-*a3C——a(A)6sin a(B)6cos a(C)6sin/(a)iIn I14-rr I(2)函数心)=二的第二类间断点的个数为((e—1)(j?—2)(A)l(B)2(03(3)设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则().(A)f[cos/"(/)+/^(Olldr是奇函数J0(E)「[cos/(i)+/(O]d^是偶函数J0(C)[[cos/"'(/)+y(t)]d/是奇函数J0(D)「[cos是偶函数J0(D)bcos/(a) ).(D)4(4)设幕级数—2)"的收敛区间为(一2,6),则工a”Q+l)2n的收敛区间为().n=\n=1(A)(-2,6)(B)(-3,l)(0(-5,3)(D)(-17,15)(5)设4阶矩阵A=(a“)不可逆,a*的代数余子式A12丰O,aj,a2,a3,a,为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A*X=0的通解为().(A)X=^1a1+^2a2+^3a3,其中k x,k2,k.为任意常数(B)X=^1a1+k2a2+k3a4,其中k,,k2,k3为任意常数(C)X=bS+展as+匕。

4,其中紅,k2,k3为任意常数(D)X=k i a2k2a3+怂。

4,其中ki,k2^k3为任意常数(6)设A为3阶矩阵,a】，a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as为A的属于特征I1°°\值一1的特征向量，则满足P_1AP=0-10的可逆矩阵卩为().'o01'(A)(a j a3,a2,—a3)(B)(a〕+ct2，a2，—a3)(C)(a1+a3,—a3,a2)(D)(a T+a2»—a3,a2)(7)设A,B,C为三个随机事件，且PC A)=P(£)=P(C)=±,P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=2，412则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为().3215(A)Z(B)T(C)7(D)12(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4；-，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X相互独立的是().(A)啤(X+Y)(B)尝(X—丫)55(C)y(X+Y)(D)y(X-Y)二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)(9)设z=arctanRy+sin(z+了)],贝0dz|(0,…)=______.(10)曲线jc y+e2iy=0在点(0,—1)处的切线方程为________.(H)设某厂家生产某产品的产量为<2,成本C(Q)=100+13Q,该产品的单价为/,需求量—2,则该厂家获得最大利润时的产量为(12)设平面区域。

2020考研数学(三)答案解析

P(A B C) 3 0 1 1 0 7 , 4 12 12 12
P(AB AC BC) P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC) P( ABC) P( ABC) P( ABC)
0 1 1 0 1, 12 12 6
故 P( ABC ABC ABC) 7 1 5 . 故应选（D）. 12 6 12
是奇函数.
x
（B） 0 cos
f
t
f
t dt
是偶函数.
x
（C） 0 cos
f
t
f
t dt
是奇函数.
（D）
x
0
cos
f
t
f
t dt
是偶函数.
（3）【答案】（A）.
【解析】因为 f x 在 , 上具有连续导数，且为奇函数，故 f x 为偶函
数，又 cos f x 也为偶函数，从而 cos f t f t 为偶函数，进而
（D） x k1α2 k2α3 k3α4 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数.
（5）【答案】（C）.
【解析】由 A 不可逆知， r A 4 ，又元素 a12 对应的代数余子式 A12 0 ，故 r A 3 ，从而 r A 3 .
n, r A n,
由 r A* 1, r A n 1, 可知 r A* 1.
e
lim
n ln(1 1 )
en
e
n
b
n
b
na
na
lim
n ln(1 1 )1
e(e n
1)
e
lim
n ln(1
1) n
1 ,
n
b
n
b
na

2023年考研数学真题卷及答案(数学三)

