江苏修转本高等数学第五章无穷级数习题课讲义资料
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
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幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
无穷级数(课件)
∞
（1）
1
n1 (n 1)(n 4)
∞
（2）
1
n1 n(n 1)
解
（1）因为
(n
1 1)(n
＜1 4) n2
，而级数
∞ n 1
1 n2
收敛，所以根据比较审敛法，级数
∞ n1
(n
1 1)(n
4)
收敛。
（2）因为
1＞ n(n 1)
1 (n 1)2
1 n 1
，而级数
∞ n1
1 n+1
是级数
∞ n 1
1 n2
去掉
∞
第一项所成的级数，由第一节中的性质 6.3 可知级数
1
发散，所以根据比较审敛法，级
n1 n+1
∞
数
1 发散。
n1 n(n 1)
21
第二节 常数项级数的审敛法
∞
∞
定理 6.3（比较审敛法的极限形式） 设 un 和 vn 都是正项级数，如果
n 1
n1
lim un l,(0＜l＜ ∞) ，
（3）当 ＝1时，级数可能收敛也可能发散。
【例
11】判断级数
∞ n1
n 2n
1
n
的敛散性。
解
lim
n∞
n
un
lim n n∞ 2n 1
1＜1 ，所以级数收敛。 2
26
第二节 常数项级数的审敛法
二、交错级数及其审敛法
定义 6.5 设 un＞0 (n 1,2, ) ，形如
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1+u2 u3 +u4 (1)n un 的级数称为交错级数。
高数习题(第五章)无穷级数总结梳理
考点·思路·方法
考点1 常数项级数的定义与敛散性的讨论
定义 记 为无穷数列，称无穷项连加式
为常
数项无穷级数，简称数项级数，记作 ，称 为一般项或通项。
给出一个式子时要注意它是否有意义。对于数项级数而言，其意义“存在性” 亦即“数项级数的和”。若和是一个确定的实数，则称该数项级数存在。
定义 称连加式
为级数
数的柯西和1为其部分和的极限：
Байду номын сангаас的部分和，定义级 。
注1：如何定义一个无穷级数的和是见仁见智的问题。高等数学里我们采用部 分和的定义，也称柯西和。另外还有不做要求的切萨罗和、阿贝尔和等等。
考点1 常数项级数的定义与敛散性的讨论
分析 由收敛级数的部分和定义可知 于是移项可得
考点1 常数项级数的定义与敛散性的讨论
考点2 函数项级数的概念与幂级数的讨论
解 记幂级数
，则所求级数的和即为 。
故所求级数的和
考点3 傅里叶级数的简单计算
分析 周期函数 可以直接进行傅里叶展开，并且其傅里叶级数的和在 的连续点处收敛到其本身，在 的间断点处收敛到该点处左右极限的算术 平均。
考点1 常数项级数的定义与敛散性的讨论
分析 对AC选项可举反例
，对B选项可举反例
。
更多的经验总结被放在压缩包任意项级数的审敛问题.zip里。
考点1 常数项级数的定义与敛散性的讨论
分析 看到交错级数，立刻想到莱布尼茨审敛法。结合“正项数列”“单调 减少”的条件可知 的必定收敛且极限不为0，于是可推知待证级数的通项 值极限介于0和1。
考点1 常数项级数的定义与敛散性的讨论
证明 由正项数列
可知
。
单调减少可知
无穷级数复习讲义-8页文档资料
第一节 数项级数一．无穷级数∑∞=0n n a 收敛的充分条件：数列{}n a 的前n 项和数列{}n S 收敛； 必要条件：0lim =n a . 例1：证明级数∑∞=121n n收敛. 证：①教材第二页的证明方法（利用cauchy 判则）.②取数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n 的前n 项和n S .当2≥n 时，n n n n n 111)1(112--=-≤∴n S =+++222312111 (2)1n + +-+-+≤312121111…n n 111--+=2n 1- ∴n S 单调递增且有界，数列{}n S 收敛，所以级数∑∞=121n n收敛.例2：研究级数∑∞=1001.0n n 的敛散性.解：∵lim 01001.0≠=n，∴级数∑∞=1001.0n n 发散.小结：一般来说，cauchy 判则没有多大的实用价值，在证明数列收敛时一般不用此法；无穷级数∑∞=0n n a 收敛的必要条件的逆否命题也是可以利用.二．收敛级数的性质⒈若级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛，βα,是常数，则级数)(1∑∞=+n n n b a βα也是收敛的.⒉在级数∑∞=1n n a 中改变有限项的值，并不改变级数的敛散性.三．正项级数若n a 0≥，则称∑∞=1n n a 是正项级数.⒈正项级数∑∞=1n n a 收敛的充要条件是它的部分和数列{}n S 有界.（例题参见例1）⒉设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都是正项级数，若从某项开始有b n b a ≤恒成立，则⑴．若∑∞=1n n a 发散，则∑∞=1n n b 发散；⑵．若∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=1n n a 收敛.