2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程课时作业含解析北师大版选修

双曲线及其标准方程

[A 组 基础巩固]

1．双曲线x 225－y 2

24＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )

A ．1或21

B ．14或36

C ．2

D ．21

解析：设双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，不妨设|PF 1|＝11，根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝21，而1

答案：D

2．与椭圆x 2

4＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )

A.x 2

2－y 2＝1 B.x 2

4－y 2＝1 C.x 23－y 23

＝1 D ．x 2－y 2

2

＝1

解析：∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±

3，0)，设双曲线方程为x 2a

2－

y 2b 2

＝1(a >0，

b >0)，则由⎩⎪⎨

⎪⎧

4a 2

－1b 2

＝1，

a 2

＋b 2

＝3，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝2，

b 2＝1，

∴双曲线方程为x 2

2－y 2＝1.

答案：A

3．已知动点P (x ，y )满足x ＋22＋y 2－x －22＋y 2＝2，则动点P 的轨迹是

( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．双曲线的左支

D ．双曲线的右支

解析：

x ＋22＋y 2－x －22＋y 2＝2表示动点P (x ，y )到两定点F 1(－2,0)，

F 2(2,0)的距离之差等于2，由双曲线的定义，知动点P 的轨迹是双曲线的右支．

答案：D

4．已知方程x 21＋k －y 2

1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )

A ．(－1,1)

B ．(0，＋∞)

C ．[0，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：∵方程x 21＋k －y 2

1－k ＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )>0，

∴(k ＋1)(k －1)<0，∴－1

5．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，0

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫

52，0 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫62，0 D ．(

3，0)

解析：双曲线的标准方程为x 21－y 2

1

2

＝1，∴焦点在x 轴上，且

c 2＝1＋

12＝32.∵c >0，∴c ＝6

2

，∴右焦点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫62，0. 答案：C

6．已知双曲线x 24－y 2

9

＝1，F 1，F 2是其左、右焦点，点P 在双曲线右支上．若∠F 1PF 2＝

60°，则△F 1PF 2的面积是__________．

解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，在△ F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－

2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，而r 1－r 2＝4，|F 1F 2|＝213，∴r 1r 2＝36，∴S △F 1PF 2＝1

2

r 1r 2sin

60°＝12×36×3

2

＝9

3.

答案：9

3

7．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 2

9＝1的一个焦点，则m ＝________.

解析：由已知条件有52＝m ＋9，所以m ＝16. 答案：16

8．若双曲线kx 2－2ky 2＝1的一个焦点是(－4,0)，则k ＝________. 解析：据已知得k >0，于是1k ＋12k ＝16.解得k ＝3

32.

答案：3

32

9．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解析：(1)当α＝0°时，方程化为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程化为

x 2

1

cos α＋

y 2

1

sin α

＝1.

①当0°<α<45°时，0<1

cos α<1

sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆；

②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝

2；

③当45°<α<90°时，1

cos α>1

sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．

(3)当α＝90°时，方程化为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.

(4)当90°<α<180°时，方程化为

y 2

1

sin α－

x 2

1

－cos α

＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．

(5)当α＝180°时，方程化为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 10．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)与双曲线x 216－y 2

4

＝1有相同焦点，且过点(3

2，2)．

解析：(1)由已知，得c ＝6，且焦点在y 轴上，则另一焦点为(0,6)． 由双曲线的定义，得2a ＝|－5－0

2＋

6＋62－－5－02＋6－62|＝

8，

∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝20. ∴所求双曲线的标准方程为

y 216－x 2

20

＝1. (2)解法一 由条件可知焦点在x 轴上，设双曲线方程为

x 2a 2

－

y 2b 2

＝1(a >0，b >0)，则

⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2

＋b 2＝16＋4＝2018a 2

－4b

2

＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝12

b 2＝8

，∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.

解法二 设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，则1816－λ－4

4＋λ

＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．

∴所求双曲线的标准方程为

x 212－y 2

8

＝1.

[B 组 能力提升]

1．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则