数学归纳法课件
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数学归纳法完整版课件
所以当n＝k＋1时，结论也成立. 综上所述，对一切 n∈N*,0<a2n<14<a2n－1≤1 都成立.
思维升华
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
微思考
1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为 n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示 不对，n0也可能是2，3，4，….如用数学归纳法证明多边形内角 和为(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
解
存在
c＝14使得
1 a2n<4<a2n－1.
因为 f(x)＝4x＋4 15，当 x∈(0,1]时，f(x)单调递减，
所以149≤f(x)<145.
因为a1＝1，
所以由 an＋1＝4an＋4 15，得 a2＝149，a3＝37061，且 0<an≤1.
下面用数学归纳法证明 0<a2n<14<a2n－1≤1.
当 n＝1 时，因为 0<a2＝149<14<a1＝1≤1，
所以当n＝1时结论成立. 假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 0<a2k<14<a2k－1≤1. 由于 f(x)＝4x＋4 15为(0,1]上的减函数， 所以 f(0)>f(a2k)>f 14>f(a2k－1)≥f(1)， 从而145>a2k＋1>14>a2k≥149， 因此 f 145<f(a2k＋1)<f 14<f(a2k)≤f 149， 即 0<f 145<a2k＋2<14<a2k＋1≤f 149≤1，
数学归纳法课件
3
=
1 1 3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] 3 (2k 3 1 1 2+4k+2+1)= 3 (k+1)(2k 3
= (k+1)[2(k+1)2+1], ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 n( 2n 2 1) 由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 S n 3
数学归纳法
（一）
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校
的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所 学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 成立，那么 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
=
1 1 3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] 3 (2k 3 1 1 2+4k+2+1)= 3 (k+1)(2k 3
= (k+1)[2(k+1)2+1], ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 n( 2n 2 1) 由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 S n 3
数学归纳法
（一）
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校
的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所 学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 成立，那么 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
数学归纳法课件
更深入的学习和研究
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
课件2 ：2.3 数学归纳法
1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
4.1数学归纳法课件人教新课标2
[例 3] 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2) 个区域．
[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部 分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时 的证明．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k)＋2k1＋1－2k1＋2 ＝(k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1)＋(k＋1 1－2k1＋2) ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1＋2k1＋2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出 因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整 除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
课件9：2.3 数学归纳法
2．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 提示：不一定．
题型探究 题型一 用数学归纳法证明恒等式
例 1 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12， 等式成立； (2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 则当 n＝k＋1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2(k＋11)－1－2(k＋1 1)
故结论成立． ②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时，即42k＋1＋3k＋2能被13 整除，则当n＝k＋1时， [42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－ (42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13＋2·(42k＋1＋3k＋2)， ∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除， ∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)能被13整除， ∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．
即(1＋1)1＋14…1＋3k－1 21＋3(k＋11)－2＞3 3(k＋1)＋1成立． 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)和(2)可得不等式恒成立．
名师点评 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑： 一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比 较法、综合法、分析法、放缩法都可选用．
跟踪训练 2．设 n≥2，且 n∈N*，证明： (1)1＋131＋151＋17…1＋2n1－1＞ 2n2＋1； (2)n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n＞56.
数学归纳法课件
直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线 段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又 被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．
故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， ∴当n＝k＋1时，结论正确． 由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．
＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
用数学归纳法证明整除问题
用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． 【精彩点拨】 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键 是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝
1－an＋2 1－a
(a≠1，n∈N
＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
【精彩点拨】 注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.
【自主解答】 实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1， 所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.
数学归纳法课件
( k 1)( k 2)( 2k 3) 6
这就是说，当n=k+1时等式也成立 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
n N 课堂练习：用数学归纳法证明:当 2 1 3 5 .......... (2n 1) n
证明：①当n=1时，左边＝1, 右边=1
12，
k2
。
2）假设n=k时命题成立，即
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
n N 例1 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6
2 2 2 2
3）当n=k+1时，命题的形式是
1 2 3 k
n5 Fn 4, 294,967, 297 6,700,417 641
归纳法
：由一系列有限的特殊事例得出一般结
论的推理方法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
对于数列an ,已知a1 1，an1 猜想其通项公式
一，数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。
作业: P 96
A组1，2
课堂练习2： P95 练习1、2；
由(1)(2)可知命题对从 n 0 开始的所有正整数n 都成立。
这种证明方法叫做 数学归纳法
n N 例1 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6 思
2 2 2 2
考 1）第一步应做什么？此时n0= 1 ，左= ？ 当n=k时，等式左边共有 k 项， 第k项是
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
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感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
《数学归纳法》课件
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
《数学归纳法》课件ppt
= （k +1)[1+(2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
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(2)由此你能得到一个什么结论? 这个结论正确吗?
