信号流图和梅森公式
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25信号流图与梅森公式 共31页
Li L1L2L3L4
i1
G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 H 1 G 2 G 3 H 2 G 4 G 5 H 3 G 3 G 4 H 4
L iL j L 2 L 3 ( G 2 G 3 H 2 ) G ( 4 G 5 H 3 )
G 2G 3G 4G 5H 2H 3
2－5 信号流图及梅森公式
是表示复杂系统的又一种图示方法。
重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x 2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
作业：
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)
30
谢谢！
xiexie!
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
11
所以
C (G s P ) 1 Δ 1
1
R(s) Δ R 1 R 2 C 1 C 2 s2 R 1 C 1 s R 1 C 2 s 1
28
练习eBiblioteka g1ab
c
d
R(s) f
C(s) h
四个单独回路，两个回路互不接触
i1
G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 H 1 G 2 G 3 H 2 G 4 G 5 H 3 G 3 G 4 H 4
L iL j L 2 L 3 ( G 2 G 3 H 2 ) G ( 4 G 5 H 3 )
G 2G 3G 4G 5H 2H 3
2－5 信号流图及梅森公式
是表示复杂系统的又一种图示方法。
重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x 2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
作业：
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)
30
谢谢！
xiexie!
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
11
所以
C (G s P ) 1 Δ 1
1
R(s) Δ R 1 R 2 C 1 C 2 s2 R 1 C 1 s R 1 C 2 s 1
28
练习eBiblioteka g1ab
c
d
R(s) f
C(s) h
四个单独回路，两个回路互不接触
第七节 信号流图与梅森公式
的就是梅逊增益公式。
P
1
K 1
n
PK
K
18
P ——从输入到输出间的总增益。（系统传递函数）
n ——从输入节点到输出节点的前向通路总数。
PK ——从输入节点到输出节点的第K条前向通路的总增益。
（分支传递函数）
K ——余因子式（在 中令与第K条前向通路相接触的回 路增益为 0 所得到的 值）
节点为汇节点，分离前后变量相同。
6
7Hale Waihona Puke 二、由方块图到信号流图方块图 信号线 信号线上所传递的信号 引出点 比较点 节点 节点变量 出支路 入支路
信号流图
方块及传递函数，保持同向 支路传递方向及增益
8
例1：将如图方块图化为信号流图。
9
例1：将如图方块图化为信号流图。
10
例1：将如图方块图化为信号流图。
X
3
BX
2
BX
2
ABX
1
4
2、说明
（1）节点变量（信号）等于所有流向该节点的信 号之代数和，与输出无关。从同一节点流出的信号均 等于该节点变量，与流入无关。同方向传递的信号不 能重复计算。
X
X
3
AX
CX
1
BX
2
4
3
X
5
DX
3
5
（2）信号在支路上沿箭头方向单向传递。 （3）支路相当于一个乘法器，信号流经支路时，被 乘以支路增益而变换为另一个信号。（支路增益为 “1”时，可不标出） （4）在混合节点上，增加一条具有单位增益的输出 支路，可以从信号流图中分离出系统变量。即变混合
①混合节点——既有输入信号又有输出信号的节点。
信号与系统 7.3 信号流图
信号流图化简步骤： 信号流图化简步骤：
根据串联支路合并规则，将图(a)中回路x1 x2 x1和x1 x2 x3 x1化简为自环，如图b所示，将x1到Y(s)之间各串联、并联支路合并， 得图（c）。并利用并联支路合并规则，将x1处两个自环合并，然后消除自环，得图（d）。于是得到系统函数H(s)
二、梅森公式 梅森公式
j m,n
再求其它参数。图中有两条前向通路： 再求其它参数。图中有两条前向通路： 其增益为: 前向通路 F → x1 → x2 → x3 → x4 →Y ,其增益为: P1= H1H2H3H5 由于各回路都与该通路有接触， 由于各回路都与该通路有接触，故Δ1=1 其增益为: 前向通路 F → x1 → x4 → Y ，其增益为: P2= H4H5 不与P 接触的回路有x 不与P2接触的回路有x2 → x3 → x2，所以 ∆2 = 1 − ∑L j = 1 + G2 H2 最后，按式梅森公式得： 最后，按式梅森公式得：
的通路，如果x （3）一条x1 → x2 → x3的通路，如果x1→ x2支路的增益为 a， 一条x 处有增益为b的自环， x2 → x3的增益为c，在x2处有增益为b的自环， 的增益为c ac 的支路，同时消去结点x 则可以化简为增益为 1 的支路，同时消去结点x2。
−b
（1）将串联支路合并从而减少结点； 将串联支路合并从而减少结点； （2）将并联支路合并从而减少支路； 将并联支路合并从而减少支路； 消除自环。反复运用以上步骤， （3）消除自环。反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化 为只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。 为只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。 例7.3-1 求图下图所示信号流图的系统函数 7.3-
