函数函数定义
函数的基本概念
函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析的基础。
它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念以及一些常见的函数类型。
1. 函数的定义函数是数学中一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式表示。
2. 函数的表示方法函数可以通过不同的方式进行表示。
常见的表示方法包括：- 变量表达式：如y = 2x + 1，其中y表示因变量，x表示自变量。
- 函数图像：通过绘制自变量和因变量之间的关系，可以得到函数的图像。
图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质。
- 函数表格：通过将自变量和因变量的对应关系列成表格形式，可以清晰地展示函数的取值情况。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，即函数能够接受的输入。
函数的值域是指函数的所有可能输出值，即函数的取值范围。
定义域和值域是函数的重要性质，可以帮助我们了解函数的范围和性质。
4. 常见的函数类型4.1 线性函数线性函数是最简单的一种函数类型，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不等于零。
线性函数的图像为一条直线，具有常等差的特点。
4.2 幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数。
幂函数的图像根据n的不同而变化，n为偶数时图像可以是开口向上或向下的抛物线，n为奇数时图像则可以是一条直线。
4.3 指数函数指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像通常呈现出逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
4.4 对数函数对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像通常呈现出逐渐增长但增长速度逐渐减缓的曲线，具有反指数增长的特点。
4.5 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
函数的概念及表示
函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。
函数的11个概念
函数的11个概念函数是数学中的一个重要概念，它在数学领域、计算机科学领域和其他许多学科中都有广泛应用。
下面我将详细介绍函数的11个概念。
1. 函数定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
对于每个自变量的取值，函数都具有唯一的因变量值。
函数的定义常用函数公式、表格或图像表示。
2. 函数的值域和定义域函数的定义域是所有自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量值的范围。
在一些情况下，值域和定义域可能有限制。
3. 函数的反函数函数的反函数是指将函数的因变量和自变量进行互换得到的新函数。
反函数可以理解为原函数的逆运算，它可以通过函数的图像关于直线y=x的对称性得到。
4. 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来确定奇偶性。
如果函数满足f(-x) = f(x) ，则它是偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。
有些函数既不是偶函数也不是奇函数。
5. 函数的零点函数的零点是指函数取零值的自变量的值。
求函数的零点通常需要解方程f(x) = 0, 通过求解这个方程可以找到函数的零点。
6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的所有点都具有连续性。
一个函数在某一点连续，意味着在这个点函数的极限存在且等于函数在该点的值。
函数的连续性在数学分析和物理学中有广泛应用。
7. 函数的导数和导函数函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点可导，那么该点的导数表示了函数曲线在该点的切线的斜率。
导函数是原函数的导数函数，它可以用来求函数在某点的切线斜率。
8. 函数的积分和不定积分函数的积分描述了函数在一定区间上的“累积变化”。
不定积分是对函数求解反函数运算，它可以得到函数在给定区间上的积分值。
积分在数学和物理学中有广泛应用。
9. 函数的极限函数的极限描述了函数在某一点不断逼近某个特定值的趋势。
极限可以用来描述函数在无穷大或无穷小趋势的特性。
10. 函数的峰值和谷值函数的峰值和谷值是函数在定义域内的最大值和最小值。
定义函数的几种方法
定义函数的几种方法函数是计算机程序中一个独立且可重复使用的代码块。
它可以接受输入参数，并通过执行特定的操作来产生输出结果。
函数是程序设计中的一种基础概念，它将大型程序分解成较小的模块，使得代码更加模块化、易读、易维护。
在不同的编程语言中，定义函数的方式和语法可能会有所不同。
下面是一些常见的函数定义的方法。
1. 函数定义关键字：通过在不同的编程语言中使用特定关键字来定义函数。
例如，在Python中使用`def`关键字来定义函数，形式如下：```pythondef function_name(parameters):#执行代码块return result```其中`function_name`是函数的名称，`parameters`是函数的参数，可以有一个或多个。
`return`关键字用于返回函数的结果。
2. 匿名函数：有些编程语言支持匿名函数的定义方式。
它们也被称为lambda函数。
这种函数没有名称，通常用于简单的操作。
例如，在Python中可以使用以下方式定义匿名函数：```pythonlambda parameters: expression其中`parameters`是函数的参数，可以有一个或多个。
`expression`是函数的操作，执行并返回结果。
3. 方法定义：有些编程语言中，函数被定义在类的内部，被称为方法。
在这种情况下，函数会关联到特定的对象，并可以访问该对象的属性和方法。
方法定义的方式与函数定义类似，但它们是通过类来调用的。
例如，在Python中的方法定义形式如下：```pythonclass ClassName:def method_name(self, parameters):#执行代码块return result```其中`ClassName`是类的名称，`method_name`是方法的名称，`parameters`是方法的参数，可以有一个或多个。
`self`参数表示该方法是对象的一部分。
函数的定义
函数的定义函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。
我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数的近代定义:设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。