2023年全国硕士研究生招生考试（数学三）试题及答案解析1.已知函数,ln sin f x y y x y ，则A. 0,1fx 不存在，0,1f y 存在.B. 0,1fx 存在，0,1f y 不存在.C. 0,1fx ，0,1f y均存在.D. 0,1fx ，0,1f y均不存在.x 0,2.函数f (x )(x 1)cos x ,x 0的一个原函数为 x ),x 0,A.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ) 1,x 0,B.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ),x 0,C.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0. x ) 1,x 0,D.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0.上有界，则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.3.若微分方程y ay by 0的解在，A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.4.已知a n b nn 1n 1,2, ，若级数n 1an与n 1bn均收敛，则“n 1an绝对收敛”是“bn绝B.充分不必要条件.D.既不充分也不必要条件.对收敛”的A.充分必要条件.C.必要不充分条件.5.设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵， M 为矩阵M 的伴随矩阵，则=A E OB A..A B B A O B A B..B A A B O A B C..B A B A OA B D..A B A B OB A 6二次型f x 1,x 2,x 3 x 1 x 22x 1 x 324 x 2 x 32的规范形为A.y 12y 22B.y 12y 22C.y 12y 224y 32D.y 12y 22y 322311 12 2 15 09 17.已知向量α1 ,α2 ,β1 ,β2 ，若γ既可由α1,α2线性表示，也可由β1,β2线性表示，则γ 34 3A.k,k R50 3 B.k1 ,k R1 2 1 C.k,k R1 D.k 58,k R8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则EA.1eB.12C.X EX2eD.19.设X 1,X 2, ,X n 为来自总体N1,2的简单随机样本，Y 1,Y 2, ,Ym为来自总体N 2,2 2 的简单随机样本，且两样本相互独立，记111111n m n m i i n m n m i 1i 1X X i ,Y Y i ,S 12 X i X 2,S 22Y i Y1 1 2,则A. 2122,S F n m S B. 21221,1S F n m S C. 21222,S F n m S D. 212221,1S F n m S 10.设X 1,X 2为来自总体N,2的简单随机样本，其中 0 是未知参数.记a X 1 X 2,若E,则aA.2B.2二、填空题1111.l x x x i mx 22 x sin cos _______.2πx d y y d x x y 12.已知函数f (x ,y )满足d f (x ,y ),f 1,1 24则f .!=2nx 2nn 013. .14.设某公司在t 时刻的资产为f (t )，从0时刻到t 时刻的平均资产等于f (t )tt ，假设f (t )连续且f (0)=0，则f (t )=1231230,20x ax x x ax 15.已知线性方程组 x ax 1 bx 2 2,有解，其中a ,b 为常数，若a110a211a 4，则1a 112aa b 0.16.设随机变量X 与Y 相互独立，且X B 1,p ,Y B 2,p ,p 0,1 ,则X +Y 与X Y .的相关系数为三、解答题17.已知可导函数y =y (x )满足ae x y 2 y ln(1 x )cos y b 0,且y (0) 0,y '(0) 0.(1)求a ,b 的值；(2)判断x 0是否为y (x )的极值点.18.已知平面区域D ={(x,y )|0 y x 1}.(1)求D 的面积；(2)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.D1|d x d y .19.已知平面区域D {(x ,y )|(x 1)2 y 2 1}.计算二重积分 |20.