数学北师大版必修1课时分层作业17 换底公式
北师大版高中数学必修1换底公式课件
N
logc N logc a
这个公式叫做换底公式
一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示
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重要公式:
loga b
1 logb
a
（a,b 0,a,b ≠ 1）
证明:由换底公式
loga
N
logc logc
N a
取以b为底的对数得：
loga
ab 3 ab b 1
练习：1. 已知 lg 2 a，lg3 b，
试用a,b表示lg 45.
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2.已知 log3 12 a ，求 log3 24 的值.
3.
设3a 5b m 求m 的值.
，已知 1 1 2 ,
ab
(1). log2 16 log2 4
(2). log2 9 log2 3
(3). lg 8 lg 2
log4 16 log3 9 log2 8
你有何发现？
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㏒215=x
2x=15
两边取对数，得
Xlg2=lg15即x=
㏒215=x =
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作业:P86 第3题 P88 B组 第4题
北师大版高中数学必修1换底公式课件
பைடு நூலகம்
b
logb logb
b a
logb b 1,
loga
b
1 logb
a
还可以变形,得
loga b • logb a 1
2017-2018学年北师大版高中数学必修一课件：3.4.3换底公式 (共17张PPT)
loga N log b N (a,b 0,a,b 1, N 0) loga b
换底公式不难记， 一数等于两数比。
相对位置不改变，
新的底数可随意。 （非1正数）
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X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
互为倒数
1 log a n N log a N n
log N M
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ANGTANGJIAg4 A.log34= B.log34= ln3 lg3 log1 4 1 C.log34= D.log34= log4 3 log1 3
)
解析:结合换底公式的特征,可知选项D不正确.因为底数必须满 足大于0且不等于1. 答案:D
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变式训练1 算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
lg125 lg25 lg5 lg2 lg4 lg8 解 :原式= + + + + lg2 lg4 lg8 lg5 lg25 lg125 3lg5 2lg5 lg5 lg2 2lg2 3lg2 = + + + + lg2 2lg2 3lg2 lg5 2lg5 3lg5 13lg5 lg2 = 3× =13. 3lg2 lg5
答案:1
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3.4.2换底公式ppt课件高中数学必修一北师大版
神贯注，你才会所向披靡。
( 1)
lg 3 lg 5
15
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到 0.001）： log248；log310；log8π ；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431；
log1.0822≈8.795.
lg 9 ?
=
3 2
;
(2)
lo g 8 9 ? lo g 2 7 3 2
lg 3 2
lg 8 lg 2 7
2 lg 3 5 lg 2 10 = g = ; 3 lg 2 3 lg 3 9
提升总结:
换底公式的应用：
1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利
用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计 算器或对数表得到结果。
x = lo g 0 .8 4 0 .5 = ln 0 .5 ln 0 .8 4 ? 3 .9 8
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一 半.
1. 求值
(1) lo g 2 2 5 鬃 lo g 3 4 lo g 5 9 = _ _ _8 ____
5
( 2 ) ( lo g 4 3 + lo g 8 3 ) ( lo g 3 2 + lo g 9 2 ) = _ 4 __
所以 x lg 1 5 lg 2
2 =15
x
lg 2
x
lg 1 5
探究二:
假设
lg 1 5 lg 2
x ,则 lg 1 5 x lg 2 lg 2 x
高中数学北师大版(2019)必修 第一册：换底公式(含解析)
换底公式基础全面练 (15分钟 30分)1．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 23＝( ) A ．a ＋b －1b ＋1 B ．a ＋b －1b －1 C ．a －b ＋1b ＋1 D ．a －b ＋1b －12．已知2x ＝3y≠1，则xy＝( )A ．lg 23B ．lg 32 C ．log 32 D ．log 233．化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________．4．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时该种汽车已使用的年数为________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)5．计算下列各式：(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5；(2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.综合提升练 (15分钟 30分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．232．若2.5x ＝1 000，0.25y＝1 000，则1x －1y＝( )A ．13B ．3C ．－13 D ．－33．若log 513 ·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．1254．如果lg 2＝m ，lg 3＝n ，那么log 1512＝( ) A ．2m ＋n 1＋m ＋n B ．2mnn ＋1－m C ．2m ＋n 1－m ＋n D ．m ＋2n 1－m ＋n5．若a log 32＝1，b ＝log 38·log 82，则a ，b 关系不正确的是( ) A ．a >b B ．a >1，b <1 C ．ab ＝1 D ．a ＝b二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列式子表示正确的是________．①log a b ＝2lg b 2lg a ＝lg b 2lg a 2 ； ②log 32＝log （－3）2log （－3）3 ； ③log a 2b 2＝2lg b 2lg a ＝lg b lg a ； ④log 332·log 227＝15.7．计算：log 2125 ·log 318 ·log 519 ＝________．8．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，且2x ＝py ，则p ＝________，1x ，1y ，1z的关系为________．【变式训练】已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝______．三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列各式的值：(1)log427·log258·log95.(2)log225·log3116·log519.10．设a>0，a≠1，x，y满足log a x＋3log x a－log x y＝3，用log a x表示log a y，并求当x取何值时，log a y取得最小值．创新练1．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：2．若函数y＝2x，y＝5x与直线l：y＝10的交点的横坐标分别为x1和x2，求1x1＋1x2.参考答案：基础全面练 (15分钟 30分)1．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 23＝( ) A ．a ＋b －1b ＋1 B ．a ＋b －1b －1 C ．a －b ＋1b ＋1 D ．a －b ＋1b －1【解析】选D.