（比较判别法） 例3：∑∞=11n pn称为p 级数，讨论它的敛散性. 解：证明结果：当1≤p 时，∑∞=11n p n 发散； 当1>p 时，∑∞=11n pn收敛. (详细证明方法参见书本第六页) 例4：级数∑∞=2ln 1n n 发散. 例5：∑∞=+111n n n 收敛.（利用p 级数）小结：一般在应用比较判别法时，要用到p 级数.p 级数的应用价值很大，请记住它的敛散性.⒊设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都是正项级数，A b a bn=lim. ⑴．若+∞<<A 0，则∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 同敛散；⑵．若0=A ，则当∑∞=1n n b 收敛时，∑∞=1n n a 也收敛；⑶．若+∞=A ，则当∑∞=1n n b 发散时，∑∞=1n n a 也发散.例6：∑∞=145ln n nn收敛.证明:∵对于∑∞=145ln n n n，有818945ln 1ln n n n n n=，且l i m 0ln 81=n n ，由∑∞=1891n n 收敛，知∑∞=145ln n n n收敛. 小结：一般在应用这一定理时，也要介入p 级数来做比值判别.⒋（cauchy 判别法）设∑∞=1n n a 是正项级数.⑴．若从某项起，,1<≤q a nn 则∑∞=1n n a 收敛；⑵．若有无穷多个n ，使得0>≥αn a ，则∑∞=1n n a 发散.⒌（cauchy 判别法的极限形式）设∑∞=1n n a 是正项级数，q a n n =lim .⑴．当10<≤q 时，∑∞=1n n a 收敛；⑵．当1>q 时，∑∞=1n n a 发散.⒍（d ’Alembert 判别法）设∑∞=1n n a 是正项级数.⑴．若从某项起 11<≤+q a a n n ，则∑∞=1n n a 收敛； ⑵． 若从某项起有11≥+n n a a ，则∑∞=1n n a 发散. ⒎（d ’Alembert 判别法）设∑∞=1n n a 是正项级数，q a a nn =+1lim. ⑴．当10<≤q 时，∑∞=1n n a 收敛；⑵．当1>q 时，∑∞=1n n a 发散.例7：2)11(211n n nn +∑∞=发散. 例8：∑∞=12)!2()!(n n n 收敛.小结：一般极限形式更容易解决问题.⒐（cauchy 积分判别法的极限形式）设)(x f 在],1[+∞上有定义，非负且单调递减，则∑∞=1)(n n f 与⎰+∞1)(dx x f 同敛散.四．交错级数设0≥n a ，称级数∑∞=-1)1(n n n a 为交错级数.1．设}{n a 单调递减趋于0，则级数∑∞=--11)1(n n n a 收敛，且和不大于1a .例9：∑∞=--11ln )1(n n nn收敛. 五．条件收敛与绝对收敛 称||1∑∞=n n a 为∑∞=1n n a 的绝对值级数1．若||1∑∞=n n a 收敛，则∑∞=1n n a 收敛.若||1∑∞=n n a 收敛，则称∑∞=1n n a 绝对收敛；若∑∞=1n n a 收敛，||1∑∞=n n a 发散，则称∑∞=1n n a 条件收敛.(这是条件收敛与绝对收敛的定义，同时可以作为判别方法)例10：()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--1)11ln(11n n n n 绝对收敛.证：分析只需证明∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)11ln(1n n n收敛即可.由柯西积分判别法，∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)11ln(1n n n 与广义积分⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111ln 1dx x x同敛散.而广义积分⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111ln 1dx x x 是收敛的（收敛于12ln 2-）. ))0(1ln )1(11ln 10(>+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+->⎰x C x x x dx x xx 时，附：所以∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)11ln(1n n n 收敛.所以()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--1)11ln(11n n n n 绝对收敛.注意：∑∑∞=∞=+1n 1)11ln(1n n n 与都是发散的，但∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)11ln(1n n n收敛.()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--1)11ln(11n nn n 绝对收敛，但是n n n 1)1(1∑∞=-与)11ln()1(1n n n +-∑∞= 都是条件收敛的，那我能否说用两个条件收敛的级数的线性组合一定可以表示出一个绝对收敛的级数？