信号流图和梅森公式
04:07 38
例2：求系统传递函数。
e
g
R(s)
1
a f
b
c
h
d
C(s)
四个单独回路，两个回路互不接触。
前向通路两条。
ab c d + e d (1 – b g) C(s) = R(s) 1 – a f – b g – ch– e h g f + af c h
04:07
39
例3：求系统的传递函数
G1 R G2 C
04:07
42
解：由结构图绘制出信号流图。
x2 R(s) 1 x1 1 1 1 x6
04:07
G1
x3
1x
4
C(s)
1
G2
-1
1 x5
43
单独回路有5条：
x1 x2 x3 x4 x1 : L1 G1
x2
G1
x3 x4
R(s)
x1 x6 G2 -1 x5
04:07
Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
1 N Gk Δ k 代入 G kΣ Δ 1
得系统的传递函数C(s)/R(s)为
C(s) 1 G (p1Δ1 p 2Δ 2 p 3Δ 3 ) R(s) Δ G1G 2 G 3 G 4 G 5 G1G 6 G 4 G 3 G1G 2 G 7 (1 G 4 H1 ) 1 G 4 H1 G 2 G 7 H 2 G 6 G 4 G 5 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
04:07
31
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4 c
例2：求系统传递函数。
e
g
R(s)
1
a f
b
c
h
d
C(s)
四个单独回路，两个回路互不接触。
前向通路两条。
ab c d + e d (1 – b g) C(s) = R(s) 1 – a f – b g – ch– e h g f + af c h
04:07
39
例3：求系统的传递函数
G1 R G2 C
04:07
42
解：由结构图绘制出信号流图。
x2 R(s) 1 x1 1 1 1 x6
04:07
G1
x3
1x
4
C(s)
1
G2
-1
1 x5
43
单独回路有5条：
x1 x2 x3 x4 x1 : L1 G1
x2
G1
x3 x4
R(s)
x1 x6 G2 -1 x5
04:07
Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
1 N Gk Δ k 代入 G kΣ Δ 1
得系统的传递函数C(s)/R(s)为
C(s) 1 G (p1Δ1 p 2Δ 2 p 3Δ 3 ) R(s) Δ G1G 2 G 3 G 4 G 5 G1G 6 G 4 G 3 G1G 2 G 7 (1 G 4 H1 ) 1 G 4 H1 G 2 G 7 H 2 G 6 G 4 G 5 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
04:07
31
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4 c
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
信号流图与梅森公式
2.5 信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数.1. 信号流图的组成及基本性质信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语:前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X XX X X是节点；j h d c b a ,,,,, 为支路增益；4,1X X 为输入节点；7X 为输入节点；6532X X X X 为混合节点。
信号流图共有三条前向通道，第一条是765321XXXXXX →→→→→；第二条是76531X XXXX →→→→；第三条是765324X XXXXX→→→→→。
有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。
而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。
图2-31 信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。
2.5.2 信号流图的绘制信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。
§2.5 信号流图与梅森公式
R(s) 1
e
g
a f
b
c
h
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
— ∑L
a
Pk—从R(s)到C(s)的第 条前向通路传递函数 的第k条前向通路传递函数 从 到 的第
称为第k条前向通路的余子式 △k称为第 条前向通路的余子式
求法: 去掉第k条前向通路后所求的 △k求法 去掉第 条前向通路后所求的△ 条前向通路后所求的△
△k=1-∑LA+ ∑LBLC- ∑LDLELF+…
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L2= – G3 H3 L5 = – G1G2G3
L3= – G1G2G3H3H1
L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
G3(s) R(s) R(s) R(s) R(s) G3 (s) E(S)G(s) G33(s) E(S) E(S) E(S) GG (s) 1 (s) G(s)
1 1
梅逊公式求E(s) 梅逊公式求
N(s) N(s) N(s)
G2(s) G2(s) G22(s) G (s) HH (s) 2 (s) H(s) 2 2 C(s) C(s) C(s) C(s)
P2= - G3G2H3 △ 2= 1 P2△2=?
