高考数学第一轮复习学案25

预测 2013年高考试题：
（ 1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约
5分左右；解答题中
的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为
6分左右；
（ 2）选择、填空题考核立几中的计算型问题 ,而解答题着重考查立几中的逻辑推理
型问题 ,当然 ,二者均应以正确的空间想象为前提。
三．要点精讲
1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距， 线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因
AB'A'，得到分别包含 DA'和 AC的两个平面 A'C'D和平面 AB'C，
又因为 A'C'∥AC，A'D∥ B'C，所以面 D
A'C'D∥面 AB'C。 故 DA'与 AC的距离就是平面 A'C'D和
AB'C的距离，连 BD'分别交两平面于 O 1， O 2两
C' O2
B
A O1
平面 B' 点，
SAC
ACB 90 ， AC 2，
BC 13， SB
29 ，求异面直线 SC与 AB所成角的余弦值。
S
A
B
C 图1 解法 1：用公式
当直线 AB 平面
A，AB与 所成的角为
1， l是 内的一条直线， l与
AB
在 内的射影 AB' 所成的角为
2，则异面直线 l与 AB所成的角 满足
cos
cos 1 cos 2。以此为据求解。
B'
E
C'
O'
A'
D'
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在 Rt△OO'D中， OE ·O'D
OD ·OO' ，可求得 OE 3 3
点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。 解法 2：如图 2连接 A'C'、 DC'、 B'C、 C
线段 AF＝n，那么 EF ＝d m n 2mncos （ “±符”号由实际情况选定）
2．夹角
2
2
2
空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种
角的概念定义和取值范围，其范围依次为 ( 0°， 90°]、 [0 °，90°]和[0 °，180°]。
（ 1）两条异面直线所成的角 求法： ○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，
SC与 AB所成的角，如图 2。又四边形 ABCD是平行四边形。
由勾股定理，得： DC AB 17 ，SA 2 3 ， SD 5。
S
A B
D
C
图2
在 SCD 中，由余弦定理，得： cos SCD
2
SC
DC2
S2D 17 。
2 SC DC 17
点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（ 1）恰当选点，作两条异面直线的平行
○
（ 3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的
距离，叫做这条直线和平面的距离；
（ 4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距 离。
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和
“平行移动 ”的思想方法，
把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：
○
然后通过解三角形去求得； 2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异
面直线所成角得范围是 (0, ]，向量所成的角范围是 [0, ]，如果求出的是钝角，要注意
2
转化成相应的锐角。
（ 2）直线和平面所成的角
求法： “一找二证三求 ”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面
的斜线与平面所成的角，根据定义采用 “射影转化法 ”。
题型 5：线面距离
例 5．斜三棱柱 ABC—A1B1C1中，底面是边长为
0
边 AB、AC均成 60的角， AA1=7。
4cm的正三角形，侧棱
AA1与底面两
（ 1）求证： AA1⊥BC； （ 2）求斜三棱柱 ABC—A1B1C1的全面积； （ 3）求斜三棱柱 ABC—A1B1C1的体积； （ 4）求 AA1到侧面 BB1C1C的距离。 解析：设 A1在平面 ABC上的射影为 0。 ∵∠ A1AB=∠ A1AC，∴ O在∠ BAC的平行线 AM 上。 ∵△ ABC为正三角形，∴ AM ⊥BC。 又 AM为 A1A在平面 ABC上的射影，∴ A1A⊥BC
为
1
，那么点 M 到直线 EF的距离为
。
2
解析：过 M 作 MO ⊥ EF，交 EF 于 O，则 MO ⊥平面 BCFE . 如图所示，作 ON ⊥ BC ，设 OM =x，
1
又 tanMBO =，∴ BO =2x
2
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＝ S ，其中 S为斜面面积， S′为射
cos
S
影面积， 为斜面与射影面所成的二面角。
3．等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或
直角）相等。
四．典例解析
题型 1：直线间的距离问题
例 1．已知正方体 ABCD A'B'C'D' 的
(1)证明：连结 OC。 ∵ BO=DO,AB=AD∴, AO⊥BD。
∵ BO=DO,BC=CD∴, CO⊥ BD。
在△ AOC中，由已知可得
AO=1,CO= 3。
而 AC=2，∴ AO +CO =AC ∴∠ AOC=9°0 ,即2 AO2⊥ O2C, 。
BD OC 0,∴ AB 平面
BCD 。 （Ⅱ）解：取 AC 的中点 M ,连结 OM 、ME 、 OE ，由 E为 BC 的中点知 ∴直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角。
① 找出或作出表示
有关距离的线段； ② 证明它符合定义； ③ 归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易
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找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线 a、 b所成的角为 ，它们的公垂线 AA ′的长度为 d，在 a上有线段 A′E＝ m， b上有
此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线
段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点
到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（ 1）两条异面直线的距离
VA ACD
VA CD, E
∴1
h
·△SACD =
1
AO··S△CDE .