第二节 幂级数和Taylor 展式类似于数项级数，可以定义函数项级数.形如nn nx x a )(01-∑∞=的函数项级数称为幂级数.在此我们重点讨论00=x 时的情况（n n n x a ∑∞=1）. 一．幂级数的收敛半径⒈（Abel 引理）如果幂级数nn n x a ∑∞=1在0x )0(0≠x 处收敛，则当||||0x x <时，nn n x a ∑∞=1绝对收敛;如果幂级数nn n x a ∑∞=1在0x )0(0≠x 处发散，则当||||0x x >时，n n n x a ∑∞=1发散.下面两个定理用来确定幂级数的收敛半径：⒉如果L a a n n =+||lim 1(+∞≤≤L 0),则幂级数n n n x a ∑∞=1的收敛半径L R 1=. ⒊如果L a n n =||lim ，则幂级数n n n x a ∑∞=1的收敛半径LR 1=. 例11：求幂级数nn nx n ∑∞=1和n n x n ∑∞=1的收敛半径.解：∵1|1|lim =+n n ，∴n n x n ∑∞=1的收敛半径为1；∵+∞→=n n nnlim ，∴n n n x n ∑∞=1的收敛半径为0.二．幂级数的性质⒈设幂级数nn n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为1R 和2R ，取{}21,m in R R R =,则nn n nx b a)(1βα+∑∞==αnn n xa ∑∞=1+βnn n xb ∑∞=1在()R R ,-中成立.⒉n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则和函数)(x S 在收敛区间()R R ,-上连续.⒊对幂级数n n n x a ∑∞=1逐项积分或微分，不改变收敛半径,但有可能该变收敛区域.例12:求幂级数121!)!12(1-∞=∑-n n x n 的收敛域和和函数.解：显然0!)!12(1!)!12(1lim =-+nn n ，则幂级数121!)!12(1-∞=∑-n n x n 的收敛半径+∞=R ，收敛域为全体实数.令)(x S =121!)!12(1-∞=∑-n n x n ，则)(1!)!32(1)(232x xS n x x x S n n +=-+='∑∞=-， 即)(1)(x xS x S +='，解得)(x S =dt eext x ⎰-0222。
院校资料无穷级数.pptx
sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
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综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
第30页/共122页
例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
第22页/共122页
定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
江苏专转本高等数学 级数 练习加例题
- 160 -第六章 级 数本章主要知识点● 级数收敛定义及性质 ● 正项级数敛散判别方法 ● 一般项级数敛散判别方法 ● 幂级数一、级数收敛的定义及性质定义：∑∞=1n na收敛∑=→=⇔nk nn S aS 1（有限）(→n +∞)性质：① 必要条件 0lim =∞→n n a② ∑na 与∑nb收敛，则∑±)(n nb a收敛③ ∑na 收敛，∑nb 发散，∑±)(n nb a 必发散 ④∑n a发散，∑n b发散，∑±)(n nb a不能确定⑤ ∑p n 1＝⎩⎨⎧发散收敛11p p >≤⑥∑n q 收敛，当.1q const =<例6.1．计算11(3)n n n ∞=+∑ 解：111111111()(1),()(3)33333nn n k k S n n n n n n ====-=-→→∞+++∑∑- 161 -111(3)3n n n ∞==+∑ 例6.2．计算nn q∞=∑（.1q const =<）解：111()11n n q S n q q+-=→→∞-- 所以11n n q q+∞==-∑ 二、正项级数(0)n n a a ≥∑敛散性判别法1. 比值判别法如果∞→n lim11, 1, 1, n nl a l l a l +<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散比值判别法失效 例6.3．∑+∞=1!n nnn 解： 111(1)!lim lim lim()1(1)!1n nn n n n n na n n n e a n n n -++→∞→∞→∞+=⋅==<++ 所以由比值判别法知原级数收敛。
例6.4．124nn n∞=+∑ 解：11124111lim lim lim 12422n n n n n n n a n n a n n ++→∞→∞→∞+++=⋅=⋅=<+ 收敛 例6.5．判别级数()21222133535721n n -+++++⋅⋅⋅-L L L 的敛散性- 162 -解：112357 (21)lim lim 0357...(21)2n n n n n na n a n +-→∞→∞⋅⋅=⋅=⋅⋅+－，收敛 2. 比较判别法比较判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。
高等数学训练之无穷级数.
