浙江省湖州市德清县第三中学2020-2021学年高一3月月考数学试题含答案

德清三中高一数学第二学期第一次月考试卷一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．下列说法错误的是（ ）A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等2．已知两个非零单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ ） A ．不存在θ，使12•2e e = B ．2212e e =C ．∀∈θR ，()1212()e e e e -⊥+D ．1e 在2e 方向上的投影为sin θ3．设ABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（ ） A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC - D ．2133AB AC -+4..若实数x ，y 满足，则xy 的值是A. 1B. 2C.D.5．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19 B ．13C ．12D ．236．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度1v 的大小为114/v km h =，水流的速度2v 的大小为24/v km h =.设1v 和2v 的夹角为()0180θθ︒<<︒，北岸的点'A 在A 的正北方向，游船正好到达'A 处时，cos θ=（ ）A 35B ．35C ．27D ．27-7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于A ．240(31)m -B ．180(21)m -C ．120(31)m -D ．30(31)m +8．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二多选题:本题共4小题，每题5分，共20分. 再给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分. 9．下列关于平面向量的说法中不正确．．．的是（ ） A ．9,2a k ⎛⎫=⎪⎝⎭，(),8b k =,若//a b ,则6k = B ．单位向量()1,0i =，()0,1f =，则345i f -= C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b = D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 10．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 11．△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，∠ABC 为钝角，BD ⊥AB ，7225cos ABC ∠=-，c =2，85,b =则下列结论正确的有（ ）A ．5sin 5A =B ．BD =2C ．53CD DA =D ．△CBD 的面积为4512．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形三、本题共4小题，每题5分，共20分 13．已知复数是纯虚数，则实数________14若向量a 、b 、c 满足++=0a b c ，1==a b ，则()-⋅=a b c ________．15．定义*a b →→是向量a →和b →的“向量积”，它的长度*sin a b a b θ→→→→=⋅⋅，其中θ为向量a →和b →的夹角，若()2,0u →=，(1,3u v →→-=-，则*u v →→=________.16．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b =，()a b R λλ-∈的最小值是________． 四、解答题:本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．(10分）已知向量()1,1α=--,()0,1β=. （1）若向量()()t t αβαβ++，求实数t 的值；（2）若向量(),c x y =满足(1)c y x αβ=-+-，求||c 的值.18．（12分）在①cos sin a B b A =，②2222b ac a c =+，③sin cos 2B B +=任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为2，2a =，求b ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且F 在直线DC 上，且DF tFC =，记AB a =，AD b =，若2132DE BF a b +=+. （1）求t 的值；（2）若3AB =，3DAB π∠=，且3BF =，求DE .20．（12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-， （ 1）求C ∠的大小； （ 2）若122CA CB -=，求ABC ∆面积的最大值． 21．（12分）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值22.（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直(满足90BAD ∠=︒)，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=︒，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=︒，路宽24m AD =.设灯柱高()m AB h =，()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒.（1）当30θ=︒时，求四边形ABCD 的面积； （2）求灯柱的高h (用θ表示)；（3）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于的函数表达式，并求出S 的最小值.参考答案1．D【解析】A.向量OA 与向量AO 的方向相反，长度相等，故A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确. 2．D对于A ，因为两个非零单位向量12e ,e ?，所以 12e ?e ＝1×1×cos θ＝cos θ≤1，∴A 正确． 对于B ，因为两个非零单位向量221212e ,e ?e e =，所以＝1，B 正确； 对于C ，因为两个非零单位向量12e ,e ?，且 ()()1212e e e e -+22120ee =-= ，所以()()1212e e e e -⊥+，∴C 正确； 对于D ，因为两个非零单位向量12e ,e ? ，所以1e 在2e 方向上的投影为|1e |cos θ＝cos θ，D 错误； 3．A因为ABC 中BC 边上的中线为AD ，所以1()2AD AB AC =+， 因为2AO DO =-，所以2AO OD =，所以23AO AD =()2132AB AC =⨯+()13AB AC =+， 所以OC AC AO =-1133AC AB AC =--1233AB AC =-+.4．【答案】A 【解答】 解：由得所以，．5．A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案．【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯， 可得29AB = ，即3AB =，由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =．故选A ．6．D设船的实际速度为v ,1v 和2v 的夹角为θ，北岸的点A '在A 的正北方向,游船正好到达A '处,则2v v ⊥， ∴21421)47(v cos cos v θπθ=--=-=-=-. 7．C【解析】120AC =，60sin 75AB =，sin 30sin 45AB BC=，所以sin 45602120(31)sin30sin(3045)AB BC ⨯===+8．【答案】 B 9．AC对于选项A ：因为//a b ，则2982k ⨯=，解得：6k =±，故选项A 不正确； 对于选项B ：()2222343491624916025i fi fi j i j -=-=+-⋅=+-=，所以345i f -=，故选项B 正确；对于选项C ：根据向量的几何意义可知若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =不一定成立，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，取AB 的中点O ，则GA GB GC ++20GO GC =+=，故选项D 正确，10．