符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为:x是自变量，它是法则所施加的对象;f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述;y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。
y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。
对函数概念的理解函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。
由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
y=f(x)的意义是:y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。
至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。
函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。
函数的定义是什么？
函数的定义是什么？导读：本文是关于生活中常识的，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
给定一个数集A，假设其中的元素为x。
现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数的由来中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。
是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。
李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。
”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。
这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。
”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。
我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。
但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
函数的定义给定一个数集A，假设其中的元素为x。
现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。
然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。
最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
函数的定义及有关概念
函数的定义及有关概念
函数是数学中常见的概念，它是一个将一个或多个输入值映射到唯一一个输出值的规则或过程。
函数通常表示为f(x)或y = f(x)，其中x是输入值，f是函数，y 是输出值。
函数的定义包括几个重要的要素：
1. 定义域：函数的定义域是指所有可能输入值的集合。
它限定了函数能够接受的输入范围。
2. 值域：函数的值域是指所有可能输出值的集合。
它限定了函数能够产生的输出范围。
3. 图像：函数的图像是指函数在坐标系中的表示形式。
它由所有输入值与其对应的输出值组成的点的集合构成。
4. 关系：函数定义了输入和输出之间的关系。
对于每个输入值，函数只能有一个输出值。
5. 映射：函数将每个输入值映射到唯一一个输出值。
这个映射过程可以通过一个算法、公式或规则来表示。
6. 变量：函数中的变量是指输入值和输出值可变的量。
在函数定义中，通常用字母x表示输入变量，用字母y表示输出变量。
函数可以有不同的类型和形式，比如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
函数的性质和特点也可以通过函数的图像、导数、积分等来描述和分析。
函数在数学和科学中有着广泛的应用，它是建立数学模型、解决问题的重要工具。
函数的三种定义方式
函数的三种定义方式一、函数的定义函数是一段被封装起来的代码块，用于实现特定的功能。
它是程序的基本组成单元，可以重复使用，提高代码的可读性和重用性。
函数定义的一般形式如下：def函数名(参数1, 参数2, ...):# 函数体# ...return返回值函数定义的关键字是def，紧接着是函数名，括号中是参数列表，用逗号分隔。
函数体是由冒号后的缩进代码块组成，可以包含多条语句。
return关键字用于返回函数的结果，可以省略。
二、函数的三种定义方式Python中有三种定义函数的方式，分别是普通函数，匿名函数和高阶函数。
2.1 普通函数普通函数是最常见的函数定义方式。
它可以根据需要接收参数，执行特定的功能，然后返回结果。
普通函数的定义方式如下：def函数名(参数1, 参数2, ...):# 函数体# ...return返回值普通函数通过def关键字定义，后面是函数名和参数列表，函数体由冒号后的缩进代码块组成。
最后使用return语句返回函数的结果。
2.2 匿名函数匿名函数也被称为lambda函数，是一种短小、简洁的函数定义方式。
它只能由单条表达式组成，不需要使用def关键字定义函数名。
匿名函数的定义方式如下：lambda参数1, 参数2, ...: 表达式lambda关键字表示定义一个匿名函数，后跟参数列表和冒号，冒号后是一个表达式，表达式的结果将作为匿名函数的返回值。
2.3 高阶函数高阶函数是指能够接收函数作为参数或者返回函数的函数。
它可以将函数作为一等公民对待，实现更加灵活和抽象的编程。
高阶函数的定义方式如下：def高阶函数名(函数名):# 函数体# ...return函数高阶函数使用def关键字定义，后面是函数名和参数列表，函数体可以包含多条语句。
最后使用return语句返回一个函数。
三、函数的应用场景函数的定义方式决定了它们的应用场景。
下面是函数的三种定义方式在实际编程中的应用场景：3.1 普通函数的应用场景普通函数可以实现复杂的逻辑，较为常见的应用场景有： - 封装特定功能的代码片段，提高代码重用性。
函数的基本定义