3
3
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在△ ACD 中， CA =CD=2,AD = 2 ,
由题意，知 SA 平面 ABC，AC BC ，由三垂线定理，知 SC BC ，所以 BC 平
面 SAC。
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因为 AC 2，BC
13， SB
29 ，由勾股定理，得
AB 17 ，SA 2 3 ， SC 4。
在 Rt SAC 中， cos SCA AC 1，在 Rt ACB 中， SC 2
cos CAB AC 2 。 AB 17
设 SC与 AB所成角为 ，则， cos
cos SCA cos C1A7B 17
过点解法C作2：C平D/移/BA，过点 A作 BC的平行线交 CD于 D，连结 SD，则 SCD 是异面直线
2
点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来
处理。
题型 4：点面距离
例 4．如图，四面体 ABCD 中， O、E分别 BD 、BC 的中点， CA =CB =CD=BD =2。 （Ⅰ）求证： AO ⊥平面 BCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 E到平面的距离。
线，构造平面角 ；（ 2）证明这个角 （或其补角）就是异面直线所成角；（ 3）解三角
形（常用余弦定理），求出所构造角
的度数。
题型 3：点线距离
例 3．正方形 ABCD 的边长是 2， E、F分别是 AB 和 CD 的
中
点，将正方形沿 EF折成直二面角（如图所示） .M 为矩形 AEFD
内
一点，如果∠ MBE =∠ MBC ， MB 和平面 BCF 所成角的正切值
易证 O1O2是两平行平面距离。
D'
不难算出 BO 1
D'O 2 3 a ，所以 3
A' 图
O 1O2
3 a ，所以异面直线 BD与 B1C之间的距离为 3 a 。 3
3
点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，
则异面直线的距离就是两平面的距离。
题型 2：线线夹角
例 2．如图 1，在三棱锥 S—ABC中， SAB
∴S △ACD =1
2
22
2
3
2 27 ,
2
而
1
AO =1, S△CDE =
3 22
3,
24
2
∴h= AO
3
S
1
CDE
2
S ACD
7
2
wenku.baidu.com
21 , 7
∴点
E 到平面
ACD 的距离为
21。 7
点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距 离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（ 2） SAA 1C1C
SAA 1B 1B AB AA 1 sin A1AB
47
3 14 3
∵ B1B∥ A1A，∴ B1B⊥BC，即侧面
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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 12讲 空间中的夹角和距离
一．课标要求：
1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要 求会计算已给出公垂线时的距离）。
2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；
ME ∥ AB ,OE ∥ DC 。
在△ OME 中， EM 1 AB
2 ,OE 1 DC 1,
2
2
2
OM 是直角△ AOC 斜边 AC 上的中线，∴ OM
1 AC 1,
2
∴ cos OEA
2,
4
∴异面直线 AB与 CD 所成角的大小为 arccos 2 . 4
（Ⅲ）解：设点 E到平面 ACD 的距离为 h.
图
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1
1
又 S△MBE = BE ·MB ·sinMBE = BE ·ME
2
2
1
1
S△MBC = BC ·MB ·sinMBC = BC ·MN
2
2
∴ ME =MN ，而 ME= 5x2
1， MN = x2
1 ，解得
2
x= 。
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距 离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。
（ 2）点到平面的距离
平面外一点 P在该平面上的射影为 P′，则线段 PP′的长度就是点到平面的距离；求法：
1“一找二证三求 ”，三步都必须要清楚地写出来。 ○2等体积法。
为 1，求直线 DA'与 AC的距离。 解法 1：如图 1连结 A'C'，则 AC∥面
B O
棱长 C
A'C'D'，
A
D
连结 DA'、 DC'、DO'，过 O作 OE⊥ DO'于 E
因为 A'C'⊥面 BB'D'D，所以 A'C'⊥ OE。
又 O'D⊥ OE，所以 OE⊥面 A'C'D。 因此 OE为直线 DA'与 AC的距离。
（ 3）二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为 解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自 空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面
角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，
二．命题走向
高考立体几何试题一般共有 4道(选择、填空题 3道,解答题 1道),共计总分 27分左 右 ,考查的知识点在 20个以内。随着新的课程改革的进一步实施 ,立体几何考题正朝着 “多
一点思考 ,少一点计算 ”的发展，从历年的考题变化看 ,以多面体和旋转体为载体的线面位
置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。