ACD对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 11．AC解：由7cos 225ABC ∠=-，得：272cos 125ABC ∠-=-， 又角ABC ∠为钝角， 解得：3cos 5ABC ∠=-， 由余弦定理2222cos c a c ac ABC =+-∠，得：264344()55a a =+--， 解得2a =，可知ABC ∆为等腰三角形，即A C =， 所以()23cos cos 212sin 5ABC A A ∠=-=--=-，解得sin5A=，故A正确，可得cos A==，在Rt ABD∆中，coscAAD=，得AD=1BD===，故B错误，55CD b AD=-==，可得353555CDDA==，可得53CD DA=，故C正确，所以BCD∆的面积为113sin2225BCDS a CD C∆=⨯=⨯=，故D错误．故选：AC．12．【答案】BD【解析】在ABC∆中，对于A，若sin2sin2A B=，则22A B=或22A Bπ+=，当A＝B时，△ABC为等腰三角形；当2A Bπ+=时，△ABC为直角三角形，故A不正确，对于B，若A B>，则a b>，由正弦定理得sin sina bA B=，即sin sinA B>成立．故B正确；对于C，由余弦定理可得：b＝C错误；对于D，若222sin sin sinA B C+<，由正弦定理得222a b c+<，∴222cos02a b cCab+-=<，∴C为钝角，∴ABC∆是钝角三角形，故D 正确；综上，故选：BD．13．114【解析】因为++=0a b c，1==a b，所以()()()22220-⋅=--⋅+=-=-=a b c a b a b b ab a，故答案为0．15．解：因为()2,0u→=，(1,u v→→-=，所以(v→=设向量u →与v →的夹角为θ，则1cos =2u v u v θ→→→→⋅=，所以sin θ=所以*sin 22u v u v θ→→→→=⋅⋅=⨯=.故答案为：16 【答案】52-； 【解析】因为平面向量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b =，向量b 在a 方向上的投影为5cos ,5cos1202b a b <>=⨯=-，2222()2cos120a b a b a b λλλ-=+-221425+10=25()35λλλ=+++，所以当1=5λ-时，min 3a b λ-=17．（1）1t =或1t =-；（2）||2c =.（1）()1,1α=--,()0,1β=，(),1t t t αβ∴+=--，()1,1t t αβ+=--.()()t t αβαβ++，()()()1110t t t ∴-----=，解得1t =或1t =-. （2）(1)c y x αβ=-+-，()(),,1x y y y x ∴=+-，即1x y y y x =⎧⎨=+-⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩.2||c x y ∴=+=.18．选择①:2b =；选择②：2b =；选择③：2b =若选择①cos sin a B b A =，由正弦定理得sin cos sin sin A B B A =. 因为sin 0A ≠，所以cos sin B B =，tan 1B =. 因为()0,πB ∈，所以π4B =.1sin 22==ABCSac B ，因为2a =，sin B =c =由余弦定理得2222cos 4842b ac ac B =+==+-=， 所以2b =.若选择②222b ac =+，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==. 因为()0,πB ∈，所以π4B =. 1sin 22==ABCSac B ，因为2a =，sin B =c =由余弦定理得2222cos 4842b ac ac B =+==+-=， 所以2b =.若选择③sin cos B B +=π4B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以πsin 14B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为()0,πB ∈，则ππ5π,444B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以ππ42B +=，所以π4B =.1sin 22==ABCSac B ，因为2a =，sin B =c =由余弦定理得2222cos 4842b ac ac B =+==+-=， 所以2b =.19．（1）2；（2.（1）∵E 是BC 的中点，∴12DE DC CE a b =+=-，∵2132DE BF a b +=+，∴21132213BF a b a b b a ⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由DF tFC =可知1111CF CD a t t =-=-++. 又∵11BF BC CF b a t -⎛⎫=+=+⎪+⎝⎭，∴2t =. （2）∵3AB =，及2DF FC =可知.1CF =， 在BCF △中，由3DCB π∠=，1CF =，3BF =及余弦定理可知2222cos3BF CF BC CF BC π=+-得231BC BC =+-，解得2BC =.∴22221124DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-⋅+ ⎪⎝⎭2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=.∴7DE =.20．【解析】（ 1）∵2cos 2c B a b =-，()2sin cos 2sin sin 2sin cos 2sin sin C B A B C B B C B ∴=-∴=+-，，12sin cos sin cos 23B C B C C ，，π∴=∴=∴=（ 2）取BC 中点D ，则122CA CB DA -==，在ADC ∆中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅，（注：也可将122CA CB DA -==两边平方）即22422a ab b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，22ab ab≥=，所以8ab ≤，当且仅当4,2a b ==时取等号．此时1sin 24ABC S ab C ab ∆==，其最大值为21．【答案】（1）23π；（2）3+ 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果．【解析】（1）由正弦定理可得222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=． （2）由余弦定理得222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=．22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+22【解析】（1）30θ=︒，120ABC ∠=︒，30BAC BCA ︒∴∠=∠=，又90BAD ∠=︒，60CAD ︒∴∠=，又60ACD ∠=︒，所以ACD △为正三角形，则24AC =，在ABC ∆中，因为sin sin AB AC ACB B =∠，所以sin 30sin120AC AB ︒==︒故四边形ABCD 的面积(2211sin12024sin 6022ABC ACDS SS︒︒=+=⨯+⨯⨯= （2）因为120ABC =︒，ACB θ∠=，所以60BAC θ∠=︒-， 又因为灯柱AB 与地面垂直，即90BAD ∠=︒，所以30CAD θ∠=︒+， 因为60ACD ∠=︒，所以90ADC θ∠=︒-，在ACD ∆中，因为sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，所以24cos sin 60AC θθ==︒，在ABC ∆中，因为sin sin AB AC ACB B=∠，所以sin 16sin 2sin120AC h AB θθ===︒()3045θ︒≤≤︒. （3）在ABC ∆中，因为sin sin BC ACBAC B=∠，所以()()sin 6032cos sin 6028sin 2sin120AC BC θθθθθ︒-==︒-=-︒，则()8sin 216sin 260S AB BC θθθ=+=+=+︒， 因为3045θ︒≤≤︒，所以120260150θ︒≤+︒≤︒，所以当45θ=︒时，min 8S =.。