§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法．2．映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 5．函数定义域的求法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )(4)f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2， －1≤x ≤1，x ＋1，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2， －1≤x ≤1，－x ＋1，x >1或x <－1.( √ )(5)函数是特殊的映射．( √ )(6)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )1．(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x >0，解得x >1或x <0.所以函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为 (－∞，0)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值组成的集合为________．答案 {3,0}解析 当a >0时，由log 3a ＝1，解得a ＝3>0，符合题意，当a ≤0时，由(13)a ＝1，解得a ＝0，符合题意，综上所述，a ＝0或a ＝3. 4．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图像不是一条直线； 对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 (2)下列四个图像中，是函数图像的是( )A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④答案 (1)A (2)B解析 (1)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)， f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.(2)由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图像，①③④是函数图像． 题型二 求函数的解析式例2 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)(2013·安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，则f (x )＝________.答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－x (x ＋1)2 (3)2x －1x(x ≠0) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)把题目中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x，联立方程⎩⎨⎧2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①2f (1x )＋f (x )＝3x，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x (x ≠0)．即f (x )＝2x －1x (x ≠0)．题型三 求函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)(2013·大纲全国)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)答案 (1)B (2)B解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为(－1，－12)．思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________________________________________________________________________． 答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型四 分段函数例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2B ．1C. 2D ．－ 2答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2； 当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.思维升华 (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (19))＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝12的解集为________．答案 (1)14 (2){－1，22，2}解析 (1)f (f (19))＝f (log 319)＝f (－2)＝2－2＝14.(2)当x ≤0时，解2x ＝12得x ＝－1；当x >0时，解|log 2x |＝12得x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2.分段函数意义理解不清致误典例：已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案 －34温馨提醒 (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解．失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1， 解得x >2或0<x <12.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.139答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( )A ．－2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 答案 D解析 f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 6．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(填序号)①P ＝Z ，Q ＝N ＋，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对集合P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．答案 ②解析 由于在①中，集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而知只有②正确．7．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________. 答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，f (x －2)，x >2，则f (log 27)＝________. 答案 74解析 f (log 27)＝f (log 27－2)＝f (log 274)＝27log 42＝74. 9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . 10．某人开汽车沿一条直线以60km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图像．