正、余弦定理复习课件
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高三高考数学复习课件4-6正弦定理余弦定理
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，
则满足条件的三角形有( )
A．1 个
B．2 个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc， 则三内角 A，B，C 的度数依次是________．
π A＝ 3 .
由题意得21bcsin A＝3sain2 A，a＝3，所以 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由 bc＝8，得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33.
【思维升华】 (1)对于面积公式 S＝21absin C＝21acsin B＝12 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
π 又 0<B<π，∴B＝ 3 . (2)因为 a＝2，c＝ 2， 所以由正弦定理可知，sin2 A＝sin2C， 故 sin A＝ 2sin C.
又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C为△ABC的内角， 故sin C≠0， 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又 A∈(0，π)，所以 A＝3π 4 .
从而
sin
C＝
1 2sin
A＝
22×
22＝12.
由 A＝3π 4 知 C 为锐角，故 C＝π6 .
故选 B.
π 【答案】 (1) 3 (2)B
正弦余弦定理复习课ppt
2.三角形中常用的面积公式
1 1 1 1 (1)S＝ ah(h 表示边 a 上的高)．(2)S＝ bcsin A＝ absin C＝ acsin B. 2 2 2 2
3．三角形中的常见结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
大于 第三边，任意两边 (3)任意两边之和________ 小于 第三边． 之差_______
[解析]
∵2asinB＝ 3b，∴2sinAsinB＝ 3sinB，
3 ∵sinB≠0，∴sinA＝ 2 ， π ∵A 为锐角，∴A＝ . 3
[答案] A
②△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a, b,c.若 B＝2A，a＝1,b＝ 3,则 c＝( A．2 3 C. 2 B．2 D．1 )
知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， a b c ＝ ＝ ＝2R sin A sin B sin C 内容 b2＝a2＋c2－2accos B， (R 为△ABC 外接圆半径) c2＝a2＋b2－2abcos C b2＋c2－a2 cos A＝ ； 2bc (1) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； a b c a2＋c2－b2 常见变形 (2)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ； cos B＝ ； 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
解析 ③
④得
2
acos A＝bcos B，
由 sin A＋sin B<sin C，
2
_正弦定理与余弦定理课件复习
(2)由正弦定理得csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC 即 tanA＝tanB＝tanC， ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC 为等边 三角形．
答案：(1)等腰或直角三角形 (2)等边三角形
(理)(2011·天津模拟)在△ABC 中，cos2B2＝a＋2cc(a、b、 c 分别为角 A、B、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
三角形的面积公式
[例 4] 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C
的 对 边 ， 且 a＝ 4， b＋ c＝ 5， tanB＋ tanC＋ 3 ＝ 3
tanB·tanC，则△ABC 的面积为( )
3 A. 4
B．3 3
C.3 4 3
D.34
分析：由 tanB＋tanC 及 tanB·tanC 联想到两角和的 正切公式：tan(B＋C)＝1t－antBan＋Bt·atannCC，又 tan(B＋C)＝ tanA，故由条件式变形可求角 A，问题转化为已知边 a 角 A 和 b＋c 求△ABC 的面积，因此 S△ABC＝12bcsinA，只 须用余弦定理建立 a、A、b、C 的方程，整体处理求出 bc 即可获解．
解析：(1)由余弦定理得 acosA＝bcosB⇒a·(b2＋2cb2c－a2)＝b·(a2＋2ca2c－b2)⇒a2c2 －a4－b2c2＋b4＝0， ∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0 ∴a2－b2＝0 或 c2－a2－b2＝0 ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
点评：可利用大边对大角讨论：由 cosB＝45得 sinB＝35>153＝sinA， ∴b>a，即 B>A，∴A 为锐角，∴cosA＝1123，以下略．
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
正弦定理和余弦定理 复习课件
目录
【规律小结】
(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三
角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪 一个定理更方便、简捷． (2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已 知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三 角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
目录
跟踪训练
例1
对边分别为 a，b，c，且 bsin A＝ 3acos B. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin C＝2sin A，求 a，c 的值．
目录
a b 【解】 (1)由 bsin A＝ 3acos B 及正弦定理 ＝ ，得 sin A sin B sin B＝ 3cos B. π 所以 tan B＝ 3，所以 B＝ . 3 a c (2)由 sin C＝2sin A 及 ＝ ，得 c＝2a. sin A sin C 由 b＝3 及余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 9＝a2＋c2－ac. 所以 a＝ 3，c＝2 3.