（12分）设函数f (x )在[-a ,a ]上具有2阶连续导数，证明：1a（1）若f (0)=0，则存在 a ,a ,使得f ''( )2[f (a ) f ( a )];（2）若f(x )在（-a ,a ）内取得极值，则存在 a ,a 使得1.2f ''a2f (a ) f ( a )12x 1x 2x 3x 1x 2x 3x21.设矩阵A 满足对任意x 1,x 2,x 3均有A2 . x x3 x 2 x 3（1）求A ;（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵，使得P 1AP Λ.xx22.设随机变量变量X 的概率密度为f x 1 e e 2, x ,令Y e x.（1）求X 的分布函数；（2）求Y 的概率密度；（3）Y的期望是否存在？2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、选择题1.A2.D3.C4.A5.D6.B7.D8.C9.D10.A空题11、二、填23π12、113、e x2+2e −x14、f （t ）=2（1-t ）-2e t 15、816、p （p-1）将y (0) 0代入ae x2yy y1 1xcos y ln(1 x )(sin y )y 0得a 0 1 0，所以a 1b 1 1xcos y ln(1 x )sin y y 0（2）由e x2yy y1两边对x 求导，得：（1）将(0,0)代入得a b 01e x 2 y 22yy y(1 1x )2cos y 11xsin ysin y y ln(1 x ) 2sin yy cos y y 01 x代入，得1 y (0) 1 0，y (0) 2 0，x 0为极大值.17【解析】2141tan ttan t xsec t (1)24se tan c tsec 2tdt 4t dt2csc tdt1)21(2)11 1x 2 x 2dx 112 1 1x 2 x dx 4)dx (1 18【解析】D 1 {(x ,y ∣)x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1 )x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1D 2 (x ,y∣D 1D 2d x d y1 1d x d y原式=161310829D 12cos2d 1 1 r r d r 1πd x d y 2 6d 1 r r d r 2其中 19【解析】π2π022259182D 2DD 1D 1d x d y 2cos1 1 1 r 1 r d r1 π d x d yd x d yd x d y d所以4439π原式=.1 x 22f【解析】（1）f (x ) f (0) f (0)x 1 22f 112f a 2,f ( a ) f (0)( a ) a 2,其中 1 a ,0 ，则f (a ) f(0)a2 0,a .12 1 2 f ( a ) f (a )ff a 212 1 2 ff 2f (a )a f ( a ) f , 1, 2 a ,a ,由介值定理可知平均值即证（2）x 0 0设f (x )在x =x 0处取得极值即x 0 ( a a ),f22x 0( )ff (x ) f x 0 f x x 0 x x 020代入x a ,x a21f f ( a ) f x 0 a x 02(1), 1 a ,x 02n 1f f (a ) f x 0a x 02(2), 2 x 0,a(2)-(1)得222100()()22f f f a f a a x a x222100|()()|22f f f a f a a x a x2200()()22f f a x a x 2200()2f a x a x 220()222f a x220()f a x2()2f a ，12 ()max f f f 其中,,a a 21()|()()|2f f a f a a. 21.【解析】12123311111011x x x xx x2(1)由题可知，A 11.2011 111A (2)|A E | (2 )(2)( 1) 01232,1,2A 中1 A 中对应的线性无关特征向量1(4,3,1).T 2 A 中对应的线性无关特征向量21,0,12T3 A 中对应的线性无关特征向量3(0,1,1)123,,p 1212P AP22.【解析】xf (t )dt ( x )(1)F (x ) txt e 2dte121 1xt d e te1t x1 e 11 1e x(2) 当0y 时22111()(ln )(1)(1)Y X y f y f y y y y y 210(1)()0 Y y y f y其它 (3) 20d (1)EY y y y，2(1)y y 1y ，所以期望不存在.。