解 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ， 0≤t ≤52，150， 52<t ≤72，150－50，(t －72) 72<t ≤132. 图像如右图所示． B 组 专项能力提升 (时间：15分钟) 11．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.12．(微课)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3} 答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]；当a ≤x <0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)， 所以[－12a ，－1)⊆[－8,1]，－8≤－12a <－1， 即－3≤a <0.13．已知f (x )＋2f (－x )＝3x －2，则f (x )＝______.答案 －3x －23解析 由f (x )＋2f (－x )＝3x －2，①可得f (－x )＋2f (x )＝－3x －2，②①－②×2得，－3f (x )＝3x －2－2(－3x －2)＝9x ＋2，∴f (x )＝－3x －23. 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是____________________． 答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图像，得⎩⎨⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， ∴y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2， 得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
函数的定义与基本性质总结
函数的定义与基本性质总结在数学中，函数是一种特殊关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义和基本性质是数学学习的重要基础知识之一。
本文将重点总结函数的定义、函数的性质以及函数的常见类型。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值或因变量。
函数的定义通常包括定义域、值域和映射规则三个方面。
1. 定义域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合。
它决定了函数的输入范围。
2. 值域：函数的值域是函数映射到的所有可能的因变量值的集合。
它决定了函数的输出范围。
3. 映射规则：函数的映射规则描述了自变量和因变量之间的对应关系，即函数在定义域内的计算规则。
二、函数的性质函数具有一些基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。
1. 单调性：函数可以是单调增加的，也可以是单调减少的。
如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为单调增加的。
当x1>x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为单调减少的。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
3. 周期性：函数可以具有周期性，即在一定范围内具有相同的函数值。
对于函数f(x)，如果存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数的周期为T。
4. 有界性：函数可以是有界的，即在定义域内存在上界和下界。
如果存在常数M，使得对于定义域内的任意x，有|f(x)|≤M，则函数为有界函数。
三、函数的常见类型在数学中，常见的函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1. 多项式函数：多项式函数是由常数和自变量的幂次幂相加或相乘而得到的函数。
函数概念与知识点总结
函数概念与知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种对应关系，将一个或多个输入参数映射到一个输出结果。
在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是输入参数，f(x)是输出结果。
函数也可以表示为y=f(x)，其中y是输出结果，x是输入参数。
函数还可以表示为y=f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是多个输入参数。
1.2 函数的特性函数具有一些特性，包括单值性、有限性、定义域和值域。
单值性表示对于每个输入参数，函数有且只有一个输出结果。
有限性表示函数的定义域和值域都是有限的。
定义域是函数能接受的输入参数的集合，而值域是函数输出结果的集合。
1.3 函数的分类函数可以根据其形式、性质和用途进行分类。
常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。
函数还可以根据其定义域和值域的不同进行分类，如有界函数、无界函数、周期函数等。
二、函数的性质与图像2.1 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来判断奇偶性。
若函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数。
2.2 函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增加和减少情况。
若对于定义域内的任意两个值x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数是单调递增的；若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数是单调递减的。
2.3 函数的最值函数的最值指在定义域内的最大值和最小值。
函数的最值可以通过求导数或利用一阶导数的性质进行判断。
2.4 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
通过绘制函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化规律。
例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
三、函数的运算3.1 函数的加减运算当两个函数f(x)和g(x)相加或相减时，可以将它们的对应项相加或相减，得到一个新的函数h(x)=f(x)±g(x)。
函数的定义及表示