目录
定理
正弦定理 2RsinA 2RsinB a＝_______，b＝________， 2RsinC c＝___________；
余弦定理
变形 形式
b2＋c2－a2 a b 2bc 2R sin 2R sin A＝_____， B＝____， cos A＝___________； c2＋a2－b2 c 2ca cos B＝___________； sin C＝_____； 2R a2＋b2－c2 a∶b∶c＝ 2ab cos C＝___________. sinA∶sinB∶sinC
1 2 2 解析：选 C.∵cos C＝ ，∴sin C＝ ， 3 3 1 1 2 2 ∴S△ ABC＝ absin C＝ ×3 2×2 3× ＝4 3. 2 2 3
【规律小结】
(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三
角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪 一个定理更方便、简捷． (2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已 知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三 角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
目录
跟踪训练
例1
对边分别为 a，b，c，且 bsin A＝ 3acos B. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin C＝2sin A，求 a，c 的值．
目录
a b 【解】 (1)由 bsin A＝ 3acos B 及正弦定理 ＝ ，得 sin A sin B sin B＝ 3cos B. π 所以 tan B＝ 3，所以 B＝ . 3 a c (2)由 sin C＝2sin A 及 ＝ ，得 c＝2a. sin A sin C 由 b＝3 及余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 9＝a2＋c2－ac. 所以 a＝ 3，c＝2 3.
目录
定理
正弦定理 2RsinA 2RsinB a＝_______，b＝________， 2RsinC c＝___________；
余弦定理
变形 形式
b2＋c2－a2 a b 2bc 2R sin 2R sin A＝_____， B＝____， cos A＝___________； c2＋a2－b2 c 2ca cos B＝___________； sin C＝_____； 2R a2＋b2－c2 a∶b∶c＝ 2ab cos C＝___________. sinA∶sinB∶sinC
1 2 2 解析：选 C.∵cos C＝ ，∴sin C＝ ， 3 3 1 1 2 2 ∴S△ ABC＝ absin C＝ ×3 2×2 3× ＝4 3. 2 2 3
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件 】
_ _______; _ _______; ________
（注： 为 外接圆的半径）
2.三角形常用面积公式
（1） （ 表示边 上的高）.
（2） __________=__________.
（3） （ 为三角形内切圆半径）.
（4） .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.(2023·福建泉州模拟)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 _ _.
解析：由题意，得 ，又 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 利用正、余弦定理解三角形（自主练透）
1.在 中，已知 , , ，则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：选C.在 中，设 , ， ，由余弦定理得 ,因为 为 的内角，所以 .故选C.
√
3.已知 中， , , ，则 ( )A. B. C. D.
解析：选D.由正弦定理，得 ，得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.
√
4.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 , , ,则 ____, ___.
解析：选C.由正弦定理得 ,所以 ，所以 不存在，即满足条件的三角形不存在.
√
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 _ _， ___.
5
解析：在 中，由正弦定理得 ,所以 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，得 ，即 ，解得 或 ，经检验， 不符合要求，所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，且 , , ，则 ___.
2
解析：因为 ，所以由正弦定理得 ,又 ，所以 ，因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得 ，解得 或 （舍去），故 .
（注： 为 外接圆的半径）
2.三角形常用面积公式
（1） （ 表示边 上的高）.
（2） __________=__________.
（3） （ 为三角形内切圆半径）.
（4） .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.(2023·福建泉州模拟)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 _ _.
解析：由题意，得 ，又 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 利用正、余弦定理解三角形（自主练透）
1.在 中，已知 , , ，则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：选C.在 中，设 , ， ，由余弦定理得 ,因为 为 的内角，所以 .故选C.
√
3.已知 中， , , ，则 ( )A. B. C. D.