HH (s) 1 (s) H(s) 1 1
H3(s) H3(s) H33(s) H (s)
e
g
a f
b
c
h
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
— ∑L
a
Pk—从R(s)到C(s)的第 条前向通路传递函数 的第k条前向通路传递函数 从 到 的第
称为第k条前向通路的余子式 △k称为第 条前向通路的余子式
求法: 去掉第k条前向通路后所求的 △k求法 去掉第 条前向通路后所求的△ 条前向通路后所求的△
△k=1-∑LA+ ∑LBLC- ∑LDLELF+…
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L2= – G3 H3 L5 = – G1G2G3
L3= – G1G2G3H3H1
L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
G3(s) R(s) R(s) R(s) R(s) G3 (s) E(S)G(s) G33(s) E(S) E(S) E(S) GG (s) 1 (s) G(s)
1 1
梅逊公式求E(s) 梅逊公式求
N(s) N(s) N(s)
G2(s) G2(s) G22(s) G (s) HH (s) 2 (s) H(s) 2 2 C(s) C(s) C(s) C(s)
P2= - G3G2H3 △ 2= 1 P2△2=?
HH (s) 1 (s) H(s) 1 1
H3(s) H3(s) H33(s) H (s)
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
2.6信号流图与梅森公式
G2 ( s) H ( s) N ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
N ( s)
7）系统的总输出 X o (s) i (s) X i (s) N (s) N (s)
8）系统的总偏差 (s) i ( s) X i ( s) N (s) N (s) 结论
练习 试化简下图所示系统的方框图，并求系 统传递函数。
可看出此题方框图化简较复杂,试用梅森公式化简.
• 两条前向通路 • 两条回路 • 主特征式
P G1G3G5 , P2 G2G4G5 1
L1 G3 H , L2 G4 H
1 ( L1 L2 ) 1 G3 H G4 H
【例1】根据微分方程绘制信号流图
i1 (t ) 1 R1 [ui (t ) u A (t )]
1 u A (t ) [i1 (t ) i2 (t )]dt C1
1 i2 (t ) [u A (t ) uo (t )] R2
uo (t) 1 C2
i (t )dt
2
一般闭环控制系统的结构如下图所示
1）闭环系统的开环传递函数 将闭环控制系统主反馈 通道的输出断开，即 H(s)的输出通道断开 时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数 ,记为GK(s)。
闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信 号B(s)和偏差信号ε(s)之间的传递函数，即：
X o ( s) G( s) G1 ( s)G2 ( s) ( s)
B( s) H ( s) X o (s)
4）输入信号作用下的闭环传递函数
令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传 递函数为：
25控制系统的信号流图和梅森公式
15
例 绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)， 回路中电流的初始值为i(0)。
16.04.2019
16
1 列写网络微分方程式如下：
d it () L R it () u t－ u () t ＋ ＝ i() o d t
C
duo (t ) ＝i(t ) dt
2 方程两边进行拉氏变换：
d x5 f
x1
a
x2
b x3
c
x4
e
16.04.2019
13
2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。 3 混合节点可以通过增加一个增益为 1 的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。
x5 1
x1
a
x2
d
b x3
c
x4
e
16.04.2019
互不接触的回路L1 L2。所以，特征式
= 1 ( L + L + L + L ) + L L 1 2 3 4 1 2
33
16.04.2019
G6 R(s) G1 G2 G3
G7 G4 G5 C(s)
a
b
c
-H1
d
-H2
前向通道有三个：
P G G G G G 1= 1 2 3 4 5
1 1
16.04.2019 27
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
16.04.2019
28
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4 c
-H1 -H2
G5
d
自动控制系统课件第六节信号流图和梅逊增益公式
开环 确定输出/输入的闭环 特征方程
等效变换和梅逊公式的局部应用 开环传递函数、各种闭环传递函数、特征方程之间的关系 传递函数和微分方程之间的转换关系
单元练习
3、已知系统结构图如下，试 求系统的传递函数：
C(s) , E(s) R(s) R(s)