函数的定义及表示一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()y f u =，()u g x =，(),x a b ∈，(),u m n ∈，那么[()]yf x 称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是y f x()x称为y的原象，映射f也可记为：:f A Bx f x()f x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c d ac=+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆一．选择题（共12小题）1．（2018春•东安区校级期末）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．f：x→y=12x B．f：x→y=2﹣xC．f：x→y=23x D．f：x→y=√x2．（2018春•青山区校级期末）已知函数y=√(a−1)x2+ax+1的值域为[0，+∞），求a的取值范围为（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜13．（2016秋•芗城区校级期末）下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A．B．C．D．4．（2016秋•宁城县期末）下列函数与函数y=x 相等的是（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 2C ．y =(√x 3)3D ．y =x 2x5．（2016秋•湖北期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个6．（2016秋•天门期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个7．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A ={x|x(x +1)≥0}，B ={y|y =√x −1}，则（ ） A ．A=B B ．A ⊆B C ．A ∪B=RD ．B ⊆A8．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A={x |x （x ﹣1）＜0}，B={y |y=x 2}，则（ ）A ．A=B B ．A ⊆BC．A∪B=R D．B⊆A9．（2018•河南模拟）已知函数f（x）=5﹣1og3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（）A．（2，4]B．[2，4）C．[﹣4，4）D．（6，9]10．（2018•济宁一模）已知函数f(x)={lnxx，x＞1e x+1，x≤1，则函数f（x）的值域为（）A．（0，e+1]B．（0，e+1）C．(0，1e]∪(1，e+1)D．(0，1e]∪(1，e+1]11．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x12．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32二．填空题（共4小题）13．（2017秋•杨浦区校级期末）设f(x)=x2√x−1，g(x)=√x−1x，则f（x）•g（x）=．14．（2018春•海安县校级月考）若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．15．（2018•徐汇区二模）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．16．（2017秋•海陵区校级期中）若g（x）=x2+x，x∈{﹣1，1}的值域为．三．解答题（共2小题）17．求函数y=e x+1e x+2值域．18．求下列函数的值域．（1）y=√x−4；√x+3（2）y=2x﹣3+√13−4x；（3）y=√1+x+√1−x．。
函数的三种定义方式
函数的三种定义方式函数是一段封装了特定功能的代码块，可以重复使用，提高程序的可读性和可维护性。
在Python中，函数有三种定义方式：无参函数、有参函数和默认参数函数。
下面将分别介绍这三种定义方式。
一、无参函数无参函数指的是不需要传递任何参数的函数。
它的定义方式如下：```pythondef function_name():# 函数体```其中，function_name为自定义的函数名，可以根据实际情况进行命名。
下面是一个简单的无参函数示例：```pythondef say_hello():print("Hello World!")```该函数的作用是输出“Hello World!”。
使用该函数只需要调用它即可：```pythonsay_hello()```二、有参函数有参函数指的是需要传递参数才能完成特定功能的函数。
它的定义方式如下：```pythondef function_name(param1, param2, ...):# 函数体```其中，param1、param2等为自定义的参数名，可以根据实际情况进行命名。
下面是一个简单的有参函数示例：```pythondef add(num1, num2):result = num1 + num2print("The result is:", result)```该函数的作用是计算两个数之和并输出结果。
使用该函数需要传递两个参数：```pythonadd(1, 2)```执行结果会输出“The result is: 3”。
三、默认参数函数默认参数函数指的是在定义函数时给参数设置默认值，如果调用时不传递该参数，则使用默认值。
它的定义方式如下：```pythondef function_name(param1=default_value1,param2=default_value2, ...):# 函数体```其中，default_value1、default_value2等为自定义的默认值，可以根据实际情况进行设置。
函数的定义和性质
函数的定义和性质函数是数学中一个重要的概念，它描述了数和数之间的关系。
通过函数，我们可以将一个输入值映射到一个唯一的输出值。
在本文中，我们将探讨函数的定义以及它的性质。
一、函数的定义函数可以用以下的方式来定义：设有两个集合A和B，如果对于A 中的每一个元素a，都能够找到B中的一个唯一元素b与其对应，那么我们就说存在一个函数f，它将A中的元素映射到B中的元素。
我们可以用符号f: A→B来表示这个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，我们可以定义一个函数f: ℝ→ℝ，它将实数集中的每个元素x映射到它的平方x^2。
在这个例子中，A和B都是实数集，函数f将A中的每个实数映射到B中的一个实数。
二、函数的性质函数具有以下几个基本性质：1. 唯一性：对于函数f的每个输入值，都存在唯一的输出值与之对应。
换句话说，函数的映射是一对一的。
2. 定义域与值域：函数的定义域是输入可以取值的范围，而值域是函数的输出值可以取值的范围。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或其他集合。
3. 范围：函数的范围是所有可能的输出值的集合。
换句话说，范围是值域在函数映射下的像。
4. 正向函数：如果对于任意的输入值，函数都能够产生一个输出值，那么我们称这个函数为正向函数。
正向函数可以用来描述实际问题中的因果关系。