因为a ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b ＝lg 20＝1＋lg 2，所以log 23＝lg 3lg 2 ＝a －b ＋1b －1. 2．已知2x＝3y≠1，则xy＝( )A ．lg 23B ．lg 32 C ．log 32 D ．log 23【解析】选D.令2x＝3y＝k (k >0且k ≠1)， 所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，故x y ＝log 2k log 3k ＝log k 3log k 2＝log 23. 3．化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________． 【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56 log 23·32 log 32＝54 . 答案：544．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时该种汽车已使用的年数为________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【解析】由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90 ，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90 )t，两边取常用对数，得lg 12 ＝t2 lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3 ＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.答案：135．计算下列各式：(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5；(2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.【解析】(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＋5＝lg 2lg 3 ·lg 3lg 2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13 ＋5＝32 ×56 ＋5＝254 . (2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋23 lg 23＋lg 5·lg (4×5)＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg 25＋lg 22 ＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5·lg 2＋lg 25＋lg 22 ＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3. 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．23【解析】选D.原式＝log 3342log 34 ＝23log 34log 34 ＝23.2．若2.5x ＝1 000，0.25y＝1 000，则1x －1y＝( )A ．13B ．3C ．－13D ．－3 【解析】选A.因为x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， 所以1x ＝1log 2.51 000 ＝log 1 0002.5，同理1y＝log 1 0000.25，所以1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝lg 10lg 1 000 ＝13 .3．若log 513 ·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．125【解析】选D.因为由换底公式，得lg13lg 5 ·lg 6lg 3 ·lg x lg 6 ＝2，所以－lg x lg 5 ＝2. 所以lg x ＝－2lg 5＝lg 125 .所以x ＝125 .4．如果lg 2＝m ，lg 3＝n ，那么log 1512＝( ) A ．2m ＋n 1＋m ＋n B ．2mnn ＋1－m C ．2m ＋n 1－m ＋n D ．m ＋2n 1－m ＋n【解析】选C.因为lg 2＝m ，lg 3＝n ， 所以log 1512＝lg 12lg 15 ＝2lg 2＋lg 3lg 3＋lg 5＝2m ＋n n ＋（lg 10－lg 2） ＝2m ＋nn ＋1－m.【误区】本题求解时，由于对数的运算性质背错导致可能选B. 5．若a log 32＝1，b ＝log 38·log 82，则a ，b 关系不正确的是( ) A ．a >b B ．a >1，b <1 C ．ab ＝1 D ．a ＝b【解析】选D.因为b ＝log 38·log 82＝log 32，a log 32＝1，即a ＝1log 32 ，所以ab ＝1，a >1，0<b <1，显然a >b ，所以a ，b 关系不正确的是D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列式子表示正确的是________．①log a b ＝2lg b 2lg a ＝lg b 2lg a 2 ； ②log 32＝log （－3）2log （－3）3 ； ③log a 2b 2＝2lg b 2lg a ＝lg b lg a ； ④log 332·log 227＝15.答案：①④7．计算：log 2125 ·log 318 ·log 519＝________．【解析】原式＝lg 125lg 2 ·lg 18lg 3 ·lg 19lg 5 ＝（－2lg 5）·（－3lg 2）·（－2lg 3）lg 2·lg 3·lg 5 ＝－12. 答案：－128．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，且2x ＝py ，则p ＝________，1x ，1y ，1z的关系为________．【解析】设3x ＝4y ＝6z＝k (显然k >0，且k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ； 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34 ；因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34； 1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 又12y ＝12 log k 4＝log k 2，所以1z －1x ＝12y . 答案：2log 34 1z －1x ＝12y【变式训练】已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝______．【解析】由已知得a ＝lg 9lg 8 ＝2lg 33lg 2 ①，b ＝lg 5lg 2 ＝1－lg 2lg 2 ②，由②得lg 2＝1b ＋1 ③，把③代入①得a ＝2lg 33b ＋1 ，所以lg 3＝3a2（b ＋1） .答案：3a2（b ＋1）三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列各式的值： (1)log 427·log 258·log 95. (2)log 225·log 3116 ·log 519.【解析】(1)原式＝lg 27lg 4 ·lg 8lg 25 ·lg 5lg 9＝3lg 32lg 2 ·3lg 22lg 5 ·lg 52lg 3 ＝98 . (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2 ·（－4）lg 2lg 3 ·（－2）lg 3lg 5＝16. 10．设a >0，a ≠1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值．【解析】由换底公式，得log a x ＋3log a x －log a y log a x ＝3，整理得(log a x )2＋3－log a y ＝3log a x ， 所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫log a x －32 2＋34 . 所以当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取得最小值34 .创新练1．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：【解析】因为lg 9＝2lg 3，lg 8＝3(1－lg 5)，所以在lg 3，lg 9，lg 5，lg 8中若有一个错，必还有一个错，所以这4个对数的值都对，所以lg 15的值错． 又lg 15＝lg 3＋lg 5，则lg 15＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c . 答案：15 3a －b ＋c2．若函数y ＝2x ，y ＝5x与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，求1x 1 ＋1x 2.【解析】因为2x 1＝10，x 1＝log 210，5x 2＝10，x 2＝log 510， 所以1x 1 ＋1x 2 ＝1log 210 ＋1log 510 ＝lg 2＋lg 5＝1.。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《换底公式》典型例题剖析