1、已知单位负反馈系统的开环传 递函数，求系统的单位脉冲响 应和单位阶跃响应。
• 特征方程 1G k( s1 )G 1( s2 )(G s) H 0( s)
E(s) R(s)
8
N(s)
1
1 C(s)
s
s
6s
1
C E
(s (s
) )
8
s2 1 6
8 s (s6)
s
C R
( (
s) s)
8
1 s2
1
6 s
1
8 s2
8 s2 6 s8
C N
( (
s) s )1
s 6 s
8 s2
利用梅逊增益公式求传递函数
• 基于信号流图
R(s) 1
E(s)
G1
x1(s)
-G4
• 基于方框图
G3
R(s)G1G2来自H1 H2G(s)
1
n k1
Pk
k
-1
G2
x2(s) G3
x3(s) 1 C(s)
1
-G5
Δ 1 G1G2G4 G2G3
P1 G1G2G3 Δ1 1
P2 G1G5 Δ 2 1
Gk
(s)
2s 1 s2
2、试绘制下图所示无源网络方框图并求 传递函数，其中R1=R2=1Ω，L=1H，C=1F。
c(t)1ette t (t0)
等效变换和梅逊公式的局部应用 开环传递函数、各种闭环传递函数、特征方程之间的关系 传递函数和微分方程之间的转换关系
单元练习
3、已知系统结构图如下，试 求系统的传递函数：
C(s) , E(s) R(s) R(s)
1、已知单位负反馈系统的开环传 递函数，求系统的单位脉冲响 应和单位阶跃响应。
• 特征方程 1G k( s1 )G 1( s2 )(G s) H 0( s)
E(s) R(s)
8
N(s)
1
1 C(s)
s
s
6s
1
C E
(s (s
) )
8
s2 1 6
8 s (s6)
s
C R
( (
s) s)
8
1 s2
1
6 s
1
8 s2
8 s2 6 s8
C N
( (
s) s )1
s 6 s
8 s2
利用梅逊增益公式求传递函数
• 基于信号流图
R(s) 1
E(s)
G1
x1(s)
-G4
• 基于方框图
G3
R(s)G1G2来自H1 H2G(s)
1
n k1
Pk
k
-1
G2
x2(s) G3
x3(s) 1 C(s)
1
-G5
Δ 1 G1G2G4 G2G3
P1 G1G2G3 Δ1 1
P2 G1G5 Δ 2 1
Gk
(s)
2s 1 s2
2、试绘制下图所示无源网络方框图并求 传递函数，其中R1=R2=1Ω，L=1H，C=1F。
c(t)1ette t (t0)
信号流图与梅森公式
7
梅森公式参数解释：
G(s)：待求的总传递函数；
Δ称为特征式， 且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+… Pk：从输入端到输出端第k条前向通路的总 增益； Δk：在Δ中，将与第k条前向通路相接触的 回路所在项除去后所余下的部分，称余子式；
8
ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和； ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
信号流图及梅森公式
❖ 是表示复杂系统的又一种图示方法。
❖ 重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
混x合3。节点：既有输出支路,又有输入支路的节点,如：x2、
传之间的输增：益两为个a节，点则之传间输的也增为益a。叫传输。如：x1→x2
前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个
节点只通过一次的通路称为前向通路。如
x1→x2→x3→x4 。
2
x5
前向通路总增益：前向通路 x1 a x2 b
上各支路增益的乘积 ，如：
R(s) +
E(s) G(s)
C(s)
2
_
H(s)
N(s)
R(s) + E(s)
++
C(s)
3
_ G1(s)
梅森定律-信号流图
信号流图的绘制
由系统结构图绘制信号流图
1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 ➢ 注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s)
C(s)
G(s)
D(s)
R(s) E(s) (-) G1(s)
V(s)G2(s) C(s)
H(s)
(a) 结构图
a45 x5
X 5 (s) X1(s)
(b)
x1
a52
x2
x3
x4
P1 a12a23a34a45 x5
1 1
(c)
x1
x2
x3
x5 P1 a12a23a35
2 1 a44
(a) x1
a12 x2
a42
a44
a23 a32 x3
a34 x4
a35
a45 x5
a52 (d) x2
(e) x2 (f) x2 (g) x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44
x4 x3
x4 x5
L2 a23a34a42
L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
由系统结构图绘制信号流图
1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。 ➢ 注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s)
C(s)
G(s)
D(s)
R(s) E(s) (-) G1(s)
V(s)G2(s) C(s)
H(s)
(a) 结构图
a45 x5