第五讲无穷级数§1 概念及其性质∞无穷级数（简称级数）：∑un=u1+u2+ +un+ ，un称为第n项式通项一般项。
n=1n∞iSn=u1+u2+ +un=∑ui=1为∑un的前n项和。
n=1∞∞定义：若limSn=S（有限数），则称级数∑un收敛，S为其和，即∑un=S；n→∞n=1n=1∞若limSn不存在，则称级数∑un发散。
n→∞n=1例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。
∞（1）∑n=11∞；（2）∑n=1n∞(n+1)!；（3）∑n=11n(n+1)(n+2)；提示：将通项un写成两项差的形式，即un=vn-vn-1。
解：（1）un=Sn=∞=n1+)+ +=1→∞ (n→∞) ∴∑un=1发散。
（2）un=(n+1)-1=n+1!()1n!-1(n+1)!；⎛1⎫1⎫⎛11⎫11⎛=1-→1 (n→∞) Sn= 1-⎪+ -⎪+ + -⎪⎪2!2!3!n!n+1!n+1!()()⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞∴∑un=1n=1。
⎤1⎡11=⎢- （3）un=⎥ n(n+1)(n+2)2⎣n(n+1)(n+1)(n+2)⎦1Sn=1⎡⎛11⎫⎛11-+-⎢⎪2⎢⎝1⋅22⋅3⎭⎝2⋅33⋅4⎣⎛⎫⎤11⎫+ +-⎥⎪⎪⎪⎭⎝n(n+1)(n+1)(n+2)⎭⎥⎦⎤1⎡111=⎢-→(n→∞) ⎥2⎣1⋅2(n+1)(n+2)⎦4∞∴性质：∑n=1un=14。
∞∞①设c≠0为常数，则∑cun与∑un具有相同的敛散性；n=1n=1∞∞∞②设∑un=S，∑vn=σ，则∑(un±vn)=S±σ；n=1n=1n=1∞∞∞设∑un收敛，∑vn发散，则∑(un±vn)发散；n=1n=1n=1∞∞∞设∑un与∑vn均发散，则∑(un±vn)具体分析。
n=1n=1n=1∞③ ∑un去掉或添加有限项不影响其敛散性，但收敛时其和可能要改变；n=1∞④设∑un收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛于原级数的和；n=1∞∞设有一个∑un，若对各项加括号后所得新级数发散，则原级数∑un发散；若对其n=1n=1各项任意加括号后收敛，则原级数敛散性要具体分析。
无穷级数的课件
练习题答案
一 、 1、
1 2 24 246 2468 1! 2 ! 3! 4! 5! 2 3 4 5； 2、 1 1 2 3 4 5
n
12
135
1357
13579 2 4 6 8 10
；
3、
x2 2 4 6 (2n)
1 3 1 4 9 ) A1 ( 1
lim A n A1 ( 1
n
3 5
)
2 3 5
.
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq a aq aq aq (a 0)
n 2 n n 0
n
1 n1
n
) 5,
1 2 1 2
2 n 是等比级数
n1
1
, 公比 q
1
1 , 首项是
，
2n
n1
1
lim h n
n
2 1 1 2
1,
5 1 故 n 5 1 6. 2 n1 n ( n 1)
解
n( n 1) 2 n
n1 n1
5
1
1 1 5 n 1 n1 n ( n 1) n1 n 5 1 1 1 令 gn 5 ), 5 (1 k 1 n1 k 1 k
n
lim g n 5 lim ( 1
n
7
1 2 .3 3 10 n 0 100 17
江苏专转本高等数学 极限、连续与间断 例题加练习
第一章 极限、连续与间断本章主要知识点● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类● 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()limm x nP x P x ->∞方法：上下同除以x 的最高次幂例1.1．5422lim x x x x x->∞+-+ 解：原式534111lim 11x x x x x ->∞+-==∞+ 例1.2．()()2243123lim31x x x x ->∞+-+解：原式()()222243123lim13x x x x x x ->∞+-=+2241332lim 13x x x x->∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=12 例1.3．111313lim-++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim-++-++∞→x x x x x =xx x x x 11111313lim-++-++∞→=3 例1.4．)214(lim 2x x x x -+-+∞→解：原式=xx x x x 2141lim2++-+-+∞→=211411lim 2++-+-+∞→xx x x =41-例1.5．xx x xx x x 234234lim --+++∞→解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim--+++∞→=1 （2）题型II ()lim()m x an p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, 例1.6．12cos lim1++→x x x π解：原式=1/2例1.7．12sin lim 231+-++→x x xx x x π解：原式=∞例1.8．32lim 221-+-→x x xx x解：原式=)3)(1()1(lim 1+--→x x x x x =3lim 1+→x x x =41例1.9．11lim31--→x x x解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23例1.10. 2232lim 221=+-++→x x bx ax x 解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4 （3）题型III若0)(lim =→x f ax ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax例1.11. 22limarccot(sin(1))3x x x →+∞++解：因为 limx →+∞2arccot(sin(1))x +有界 所以 原式＝０。