问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，
当n∈N时， 22一n 定1都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作
了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）
却证明了
＝42229549167 297＝6 700 417×641，从而否定了费马
了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实
知识与技能 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自然 数有关的命题．培养学生观察, 分析, 论 证的能力, 发展抽象思维能力和创新能 力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识 和数学交流的能力．
教
过学程与方教法 方 教 板 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极 思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴
第一阶段:输入阶段 回顾数学旧知，追溯归纳意识
(1) 不完全归纳法实例
给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．
(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况．
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
问题1 已知 an= (n2 5n 5)2(n∈N*), (1)分别求 a1, a2 , a3, a4 .
在教学过程中，我不仅要传授学生课
教
学学法指导教
本知识，还要培养学生主动观察、主
方 教 板 动思考、亲自动手、自我发现等学习
能力，增强学生的综合素质，从而达
材
生
学 到较为法理想的教学学终极目标．书
分学 目 手 程 设
析
教情学手段标
借助多段媒体呈现多序米诺骨牌等计生活素
材,真正辅助课堂教学.
数学归纳法及其应用举例
(2) 完全归纳法对比引例
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每 人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁 先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣 了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三 仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比 大徒弟聪明．
材
生
学 法 学 书 趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过 程, 体会类比的数学思想．
分学
目
手 程 设 让学生领悟数学思想和辩证唯物
析
情情感态度标价值观段主一义种观方点法；,序体激会发研学究生数的学学计问习题热的情，
使学生初步形成做数学的意识和
科学精神．
数学归纳法及其应用举例
教学方法 类比启发探究式教学方法进行教学
412，是合数．
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 搜索生活实例，激发学习兴趣
多米诺成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下．
于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 类比数学问题, 激起思维浪花
教
地学位作用教
数学归纳法学习是数列知识的深入与
扩展,也方是一种重要教的数学方法板,可以
材 分
生 学
学 目
使 法学．生法 手学会一种研学程究数学的科书设学方
析
重情点难点标
重点：段归纳法意义序的认识和数计学归纳法
产生过程的分析．
难点：数学归纳法中递推思想的理解．
数学归纳法及其应用举例
知识准备
学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的．
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维; 回顾数学旧知，追溯归纳意识; 借助数学史料, 促使学生思辨.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段
教
学 教 方 搜索生活实例，激发学习兴趣;
教
板
材 分 析
生 学 法 类比数学问题, 激起思维浪花;
引导学生概括, 形成科学方法.
第学情三阶段目 标:操作阶手 段段
学生经过中学五年的数学学习，已具
教
能学力储备教
方 教 板 有一定的推理能力，数学思维也逐步
向理性层次跃进，并逐步形成了辨证
材
生
学 思维体法系．但学生学自主探究问书题的能
分
学
目
学情生情况标
我所在段的学校是省序属重点中学计，所教
的班级是平行班，学生基础还不错.
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
教学 教 方 教 板 材生 学 法 学 书 分学 目 手 程 设 析情 标 段 序 计
数学归纳法及其应用举例
教学内容
数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册(选修II)第二章第一节的内 容，根据教学大纲，本节共3课时，这 是第1课时, 主要内容是数学归纳法理 解与简单应用．
的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
问题3 f (n) n2 n 41 ,当n∈N时，是否都为质数？
验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）
＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝ 131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝
类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式.
(1)当n＝1时等式成立； (2) 假设当n＝k时等式成立, 即ak=a1+(k－1)d , 则
ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d, 即 n＝k＋1时等式也 成立．
于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式 an=a1+(n－1)d 对任何n∈N*都成立．
学书 教 12..程序知思学识想设线方计法;三线条;设计线:
蕴含猜想证明, 培养研究意识; 基础反馈练习, 巩固方法应用;
3.逻辑思维线.
