大学数学概率论及试验统计第三版3-2

§3.2 连续型随 机变量的函数
一、一维连续型随机变量的函数
分布函数法求连续型随机变量的函数的分布. 步骤：
1 根据X的分布计算出Y的分布函数FY(y)； 2 对FY(y)求导得到分布密度fY(y)的粗略形式； 3 讨论Y地取值范围，求出fY(y)的准确表达式。
例1 设随机变量 X 的概率密度为
μ1
μ2
, σ12
σ
2 2
).
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布.
若X1 , X2 ,
Xn
相互独立且依次服从N（1，
2），
1
Leabharlann Baidu
n
n
n
N（2， 22）， N（n， n2）,则
Xi ~ N（
i，
2）
i
i1
i1 i1
四、M max( X ,Y )及N min( X ,Y )的分布
1 P{ X z} P{Y z}
1 [1 P{ X z}][1 P{Y z}]
1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
例 设系统 L由两个相互独立的子系统 L1, L2 联接而成,连接的方式分别为(i)串联, (ii) 并联,
(iii) 备用 (当系统 L1 损坏时, 系统 L2 开始工作), 如图所示.
解 (i)串联情况
由于当 L1, L2 中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,
所以这时 L 的寿命为 Z min(X ,Y ).
由
fX
(
x)
αeαx 0,
,
x x
0, 0,
FX
(
x)
1 0,
eαx
,
x x
0, 0,
由
fY ( y)
βe βy , y 0, y
0, 0;
FY ( y)
Z X Y
当 z 0 时, Z X Y 的概率密度为
f (z)
f X (z y) fY ( y)d y
z αeα(z y) βe βy d y
0
αβeαz ez ( βα) y d y 0
αβ [eαz e βz ]. βα
当 z 0 时, f (z) 0,
于是 Z X Y 的概率密度为
0,
x 0,
f
X
(
x)
x3e x2
,
x 0.
求随机变量Y X 2 和 Y 2X 3 的概率密度.
解 先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y} FX ( y) FX ( y)
再由分布函数求概率密度.
pY ( y) FY( y) pX ( y )( y ) pX ( y )( y )
z1
dx,
0,
1 z 0, 0 z 1, 其他.
z 1, z 1,
0,
1 z 0, 0 z 1, 其他.
说明 此题也可以先求出 Z 的分布函数 F (z),
然后再对 F (z) 关于 z 求导,便可求得 fZ (z).
三、正态随机变量的线性函数的分布
服从正态分布的随机变量称为正态随机变量。
f
(z)
αβ [eαz βα
e βz
],
z 0,
0,
z 0.
五、小结
1.对于一维连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布 时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X 在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的 分布来求 P { g(X)< y }.
2. 二维连续型随机变量函数的分布
解 (1 )Y 的概率密度为
fY ( y) 12 , 1 y 1, 0, 其他.
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
z1 z1
1 π
1
1 x2
1dx 2
1
z1
arctan x
2π
z1
1 [arctan( z 1) arctan( z 1)]. 2π
(2) X 和 Y 的概率密度分别为
设X，Y是两个相互独立的随机变量，他们的分 布函数分别为FX ( x)和 FY ( y) ，则
Fmax(z) P{M z} P{ X z,Y z} P{ X z} P{Y z} FX (z) FY (z).
Fmin (z) P{N z} 1 P{N z} 1 P{X z,Y z}
x yz
令yu x
z
d x p( x,u x)d u
y
x y z
z
x
( p( x,u x)d x)d u
从而：pZ
(z)
d Fz (z) dz
p( x, z
x)d
x
同理：pz(z) p(z y, y)d y.
特别，当X与Y独立时，有
pZ (z) pX (x) pY (z x)d x pX (z y) pY ( y)d y.
Z max( X ,Y ) 的分布函数为
(1 eαz )(1 e βz ), z 0,
Fmax (z)
FX
(z)
FY
(z)
0,
z 0.
αeαz βe βz (α β )e(α β)z , z 0,
fmax
(z)
0,
z 0.
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1, L2 两者之和,即
1 2
(
y
2
3
)3
(
e
y 3 )2 2
,
0,
y 3, y 3.
二、二维连续型随机变量的函数
设( X ,Y )的联合概率密度为 p( x, y), 求Z f ( X ,Y )的分布密度pZ (z). FZ (z) P{Z z} P{ f ( X ,Y ) z}
P{( X ,Y ) Dz } p( x, y)d x d y
1 ( y)3 e( y)2 0 1
2y
2y
ye 2
y
,
y
0,
0, y 0.
当 Y=2X+3 时,有
y 2x 3 x y 3,
y3
2
pY ( y) Fy( y) [
2
pX ( x)d x]
(
y
2
3
)3
(
e
y 3 )2 2
(
y
2
3),
0,
y 3, y 3.
XY L1 L2
L1 X L2 Y
L1 X Y L2
设 L1, L2 的寿命分别为 X , Y ,已知它们的概率密 度分别为
αeαx , x 0,
βeβy , y 0,
f
X
(
x)
0,
x 0,
fY
(
y)
0,
y 0,
其中 α 0, β 0 且 α β. 试分别就以上三种联 接方式写出L 的寿命 Z 的概率密度.
此式称为卷积公式，记为 pz (z) pX pY .
例1 ( 1 ) 设随机变量 X 服从柯西分布, 其概率密 度为
11 fX( x ) π 1 x2 , x , 又设随机变量Y 在 ( 1, 1 ) 服从均匀分布, 且 X 和 Y 相互独立, 求 Z X Y 的概率密度. ( 2 ) 设随机变量 X 和 Y 分别在 ( 1,0 ) 和 ( 0,1 ) 上服 从均匀分布, 又设 X 和 Y 相互独立, 求 Z X Y 的概率密度.
1, 1 x 0,
1, 0 y 1,
fX ( x) 0, 其他.
fY ( y) 0, 其他.
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx.
由图知
1 x 0, 0 z x 1,
即
1 z
x 1
x
0
z
时上述积分的被积函数不等于零.
并且有
z dx,
1
0
fZ (z)
结论1 若X ~ N( , 2 ),则Y X - ~ N( 0,1 )
结论2 若X ~ N( , 2 ),则Y kX b ~ N( k b,k 2 2 )
结论3 设X
,Y相互独立且 X
~
N(
μ1 ,σ12
),Y
~
N(
μ2
,
σ
2 2
).
则 Z X Y 仍然服从正态分布 ,且有
Z
~
N(
(1) Z X Y 的分布
(2) M max( X ,Y ) 及 N min( X ,Y ) 的分布
1 0,
βe βy ,
y y
0, 0.
Fmin (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
1 e(α β)z , z 0,
0,
z 0.
(α β)e(α β)z , z 0,
fmin
(z)
0,
z 0.
(ii)并联情况 由于当且仅当 L1, L2 都损坏时,系统 L 才停止工作, 所以这时 L 的寿命为 Z max(X ,Y ).
Dz
从 而：
d
d
pZ (z) d z FZ (z) d z Dz p( x, y)d x d y.
Z X Y的分布
设( X ,Y )的联合概率密度为 p( x, y),
求Z X Y的分布函数为 pZ (z).
FZ (z) P{Z z}
z x
p( x, y)d x d y d x p( x, y)d y