《换底公式》典型例题剖析题型1 换底公应的应用 例（1） 计算：235111log log log 2589⋅⋅； （2）若3484log 4log 8log log 2m ⋅⋅=，求m 的值.解析 （1）将底数统一成以10为底数的常用对数后计算；（2）等式左边前一个对数的真数是后一个对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值.答案 （1）原式111lglg lg2589lg 2lg 3lg 5=⋅⋅(2lg5)(3lg 2)(2lg3)12lg 2lg3lg5-⋅-⋅-==-⋅⋅.（2）由题意，得lg 4lg8lg lg 21lg 3lg 4lg8lg 42m ⋅⋅==, 1lg lg32m ∴=，即lg m =m ∴=规律总结 换底公式可将不同底的对数换算为常用对数或自然对数，是对数运算中非常重要的工具.在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论如1log ,log ,log log ,lg 2lg 51log m n n a a a a b nb a n b b a m===+=等，将会达到事半功倍的效果.变式训练1 （1）求证：log log m n a a nb b m=（0a >，且10a b ≠>，）； （2）9log 27； （3）827log 9log 64⋅.答案（1）log log log log log log m n na a a m a a ab n b nb b a m a m===.（2）方法一（换成以10为底的对数）：392lg 27lg 33lg 33log 27lg 9lg 32lg 32====.方法二（换成以3为底的对数）：333392333log 27log 33log 33log 27log 9log 32log 32====. 方法三（利用log log n m a a mb b n=）：3932333log 27log 3log 322===.（3）2682733lg 9lg 64lg 3lg 22lg 36lg 24log 9log 64lg8lg 27lg 2lg 33lg 23lg 33⋅=⋅=⋅=⋅=. 题型2 对数混合运算 例2 计算：（1）235log 25log log 9⋅；（2）422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解析 （1）先利用对数的运算性质进行化简，然后利用换底公式换成相同底数的对数（比如换成以10为底的常用对数）后计算.（2）综合运用对数的性质、换底公式、指数幂的运算性质进行化简求值.答案 （1）原式23532log 5log 22log 32=⋅⋅lg5lg 2lg366lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=. （2）442log 3log 3231log 3log 21,432-⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭,1220.5322334949764449,24525616273316⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,422log 30.53231496479log 3log 21312256271616--⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅-++=-++=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 变式训练22323127log 3log 8-⨯+=_________.答案 13 点拨 原式()23323233log 3log 2-=-⨯+=2lg33lg 23lg[612lg1013lg 2lg3--⋅++=+=.题型3 对数运算的综合问题 例3 已知3436a b ==，求21a b+的值. 解析 欲求21a b +，需想办法由3436a b ==求出1a 与1b，有两种办法：一种是直接由对数定义将3436a b ==化成对数式，另一种是对3436a b ==中的各等号两边取对数，可以取以6为底的对数，也可以取常用对数.答案 方法一：3436,a b ==∴由对数定义得34log 36,log 36a b ==. 由换底公式，得363611log 3,log 4a b==， 3636363636212log 3log 4log 9log 4log 361a b ∴+=+=+==. 方法二：对3436a b ==等号两边取以6为底的对数， 得666log 3log 4log 36a b ==，即66log 32log 22a b ==，666662121log 3,log 2,log 3log 2log 61a b a b ∴==∴+=+==. 方法三：对3436a b ==等号两边取常用对数， 得lg 3lg 4lg36a b ==，1lg 31lg 4,lg 36lg 36a b ∴==, ()2lg 34212lg3lg 4lg361lg36lg36lg36lg36a b ⨯∴+=+===. 规律总结 方法一借助指数变形来解，方法二、方法三通过两边取对数进行求解.无论哪种方法，都体现出种转化思想，转化思想是进行对数运算的灵魂.变式训练3已知52x y z ==，且0x y z ≠，，，求z zx y+的值.答案令52x y z k ===，则521log ,log ,lg ,2lg 2x k y k z k z k ====,所以()522lg 2lg 2lg log 5log 22lg log 102log log k k k z z k kk k x y k k+=+=+=⋅=.所以2z zx y+=.规律方法总结1.对数换底公式的选用技巧：（1）在运算过程中，若不能直接用计算器或查表获得对数值时，可将其化成以10为底的常用对数进行运算；（2）在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底数的对数，再根据运算性质进行化简与求值；（3）重视以下结论的应用： ①1log log a b b a=；②log log log 1a b c b c a ⋅⋅=；③log log n n a a b b =；④log log n m a a mb b n =；⑤1log log a ab b =-. 2.条件求值问题的求解方法：解决带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化.核心素养园地例 对数知识常常与其他知识交汇在一起，构成较复杂的题目，如对数与函数、不等式、方程、数列（后面学习）等知识综合，在求解这类问题时，灵活运用对数的运算性质就可以使问题得到解决.比如，已知()*(1)()log (2)n f n n n +=+∈N ，观察下列算式：23lg 3lg 4(1)(2)log 3log 42lg 2lg 3f f ⋅=⋅=⋅=； 237lg3lg 4lg8(1)(2)(6)log 3log 4log 83lg 2lg3lg 7f f f ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅若(1)(2)()2018f f f m ⋅⋅⋅=，则m 的值为________.解析 因为()*(1)()log (2)n f n n n +=+∈N ，所以232lg 3lg 4lg 4(1)(2)log 3log 4log 42lg 2lg 3lg 2f f ⋅=⋅=⋅===； 237lg3lg 4lg5lg 6lg 7lg8(1)(2)(6)log 3log 4log 8lg 2lg3lg 4lg5lg 6lg 7f f f ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅2lg8log 83lg 2===； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2lg(2)(1)(2)()log (2)2018lg 2m f f f m m +⋅⋅⋅==+=， 所以201822m +=，所以201822m =-. 答案 201822-讲评 本例是对数运算与函数的综合问题，对数的换底公式在对数式的求值、化简与证明中起着重要的作用，利用它可将同一算式中不同底数的对数化为相同底数的对数，再进行求值、化简与证明本例是把一系列不同底数的对数式化成以10为底的常用对数，然后进行计算，再逆用换底公式求出式子的值.如果能根据给出的例子，写出更多的表达式，正确理解题意，那么可以认为达到数学运算逻辑推理核心素养水平一的要求；如果能正确分析得出规律，并利用规律求出m 值，那么可以认为达到数学运算逻辑推理核心素养水平二的要求.。
2017-2018学年高中数学必修一(北师大版)换底公式课时作业Word版含答案
其中x≥1，x∈N；
(2)依题意得a x≤a× ⇒ x≤
⇒x(2lg 3－1)≤－lg 2⇒x≥ ≈6.572，
∴xmin＝7.
