高等代数(北大版)第章习题参考答案
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A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A，
所以kB C(A)。故C(A)构成 子空间。
2）当A=E时，C（A）= 。
3）设与A可交换的矩阵为B=（ ），则B只能是对角矩阵，故维数为n, 即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
解 若记
A= ，
并设B= 与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由
可得 在基 下的坐标为 。
2）设有线性关系 ，则 ，
可得 在基 下的坐标为 。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间P ；2）P 中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A= 。
解 1) 的基是 且 。
取c为某个非零常数 ，则所求 为
。
11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。
证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设 都是线性空间 的子空间，且 ，证明：如果 的维数与 的维数相等，那么 。
证 设dim( )=r，则由基的扩充定理，可找到 的一组基 ，因 ，且它们的唯数相等，故 ，也是 的一组基，所以 = 。
13． 。
1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；
2）当A=E时，求C（A）；
3）当A= 时，求C（A）的维数和一组基。
证 1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A，
故 B+D C(A)。若k是一数，B ，可得
B= 。
再令 +b +c +d ，即
，
由上式可解得 在下的坐标为 下的坐标为
。
10．继第9题1）求一非零向量 ，它在基 与 下有相同的坐标。
解 设 在两基下的坐标为 ，则
=（ ） =（ ） 。
又因为
（ ）=（ ） =（ ）A，
所以
=A （A - E） =0。
又
，
于是只要令
，
解此方程组得
= (c为任意非零常数)，
＝ ，
＝
＝
＝
＝ ，
即 ，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为 。
Hale Waihona Puke Baidu7）否，因为 ，
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
所以，所给集合 构成线性空间。
4在线性空间中，证明：1） 2） 。
证1） 。
2）因为 。
5证明：在实函数空间中，1， 式线性相关的。
4)因为 , ,所以 ，
于是 ， 而 。
9.在 中,求由基 ， 到基 的过渡矩阵,并求向量 在所指基下的坐标。设
， ，
在 下的坐标；
， ，
在 下的坐标；
， ，
在 下的坐标；
解 （ ）=（ ） =（ ）A
这里A即为所求由基 到 的过渡矩阵，将上式两边右乘得 ，
得 （ ）=（ ） ，
于是
（ ） =（ ） ，
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2）设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
所以在基下的坐标为
，
这里 = 。
令 则
（ ）=( ) =( )A，
（ ）=( ) =( )B，
将( )=（ ） 代入上式,得
（ ）=（ ） B ，
这里
= , B= ，
且 即为所求由基 到基 的过渡矩阵，进而有
=( ) =（ ）
=（ ） ，
所以 在 下的坐标为 。
同 ，同理可得
A= B=
=
则所求由 到 的过渡矩阵为
5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
；
7）集合与加法同6），数量乘法定义为：
；
8）全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
， ；
解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
。
2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
，A+B仍是反对称矩阵。
，所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a， -b）。对于数乘：
即 。
2) i)令 ，即 其余元素均为零,则 是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以 是 维的。
ii)令 ，即 其余元素均为零,则 是反对称矩阵所成线性空间 的一组基, 所以它是 维的。
iii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是 维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数 ,可经2线性表出，即. ,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
第六章线性空间
1.设 证明： 。
证任取 由 得 所以 即证 。又因 故 。再证第二式，任取 或 但 因此无论哪 一种情形，都有 此即。但 所以 。
2.证明 ， 。
证 则 在后一情形，于是 所以 ，由此得 。反之，若 ，则 在前一情形， 因此 故得 在后一情形，因而 ，得 故
于是 。
若 。
在前一情形X ， 。
SB= ，
BS= = ，
可是 ，
又 ，
即 ，
该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a, ，并
令b=1，其余为0，得 =3,a=3;
令 =1，其余为0，得 =3,a= ;
证因为 ，所以1， 式线性相关的。
6如果 是线性空间 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证若有不全为零的数 使 ，
不妨设 则 ，这说明 的公因式也是 的因式，即 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以 线性无关。
7在 中，求向量 在基 下的坐标。设
1） ；
2） 。
解1）设有线性关系 ，则 ，
因为
f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）