师生共同小结, 完成概括提升;
布置课后作业, 巩固延伸铺垫.
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写 字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……” 的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然 是错误的．
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值n = n0 时结论正确;
问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，
当n∈N时， 22一n 定1都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作
了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）
却证明了
＝42229549167 297＝6 700 417×641，从而否定了费马
了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实
知识与技能 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自然 数有关的命题．培养学生观察, 分析, 论 证的能力, 发展抽象思维能力和创新能 力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识 和数学交流的能力．
教
过学程与方教法 方 教 板 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极 思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴
第一阶段:输入阶段 回顾数学旧知，追溯归纳意识
(1) 不完全归纳法实例
给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．
(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况．
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
问题1 已知 an= (n2 5n 5)2(n∈N*), (1)分别求 a1, a2 , a3, a4 .
在教学过程中，我不仅要传授学生课
教
学学法指导教
本知识，还要培养学生主动观察、主
方 教 板 动思考、亲自动手、自我发现等学习
能力，增强学生的综合素质，从而达
材
生
学 到较为法理想的教学学终极目标．书
分学 目 手 程 设
析
教情学手段标
借助多段媒体呈现多序米诺骨牌等计生活素
材,真正辅助课堂教学.
数学归纳法及其应用举例
(2) 完全归纳法对比引例
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每 人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁 先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣 了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三 仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比 大徒弟聪明．
材
生
学 法 学 书 趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过 程, 体会类比的数学思想．
分学
目
手 程 设 让学生领悟数学思想和辩证唯物
析
情情感态度标价值观段主一义种观方点法；,序体激会发研学究生数的学学计问习题热的情，
使学生初步形成做数学的意识和
科学精神．
数学归纳法及其应用举例
教学方法 类比启发探究式教学方法进行教学
412，是合数．
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 搜索生活实例，激发学习兴趣
多米诺成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下．
于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 类比数学问题, 激起思维浪花
教
地学位作用教
数学归纳法学习是数列知识的深入与
扩展,也方是一种重要教的数学方法板,可以
材 分
生 学
学 目
使 法学．生法 手学会一种研学程究数学的科书设学方
析
重情点难点标
重点：段归纳法意义序的认识和数计学归纳法
产生过程的分析．
难点：数学归纳法中递推思想的理解．
数学归纳法及其应用举例
知识准备
学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的．
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维; 回顾数学旧知，追溯归纳意识; 借助数学史料, 促使学生思辨.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段
教
学 教 方 搜索生活实例，激发学习兴趣;
教
板
材 分 析
生 学 法 类比数学问题, 激起思维浪花;
引导学生概括, 形成科学方法.
第学情三阶段目 标:操作阶手 段段
学生经过中学五年的数学学习，已具
教
能学力储备教
方 教 板 有一定的推理能力，数学思维也逐步
向理性层次跃进，并逐步形成了辨证
材
生
学 思维体法系．但学生学自主探究问书题的能
分
学
目
学情生情况标
我所在段的学校是省序属重点中学计，所教
的班级是平行班，学生基础还不错.
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
教学 教 方 教 板 材生 学 法 学 书 分学 目 手 程 设 析情 标 段 序 计
数学归纳法及其应用举例
教学内容
数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册(选修II)第二章第一节的内 容，根据教学大纲，本节共3课时，这 是第1课时, 主要内容是数学归纳法理 解与简单应用．
的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
问题3 f (n) n2 n 41 ,当n∈N时，是否都为质数？
验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）
＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝ 131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝
类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式.
(1)当n＝1时等式成立； (2) 假设当n＝k时等式成立, 即ak=a1+(k－1)d , 则
ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d, 即 n＝k＋1时等式也 成立．
于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式 an=a1+(n－1)d 对任何n∈N*都成立．
学书 教 12..程序知思学识想设线方计法;三线条;设计线:
蕴含猜想证明, 培养研究意识; 基础反馈练习, 巩固方法应用;
3.逻辑思维线.
师生共同小结, 完成概括提升;
布置课后作业, 巩固延伸铺垫.
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写 字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……” 的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然 是错误的．
第二阶段:新旧知识相互作用阶段 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值n = n0 时结论正确;