答：通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的 以下．
则 ＋ ＝ logm4＋logm5
＝logm10＝1，
所以m＝10.
【答案】10
13．已知x，y，z均大于1，a≠0，logza＝24，logya＝40，log(xyz)a＝12，求logxa.
【解析】由logza＝24得logaz＝ ，
由logya＝40得logay＝ ，
由log(xyz)a＝12得loga(xyz)＝ ，
2．若log34·log8m＝log416，则m等于()
A．3 B．9
C．18 D．27
【解析】原式可化为log8m＝ ，
＝ ，
即lgm＝ ，lgm＝lg 27，m＝27.
故选D.
【答案】D
3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于()
A. B.
C. D.
【解析】log512＝ ＝ ＝ ，选C.
A. B.
C．2 D．1
【解析】因为xlog34＝1，
所以x＝ ＝log43，
所以4x＝4log43＝3,4－x＝ ＝ ，
所以4x＋4－x＝3＋ ＝ .
【答案】B
12．设4a＝5b＝m，且 ＋ ＝1，则m＝________.
【解析】由4a＝5b＝m，
得a＝log4m，b＝log5m，所以logm4＝ ，lo源自m5＝ ，【解析】由换底公式，
得 · · ＝2，
lgx＝－2lg 5，x＝5－2＝ .
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.2.2换底公式(带答案)
2．2 换底公式必备知识基础练知识点一 利用换底公式求值1．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．知识点二 利用换底公式计算4．(log 134)·(log 227)＝( )A ．23B ．32C ．6D ．－6 5．计算：(1)log 927；(2)log 21125 ×log 3132 ×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92).知识点三 利用换底公式证明6．证明：log a a b m ＝m n log a b (a >0，且a ≠1，n ≠0).7．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.关键能力综合练1.log 29log 23＝( )A ．12B ．2C ．32D ．922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．abD ．a b3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．1004.1log 1419 ＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C ．1lg 3D ．－1lg 35．(多选题)已知2x ＝3y ＝a ，且(x －1)(y －1)＝1，则a 的值可能为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．66．(探究题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a7．已知log 32＝m ，则log 3218＝________．(用m 表示)8．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).9．计算：5log 53－log 311·log 1127＋log 82＋log 48.核心素养升级练1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足等式2x ＝3y ＝6z ，下列说法正确的是( )A ．x >y >zB ．3x ＝2yC ．1x ＋1y －1z ＝0D ．1x －1y ＋1z＝0 2．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．2．2 换底公式必备知识基础练1．答案：A解析：∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16 ，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．答案：9解析：由换底公式，得lg 4lg 3 ×lg 8lg 4 ×lg m lg 8 ＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．解析：∵3x ＝36，4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得 x ＝log 3636log 363 ＝1log 363 ，y ＝log 3636log 364 ＝1log 364， ∴1x＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．答案：D解析：(log 13 4)·(log 227)＝(log 13 22)·(log 2(13 )－3)＝(2log 132)·(－3log 213 )＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2 ＝－6. 5．解析：(1)log 927＝log 327log 39 ＝log 333log 332 ＝3log 332log 33 ＝32. (2)log 21125 ×log 3132 ×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2 ×lg 2lg 3 ×lg 3lg 5＝－15. (3)原式＝(lg 3lg 4 ＋lg 3lg 8 )(lg 2lg 3 ＋lg 2lg 9) ＝(lg 32lg 2 ＋lg 33lg 2 )(lg 2lg 3 ＋lg 22lg 3) ＝12 ＋14 ＋13 ＋16 ＝54. 6．证明： log a a b m ＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b .7．证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y. 关键能力综合练1．答案：B解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23 ，又∵log 39＝2，∴log 29log 23 ＝2. 2．答案：C解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .3．答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10 ，选A.4．答案：C解析：原式＝log 19 14 ＋log 13 15 ＝log 13 12 ＋log 13 15 ＝log 13110 ＝log 310＝1lg 3 .选C. 5．答案：AD解析：由(x －1)(y －1)＝1，可得xy ＝x ＋y .当xy ＝0时，x ＝y ＝0，此时a ＝1满足；当xy ≠0时，由1x ＋1y＝1. 又2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，则1x ＝1log 2a ＝log a 2，1y ＝1log 3a＝log a 3. 所以有1x ＋1y＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1，解得a ＝6. 综上所述，a ＝1或a ＝6.故选AD.6．答案：AD解析：由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac .故选AD. 7．答案：m ＋25m解析：log 23＝1log 32 ＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32 ＝lg 2＋2lg 35lg 2 ＝15 ＋25 log 23＝15 ＋25m＝m ＋25m. 8．解析：解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24 ＋log 25log 28 )(log 52＋log 54log 525 ＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22 ＋log 253log 22 )(log 52＋2log 522log 55 ＋3log 523log 55 )＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝(lg 125lg 2 ＋lg 25lg 4 ＋lg 5lg 8 )(lg 2lg 5 ＋lg 4lg 25 ＋lg 8lg 125 )＝(3lg 5lg 2 ＋2lg 52lg 2 ＋lg 53lg 2 )(lg 2lg 5 ＋2lg 22lg 5 ＋3lg 23lg 5 )＝(13lg 53lg 2 )·(3lg 2lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 235)(log 52＋log 5222＋log 5323)＝(3log 2 5＋log 2 5＋13 log 2 5)(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝(3＋1＋13 )log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13. 9．解析：原式＝3－log 311×3log 113＋13 log 22＋32log 22 ＝3－3＋13 ＋32 ＝116 . 核心素养升级练1．答案：AC解析：设2x ＝3y ＝6z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .因为x ＝log 2k ＝1log k 2 ，y ＝log 3k ＝1log k 3 ，z ＝log 6k ＝1log k 6 ，且0<log k 2<log k 3<log k 6， 所以1log k 2 >1log k 3 >1log k 6，即x >y >z ，故A 正确； 3x ＝3ln k ln 2 ，2y ＝2ln k ln 3 ，则3x 2y ＝3ln 32ln 2>1，故B 错误； 1x ＋1y ＝log k 2＋log k 3＝log k 6＝1z，故C 正确；1x －1y ＋1z＝log k 2－log k 3＋log k 6＝log k 4≠0，故D 错误．故选AC. 2．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t， ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。
高一数学北师大版必修1课时作业3.4.2换底公式 Word版含解析
．．－
．－
【解析】＋＝＋
＝＋＝＋
＝＝.