5. 反向函数：如果对于函数的每个输出值，都能够找到一个或多个输入值与之对应，那么我们称这个函数具有反向函数。
反向函数用来描述逆向的关系。
6. 函数的图像：函数的图像是在坐标系中表示的一组点。
每个点的横坐标是函数的输入值，纵坐标是函数的输出值。
通过函数的图像，我们可以直观地看到函数的性质和特征。
7. 函数的运算：函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
通过函数的运算，我们可以得到新的函数，描述不同函数之间的关系。
三、总结函数是数学中的一个重要概念，它描述了数与数之间的关系。
函数的定义包括了定义域、值域和映射关系。
名词解释函数的定义
名词解释函数的定义函数是计算机程序中的一个基本概念，它是一段可重复调用的代码块。
函数接收输入参数，经过一系列的处理过程，最终返回一个结果。
函数的定义通常包含以下几个要素：1. 函数名：函数名是函数的标识符，用于在程序中调用函数。
函数名应该具有描述性，能够清晰地表达函数的功能。
2. 参数：函数可以接收零个或多个参数作为输入。
参数是函数运行过程中传递给函数的值，可以是各种类型的数据，如整数、浮点数、字符串等。
3. 函数体：函数体是函数的实际代码实现，包括一系列的语句和操作。
函数体中的代码会被执行，可以进行各种计算、逻辑判断、数据处理等操作。
4. 返回值：函数可以有一个返回值，用于将处理结果返回给调用函数的地方。
返回值可以是任意类型的数据，包括基本类型和复合类型。
函数的定义可以像下面这样：```pythondef function_name(parameter1, parameter2, ...):# 函数体，包含一系列的语句和操作# 可以使用参数进行计算、逻辑判断、数据处理等操作# 返回结果或者执行其他操作return result```例如，以下是一个简单的函数定义，用于计算两个数的和并返回结果：```pythondef add_numbers(num1, num2):result = num1 + num2return result```这个函数接收两个参数num1和num2，将它们相加后返回结果。
在程序中调用函数时，可以传入具体的参数值，并接收返回的计算结果。
总结而言，函数是一个可重复调用的代码块，接收输入参数，在函数体中进行处理，并返回结果。
函数的定义包含函数名、参数、函数体和返回值等要素。
函数的使用可以提高代码的可读性、复用性和模块化程度。
高三,函数定义及性质
函数一、函数的概念1. 函数的定义：设A B ，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作(),y f x x A =∈.2.三要素：定义域、值域、对应关系3.常用表示方法：解析法、图像法、列表法4.分段函数1（定义域）、求下列函数定义域： （1）0y =（2）13y x =- （3）y =（4）)y x -（5）y =（6）y =2、已知函数(21)f x -定义域为[]1,5-，求(43)f x +的定义域3、若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)4、已知函数y =定义域为R ，则a 的取值范围是__________．5（值域）、求下列函数的值域：（1）()h x =()f x x = ()2g x x =（2）24()3x f x x -=+，2243()21x x g x x x -+=--，221()1x h x x -=+6、设[1,]A b =，函数213()22f x x x =-+，当x A ∈时，()f x 值域也为A . 则b=______7、函数2()2013g x x x =-，且()(),g a g b a b =≠，则()g a b +=______.8、已知函数sin 1()1x x f x x -+=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为______.9、设函数()f x 是奇函数，并且在R 上为增函数，当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则m 的取值范围是（ ）Ａ．（0,1） Ｂ．（-∞，0） Ｃ．（-∞，12） Ｄ．（-∞，1）10（解析式）、 求下列函数的解析式：（2）已知1)f x =+()f x .（3）已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x .（4）若()2()22f x f x x -+=+，求()f x .11、已知二次函数()y f x =满足(2)(2)f x f x -=--，且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为()y f x =的解析式12、已知(),(,xf x a b ax b=+为常数,0)a ≠，满足(2)1,()f f x x ==有唯一解. 求：①()f x 的解析式；②((3))f f -.13（分段函数）、设函数1221()1log (1)x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩， ， ，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）Ａ．[-1,2] Ｂ．[0,2] Ｃ．[1,+∞) Ｄ．[0,+∞)14、已知函数lg 10()16(10)2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨+>⎪⎩， 0-， ，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） Ａ．（1,10） Ｂ．（5,6） Ｃ．（10,12） Ｄ．（20,24）二、函数的基本性质1.单调性：增函数：12x x <，则12()()f x f x <（自变量小，函数值小），区间D ——单调递增区间.减函数：12x x <，则12()()f x f x >.（自变量小，函数值反而大），区间D ——单调递减区间. 2.最值3.奇偶性：偶函数: ()()f x f x -=，图像关于y 轴对称.奇函数：()()f x f x -=-；图像关于原点对称；(0)0f =.4.周期性：存在一个非零常数T 使得()()f x T f x +=，T 叫做周期.1（单调性）、 求下列函数的单调区间：（1）()3f x x =； （2）2()23f x x x =+-.2、已知函数()x af x e -=（a 为常数），若()f x 在区间[1,+∞）上是增函数，则a 的取值范围是__________．3、函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=,对任意',()2x R f x ∈>，则()24f x x >+的解集为（ ）Ａ．(-1,1) Ｂ．(-1, +∞) Ｃ．(-∞,-1) Ｄ．(-∞,+∞)4、函数212log (231)y x x =-+的单调递减区间为（ ）Ａ．(1, +∞) Ｂ．(12, +∞) Ｃ．(-∞, 34] Ｄ．[34,+∞)5、设()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，对任意(),0,x y ∈+∞有()()()f xy f x f y =+，若(3)1()(1)2f f a f a =>-+，，求a 的取值范围．