大学物理一计算题111

1、均匀带电细线ABCD 弯成如图所示的形状，其线电荷密度为λ，试求圆心O 处的电势。

解：

两段直线的电势为 2ln 42

1πελ

=V 半圆的电势为 ππελ

024=

V ， O 点电势)2ln 2(40

ππελ

+=

V 2、有一半径为 a 的半圆环，左半截均匀带有负电荷，电荷线密度为-λ，右半截均匀带有正电荷，电线密度为λ ，如图。试求：环心处 O 点的电场强度。

解：如图，在半圆周上取电荷元dq a

a

dE dE E E a dq

dE ad dl dq x x 02

02

02d cos 212cos 41πελ

θθλ

πεθ

πεθ

λλπ

-

=-=-======⎰⎰⎰由对称性

3、一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R 1和R 2，在

它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势。（以无穷远处为电势零点）

解：:以顶点O 作坐标原点,圆锥轴线为X 轴向下为正. 在任意位置x 处取高度为d x 的小圆环, 其面积为

xdx

dx r dS θθ

πθπcos tan 2cos 2==

其上电量为

xdx

tg dS dq θθ

πσσcos 2==

它在O 点产生的电势为

2

204x r dq

dU +=

πε

02

2202tan tan 4cos tan 2εθσθπεθθπσdx x x xdx

=

+=

总电势 ⎰⎰-=

==0

1202)(tan 221

εσθεσ

R R dx dU U x x

A B

C

D

O

4、已知一带电细杆，杆长为l ，其线电荷密度

为λ = cx ，其中c 为常数。试求距杆右端距离为a 的P 点电势。

解：考虑杆上坐标为x 的一小块d x

d x 在P 点产生的电势为

x a l xdx

c x a l dx dU -+=

-+=00441πελπε 求上式的积分,得P 点上的电势为

])ln()[(44000l a a l a l c x a l xdx c U l -++=-+=⎰πεπε 5、有一半径为 a 的非均匀带电的半球面，电荷面密度为σ = σ0 cos θ，σ0为恒量 。试求：球心处 O 点的电势。

解：

6、有一半径为 a 的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为λ =λ0

cos θ，λ0为恒量 。试求：圆心处 O 点的电势。

解：

7、有宽度为a 的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的

带电量为λ ， 试求：与板的边缘距离为b 的一点P 处的电场强度 (已知电荷线密度为λ的无限长直线的电场强度为

r

E 02πελ=)。

O

002000200042sin cos 4sin 24sin 2sin 2εσεθθθσπεθ

θπσπεθθπσσθθπππR d R R Rd R dU U R dq

dU Rd R ds dq Rd R ds =⋅⋅=⋅⋅===⋅⋅==⋅⋅=⎰

⎰⎰圆环的电势　上取一圆环，

y

⎰⎰

======-002200024cos 4πελ

πεθθλθλλπεππd dU U ad dl dq ，

a dq dU

dq ，在半圆上取电荷元P

·

解：

8、有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面电荷密度为σ，瓦楞的

圆半径为 a ，试求：轴线中部一点P 处的电场强度。(已知电

荷

线密度为λ的无限长直线的电场强度为r

E 02πελ

=)

解： 电荷以相同的面密度σ

9、

分布在半径分别为R 1 =10 cm 和R 2 = 20 cm 两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为V 0 = 300 V 。 （1）求电荷面密度σ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷面密度σ’应为多少？（ εo = 8.85×10-12 C 2N -1m -2） 解：（1）

11104R q U πε= 2

2

204R q U πε=

b b a a x b a dx a dE E x b a dx

a dE dx

a dx ，a +=-+==-+=⎰⎰

ln 2)(2)(2000

0πελπελπελλ度整个带电薄板的电场强公式，有由无限长带电直线电场电荷线密度为视为无限长带电直线，的窄条为研究对象，取宽为如图

O

000

sin 2sin 0

cos 2cos 2πεσθπεθσθ

θπεθ

σθπεθ

σθσσλπ

π

-=-=-==-=-===

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰d dE dE E d dE dE E d dE ad dl dl y y x x

＝为带电直线，电荷线密度限长的窄条为对象，视为无如图，顶视图，取宽为

)(4421221120100R R R q R q U U U +=+=

+=ε

σ

πεπε

2

9210/1085.8)(m c R R U -⨯=+=ε

σ

（2） 0

10、如图，长直圆柱面半径 为R ，单位长度带电为λ，试用高斯定理计算圆柱面外的电场强度。

解：0

ε

∑⎰=⋅i

q s d E

0=∴E

(R r ≤≤0 )

r

E πελ

2=

(∞≤≤r R )

11、电荷Q 均匀分布在长为l 的细杆AB 上，P 点位

于AB 的延长线上，且与B 相距为d ，求P 点的电场强度。 解：

12、电荷Q 均匀分布在长为l 的细杆AB 上，P 点

位于AB 的延长线上，且与B 相距为d ，求P 点的电势。

解：

13、电荷Q 均匀分布在半径为R 的半圆周上，求曲率中心O 处

的电场强度。

解：如图，在圆周上取电荷元dq

A

B

P

⎰+-===)11(444122

l

d d l Q x dx E x dx

dE πεπελλπε A

B

P

dx l

Q q =d x dq

U 04d πε=⎰

++==l d d d

l d l Q x dq U ln 4400

πεπε