【答案】
．若，是方程－＋＝的两个根，则的值等于()
．
．
【解析】由根与系数的关系，
得 ＋ ＝， · ＝，∴＝(－ )＝( ＋ )－ ·
＝－×＝.
【答案】
二、填空题(每小题分，共分)
．( )＋( )＋·＝.
【解析】∵原式＝( ＋ )[( )－ · ＋( )]＋ ·
()(＋)(＋)
＝
＝
＝×＝××＝.
．若＝，＝，试用，表示.
【解析】因为＝(×)
＝＋
＝＋，
而＝，则＝，
所以＝＋＝.
能力提升
．若＝，则＋－的值为()
．．
【解析】因为＝，
所以＝＝，
所以＝＝－＝＝，
所以＋－＝＋＝.
【答案】
．设＝＝，且＋＝，则＝.
【解析】由＝＝，
得＝，＝，
所以＝，＝，
则＋＝＋
＝＝，
所以＝.
【答案】
课时作业 换底公式
基础巩固
一、选择题(每小题分，共分)
．设＝，则－用表示的形式是()
．－ ．－(＋)
．－．＋－
【解析】∵＝，
∴－＝－(＋)＝－(＋)＝－.
【答案】
．若·＝，则等于()
．．
．．
【解析】原式可化为＝，
＝，
即 ＝， ＝ ，＝.
故选.
【答案】
．设＝，＝，则等于()
【解析】＝＝＝，选.
【答案】
＝×[( )－ · ＋( )]＋ ·
＝( )＋ · ＋( )
＝( ＋ )＝.
【答案】
．已知＝，＝，则＝.(用，表示)
北师大版高中数学必修一教案第三章换底公式
§4.2换底公式一．教学目标： 1．知识与技能①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算， 求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的换底公式. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与换底公式的应用难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。
三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 问题提出我们使用的计算器中，“log ”通常是常用对数，如何使用科学计算器计算㏒215？ 分析理解 设㏒215=x ， 写成指数式得 2x =15两边取常用对数得 Xlg2=lg15 所以x=2lg 15lg 这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2lg 15lg ≈3.9068906. 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=2ln 15ln ≈3.9068906. 由此我们有理由猜想 ㏒ b N=bNa a log log ( a,b>0,a,b ≠1,N>0).先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.证明设㏒b N=x,根据对数定义，有 N=b x两边取以a 为底的对数，得㏒a N=㏒a b x故 x ㏒a b =㏒a N ，由于b ≠1则㏒a b ≠0，解得 x=bNa a log log故㏒ b N=bNa a log log由换底公式易知㏒a b=ab log 1例题分析 例7 计算：（1）㏒927； （2）㏒89㏒2732 注：由例7可以猜想并证明 b nmnb a m a log log例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）： ㏒248 ㏒310 ㏒8∏ ㏒550 ㏒ 1.0822例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《换底公式》课标解读
《换底公式》课标解读教材分析本节是北师大版必修第一册第四章第二节对数的运算的第二小节，是在上一节学习了对数运算性质的基础上学习换底公式，换底公式实质上也是对数的运算性质，是进行对数运算的主要依据之一，也是研究对数函数的图象与性质必须掌握的换底公式是由对数的概念和运算性质推导出来的，教材分析了一个具体的例子，即求2log 5的值时，推导出2lg 5log 5lg 2,进而抽象出换底公式.换底公式的价值在教材“问题提出”中就提出来了，尽管由于教材例3、例4中的数设计得巧妙，使计算结果都很简洁，但还是可以看出换底公式发挥了实质性的作用.阅读材料是依照对数与指数的关系，给出了方便指数计算的指数换底公式.高考中主要考查换底公式的应用.本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、数学运算等.教学建议换底公式的教学，可以先让学生利用计算器计算出lg 5和lg 2的值，使学生熟悉能够用计算器求什么样的对数值，再提出问题“可否利用计算器求2log 5的值”，使学生有了换底的需求和愿望.至于如何证明对数换底公式，方法有很多，可以鼓励学生大胆尝试.学科核心素养目标与素养1.通过换底公式的推导和证明，掌握换底公式，达到逻辑推理核心素养水平二的要求.2.能应用对数换底公式化简、求值、证明，达到数学运算核心素养水平二的要求.情境与问题案例一通过回顾复习上节课学习的对数的运算性质，然后提出问题：对数的运算性质应用的前提是什么？如果底数不同，我们如何进行对数的运算？使学生对换底产生需求和愿望，从而引出本节课的课题，激发学生学习的欲望.案例二通过复习回顾上节课学习的对数定义和运算性质，然后提出问题：我log5的值呢？借助科学计算器呢？如果能将其他底的对数转化们能否直接求出2成以10为底或以e为底的对数就能方便地求出以任意不等于1的正数为底数的对数值那么，如何转换呢？引出本节课的学习内容.内容与节点换底公式是对数运算性质的延续，实质上也是对数的运算性质，是进行对数的运算对数式的变形、学习对数函数的基础，起着承上启下的作用.过程与方法1.通过问题的驱动使学生自主学习、合作探究，经历推导和证明换底公式的过程，提高分析问题的能力，培养转化思想，发展逻辑推理核心素养.2.经历应用对数的换底公式进行计算的过程，培养学生的应用意识和严谨的思维品质，感受对数的广泛应用发展数学运算核心素养.教学重点难点重点掌握对数的换底公式，能推导、证明和应用换底公式.难点会用换底公式进行化简、求值.。
高中数学北师大版(新)必修第一册 第四章 对数运算与对数函数学案 换底公式
2.2 换底公式[情境导入]计算器上，只有常用对数键“log ”和自然对数键“ln ”，要计算log a b 必须将它转换成常用对数或自然对数．[问题] 你知道如何转换吗？[新知初探]知识点 换底公式一般地，若a >0，b >0，c >0，且a ≠1，c ≠1，则log a b ＝ ．这个结论称为对数的换底公式．[点一点] 换底公式的推论[想一想]1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log N n M m ＝mnlog N M 吗？[做一做]1．log 6432的值为( ) A ．12B ．2C ．56D ．652．若log 23＝a ，则log 49＝( ) A ．a B ．a C ．2aD ．a 23．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 计算：(1)log 29·log 34； (2)log 52×log 79log 5 13×log 734.[通性通法]利用换底公式求值的思想与注意点[跟踪训练]1．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值为( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．12．若log 2x ·log 34·log 59＝8，则x ＝( ) A ．8 B ．25 C ．16D ．4题型二 用已知对数式表示求值问题[例2] 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[母题探究]1．(变设问)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？[通性通法]求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．[跟踪训练]设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1） B.a ＋b －2（a －1）（b －1） C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）题型三 有附加条件的对数式求值问题[例3] (1)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，则abc 的值为________；(2)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z ≠0，则z x ＋zy的值为________．