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析

2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（）（A ）00a b <>，（B ）00a b >>，（C ）00a b =>，（D ）00a b =<，【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】（A ）【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（）（A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ）【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。

2020年考研数学三解析

2020 数学（三）真题第 5 页共 13 页
（12）设平面区域
D
=
(x ，y)
x 2
y
1
1 +x
2
，0
x 1 ，则 D 绕
y
轴旋转所成的
旋转体的体积为____.
【答案】 π ln 2 − π . 3
a 0 −1 1
0 a 1 −1
（13）行列式
= ____.
−1 1 a 0
1 −1 0 a
【解析】lim sin f (x) − sin a 中值定理 lim cosξ [ f (x) − a] = b lim cosξ ，ξ 介
x→a
x−a
x→a
x−a
x→a
于 a 与 f (x) 之间， lim cosξ = cos a .且 f (a) = a .故 lim sin f (x) − sin a = b cos a .
P= ( AC) P= (BC) 1 ，则 A，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 12
(A) 3 4
(B) 2 3
(C) 1 2
(D) 5 12
【答案】D.
（8）设随机变量
(
X
，Y
)
服从二维正态分布
N
0
，0
；1，4
；−
1 2
，则下列随机变量
中服从标准正态分布且与 X 独立的是
(A) 5 ( X + Y ) 5
又因 f (0) = 1，f ′(0) = −1，所以= C1 1= ，C2 0 ，因此 f (x) = e−x cos 2x .
（II）设
∫ = an
= +∞ e−x cos 2xdx

