5-例题与习题

第五章 相似矩阵和二次型

• 要点和公式 •

1 向量的内积

[定义] n 维向量⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a M M 2121 ,βα的内积为

[]αββαβαT T ==,n n b a b a b a +++=Λ2211

向量内积的性质（设α,β,γ是n 维向量，k 为实数） ①[][]αββα,,=

②[][] ,,βαβαk k = ③[][][]γβγαγβα,,,+=+

④0],[≥αα，等号成立当且仅当0=α. []],[],[,2ββααβα⋅≤ (Cauchy-Schwarz 不等式)

2 向量的长度

[定义] n 维向量⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=n a a a M 21α的长度(范数)为

2

2221],[n

T a a a +++===Λααααα 向量长度的性质

①0≥α，等号成立当且仅当0=α ② αα⋅=k k

③βαβα+≤+ (三角不等式)

3 正交向量

非零向量βα,正交的充要条件是：0],[=βα 零向量与任何向量正交 非零正交向量组是线性无关的

齐次线性方程组Ax =O 的解集(解空间)是由与A 的行向量都正交的全部向量构成的集合

一组两两正交的单位向量r ααα,,,21Λ称为正交单位向量组，即

[] ,0 ,1 ⎩

⎨⎧≠==j

i j

i j i 若若，αα

若正交单位向量组r ααα,,,21Λ是向量空间的基，则称之为规范正交基。

4 正交矩阵

[定义] 若A 为方阵，且E A A =T

(或E AA =T

，或T

A A =-1

)，

则称A 为正交矩阵.

正交矩阵的性质：若A , B 是正交矩阵，则

①)(1T A A =-也是正交矩阵； ②AB 也是正交矩阵； ③1=A 或－1

n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件： A 的n 个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即R n 的一个规范正交基).

4 矩阵的特征值和特征向量

[定义] 设A 是方阵，若Ax =λx (其中λ是数，x 是非零向量)，则称数λ是A 的特征值，非零向量x 是A 的对应于(或属于)特征值λ的特征向量.

凡是使得0=-E A λ的λ值都是矩阵 A 的特征值； A 的属于特征值λ0的全体特征向量是O x E A =-)(0λ的解集合中除零向量外的全体解向量，其最大无关组含有)(0E A λ--R n 个线性无关的特征向量.

n 阶对角阵或上(下)三角阵的特征值就是其n 个主对角元. 设n 阶方阵A 的全部特征值为n λλλ,,,21Λ，则

①)(tr 21A =+++n λλλΛ

[tr(A )是A 的n 个主对角元之和，称为A 的迹]

②A =n λλλΛ21

若21,ξξ都是A 的属于特征值λ0的特征向量，则2211ξξk k +(其中k 1, k 2为任意常数，但O ξξ≠+2211k k )也是A 的属于特征值λ0的特征向量.

设λ0是方阵A 的一个特征值，ξ是对应于特征值λ0的特征向量， 则，① k λ0是k A 的一个特征值；

②m

0λ是m A 的一个特征值；

③)(0λϕ是)(A ϕ的一个特征值；

[其中， 0111)(c x c x c x c x k k k k ++++=--Λϕ是关于变量x 的k 次多项式，E A A A A 0111)(c c c c k k k k ++++=--Λϕ]

④若A 可逆，则1

0-λ是1-A 的一个特征值.

并且ξ仍是以上各矩阵分别属于k λ0,m 0λ,)(0λϕ,1

0-λ的特征向量.

A 和A T 有特征值相同(特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。

如果λ0是n 阶方阵A 的一个k 重特征值，则k ≥ n -R (A -λ0E )，即，k ≥ 属于λ0的线性无关的特征向量的最大个数. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.

设A 有m 个不同的特征值:m λλλ , , ,21Λ，属于λi 的线性无关的特征向量有r i 个(i =1,2,…,m )，则所有这些向量(共m r r r +++Λ21个)构成的向量组是线性无关的.