解析：选D.由正弦定理，得 ，得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.
√
4.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 , , ,则 ____, ___.
解析：选C.由正弦定理得 ,所以 ，所以 不存在，即满足条件的三角形不存在.
√
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 _ _， ___.
5
解析：在 中，由正弦定理得 ,所以 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，得 ，即 ，解得 或 ，经检验， 不符合要求，所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，且 , , ，则 ___.
2
解析：因为 ，所以由正弦定理得 ,又 ，所以 ，因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得 ，解得 或 （舍去），故 .
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
3
3
(6)在斜△ ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .
(7)在△ ABC 中， a ＝ b cos C ＋ c cos B ； b ＝ a cos C ＋ c cos A ； c ＝ b cos A ＋ a cos B
(射影定理).
二、基础题练习
c2＝② a2＋b2－2ab cos C
；
.
＝
＝
＝③
sin sin sin
2R
.
定理
余弦定理
2
cos A＝
＋
变形 cos B＝④
cos C＝⑤
2 −2
2
2
正弦定理
(1)a＝2R sin A，b＝⑥ 2R sin B ，
c＝⑦ 2R sin C ；
；
(2) sin
＋
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(4)在△ ABC 中， sin ( A ＋ B )＝ sin C ； cos ( A ＋ B )＝－ cos C ；tan( A ＋ B )＝
－tan C ；
《正弦定理余弦定理》课件
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REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
2025届高中数学一轮复习课件《正、余弦定理》ppt
高考一轮总复习•数学
第29页
(2)解：因为 sin A＝4sin Ccos B， 所以 a＝4c·a2＋2ca2c－b2， 题眼 即 a2＋2c2－2b2＝0. 为何都转化为边的关系呢？必须结合已知条件，相互印证，解题思路才开阔！ 又 b＝2 3，c＝2，所以 a＝4， 所以 c2＋b2＝a2，所以 A＝π2， 则△ABC 外接圆的半径 R＝12a＝2， 所以△ABC 外接圆的面积 S＝πR2＝4π.
1．S＝12ah(h 表示边 a 上的高)．
1 2．S＝12bcsin A＝ 2acsin B ＝
1 2absinC
．
3．S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
高考一轮总复习•数学
常/用/结/论 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C； 在三角形 ABC 中，若 A＞B⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B． (2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin A＋2 B＝cos C2； (4)cos A＋2 B＝sin C2.
高考一轮总复习•数学
第28页
(1)证明：因为 sin A＝4sin Ccos B， 所以 sin(B＋C)＝4sin Ccos B， 向结论看齐，结论只考查 B，C 的关系，因此思路一定是转化 sin A＝sin(B＋C)． 即 sin Bcos C＋cos Bsin C＝4sin Ccos B， 即 sin Bcos C＝3sin Ccos B， 所以 tan B＝3tan C．
因为 sin B≠0，所以 cos A＝0，又 A∈(0，π)，所以 A＝π2，又 C＝π5，所以 B＝310π.故选 C．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第27页
正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
三角形面积问题的常见类型
（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已
知角求出角的两边之间的关系;
（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公
式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.
（1）求∠；
【解】由题意及余弦定理得,
= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × �� ×
−
= ，解得 = （负值已舍去）.
方法一：由正弦定理，得
∠
=
,即∠
∠
以 =
, = ，所以
△ = ∠ =
− =
−
×
=
− ,所以
+
,所以
= ，即 + − = ,又 = ,所
× ×
=
.
1.已知在△ 中，角,,的对边分别为,,， = , = , = ∘ ，
则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解
√
解析：选C.由正弦定理得
D.有解但解的个数不确定
=
,所以
所以不存在，即满足条件的三角形不存在.