2020考研数学三真题--纯题目无答案

（Ⅱ）任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t1, t2 ,, tn , 若m已知，求的最大似然估计值ˆ .
1 2k
,k
1,2,3,,Y
表示
X
被
3 除的余数，则 EY
_____.
三、解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
已知
a,
b
为常数，若
1
1 n
n
e与
b na
在n
时是等价无穷小，求
a, b
.
（16）（本题满分 10 分）
求函数f x, y x3 8y3 xy的极值.
2020 年全国硕士研究生招生考试数学三试题
一、选择题：1~8 题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）设 lim f (x) a b,则lim sin f (x) sin a
xa x a
xa
xa
（）
A. b sin a
B. b cos a
（5）设 4 阶矩阵 A (aij ) 不可逆， a12 的代数余子式 A12 0，1, 2 ,3, 4 为矩阵 A 的列向量组， A* 为
A 的伴随矩阵，则方程组 A*x 0 的通解为
（）
A. x k11 k22 k33, 其中k1, k2 , k3为任意数
B. x k11 k22 k34 , 其中k1, k2 , k3为任意数
1 0
0 1
0 0 的可逆矩阵 P 可为
0 0 1
（）
A. (1 3,2 ,3 ) B. (1 2 ,2 ,3 ) C. (1 3,3,2 ) D. (1 2 ,3,2 )

