线性目标函数问题

线性目标函数问题

Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

课

题 线性规划

一、基础知识 1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值范围是

2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为

3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩

≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______．

5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩

，则2222x y x y +--的最小值为

例题巩固

线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为

a z c y x

b b -=-+，则z

c b

-可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.

8、设,2,,2,x y x y z y x y -≥=<⎧⎨⎩

若－2≤x ≤2，－2≤y ≤2，则z 的最小值为 ▲ 二, 非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：

1．比值问题

当目标函数形如y a z x b -=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

2.距离问题

当目标函数形如22()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。

3．截距问题

例4 不等式组x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩

表示的平面区域面积为81，则2x y +的最小值为_____

解析 令2z x y =+，则此式变形为2y x z =-+，z 可看作是动

抛物线2y x z =-+在y 轴上的截距，当此抛物线与y x =-相切

时，z 最小，故答案为14

- 4．向量问题

已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组0222x y x y

⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。若(,)M x y 为D 上的

动点，点A 的坐标为()

2,1，则z OM OA =•的最大值为 线性表示

例1 设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是 ．

教师导言：（1）如何解的（预期回答：线性规化）

（2）能否由两式直接“加工”而得—— 线性表示更好：S 6 x a 5 y a 6 ，简记：③ ①×x ②×y ．

（3）（类比）设实数x ，y 满足2

38xy ≤≤，2

49x y ≤≤，则34x y 的最大值是 ．

（4）会求

4

5

x

y

的取值范围吗（简记：③①x②y，取对数，两类问题一样！）

检测：设等差数列{

n

a }的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则a7的取值范围是．（对某学校抽24人，有9人不对，另一校抽39人，15人不对）．三，线性变换问题

例6 在平面直角坐标系x O y中，已知平面区域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面积为 .

解析令x＋y＝u，x－y＝v，则x＝u＋v

2，y＝

u－v

2.

由x＋y≤1，x≥0，y≥0得

u≤1，u＋v≥0，u－v≥0.

因此，平面区域B的图形如图.其面积为

S＝1

2×2×1＝1.

五，线性规划的逆向问题

例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x＝2

3

，y＝

4

5

时，目标函数z＝ax－y取最小值，则实数a的取值范围是 .

解析当直线y＝ax－z（a＜0）过点（2

3，

4

5），且不与直线AC，BC重合时,－z取

得最大值，从而z取得最小值.

k AC＝

4

5

2

3－1

＝－

12

5，k BC＝

4

5－1

2

3

＝－

3

10.

所以，实数a的取值范围是（－12

5，－

3

10）.

8. 若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y －k ≥0，

且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，

则k 的值为 ________． 13．不等式组220x y x y y x y a

-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，

≤，≥，

≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 01a <≤或43

a ≥ 11．（2007浙江）设m 为实数，若22250(,)

30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩

⎭

，则m 的取值范围是_____________。 答案 0≤m ≤43

12（2007湖南）．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤， A B ≠Φ，

（1）b 的取值范围是 ；

（2）若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．

答案 （1）[1)+∞，（2）9

2

四 ，