=
2025届高考数学一轮复习讲义
正余弦定理复习课件
【规律方法总结】
1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 2．用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内 角与应用向量的模求三角形边长等． 3．在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重 挖掘隐含条件． 4．注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用．
2RsinA
2RsinB
2RsinC
sinA∶sinB∶sinC
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
【知识拓展】 △ABC中的常用结论 ①A+B+C=
②A、B、C成等差数列的充要条件是B＝60°；
1 1 ③S△= 1 a b s i n C b C s i n A A C s i n B 2 2 2
【例1】已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝
，求最大角．
思路点拨：由三个角的正弦比，得出三边比，再判断哪个角最大，
然后运用余弦定理求解．
解：由正弦定理，知
∴a∶b∶c＝ 不妨设a＝ ＋1，b＝ －1，c＝
＝2R，
，由在三角形中大边对大角知， ，∴∠C＝120°.
∠C最大．由余弦定理，知cos C＝
④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B；
⑤在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解 (即存在)的 充要条件是cosA＋cosB>0.简证如下：C有解⇔(A＋B)有解⇔0<A＋B<π⇔0<A<π －B<π⇔cos A>cos(π－B)⇔cos A>－cos B⇔cos A＋cos B>0.因此判断C是否有解，
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讲练5：在 ABC 中， 2 （1）若A=2B， 求证： a bb c （2）若 a 2 bb c 求证：A=2B
证明（1）A=2B sinA=sin2B=2sinBcosB 2 2 2 a c a 2 2 2 3 a=2b 2ac a c a bc b
a 2 bb c a 2 b2 bc a 2 c2 b2 bc c2 2 2ac cos B bc c 2a cos B b c 2 sin A cos B sin B sin C 2 sin A cos B sin B sin A B sin Acos B cos Asin B sin B sin(A B) sin B A-B=B 或 A-B+B=1800 （舍去） A=2B
C a b B c D
A
c B D B
sinB=1 一解 一解 一解
sinB<1 两解
sinB>1 无解
判断解的个数
C b a
a 设c=x， 由余弦定理得： 2=x2+b2-2bxcosA
整理得： 2-2bxcosA+b 2-a2=0 (1) x
A
c =x
B
1、若方程（1）无实根或有根均为负时， 无解； 2、若方程（1）有等根或根为一正一负时，一解； 3、若方程（1）有根均为正时， 两解；
2、“边与角混合”的式子，有两种处理角度 （1）统一成角的关系 （2）统一成边的关系
谢
谢
sin 由正弦定理得： A cos A sin B sin B sin A cos B sin A sin B 0 sin A cos A sin B cos B sin 2 A sin 2B 2 A 2B 或 2 A 2B A B 或 A B 2 ABC为等腰三角形或直角三角形
即 sin B sin C 0
sin 2 B sin B sin C sin 2 C sin 2 A 0 下列过程请同学们拿出“发射神8”的精神，在课后探讨
2、判断三角形的形状 讲练4：在 ABC 中，角A、B、C的对边为a、b、c， 且满足：a 2 b 2 sin(A B) a 2 b 2 sin C 试判断三角形 ABC 的形状 分析： sinC= sin（A+B） 2 2 a [sin A B sin(A B)] b [sin A B sin(A B)] a 2 cos A sin B b 2 sin A cos B
（3）已知条件：三边
思路：用余弦定理， 有 一 解 （二）边角统一，求值或判断三角形形状
1、边角统一，求值
讲练3：钝角 ABC 的三内角A、B、C的对边为a、b
2 c bsin2 A b sin2 B c sin2 C sin C 、c且 ， 2