6、已知()f x 在定义域()0,+∞上单调递减，若22(21)(341)f a a f a a ++<-+成立，求a 的取值范围．7（最值）、求函数()f x x =在[]3,0-上的最大值和最小值分别是______．8、求函数()f x =9、（1）已知函数2()23f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是______．（2）已知2()21)2f x x a x =--+（在区间[]1,5x ∈上的最小值为(5)f ， 则a 的取值范围是___________．（3）函数269y x x =-++在区间[](),3a b a b <<有最大值9，最小值7-， 则___________a b ==，．10、已知函数[)22()1,x x af x x x++=∈+∞，. （1）当12a =时，求()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,()0x f x ∈+∞>，恒成立，求a 的范围．11、已知函数[]22()44220,2f x x ax a a x =-+-+∈，. 若min ()2f x =，求a 的值．12（奇偶性）、判断下列函数的奇偶性：（1）222()1x x f x x +=+； （2）()f x = （3）()22f x x =+-.13、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-.求()f x 的解析式．14、已知3()8f x ax bx =+-，且(2)10f -=，则(2)_______.f =15、已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___16、已知函数2()(2f x x b x a b =++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）Ａ．-4 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．417、已知函数4()12f x x =-+的定义域是[,](,)a b a b Z ∈，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(,)a b 共有（ ）Ａ．2个 Ｂ．5个 Ｃ．6个 Ｄ．无数个18、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若当(0,)x ∈+∞时，()2f x x =-，则满足()0f x >的x 的取值范围是_________19、设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）.A (10)(1)-+∞，， .B (1)(01)-∞-，，.C (1)(1)-∞-+∞，，.D (10)(01)-，，20、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -<1()3f 的x 取值范围是（ ）12.(,)33A 12.[,)33B 12.(,)23C 12.[,)23D21、已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+，（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则(2)f =（ ）Ａ．2 Ｂ．154 Ｃ．174Ｄ．2a22、函数2()1ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且12()25f =. （1） 确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<.23、已知函数(),f x x R ∈，且满足①对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+；②当0x <时，()0f x <；③(1)2f -=-．（1）求证：函数()f x 是奇函数；（2）试问()f x 在区间[]4,4-上是否有最值？若存在请求出最值； （3）解关于x 的不等式2211()()()()22f bx f x f b x f b ->-（0b ≤）．24、定义在R 上的增函数()f x 对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+． （1）求(0)f ；（2）求证：()f x 为奇函数；（3）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数ｋ的取值范围．。
函数的基本概念
函数的基本概念函数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域的数学问题求解和实际生活中的应用。
在数学中，函数是指两个集合之间的一种特殊关系，它把一个集合的每一个元素都唯一地对应到另一个集合的元素上。
1、函数的定义函数可以简单地理解为一种对应关系，形式上可以表示为：f: A→B，其中A和B是两个集合，称为定义域和值域。
对于A中的每一个元素a，函数f把它映射到B中的一个唯一元素上，我们用f(a)表示这个映射后的结果。
例如，我们可以定义一个简单的函数f: ℝ→ℝ，它把实数集合映射到实数集合上，其中f(x) = x^2。
对于任意实数x，函数f会把它映射到x的平方上。
2、函数的特性函数具有一些重要的特性，例如：（1）定义域和值域：函数的定义域是指所有可以输入的元素组成的集合，值域是指函数的输出结果组成的集合。
在定义函数时，需要明确指定定义域和值域。
（2）单射性：单射性是指不同的输入元素对应不同的输出元素。
即对于函数f中的不同元素a和b，如果f(a) = f(b)，则a = b。
（3）满射性：满射性是指每一个值域中的元素都有对应的定义域中的元素，即对于任意b∈B，都存在a∈A，使得f(a) = b。
（4）一一对应：一一对应是指函数同时具有单射性和满射性。
即对于函数f中的不同元素a和b，如果f(a) = f(b)，则a = b，并且对于任意b∈B，都存在唯一的a∈A，使得f(a) = b。
3、函数的图像函数的图像是函数的可视化表示方式，它可以帮助我们更直观地理解函数。
函数的图像通常是在笛卡尔坐标系中绘制的，横坐标表示定义域的元素，纵坐标表示对应的函数值。
以函数f(x) = x^2为例，我们可以将其图像绘制为一个抛物线。
当x 取负值时，函数值也是正数，所以抛物线在原点的左侧也有对应的点。
4、函数的表示方法除了使用公式的形式表示函数外，函数还可以使用其他方式进行表示。
常见的函数表示方法有：（1）函数表格：函数表格是一种简洁明了的表示方式，可以把函数的输入和输出结果都列在表格中。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，在很多学科领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、符号与表示、反函数等角度总结函数的相关知识点。