高等数学无穷级数上课习题与答案
第一次作业1.写出级数√12+12?4+1√12?4?6+122?4?6?8+?的一般项 。
解：一般项为u 1=(112)1(21)!!2.已知级数∑2n n !nn ∞n =1收敛，试求极限lim n →∞2n n !n n 。
解：由级数收敛必要条件可知lim n →∞2n n !n =0 3.根据级数性质，判定级数∑(11+21)∞1=1的敛散性。
解：因为级数∑(15n )∞n =1收敛，级数∑(2n )发散，∞n =1所以由性质可推导出级数∑(151+21)发散。
∞1=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n −1−√n )的敛散性，∞n =1若收敛，求其和。
解：设u 1=√n −1−√n ,11=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n −1−√n=√1+1−1=11+1+1因为lim 1→∞11=lim1→11+1+1=∞ ,所以所求级数发散。
5.判定级数∑√n +1n∞n =1的敛散性。
解：因为lim 1→∞11=lim 1→∞√n +1n=1≠0 ，所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n =1发散 。
6.根据级数性质判定级数1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1+?的敛散性。
解：原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?11+?)=12∑11∞1=1第二次作业1.根据P —级数的敛散性，判定级数∑21+1(11)(12)∞1=1的敛散性。
解：因为21+1(1+1)2(1+2)2<21+2(1+1)2(1+2)2<2(1+1)3<213由∑113∞1=1是收敛的，所以∑21+1(1+1)2(1+2)2∞1=1收敛。
2.如果∑11∞1=1，∑11∞1=1为正项级数且收敛，试判定∑√1111∞1=1的敛散性 。
解：因为√1111≤11+11,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞n =1收敛。
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n0
展开
当xx0 时为数项级数;
un( x)
当 un(x)anxn 时为幂级数;
n0
当 u n ( x ) a n cn o x b n s sn i x n
(an,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
【基本问题】 判别敛散；
求和函数(收敛域)；
级数展开.
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n 2n
x 2n
x2 2
当 x2 1 , 即 2x 2时级， 数收敛; 2
当x 2时 ,一般项 un n不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 ( 2, 2).
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20
三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式 • 映射变换法 （在收敛区间内）
7
级数审敛法表格一览
正项级数
交错级数
任意项级数
1. 若sn s,则级数收 ; 敛 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散
3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.Leibnitz定理 4.绝对收敛 5.条件收敛
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8
【例1】 若级数 an与 bn 均收敛 , 且 ancnbn
n
1 nn 1
1 1
nn n n(1)
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
由此可知,可用比较法的极限形式与∑1/n比较,则容易.
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(n!)2
(2)
n1
2n2
:
n cos2
(3)
n1
2n
n
3
:
10
利用比值判别法, 可知原级数发散.
n
用比值法, 可判断级数 n 1 2 n 收敛, 再由比较法可知原级数收敛 .
25
即得
xn n1 n(n 1)
1(11)ln (1x), x
0 x 1
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 .
根据和函数的连续性 , 有
1 (1 1 )l( n 1 x ), 0 x 1 及 x 1 x
S(x) 0 ，
x 0
1 ，
x 1
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n1
n1
(n 1 ,2 , ),证明级数 c n 收敛 .
n1
【证明】 0 c n a n b n a n (n 1 ,2 , ),则由题设
(bn a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n1
n1
c n [(cnan)an]
n1
n1
(cn an) a n 收敛
n1
1x (1)n x2n1
2 n0(2n1)!