求角A、B、C度数 b2 c2 a2 解： sin2A = 4R 2 sin2B = 4R 2 sin2C = 4R 2 2 2 2 代入 c b sin A b sin B c sin C 2 2 2 2 3 3 得c ba b 2 c c b2a b c b bc c 0 2 即 b c b bc c a 0 b=c 或 b2 bc c2 a2 0 2 C=450 B=C 当b=c， C为锐角 sin C 2 0 A=90（不合题意舍去） 当 b2 bc c2 a2 0 即 b2 c 2 a 2 bc 1 cos A 即A=1200 C=450 B=150
2
思考：上题的解法是把边与角的式子，用正弦定 理转化为了关于边的式子，能否转化为角的式子 作答呢？ 讲练3：钝角 ABC的三内角A、B、C的对边为a、b
2 、c且 sin C 2
c bsin2 A b sin2 B c sin2 C
求角A、B、C度数 解： a =2RsinA b=2RsinB c=2RsinC 2 3 3 sin C sin B sin A sin B sin C
2、三角形常用的面积公式
1 1 1 （1）S= bcsinA= 2 acsinB = 2 absinC 2 1 底 高 （2）S= 2 1 x1 y2 x2 y1 （3）S= 2
（其中 AB x1 , y1 , AC x2 , y2 ） 1 abc （4）S= a b c = 4 R 2
二、基本题型的基本思路 （一）求三角形中的边和角 0 A 讲练1：在 ABC 中， 60 , a 4 则B=（ 45 ）
0
3, b 4 2
b sin A 2 解： 由正弦定理得： sin B = a 2
讲练2： 在 ABC中，
b<a
B<A
B 45
0
A 45 , b 3, a 2
SSS
b A
c
C a B
用余弦定理
一解Βιβλιοθήκη 判 断 解 的 个 数A
A
900
B<900
一解
C b a B c D
b sin A sin B a
A<900
a>b a=b
角B可能为 A<B 锐角、直角、钝角 a<b
a=bsinA
C b a c D (B)
a>bsinA
b A C a A
a<bsinA
r
（r、R分别为 三角形内切圆、外接圆的半径 ）
3、常用结论 在 ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则 （1）A+B+C= （2）B=600 A、B、C成等差数列
（3）sin（A+B）= sinC cos（A+B）= - cosC C A B A B C COS sin = COS （4） sin 2 2 2 2 （5）a>b>c A>B>C sinA>sinB>sinC
二、基本题型的基本思路
已 知 两 角 一 边 解 三 角 形 的 思 路 ASA
A b c b A c b A c b
C a B
C a B C a B C a B
用正弦定理
一解
AAS
用正弦定理 用正弦定理
一解
已 知 两 边 一 角
SSA
判断解 的个数
用余弦定理
用余弦定理 一解
SAS
A
c
已 知 三 边
（三）有关三角形的面积问题 2009福建文7. 已知锐角 ABC 的面积为3 3 ， BC 4, CA 3 ，则角C 的大小为 60°
课堂小结： （一）求三角形中的边和角 1、解斜三角形的思路 （1）已知条件：两角一边 用正弦定理， （2）已知条件：两边一角 ①两边及夹角 用余弦定理 ②两边及一边的对角 用正弦定理， 可能两解， 需比较 “角对边”与另一边的大小，确定解的个数 （3）已知条件：三边 用余弦定理，
温馨提示：统一成角的关系 温馨提示：统一成边的关系
解法1： sinC= sin（A+B） 2 2 a [sin A B sin(A B)] b [sin A B sin(A B)]
a 2 cos A sin B b2 sin A2cos B
解三角形小结与复习
一、知识的梳理与整合 1、正弦、余弦定理 a b （1）正弦定理： A = sin B = sin
c sin C
= 2R （R为外接圆的半径） b=2RsinB c=2RsinC
b sinB=2R c sinC=2R
变形1、边转化为角 a = 2RsinA
a 变形2、角转化为边 sinA = 2R
a (c b ) b (c b )
2 2 2
（1）若c-b≠0, 则 a 2 bb c （2）若c-b=0, 则 B=C B=C= 450 ，A= 900 b(b+c) = b2+bc = b2+c2 = a2
a 2 bb c
（2）若 a 2 bb c 求证：A=2B 证明（2）