2023年全国硕士研究生招生考试数学(三) 试题及其答案解析

2023年全国硕士研究生招生考试数学三试题及其答案解析一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. 已知函数(,)ln(|sin |)f x y y x y =+，则（）.A.(0,1)f x ∂∂不存在，(0,1)fy ∂∂存在 B.(0,1)f x ∂∂存在，(0,1)fy ∂∂不存在 C.(0,1)f x ∂∂存在，(0,1)fy ∂∂存在D.(0,1)f x ∂∂不存在，(0,1)fy ∂∂不存在【答案】A.【解析】由已知(,)ln(|sin |)f x y y x y =+，则(,1)ln(1|sin1|)f x x =+，(0,)ln f y y =.当0x >时，(,1)ln(1sin1)f x x =+，(0,1)0(,)d (,1)sin1d x f x y f x x x =∂==∂；当0x <时，(,1)ln(1sin1)f x x =-，(0,1)0(,)d (,1)sin1d x f x y f x x x=∂==-∂；所以(0,1)(,)f x y x ∂∂不存在.又(0,1)1(,)d (0,)1d y f x y f y y y=∂==∂，存在.故选A.2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+，排除B.故选D.3. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，则（）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D.【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e()a x y x C x C -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eeaax x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e ax y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.4. 设n n a b <，且1nn a∞=∑与1nn b∞=∑收敛，1nn a∞=∑绝对收敛是1nn b∞=∑绝对收敛的（）.A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件【解析】由已知条件可知1()nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数，进而1()n n n b a ∞=-∑绝对收敛.设1nn a∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n b b a a b a a =-+≤-+与比较判别法,得1nn b∞=∑绝对收玫;设nb∞∑绝对收敛，则由n n n n n n n a a b b b a b =-+≤-+与比较判别法，得1nn a∞=∑绝对收敛.故选A.5.,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A BC.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A OA BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B OB |A 【答案】B. 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A AB A A B B O B A B****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B O B A . 故选B..6. 222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为 A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.7.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭ B. 35,10k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C. 11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D. 15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭【答案】D.【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα. 8.设X 服从参数为1的泊松分布，则(|()|)E X E X -=（）.A.1eB.12C.2eD.1【答案】C.【解析】方法一：由已知可得，1e {}(0,1,2,)!P X k k k -===,()1E X =，故 111100|1|(1)(|()|)(|1|)e e e e!!k k k k E X E X E X k k ∞∞----==---=-==++∑∑12=2e (1)eE X -+-=.故选C.方法二：由于0e !k xk x k ∞==∑，于是1111e 1(1)!(1)!k k x k k x x x k x k x +∞∞==--==++∑∑于是1121111e 1(1)e 1(1)!(1)!(1)!k k k x x k k k kx x x x x k k x k x x -+∞∞∞==='''⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+==== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 由已知可得，1e {}(0,1,2,)!P X k k k -===,()1E X =，故 111(1)(|()|)(|1|)e e !k k E X E X E X k ∞--=--=-=+∑111=e e (1)!k k k ∞--=++∑1121(1)e 1=e ex x x x --=-++112e e e --=+=. 111(|()|)(||)[e ()]e ()1e E X E X E Y E Y E X ----==+=+-=.故选C.9.设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11mi i Y Y m ==∑，22111()1n i i S X X n ==--∑，22211()1m i i S Y Y m ==--∑，则( ) A.2122(,)S F n m S B. 2122(1,1)S F n m S --C. 21222(,)S F n m S D. 21222(1,1)S F n m S --【答案】D.【解析】由两样本相互独立可得212(1)n S σ-与222(1)2m S σ-相互独立，且2212(1)(1)n S n χσ--，2222(1)(1)2m S m χσ--，因此2122122222(1)(1)2(1,1)(1)(1)2n S n S F n m m S S m σσ--=----，故选D.10. 已知总体X 服从正态分布2(,)N μσ，其中0σ>为未知参数，1X ，2X 为来自总体X的简单随机样本，记12ˆ||a X X σ=-，若()E σσ=，则a =( ).A.22【答案】A.【解析】由与1X ，2X 为来自总体X 的简单随机样本，1X ，2X 相互独立，且21(,)X N μσ，22(,)X N μσ，因而212~(0,2)X X N σ-，令12Y X X =-，所以Y 的概率密度为2222()ey Y f y σ-⋅=，所以22222240(||)|ed 2ed y y E Y y y y σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰⎰，由12ˆ()(||)E aE X X σσ=-=，即(||)aE Y a σ==，解得2a =，故选A.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．求极限211lim 2sincos x x x x x →∞⎛⎫--= ⎪⎝⎭____________. 【答案】23. 【解析】122sin 2cos 11lim 2sincos limx tx t tt t x x x x t =→∞→--⎛⎫-- ⎪⎝⎭222230000sin 111cos sin 2limlim lim lim t t t t t ttt t t tt t t →→→→---=+=+1126=+ 23=. 12．已知函数(,)f x y 满足22d d d (,)x y y x f x y x y -=+，且(1,1)4f π=，则f =____________.