[通性通法]与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5，则(abcd )2 022＝________．[随堂检测]1．式子log 32·log 227的值为( ) A ．2 B ．3 C ．13D ．－32．在1log b a ，lg alg b ，log b a ，log a n b n (a ，b 均为不等于1的正数)中，与log a b 一定相等的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．44．若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( ) A ．1a ＋2b ＝2cB ．2a ＋2b ＝1cC ．1a ＋1b ＝2cD ．2a ＋1b ＝2c5．方程log 2x ＋1log （x ＋1）2＝1的解是________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点 换底公式 log c blog c a[想一想]1．提示：log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.2．提示：log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .[做一做]1．【答案】C【解析】log 6432＝lg 32lg 64＝lg 25lg 26＝5lg 26lg 2＝56.2．【答案】B【解析】log 49＝lg 9lg 4＝2lg 32lg 2＝log 23＝a .故选B.3．【答案】9【解析】利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是m ＝9.——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32. [跟踪训练]1．【答案】C【解析】原式＝(log 32)2＋2log 32×log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2log 32×log 23 ＝2×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝2.2．【答案】B【解析】∵log 2x ·log 34×log 59＝lg x lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝lg x lg 2×2lg 2lg 3×2lg 3lg 5＝8，∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴x ＝25. 题型二 用已知对数式表示求值问题 [例2] 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a. [母题探究]1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. [跟踪训练]【答案】D【解析】∵a ＝log 36＝log 26log 23＝1＋log 23log 23，∴log 23＝1a －1.∵b ＝log 520＝log 220log 25＝2＋log 25log 25，∴log 25＝2b －1.∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.题型三 有附加条件的对数式求值问题 [例3] 【答案】(1)1 (2)2【解析】(1)法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1. 法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg clg t . ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg(abc )＝0，∴abc ＝1.(2)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，∴z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2·log 10k ·log k 10＝2. [跟踪训练]【答案】1【解析】将5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5转化为对数式， 得a ＝log 54＝ln 4ln 5，b ＝ln 3ln 4，c ＝ln 2ln 3，d ＝ln 5ln 2，所以(abcd )2 022＝⎝⎛⎭⎫ln 4ln 5×ln 3ln 4×ln 2ln 3×ln 5ln 22 022＝12 022＝1.[随堂检测]1．【答案】B【解析】log 32·log 227＝lg 2lg 3·lg 27lg 2＝lg 27lg 3＝log 327＝3，故选B.2．【答案】C【解析】1log b a ＝log a b ，lg a lg b ＝log b a ，log b a ＝log b a ，log a n b n ＝log a b ，故选C.3．【答案】B【解析】原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5 lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 4．【答案】A【解析】由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 52 019，b ＝log 4042 019， c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.5．【答案】1【解析】原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1， ∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1.即x >0，∴x ＝1.。
北师大版高中数学 换底公式课件 (33张)
『规律总结』 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是利用对数的运算性质以及两边取对数的 方法计算求解．
〔跟踪练习 2〕 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v(m/s)和燃料的质量 M(kg)、火 箭(除燃料外)的质量 m(kg)的关系是 v＝2 000·ln(1＋Mm)．当燃料质量约是火箭质量 的多少倍时，火箭的最大速度可达到 10km/s(已知 e5≈148.4)?
命题方向2 ⇨换底公式在实际问题中的应用
典例 2 2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那 么经过多少年后的国民生产总值是2018年的2倍．(lg2取0.301 0，lg1.08取0.033 4，精确到1年)
[思路分析] 用方程的思想解决本题，设经过x年后变为原来的2倍，列出x 的方程，解出x.
『规律总结』 利用换底公式计算、化简、求值问题的思路： 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一底数进行计 算； 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
〔跟踪练习1〕 求log37·log29·log492的值．
[解析] 原式＝llgg37·llgg92·llgg429＝llgg73·2llgg23·2llgg27＝1.
计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可利用换底公式化成同一底数，再进行运
算．
1 [规范解答] (1)log1618＝lloogg22186＝lloogg2222－43＝－43 ＝－34. (2)原式＝(llgg34＋llgg38)·llgg23 ＝(12×llgg32＋13×llgg32)·llgg23＝56·llgg32·llgg23＝56.