变形3、 a:b:c = sinA:sinB:sinC 2 2 2 （2）余弦定理： a = b c 2bc cos A 2 2 2 2 a2 c2 2ac cosB c = a 2 2b 2ab cosC2 2 2 b= 2 2 2 2 b c a a c b cosC= a b c 变形1、 cosA= cosB= 2ab 2bc 2ac 2 2 2 2 a 2 c2 b =2accosB 变形2、 b2 c2 a2 = 2bccosA a b c = 2abcosC （1） b 2 c 2 a 2 或 a 2 c 2 b2 或 a 2 b 2 c 2 直角三角形 变形3、 （2） b 2 c 2 a 2 且 a 2 c 2 b2 且 a 2 b 2 c 2 锐角角三角形 （3） b 2 c 2 a 2 或 a 2 c 2 b 2 或 a 2 b 2 c 2 钝角三角形
2
2 2 2 2 2 2
a 2 cos A sin B b2 sin A cos B 解法2： b c a b a a c b a 2bc 2R b 2R 2ac a b c a b a c b (a b )a b c 0 a b或a b c ABC为等腰三角形或直角三角形
2
2
2
2
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2
2
2
2
2
2
2
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讲练5：在 ABC 中， 2 （1）若A=2B， 求证： a bb c （2）若 a 2 bb c 求证：A=2B
证明（1）A=2B sinA=sin2B=2sinBcosB 2 2 2 a c a 2 2 2 3 a=2b 2ac a c a bc b
a 2 bb c a 2 b2 bc a 2 c2 b2 bc c2 2 2ac cos B bc c 2a cos B b c 2 sin A cos B sin B sin C 2 sin A cos B sin B sin A B sin Acos B cos Asin B sin B sin(A B) sin B A-B=B 或 A-B+B=1800 （舍去） A=2B
C a b B c D
A
c B D B
sinB=1 一解 一解 一解
sinB<1 两解
sinB>1 无解
判断解的个数
C b a
a 设c=x， 由余弦定理得： 2=x2+b2-2bxcosA
整理得： 2-2bxcosA+b 2-a2=0 (1) x
A
c =x
B
1、若方程（1）无实根或有根均为负时， 无解； 2、若方程（1）有等根或根为一正一负时，一解； 3、若方程（1）有根均为正时， 两解；
2、“边与角混合”的式子，有两种处理角度 （1）统一成角的关系 （2）统一成边的关系
谢
谢
sin 由正弦定理得： A cos A sin B sin B sin A cos B sin A sin B 0 sin A cos A sin B cos B sin 2 A sin 2B 2 A 2B 或 2 A 2B A B 或 A B 2 ABC为等腰三角形或直角三角形
即 sin B sin C 0
sin 2 B sin B sin C sin 2 C sin 2 A 0 下列过程请同学们拿出“发射神8”的精神，在课后探讨
2、判断三角形的形状 讲练4：在 ABC 中，角A、B、C的对边为a、b、c， 且满足：a 2 b 2 sin(A B) a 2 b 2 sin C 试判断三角形 ABC 的形状 分析： sinC= sin（A+B） 2 2 a [sin A B sin(A B)] b [sin A B sin(A B)] a 2 cos A sin B b 2 sin A cos B
（3）已知条件：三边
思路：用余弦定理， 有 一 解 （二）边角统一，求值或判断三角形形状
1、边角统一，求值
讲练3：钝角 ABC 的三内角A、B、C的对边为a、b
2 c bsin2 A b sin2 B c sin2 C sin C 、c且 ， 2
求角A、B、C度数 b2 c2 a2 解： sin2A = 4R 2 sin2B = 4R 2 sin2C = 4R 2 2 2 2 代入 c b sin A b sin B c sin C 2 2 2 2 3 3 得c ba b 2 c c b2a b c b bc c 0 2 即 b c b bc c a 0 b=c 或 b2 bc c2 a2 0 2 C=450 B=C 当b=c， C为锐角 sin C 2 0 A=90（不合题意舍去） 当 b2 bc c2 a2 0 即 b2 c 2 a 2 bc 1 cos A 即A=1200 C=450 B=150
2
思考：上题的解法是把边与角的式子，用正弦定 理转化为了关于边的式子，能否转化为角的式子 作答呢？ 讲练3：钝角 ABC的三内角A、B、C的对边为a、b
2 、c且 sin C 2
c bsin2 A b sin2 B c sin2 C