1(xsinx) 2
1sinxxcoxs, x (, )
2
2
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22
［法2］ 先求出收敛区间 ( , ), 设和函数为 S(x),则
x
S (x)dx ( 1 )n
n1xx2n 1dx
0
n 0 (2 n1 )!0
(4)
n2
1 ln10
: n
lim ln 10 nlim ln 10 x n n x x
lim 1l0 n 9x lim 1!0 0
x x
x x
N ,当 nN 时0 ， l1 n有 n 01 , n
于l是 n 1n 0n, ln 1 1n 0n 1,
1 n2ln10n
发散 .
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利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
【练习】 设正项级数 u n 和 v n 都收敛, 证明级数
n1
n1
n1
unvn,n 1unn 也都收. 敛
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14
【例4】.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(1)
(1)n
n1
1 np
;
(2)
(1)n1
n1
【解】
1 (2x)2
1
2x
1 1 2 1
x 2
1 2
n0
xn 2n
1 2 n1
nxn1 2n
,
x(2,2)
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28
(2) f(x)xet2dt,将f(x)展开成x的幂级数. 0
【解】 ex
xn ,
n0 n!
et2 (1)nt2n,
n0
n!
f(x) x (1)nt2ndt
un
(1
1 n
e
)n
n
(11)n1 e n
1 (1 1 )n
10 (n) e
n
因此级数在端点发散 , 故收敛区间为 ( 1 , 1 ) .
ee
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19
(4)
n1
n 2n
x2n
【解】 因 lim un1( x) n un( x)
lim n
n1 2n1
x
2(n1)
| x | 2
在 n 1n2n n x1(22x)2 中令 x =1 即得
n 12nn (221)2 2
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四、函数的幂级数
27
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式
• 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
［练习］ 【例1】
1 （1）将函数 ( 2 x ) 2 展开成 x 的幂级数.
【解】
1 1 x2
(1)n x2n,
n0
x(1,1)
x
arctxan
0
1
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n1
x[1,1]
于是
f (x) 1
(1)n
x2n
(1)n
x2n2
n12n1
n02n1
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30
f (x) 1n12(n1)n1x2nn02(n1)n1x2n2
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
S(x) 对和式积分或求导
a
n
x
n
n0
求和
S*(x)
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21
【例1】求幂级数
(1)n
n1 x2n1的和.函数
n0 (2n1)!
［法1 ］ 易求出级数的收敛域为 ( ,)
原式 1( 1)n 1 (x2n 2)
2n 0 (2n1)!
【例3】求
n1
n 2n
的和.
26
【解】
级数
n可视为幂级 xn 数
n12n
n12n
求导后 x n 所 1n2n n x 1 得 当 x 级 1时数 的值
n1
xn 2n
( x)n n1 2
2 1 x
x 2 x
| x | 2
2
11
nxn1 2n
(
n1
2xnn)
( x ) 2x
(22x)2
n1
【练习题】 P264
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解答提示:
9
【例2】. 判别下列级数的敛散性:
1
(1)
;
n1 nn n
(2)
n1
(n!)2 2n2
;
(3)
n1
ncos2 2n
n
3
;
1
(4) n2 ln10n ;
an
(5)n1ns
(a0,s0).
［提示］ (1) lim nn1, 0,N ,当 nN时 ,有
n 1
n 1
如 :vn1, unn 12;
(4 )若正 n 1u 项 n 发级 散 u n 数 n 1 ， ； ( 则 )
如:
un
1; 2n
(5 )若 u n 与 v n 都,则 发 (u n 散 v n )发(散 ) ；
n 1 n 1
n 1
如 :vnn 1, unn 1;
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n1
若
un
n 1
若
un
n1
收敛 , 称 u n 绝对收敛
n1
发散 , 称 u n 条件收敛
n1
Leibnitz判别法: 若 u nu n 10, 且 ln i mun0,
则交错级数 (1)n1un 收敛 , 且 su1 ，余项 rn un1. n1
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【例3】. 设正项级数
(un vn)2也收敛 .
n1
un 和
n1
13
v n 都收敛, 证明级数
n1
［提示］ 因 ln i u m nln i v m n0,存在 N > 0, 当n >N 时 u2 nun, v2 nvn
又因 (unvn)2 2(un2vn2) 2 (u n v n )(n N )
1 (1)n x2n2
2 n0(2n1)!
x (1)n x2n1 x sin x
2n0(2n1)!
2
S(x)1sixn xcox,sx (, ) 22
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［练习］ 【例2】. 求下列幂级数的和函数：
(1) n 12n2 n 1x2(n1);
xn
(4)
.
n1n(n1)