对数函数基础运算法则及例题-答案

对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为

),(+∞-∞．

对数的四则运算法则：

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M

M N N

=-;

(3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n

N a n

a log 1

log =

对数函数的图像及性质

例1．已知x =4

9时，不等式 (x 2

– x – 2)＞ (–x 2

+2x + 3)成立，

求使此不等式成立的x 的取值范围.

解：∵x =49使原不等式成立. ∴[249)49(2--]＞ )34

9

2)49(1[2+⋅+⋅ 即16

13＞16

39. 而16

13＜16

39. 所以y = 为减函数，故0＜a ＜1.

∴原不等式可化为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--3220

320222

2

2x x x x x x x x ， 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2

5,

2( 例2．求证：函数f (x ) =x

x -1log 2

在(0, 1)上是增函数.

解：设0＜x 1＜x 2＜1，

则f (x 2) – f (x 1) = 212

221log log 11x x x x ---2

1221

(1)

log (1)x x x x -=-=

.11log 2

1

122

x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴1

2x x ＞1，2111x x --＞1. 则2

1

122

11log x x x x --⋅

＞0，

∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = (a – ) (a ＞1).

（1）求f(x)的定义域和值域；（2）判证并证明f(x)的单调性.

解：（1）由a＞1，a–＞0，而a＞，则x＜1. 故f(x)的定义域为( -∞,1)，

而＜a，可知0＜a–＜a，又a＞1. 则(a– )＜ = 1.

取f (x)＜1，故函数f (x)的值域为(–∞, 1).

（2）设x1＞x2＞1，又a＞1，∴1x a＞2x a，∴1x a

a ＜2x a，

∴ (a–1x a)＜ (a–2x a)，

即f (x1)＜f (x2)，故f (x)在(1, +∞)上为减函数.