A．18
B．118
北师大版高中数学必修一精品学案换底公式
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
对数换底公式 一、换底公式：)0,1,0,1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a a b b c c a 二、常用关系：1、自然对数与常用对数之间关系：e N N ln ln lg =2、)0,1,0(lg lg log >≠>=b a a ab b a 3、)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a 4、 )0,0,1,0(log log ≠>≠>=m b a a b b m a a m5、)1,0,1,0(log log ≠>≠>=n b a a b n m ba m a n 三、例题：例1、求证：1log log =⋅a b b a例2、求下列各式的值。
(1)、log 98•log 3227(2)、（log 43+log 83）•(log 32+log 92)(3)、log 49•log 32(4)、log 48•log 39(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258)例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616.解：法一、换成以2为底的对数。
法二、换成以3为底的对数。
法三、换成以10为底的对数。
练习：已知log 189=a, 18b =5,求log 3645。
例4、已知12x =3,12y =2,求y x x+--1218的值。
练习：已知7log log ,5log log 248248=+=+a b b a ，求a •b 的值；例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？解：设15年后约有木材A 方，则A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515lgA=lg22000+15×lg1.025=4.3424+15×0.0107=4.5029∴ A=131840教学无忧/专注中小学 教学事业！ 客服唯一联系qq 1119139686 欢迎跟我们联系答：15年后约有木材131840方。
北师大版高一数学必修一换底公式说课稿
《换底公式》尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是换底公式。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材从教材的地位和作用来看，本课选自北师大版高中数学必修一第四章第二节。
本课是在学生学习了对数的概念和运算性质的基础上研究换底公式，是解决对数运算的重要基础。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在学习本节课之前已经学习了对数的概念和运算性质，具有一定的分析、归纳的能力。
三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.理解并掌握换底公式，会用换底公式将一般对数化为常用对数或自然对数，并能进行简单的化简和证明。
2.通过换底公式的学习过程，使学生体会化归与转化的数学思想，培养学生分析、归纳的能力。
3.通过知识的形成过程，使学生体会知识之间的联系，培养学生数学运算的核心素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为换底公式的应用，我会通过例题来突出重点。
教学难点为换底公式的推导，我会通过详细板书举例论证来突破难点。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节，我会提问学生：“同学们，你能说出计算器里面的对数键有哪些吗？”“我要如何用计算器算出log a b的对数呢？”我这样设计的意图是通过设计问题情境，激发学生的学习兴趣，为后面的学习做铺垫。
北师大版高中数学必修一3.4.2换底公式课件
3 ������������2 ������������3 3 =· =- . 2 ������������3 ������������2 2
5
3
7
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4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
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4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
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Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般 来讲,对数的底越小越便于化简,如以an为底的对数可换成以a为底 的对数.
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4.2 换底公式
4.2
换底公式
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4.2 换底公式
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运 算.
=
5 . 6
(2)原式 =
1 -������������������53· ������������������7 4 3 ������������������52· ������������������73 3 = =- log32· log23 2 -������������������ 3· ������������������ 2 2
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修1 课时跟踪检测(十六) 换底公式
课时跟踪检测（十六） 换底公式层级一 学业水平达标1．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A.a ＋b a.a ＋b b C.a a ＋b.b a ＋b 解析：选B log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b . 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( )A.12B ．9C ．18D ．27 解析：选B log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 3m .又log 416＝2，∴log 3m ＝2，∴m ＝32＝9.3．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36的值是( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 解析：选A log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.4.1log 4119＋1log 1513等于( ) A ．lg 3B ．－lg 3 C.1lg 3 D ．－1lg 3解析：选C 原式＝log 1914＋log 1315＝log 94＋log 35＝log 32＋log 35＝log 310＝1lg 3. 5．已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两根为α，β，则14α·14β＝( ) A.136B ．36C ．－6D ．6解析：选B 由题意知：α＋β＝－log 26，14α·14β＝14α＋β＝14－log 26＝4log 26＝22log 26＝36. 6．log 43＋log 83lg 2lg 3＝________. 解析：原式＝lg 3lg 4＋lg 3lg 8lg 2lg 3＝lg 32lg 2·lg 2lg 3＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝12＋13＝56.答案：567．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝__________.(用p ，q 表示)解析：lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝q p ＋q. 答案：q p ＋q8．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，x ＋5＞0，(x －1)2＝x ＋5，解得x ＝4. 答案：x ＝49．计算下列各式的值：(1)log 2125·log 318·log 519； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)． 解：(1)原式＝log 25－2·log 32－3·log 53－2＝－12log 25·log 32·log 53＝－12·lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5＝－12.(2)原式＝(log 23＋log 3232)(log 322＋log 2323＋log 32)＝53log 23·92log 32＝152·1log 32·log 32＝152. 10．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z. 证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3，∴1z ＝1x ＋1y. 层级二 应试能力达标1．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B ．32(b －1) C.3a 2(b ＋1)D ．3(a －1)2b 解析：选C ∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝2lg 33lg 2＝a ， ∴23log 23＝a ，∴log 23＝32a .lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1). 2．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则lg a b 2的值等于( )A ．2B ．12C ．4D ．14解析：选A 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2. 3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10B ．10C ．20D ．