【答案】3π. 【解析】由已知22(,)f x y y x x y ∂-=∂+，22(,)f x y xy x y ∂=∂+，则 22(,)d arctan ()y xf x y x y x y yϕ-==-++⎰，所以22(,)()f x y xy y x yϕ∂'=+∂+，即()0y ϕ'=，()y C ϕ=，从而(,)arctanx f x y C y =-+，又(1,1)4f π=，解得2C π=，故 (,)arctan2x f x y yπ=-，23f ππ=-=.13.20(2)!nn x n ∞==∑____________. 【答案】e e 2x x-+.【解析】令20()(2)!nn x S x n ∞==∑，则(0)1S =，且211()(21)!n n x S x n -∞='=-∑，(0)0S '=，22210()()(22)!(2)!n nn n x x S x S x n n -∞∞==''===-∑∑，从而可得微分方程()()0S x S x ''-=，解得12()e e x xS x C C -=+，又(0)1S =，(0)0S '=，解得1212C C ==，故 20e e ()(2)!2n x xn x S x n -∞=+==∑.14.某公司在t 时刻的资产为()f t ，则从0时刻到t 时刻的平均资产等于()f t t t-，假设()f t 连续且(0)0f =，则()f t =____________.【答案】2(e 1)tt --.【解析】由已知可得()d ()tf t t f t t tt=-⎰，整理变形20()d ()t f t t f t t =-⎰，等式两边求导()()2f t f t t '=-，即()()2f t f t t '-=，解得一阶线性微分方程通解为()2(1)e t f t t C =-++，又(0)0f =，解得2C =，故()2(e 1)tf t t =--.15. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a a b =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.16. 设随机变量X 与Y 相互独立，且()1,X B p ，()2,Y B p ，(0,1)p ∈则X Y+与XY -的相关系数为____________.【答案】13-【解析】由题意可得，()(1)D X p p =-，()2(1)D Y p p =-，又由X 与Y 相互独立可知，()()()D X Y D X D Y ±=+，故(,)X Y X Y ρ+-==()()(1)2(1)1()()(1)2(1)3D X D Y p p p p D X D Y p p p p ----===-+-+-三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知函数()y y x =满足2e ln(1)cos 0xa y y x yb ++-++=，且(0)0,(0)0y y '==.（1）求,a b 的值;（2）判断0x =是否为函数()y y x =的极值点.【解】（1）将(0)0y =代入2e ln(1)cos 0xa y y x yb ++-++=得0a b +=. 方程2e ln(1)cos 0xa y y x yb ++-++=两边对x 求导得1e 2cos ln(1)sin 01x a yy y y x y y x'''++-++⋅=+，将(0)0y '=代入上式得10a -=，解得1,1a b ==-.(2)由（1）知1e 2cos ln(1)sin 01xyy y y x y y x'''++-++⋅=+，上式两边再对x 求导得 22111e 2()2cos sin sin ln(1)cos ln(1)sin (1)11x y yy y y y y y x y y y x y y x x x ⎡⎤''''''''+++++⋅+++⋅++⋅⎢⎥+++⎣⎦将(0)0,(0)0y y '==代入上式得(0)2y ''=-，所以0x =是函数()y y x =的极大值点.18.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，（1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成得旋转体的体积【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t t ππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d dcos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11lnln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 19.（本题满分12分）已知22{(,)|(1)1}D x y x y =-+≤，求|1|d d Dx y ⎰⎰. 【解】令22221{(,)|(1)1,1}D x y x y x y =-+≤+≤，则1|d d Dx y ⎰⎰)(111d d 1d d D D D x y x y -=+⎰⎰⎰⎰)(11d d 21d d DD x y x y =+-⎰⎰⎰⎰2cos 122232cos 234327d d 2d d 39ππθππθππρρθπρρθ---=-+=⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a aξ''=+-；（2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得21|()||()()|2f f a f a a η''≥--. 【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+，其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =，则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<，22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<，两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=，又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得12()()()2f f f ξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f a aξ=-+. (2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<，两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-，所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.21.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .(2)111101||211(2)211011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.22.（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为2e (),(1e )xx f x x =-∞<<+∞+，令e X Y =. (1)求X 的分布函数； (2)求Y 的概率密度函数；(3)判断Y 的数学期望是否存在.【解】(1)设X 的分布函数为()X F x ，由分布函数的定义可得2e 1(){}()d d 1,(1e )1et xxX t t F x P X x f x x t x -∞-∞=≤===--∞<<+∞++⎰⎰. (2)设Y 的分布函数为()Y F y ，概率密度为()Y f y ，由分布函数的定义可得(){}{e }X Y F y P Y y P y =≤=≤，当0y ≤时，()0Y F y =；当0y >时，1(){}{ln }(ln )11Y X F y P Y y P X y F y y=≤=≤==-+. 综上，00,()110.1Y y F y y y ≤⎧⎪=⎨->⎪+⎩，，故Y 的概率密度函数200,()10.(1)Y y f y y y ≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，，(3)由(2)知，220011()()d d d (1)(1)Y yy E Y yf y y y y y y +∞+∞+∞-∞+-===++⎰⎰⎰20011d d 1(1)y y y y +∞+∞=-++⎰⎰ 01ln(1)=1y y +∞⎡⎤=+++∞⎢⎥+⎣⎦，故Y 的数学期望不存在.。