求角A、B、C度数 解： a =2RsinA b=2RsinB c=2RsinC 2 3 3 sin C sin B sin A sin B sin C
2、三角形常用的面积公式
1 1 1 （1）S= bcsinA= 2 acsinB = 2 absinC 2 1 底 高 （2）S= 2 1 x1 y2 x2 y1 （3）S= 2
（其中 AB x1 , y1 , AC x2 , y2 ） 1 abc （4）S= a b c = 4 R 2
二、基本题型的基本思路 （一）求三角形中的边和角 0 A 讲练1：在 ABC 中， 60 , a 4 则B=（ 45 ）
0
3, b 4 2
b sin A 2 解： 由正弦定理得： sin B = a 2
讲练2： 在 ABC中，
b<a
B<A
B 45
0
A 45 , b 3, a 2
SSS
b A
c
C a B
用余弦定理
一解Βιβλιοθήκη 判 断 解 的 个 数A
A
900
B<900
一解
C b a B c D
b sin A sin B a
A<900
a>b a=b
角B可能为 A<B 锐角、直角、钝角 a<b
a=bsinA
C b a c D (B)
a>bsinA
b A C a A
a<bsinA
r
（r、R分别为 三角形内切圆、外接圆的半径 ）
3、常用结论 在 ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则 （1）A+B+C= （2）B=600 A、B、C成等差数列
（3）sin（A+B）= sinC cos（A+B）= - cosC C A B A B C COS sin = COS （4） sin 2 2 2 2 （5）a>b>c A>B>C sinA>sinB>sinC
二、基本题型的基本思路
已 知 两 角 一 边 解 三 角 形 的 思 路 ASA
A b c b A c b A c b
C a B
C a B C a B C a B
用正弦定理
一解
AAS
用正弦定理 用正弦定理
一解
已 知 两 边 一 角
SSA
判断解 的个数
用余弦定理
用余弦定理 一解
SAS
A
c
已 知 三 边
（三）有关三角形的面积问题 2009福建文7. 已知锐角 ABC 的面积为3 3 ， BC 4, CA 3 ，则角C 的大小为 60°
课堂小结： （一）求三角形中的边和角 1、解斜三角形的思路 （1）已知条件：两角一边 用正弦定理， （2）已知条件：两边一角 ①两边及夹角 用余弦定理 ②两边及一边的对角 用正弦定理， 可能两解， 需比较 “角对边”与另一边的大小，确定解的个数 （3）已知条件：三边 用余弦定理，
温馨提示：统一成角的关系 温馨提示：统一成边的关系
解法1： sinC= sin（A+B） 2 2 a [sin A B sin(A B)] b [sin A B sin(A B)]
a 2 cos A sin B b2 sin A2cos B
解三角形小结与复习
一、知识的梳理与整合 1、正弦、余弦定理 a b （1）正弦定理： A = sin B = sin
c sin C
= 2R （R为外接圆的半径） b=2RsinB c=2RsinC
b sinB=2R c sinC=2R
变形1、边转化为角 a = 2RsinA
a 变形2、角转化为边 sinA = 2R
a (c b ) b (c b )
2 2 2
（1）若c-b≠0, 则 a 2 bb c （2）若c-b=0, 则 B=C B=C= 450 ，A= 900 b(b+c) = b2+bc = b2+c2 = a2
a 2 bb c
（2）若 a 2 bb c 求证：A=2B 证明（2）
变形3、 a:b:c = sinA:sinB:sinC 2 2 2 （2）余弦定理： a = b c 2bc cos A 2 2 2 2 a2 c2 2ac cosB c = a 2 2b 2ab cosC2 2 2 b= 2 2 2 2 b c a a c b cosC= a b c 变形1、 cosA= cosB= 2ab 2bc 2ac 2 2 2 2 a 2 c2 b =2accosB 变形2、 b2 c2 a2 = 2bccosA a b c = 2abcosC （1） b 2 c 2 a 2 或 a 2 c 2 b2 或 a 2 b 2 c 2 直角三角形 变形3、 （2） b 2 c 2 a 2 且 a 2 c 2 b2 且 a 2 b 2 c 2 锐角角三角形 （3） b 2 c 2 a 2 或 a 2 c 2 b 2 或 a 2 b 2 c 2 钝角三角形
2
2 2 2 2 2 2
a 2 cos A sin B b2 sin A cos B 解法2： b c a b a a c b a 2bc 2R b 2R 2ac a b c a b a c b (a b )a b c 0 a b或a b c ABC为等腰三角形或直角三角形