一、函数的定义函数是一种将每一个元素都映射到唯一的结果上的关系。
具体地说，如果每个元素 x 都有一个对应的元素 y，则可以表示为：f(x) = y其中，f 表示函数，x 是自变量，y 是因变量。
函数的定义域是自变量可能的值域，值域是因变量可能的值域。
二、函数的性质1. 一对一性：对于每一个 x，在函数中有唯一的 y 与之对应。
也就是说，不会有两个不同的 x 具有相同的 y 值，于是存在一个逆映射，反映自变量 y 在函数中对应的自变量 x。
简单地讲就是，每一个 x 对应一个 y，而且每一个 y 也都对应着一个 x，不存在重复的值。
2. 映射性：函数把每个定义域内的元素映射到值域中且无遗漏。
也就是说，对于定义域内的任何一个元素，都能在值域中找到相应的元素，并且一个元素只能对应一个元素。
3. 连续性：若对于定义域中的任意一个数 x，当 x 的取值无限接近某个数 a 时，对应的函数值 f(x) 也无限接近一个数 L，则称函数 f 在 x = a 处连续，其数值为 L。
三、符号与表示一般情况下，我们用小写字母 x 来表示自变量，用小写字母 y或 f(x) 来表示函数值。
一些特别的函数如指数函数 e^x，对数函数logx，三角函数 sinx、cosx、tanx 等，则用特定的符号表示。
同时，在符号表示时，会出现一些特殊的符号。
1. ∞ 表示无穷大，一般情况下分正负无穷大。
2. ∑ 是求和符号，表示把一列数加起来的结果。
3. + 和 - 符号可能同时表示加法和减法。
4. / 和 ×符号可能同时表示除法和乘法。
四、反函数反函数是指，若函数 f 将 x 映射到 y，则函数 f 的逆映射将 y 映射回 x。
相应地，如果 g 为函数 f 的逆映射，则 g(f(x)) = x，f(g(y)) = y。
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问题 S市某日自动测量仪记录下的用电负荷曲线 2 如下图所示。
（1）这个问题中，涉及哪几个量？ （（32））这给一出天这的天用中电的高某峰一、时用刻电，低如谷4.时5h，，负20荷h各，是你
多能少找？到它这们一分时别刻是的在负什荷么y（时×刻1达03到兆的瓦？）是多少吗？
你是怎么找到的？找到的值唯一吗？
自变量与因变量
在某个变化过程中如果只涉及两个变量，且它们 之间有一种对应关系，当给定其中一个变量（自变量 ）的值，根据这个对应关系就唯一确定了另一个变量 （因变量）。
先给定的变量叫自变量：
根据对应关系及给定的自变量的值确定的 变量叫因变量：
明确概念：
函数
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y， 如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有 唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x
课堂小结：
• 本节课我们学习主要内容是什么？ • 你有什么收获？
的函数。
若当x=a时，y=b，则称b叫当自变量取a时的函数值
定义包含以下几个内容： 1、在一个变化过程中； 2、有且只有两个变量；
3、当自变量在允许取值的范围内每取定一个值，函数 都有唯一的确定值和它对应。
做一做：1、瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如
下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何 变化的？
度h/m
思考： （1）这个问题中，涉及哪几个量？
（（32））你观能察求表出格上，升热后气3球m在in和升6空m过in程时中，平 热均气每球分到上达升的多海少拔米高？度吗？
时间 0 1 2 3 4 5 6 7 …
t/min
海拔高 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
0<m≤20 0.80
20<m ≤40 1.20
40<m ≤60 1.60
上表中有几个变量？你能将其中某个变 量看成另一个变量的函数吗？
邮资y是信件质量m的函数吗？
信件质量m是邮资y的函数吗？
练习1：
下列问题反映了哪两个量之间的关系？ 你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
（1）地面气温是20 oC，如果每升高1千米，
气温下降6 oC ，气温T（ oC ）随高度h（千米
）的变化
T（oC
） 20
气温T是高度h的函数吗？
14
8
高度h是气温T的函数吗？
2
O 1 2 3 4 h（km
（2）按下列程序输入一数x，便可输出一个 相应的数y：
输入x ＋2 ×5 －4 输出y；
（3）圆周长C（厘米）与半径R（厘米）的对 应关系如下表（π取3.14）
层数n
1 2 3 4 5 ······
物体总数y 1 3 6 10 15 ······
这是一个变化过程吗？
这里涉及几个量？ 这里的每取一个层数n，都有唯一一个物体的总数y和它 对应吗？
做一做：
2、大家都知道，路程（S）、速度（v）、
时间（t）之间存在关系：s=vt
假设某车的速度为60千米/时，当时间t为1小时， 路程s为多少千米？当时间t为2小时和3小时时候呢？ 请用公式表示此问题中路程（S）与时间（t）之间存 在的关系。
明确概念：
变量与常量
上述三个问题中，高度h、时间t、用电负荷y、 车速v、制动距离s在各自的变化过程中，都可以取 不同的数值。
而热气球每分钟上升的高度30m、公式中的 200在各自的变化过程中保持不变。
在某一变化过程中可以取不同的数值的量叫变量：
在某一变化过程中数值保持不变的量叫常量：
明确概念：
问题 3
汽车在行驶过程中，制动后由于惯性的作用仍 将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动
距离。某型号的汽车在路面上的制动距离 s m 与车速 v km/h之间有下列经验公式：
s v2 200
（1）这个式子中，涉及哪几个量？
（2）当制动时车速v分别40km/h和 60km/h时，相应的制动距离s分别是多少米 ？
半径R（厘
4
5
6.28 12.56 18.84 25.12 31.40
试一试：看谁的眼光准
例1、判断下列变量关系是不是函数？ (1)等腰三角形的底边长与面积
(2)关系 y式 x中 ,y是 x的函数 ? 吗
判断是不是函数，我们可以看它的数学式 子中的变量之间是否满足函数的定义
12.1函数（1）
问题
1
用热气球探测高空气象，设热气球从海拔 1800m处的某地升空，在一段时间内，它匀
速上升。它上升过程中到达的海拔高度h m与
上升时间t min的关系记录如下表：
时间 0 1 2 3 4 5 6 7 …
t/min
海拔高 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
S=60t
这是一个变化过程吗？ 这里涉及几个量？
在这个表达式中，t每取一个值，s的对应值是 唯一确定的吗？
试一试： 1、下图中有几个变量？你能将其中某个
变量看成另一个变量的函数吗？
温度T是时间t的函数吗？
时间t是温度T的函数吗？
试一试： 2、在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量m/克 邮资y/元