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y))dy
dz (0, ) ( 1)dx dy
10. y x 1
解析：x y e2xy 0 两边对 x 求导得1 y ' e2xy 2( y xy ') 0 带入 (0, 1) 得 y ' 1 则切
线方程为 y x 1。
11.8
解析 L(Q) PQ C(Q)
700 1600 16Q Q2
e n
ex 2 sin 2x
n
ex 4 cos 2xdx
n
，
en 4an
从而 an
1 en 5
，则
n1
an
1 5
n1
e
n
e
5 1 e
1 5 e 1
18.解：令 A f x, y dxdy ，则对函数两边求二重积分可得
D
A y 1 x2 dxdy A xdxdy ，
05÷÷÷÷ .
5
所以 P1T AP1 = P2T BP2 ， P2 P1T AP1P2T = B
2 1 1 -2
4 -3
所以 Q = P1P2T =
5 1
5 -2
5 2
5= 5
5.
1
-3 -4
5
55 5
55
21.（1）由于 P = (α, Aα) ， α ¹ 0 ，且 lα ¹ Aα 则 α 与 Aα 不成比例，且 α ¹ 0 ，故 P 可逆.
从而两边积分得 xf (x, y)dxdy xy 1 x2 dxdy A x2dxdy ，而由积分区域关于 y
D
D
D
轴对称，而 xy 1 x2 为 x 的奇函数，得 xy 1 x2 dxdy 0 ，而 D
x2dxdy
cos2 d
1
r
2
rdr
12
，
D
0
0
4 48
从而所求
D
1 ，
x
0
，
x
2，
lim f (x) ， lim f (x) ， lim f (x) ， lim f (x) e1 lim f (x) ，
x1
x1
x2
x0+
2 x0
故选 C
3.A
解析 cos f (x) 和
f '(x) 均为偶函数，则
x 0
cos
f
t
f t dt 为奇函数
4.B
2 P X
5 ...
1 3k 1 k1 2
1
1
EY
1
k 1
1 2
3k 2
2
k 1
1 2
3k 1
2 1 1
2
4 1 1
8 7
8
8
15.
lim
n
(1+
1)n n b
-e
=
1 b
lim
n
na
e
n
ln(1+
1 n
)
-
e
= 1 lim nae bn
n
e
ln(1+
1 n
)-1
-1
p(AB) p(ABC) p(AB) p(ABC) p(BC) p(ABC)
p(A) p(AB) [ p(AC) p(ABC)] p(B) p(AB)
[ p(BC) p( ABC)] p(C) p(BC) [ p( AC) p( ABC)]
1 4
0
1 12
0
1 4
f ' (x2 )
=
M 2 - x0
>M
综上所述，无论 x0 在 (0, 2) 中何处，均有 x Î (0, 2) 使 f ' (x) ³ M
(2) 若对任意的 x (0,2) 有 f (x) M ，则必有 M 0 ，
假设 M 0 ，则由题及第一问可知
存在
f ' (x1)
=M x0
£M
，
f ' (x2 )
f '' xx
= 6x ，
f '' yy
=
48y ，
f '' xy
=1
得到 AC - B2 = 6x × 48 y -1 = (0,0) -1< 0
AC
-
B2
=
6x× 48y -1
=
(1, 1 ) 6 12
3>
0
，A
=
1 6
>
0 ，所以极小值为
f
ççç 16
,
1 12
÷÷÷
=
-
1 216
17.解：（1）微分方程的特征方程为 2 2 5 0 ，解得 1 2i ，从而齐次方程的通
0
1 12
0
1 4
1 12
1 12
5 12
8. B
E
5 5
(X
Y )
5 E(X Y) 5
5 (0 0) 0 5
D
5 5
(X
Y )
1 5
D(X
Y ) 1 [DX DY 2 cov(X ,Y )] 1 (1 2 2) 1
5
5
9. ( 1)dx dy
解析：
dz
(
y
cos(x y))dx (x cos(x 1 [xy sin(x y)]2
线性无关，所以解为 x k1α1 k2α3 k3α4 ，故选 C .
6. D
解析：由于 α1 ， α2 是 A 的属于1的特征向量， α3 是 A 的属于 -1的特征向量，故 -α3 也是
A 的属于 -1的特征向量， α1+α2 是 A 的属于1的特征向量，故选 D .
7. D
P(ABC) P(ABC) P(ABC)
L '(Q) 0 Q 8 或 12 （舍）
12. ln 2 3
解析
1 0
2
x
1
1 x
2
dx
1 2 x xdx ln 2
0
2
3
13. a4 4a2
a 0 1 1 a a 0 0
a 1 1
a0 0
0
a
1
1 0 =
a
1
1 =a 0
a
a (1)41 a 1 1
1 1 a 0 0 0 a a 1 1 0 a 1 1 0 a
可以相似对角化. 22.
PZ1 1, Z2
1 P X
Y,X
Y P X
Y
1 4
PZ1 1, Z2 0 P{X Y , X Y} P{} 0
(1) PZ1 0, Z2
1 P X
Y,X
Y
P Y
X
Y
1 2
PZ1 0, Z2
0 P{X
Y,X
Y} P X
Y
1 4
(2) EZ1
2020 年全国硕士研究生招生考试（数学三）参考答案及解析
1.D
sin 解析 lim
f
x sin a
2 sin lim
f (x) a cos 2
f (x) a 2
bcos
f( a)
xa
xa
xa
xa
2. C
1
解析：
f
(x)
e x1 ln(1 x) (ex 1)(x 2)
，则可疑点为
x
1，
x
解 y ex C1 cos 2x C2 sin 2x ，再由 f 0 C1 1 ， f ' 0 C1 2C2 1 ，得
C1 1,C2 0 ，从而 f x ex cos 2xdx ex cos 2x
n
n
ex 2 sin 2xdx
n
1 p{T s 1 p{T
t} s}
1
F(s
t)
e
st
m
1 F(s)
e
s
m
e
s
m
st
m
似然函数为
n
L( ) f
i 1
ti
mn
mn
n i 1
ti
e m1
1 m
n
tim
i1
0,
,t1,t2,...tn 0 其他
当 t1, t2 ,...tn 0 时
=
2
M - x0
£M
，所以 x0
1 ，因此
f (1)
M
1
1
1
而 M f (1) f (x)dx f (x) dx Mdx M，
0
0
0
1
1
故 M f (x)dx f (x) dx M .
0
0
1
因此 f (x) 在 (0,1) 上不变号，而 ( f (x) M )dx 0 ，又因为 f (x) M ，所以 f (x) M 0
ln
L(
)
n
ln
m
mn
ln
(m
1)
n i1
ln
ti
1 m
n
tim
i1
d ln L( )
d
mn
m m1
n i 1
tim
0
n
m
tim
i 1
n
1 4
EZ2
3 4
EZ12
1 4
EZ
2 2
3 4
DZ1
DZ2
3 4
3 4
2
3 16
Cov Z1,
Z2
E ( Z1 ,
Z2)
EZ1
EZ2
1 4