所以
f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
所以kB C(A)。故C(A)构成 子空间。
2）当A=E时，C（A）= 。
3）设与A可交换的矩阵为B=（ ），则B只能是对角矩阵，故维数为n, 即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
解 若记
A= ，
并设B= 与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由
可得 在基 下的坐标为 。
2）设有线性关系 ，则 ，
可得 在基 下的坐标为 。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间P ；2）P 中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A= 。
解 1) 的基是 且 。
取c为某个非零常数 ，则所求 为
。
11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。
证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设 都是线性空间 的子空间，且 ，证明：如果 的维数与 的维数相等，那么 。
证 设dim( )=r，则由基的扩充定理，可找到 的一组基 ，因 ，且它们的唯数相等，故 ，也是 的一组基，所以 = 。
13． 。
1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；
2）当A=E时，求C（A）；
3）当A= 时，求C（A）的维数和一组基。
证 1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A，
故 B+D C(A)。若k是一数，B ，可得
B= 。
再令 +b +c +d ，即
，
由上式可解得 在下的坐标为 下的坐标为
。
10．继第9题1）求一非零向量 ，它在基 与 下有相同的坐标。
解 设 在两基下的坐标为 ，则
=（ ） =（ ） 。
又因为
（ ）=（ ） =（ ）A，
所以
=A （A - E） =0。
又
，
于是只要令
，
解此方程组得
= (c为任意非零常数)，
＝ ，
＝
＝
＝
＝ ，
即 ，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为 。
Hale Waihona Puke Baidu7）否，因为 ，
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
所以，所给集合 构成线性空间。
4在线性空间中，证明：1） 2） 。
证1） 。
2）因为 。
5证明：在实函数空间中，1， 式线性相关的。
4)因为 , ,所以 ，
于是 ， 而 。
9.在 中,求由基 ， 到基 的过渡矩阵,并求向量 在所指基下的坐标。设
， ，
在 下的坐标；
， ，
在 下的坐标；
， ，
在 下的坐标；
解 （ ）=（ ） =（ ）A
这里A即为所求由基 到 的过渡矩阵，将上式两边右乘得 ，
得 （ ）=（ ） ，
于是
（ ） =（ ） ，
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2）设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
所以在基下的坐标为
，
这里 = 。
令 则
（ ）=( ) =( )A，
（ ）=( ) =( )B，
将( )=（ ） 代入上式,得
（ ）=（ ） B ，
这里
= , B= ，
且 即为所求由基 到基 的过渡矩阵，进而有
=( ) =（ ）
=（ ） ，
所以 在 下的坐标为 。
同 ，同理可得
A= B=
=
则所求由 到 的过渡矩阵为
5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
；
7）集合与加法同6），数量乘法定义为：
；
8）全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
， ；
解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
。
2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
，A+B仍是反对称矩阵。
，所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a， -b）。对于数乘：
即 。
2) i)令 ，即 其余元素均为零,则 是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以 是 维的。
ii)令 ，即 其余元素均为零,则 是反对称矩阵所成线性空间 的一组基, 所以它是 维的。
iii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是 维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数 ,可经2线性表出，即. ,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
第六章线性空间
1.设 证明： 。
证任取 由 得 所以 即证 。又因 故 。再证第二式，任取 或 但 因此无论哪 一种情形，都有 此即。但 所以 。
2.证明 ， 。
证 则 在后一情形，于是 所以 ，由此得 。反之，若 ，则 在前一情形， 因此 故得 在后一情形，因而 ，得 故
于是 。
若 。
在前一情形X ， 。
SB= ，
BS= = ，
可是 ，
又 ，
即 ，
该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a, ，并
令b=1，其余为0，得 =3,a=3;
令 =1，其余为0，得 =3,a= ;
证因为 ，所以1， 式线性相关的。
6如果 是线性空间 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证若有不全为零的数 使 ，
不妨设 则 ，这说明 的公因式也是 的因式，即 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以 线性无关。
7在 中，求向量 在基 下的坐标。设
1） ；
2） 。
解1）设有线性关系 ，则 ，
因为
f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）
所以
f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：