5 相似矩阵

[定义] 若P -1AP =B (其中P 是可逆矩阵)，则称A 和B 相似. 矩阵的相似关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性

若存在可逆矩阵P ，使得P -1AP =B (即A 和B 相似)，则 ① P -1(k A )P =k B (即k A 和k B 相似) ② P -1A m P =B m (即A m 和B m 相似)； ③ P -1ϕ(A )P =ϕ(B ) [即ϕ(A )和ϕ(B )相似]

④ 若A 可逆，则B 也可逆，且P -1A -1P =B -1 (即A -1和B -1相似) 相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。 若A 和B 相似，则①R (A )=R (B )；②B A =

6 矩阵可对角化的条件

矩阵A 可对角化是指：存在可逆矩阵P ，使得A 和对角阵Λ相似，即P -1AP =Λ

n 阶方阵A 可对角化的条件：

① A 有n 个线性无关的特征向量(充分必要条件)；

② 每个特征值的重数=对应于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数(充分必要条件)；

③ n 阶方阵A 有n 个互异的特征值(充分条件)； ④ n 阶方阵A 是实对称矩阵(充分条件).

若n 阶方阵A 可对角化(P -1AP =Λ)，则对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；可逆阵P 的n 个列向量是对应于各特征值的线性无关的特征向量.

7 实对称矩阵

实对称矩阵的特征值都是实数.

实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交. 对于n 阶实对称矩阵A ，必存在正交矩阵Q ，使得

),,,(111n T diag λλλΛ===-ΛAQ Q AQ Q

其中对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；正交阵Q 的n 个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量.

8 合同矩阵

[定义] 若B AC C =T (其中C 是可逆矩阵)，则称A 和B 合同. 矩阵的合同关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性.

若矩阵A 和B 合同，则)()(B A R R =.

9 化二次型为标准形

[定义] n 元二次型是n 元二次齐次多项式

∑∑===n

i n

j j i ij n x a x x x f 11

21),,,(x Λ (双重连加号表示法，其中a ij =a ji )

Ax x T = [矩阵表示法，其中T n x x x ),,(11Λ=x ，

n n ij a ⨯=)(A 是n 阶实对称矩阵]

化二次型为标准形是指：寻找可逆的线性变换x =Cy (C 为n 阶可逆矩阵)，使一般的n 元二次型成为纯平方项之和：

2

222211)(n n T T T y d y d y d +++==Λy AC C y Ax x

或者说，对n 阶实对称矩阵A ，寻找可逆矩阵C ，使得C T

AC 成为对角阵：C T AC =diag (d 1, d 2,…, d n ).

对于任一n 元二次型Ax x T

n x x x f =),,,(21Λ，存在正交变换x =Qy (Q 为n 阶正交矩阵)，使得

2222211)(n n T T T y y y λλλ+++==Λy AQ Q y Ax x

或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在正交阵Q ，使得

),,(21n T diag λλλΛ=AQ Q

其中对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；正交阵Q 的n 个列向量是对应于各特征值的正交单位特征

向量.

对于任一n 元二次型Ax x T n x x x f =),,,(21Λ，存在可逆的线性变换x =Cy (C 为n 阶可逆矩阵)，使得

2

222211)(n n T T T y d y d y d +++==Λy AC C y Ax x

或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在可逆阵C ，使得

),,(21n T d d d diag Λ=AC C

(注：用不同的可逆线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的)

10 惯性定理

惯性定理：对于一个二次型，不论作怎样的可逆线性变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p (正惯性指数)和负平方项的项数q (负惯性指数)都是唯一的.

对于 n 元二次型 x T Ax ，若正、负惯性指数分别为p 和q ，则存在可逆的线性变换x =Cy ，使得

2

21221)(q p p p T T T y y y y ++-+-++==ΛΛy AC C y Ax x (*)

或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在可逆阵C ，使得

{)0,,0,1,,1 ,1,1()(32

1Λ43421ΛΛ个

个

个

q p n q p T diag +---=AC C (*)式称为二次型的规范形，即标准形的系数只在1, -1, 0三个数中取值.

11 正定二次型的判定条件

[定义] 如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax >0，则称x T Ax 是正定二次型，A 是正定矩阵； 对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是正定二次型 (或A 是正定矩阵)；

②x T Ax 的标准形的 n 个系数全大于零 (或A 的正惯性指数为

n ，亦即A 合同于E )； ③存在可逆矩阵P ，使得A =P T P ； ④A 的n 个特征值全大于零.

⑤A 的n 个顺序主子式的值全大于零.

附：其它的有定二次型 [定义]

如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax ≥0，但至少存在一个非零向量x 0，使得x 0T Ax 0=0，则称x T Ax 是半正定二次型，A 是半正定矩阵；

如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax <0，则称x T Ax 是负定二次型，A 是负定矩阵；

如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax ≤0，但至少存在一个非零向量x 0，使得x 0T Ax 0=0，则称x T Ax 是半负定二次型，A 是半负定矩阵.

对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是半正定二次型 (或A 是半正定矩阵)；