100解析：选A 由2a ＝5b ＝m 得a ＝lg m lg 2，b ＝lg m lg 5， 则1a ＋1b ＝lg 2lg m ＋lg 5lg m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m 2＝10.又m ＞0，∴m ＝10.4．已知log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 2＝( )A ．p 2＋q 2 B.15(3p ＋2q ) C.13pq ＋1D ．pq 解析：选C 因为p ＝log 83＝lg 3lg 8，q ＝log 35＝lg 5lg 3， 所以pq ＝lg 3lg 8·lg 5lg 3＝lg 5lg 23＝1－lg 23lg 2，则lg 2＝13pq ＋1. 5．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．解析：设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2，E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3. ∴E 2E 1＝103＝1 000. 答案：1 0006．已知x 3＝3，则3log 3x －log x 23＝________.解析：3log 3x ＝log 3x 3＝log 33＝1，而log x 23＝log x 3332＝log 3332＝32，∴3log 3x －log x 23＝1－32＝－12. 答案：－127．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小：把一很小的声压p 0＝2×10－5Pa 作为参考声压，把所要测量的声压p 与参考声压p 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压p 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002 Pa ，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良．解：(1)由已知得y ＝20lg p p 0(其中p 0＝2×10－5)； (2)当p ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg 102＝40(dB)． 由已知条件知40 dB 小于60 dB ，所以此地为噪音无害区，环境优良．8．已知log a x ＋3log x a －log x y ＝3(a ＞1)．(1)若设x ＝a t ，试用a ，t 表示y ；(2)若当0＜t ≤2时，y 有最小值8，求a 和x 的值．解：(1)由换底公式，得log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3(a ＞1)， 所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3.当x ＝a t 时，log a x ＝log a a t ＝t ，所以log a y ＝t 2－3t ＋3.所以y ＝a t 2－3t ＋3(t ≠0)．(2)y ＝a⎛⎫ ⎪⎝⎭233-+24t ，因为0＜t ≤2，a ＞1，所以当t ＝32时，y min ＝a 34＝8.所以a ＝16，此时x ＝a 32＝64.。
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课时分层作业(十七) 换底公式
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118 C.83
D.38
2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B.a b C ．ab
D ．a ＋b
B [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝a
b .] 3．已知2x ＝3y ≠1，则x
y ＝( ) A ．lg 23 B ．lg 32 C ．log 32
D ．log 23
D [令2x ＝3y ＝k (k >0且k ≠1)， 所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ， 故x y ＝log 2k log 3
k ＝log k 3
log k
2＝log 23.]
4．若log 51
3·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.1
9 C ．25
D.125
D[由换底公式，得－lg 3
lg 5·
lg 6
lg 3·
lg x
lg 6
＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝
1
25.]
5．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则
1
x－
1
y＝()
A.
1
3B．3
C．－
1
3D．－3
A[因为x＝log2.51 000，
y＝log0.251 000，
所以
1
x＝
1
log2.51 000＝log1 0002.5，
同理
1
y＝log1 0000.25，所以
1
x－
1
y＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝
lg 10
lg 1 000＝1
3.]
二、填空题
7．设2a＝3b＝6，则
1
a＋
1
b＝________.
1[因为2a＝3b＝6，所以a＝log26，b＝log36，
所以
1
a＋
1
b＝
1
log26＋
1
log36＝log62＋log63＝log66＝1.]
8．若lg x－lg y＝a，则lg⎝
⎛
⎭
⎪
⎫x
2
10
－lg
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫y
2
10
＝________.
10a[因为lg x－lg y＝a，所以lg
x
y＝a，
所以lg
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫x
2
10
－lg
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫y
2
10
＝10
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
lg
x
2－lg
y
2＝10lg
x
y＝10a.]
三、解答题
9．求下列各式的值：(1)log427·log258·log95；
(2)log225·log31 16·log5
1
9.
[解](1)原式＝
lg 27
lg 4·
lg 8
lg 25·
lg 5
lg 9
＝
3 lg 3
2lg 2·
3lg 2
2lg 5·
lg 5
2 lg 3＝
9
8.
(2)原式＝log252·log32－4·log53－2
＝
2lg 5
lg 2·
(－4)lg 2
lg 3·
(－2)lg 3
lg 5＝16.
10．某城市为加快现代化都市的建设，决定从2007年起逐年增加城市化面积．若每年的新增绿地亩数比上一年递增10%，则该市实现绿地面积翻两番大约是在哪一年？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 1.1≈0.041 4)
[解]若设该市2006年年底有绿地面积a，则经过1年，即2007年的绿地面积是a＋a·10%＝a(1＋10%)；再经过一年，即2008年的绿地面积是a(1＋10%)2；经过3年，即2009年的绿地面积是a(1＋10%)3，…，经过x年的绿地面积是a(1＋10%)x，依题意，a(1＋10%)x＝4a，即(1＋10%)x＝4，∴x＝log1.14＝
2lg 2
lg 1.1≈15.∴大约经过15年，也就是到2022年该市的绿地面积将翻两倍．
1．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3＝()
A.
a
a－1
B.
3
2(b－1)
C.
3a
2(b＋1)
D.
3(a－1)
2b
C[由已知得a＝
lg 9
lg 8＝
2lg 3
3lg 2①，b＝
lg 5
lg 2＝
1－lg 2
lg 2②，
由②得lg 2＝
1
b＋1
③，把③代入①得a＝
2lg 3
3
b＋1
，
∴lg 3＝
3a
2(b＋1)
.]
2．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫
lg a b 2的值是( )
A ．2 B.1
2 C ．4
D.14
A [由根与系数的关系得，lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝1
2，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫
lg a b 2
＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.] 3．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x 3 5 8 9 15 lg x
2a －b
a ＋c
3－3a －3c
4a －2b
3a －b ＋c ＋1
15,3a －b ＋c [∵lg 9＝2lg 3，lg 8＝3(1－lg 5)，∴在lg 3，lg 9，lg 5，lg 8中若有一个错，必还有一个错，∴这4个对数的值都对，∴lg 15的值错．
又lg 15＝lg 3＋lg 5，则lg 15＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c .]
4．若函数y ＝2x ，y ＝5x 与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，则1x 1
＋1
x 2
＝________.
5．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . (1)求p 的值； (2)证明：1z －1x ＝1
2y .
[解] (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .
由2x ＝py 得：2log 3k ＝p log 4k ＝p ·
log 3k
log 3
4，
因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32. (2)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1
log 3
k
＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝1
2y .
所以原式得证．
由Ruize收集整理。
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