线性递推数列的特征方程

具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n

x 叫做 线性递推数列

将①式两边同时加上1n yx +-，即：

2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+-

整理得：

211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=---

令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足

b y y a =- 即满足：2y ay b =+ ②

设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则：

1n n n Y x rx +=- ③

1n n n Z x sx +=-

④ 分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得：

121()()n n Y x rx a r -=--

1

21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得：

()n n n Y Z s r x -=-

又由韦达定理可得：

r s a +=

rs b =-

于是有：

11

212111

212111************()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r

x rx x x rx x sx s r s b r b

C sx a r a s s r s r

x rx x sx s r s b s b r r r

C s ------------==----=-------=-+---++++-== ⑤

由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、

二项和方程2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和

方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。

可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为

线性递推数列的特征方程。

例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足：

121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。 解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x

x =+

解之得：r =

，s =

故可设数列的通项公式为

12n n n x C C =+⎝⎭⎝⎭

又11211122x C C ⎛⎫⎛+-=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭

，222121

x C C =+=⎝⎭⎝⎭

解得：15C =

，25C =-.故所求通项公式为：

11522n n n x ⎡⎤⎛⎫⎛+⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .

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