X 5 (s) X1(s)
(b)
x1
a52
x2
x3
x4
P1 a12a23a34a45 x5
1 1
(c)
x1
x2
x3
x5 P1 a12a23a35
2 1 a44
(a) x1
a12 x2
a42
a44
a23 a32 x3
a34 x4
a35
a45 x5
a52 (d) x2
(e) x2 (f) x2 (g) x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44
x4 x3
x4 x5
L2 a23a34a42
L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
1 1
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
自动控制原理 ch 2-5_2 信号流图、梅森公式
1
① 用小圆圈表示各 变量对应的节点；
G2
1
1 ② 根据方程连接各节点。
e
G1
1
e1
H
e2
G3
1
e4
1
C s
R s
1
e
G1
1
e1
e2
G3 G4
C s
e6 H
G4 G4
② 根据方程连接各节点。
返回
e5
H
前页
四、梅森增益公式
P
1 n pk k k 1
前页
例：求信号流图的传递函数 X 5 s X 1 s
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个 节点只经过一次，最终到达输出节点的通路。 前向通路总增益：前向通路上各支路增益之乘积。 p k
x2 , x3 , x4 , x5
1
9/10/2013
i
i
c a
x1
x2
f
b
g
h
x5
c
1
a
x6 x1
x2
f
b
g
h
x5
1
x3 d x4 e j
x3 d x4 e j
c
1
a
x6 x1
x2
f
b
g
h
x5
1
x3 d x4 e j
x3 d x4 e j
x6
不接触回路：没有公共节点的回路。 可以有两个以上不接触回路。
c
去掉一条，另 一条仍完整！
f
不接触回路：没有公共节点的回路。 可以有两个以上不接触回路。
去掉一条，另 一条仍完整！
x 2 x3 x 2 和 x3 x4 x3
① 用小圆圈表示各 变量对应的节点；
G2
1
1 ② 根据方程连接各节点。
e
G1
1
e1
H
e2
G3
1
e4
1
C s
R s
1
e
G1
1
e1
e2
G3 G4
C s
e6 H
G4 G4
② 根据方程连接各节点。
返回
e5
H
前页
四、梅森增益公式
P
1 n pk k k 1
前页
例：求信号流图的传递函数 X 5 s X 1 s
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个 节点只经过一次，最终到达输出节点的通路。 前向通路总增益：前向通路上各支路增益之乘积。 p k
x2 , x3 , x4 , x5
1
9/10/2013
i
i
c a
x1
x2
f
b
g
h
x5
c
1
a
x6 x1
x2
f
b
g
h
x5
1
x3 d x4 e j
x3 d x4 e j
c
1
a
x6 x1
x2
f
b
g
h
x5
1
x3 d x4 e j
x3 d x4 e j
x6
不接触回路：没有公共节点的回路。 可以有两个以上不接触回路。
c
去掉一条，另 一条仍完整！
f
不接触回路：没有公共节点的回路。 可以有两个以上不接触回路。
去掉一条，另 一条仍完整！
x 2 x3 x 2 和 x3 x4 x3
信号流图及梅逊公式
R(s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(2)扰动信号下的闭环 传函：R(s)=0
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
E(s)
N (s) = C (s) =
G2 (s)
N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
1
C(s)
所以当输入信号和扰动信号同时作用时， 系统输出为：
C (s) =(s) R(s) + N (s) N (s) = G1 (s)G2 (s) R(s) + G2 (s) N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(3)闭环系统的误差传递函数(以E(s)为输
出的传递函数)：
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
1
C(s)
+ [G1G2 + G1G3 + G2G3 + G1G2G3 ] [ G1G2G3 ]
例4：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
P = C (s)= p1 1 + p2 2 + p3 3 + p4 4 R(s)
=
G1G3 K (1 + G1 ) + G2G3 K (1 + G2 )
1 + G1 + G2 + G3 + 2G1G2 + G1G3 + G2G3 + 2G1G2G3
L(1) —— 所有单独回路增益之和； L(2) —— 两个互不接触回路增益乘积之和； L( m ) —— m个不接触回路增益乘积之和。
例3：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
第2章第5节信号流图和梅逊公式
+ G1 (s)G2 (s)G7 (s)[1 + G4 (s)G8 (s)]}/[1 + G4 (s)G8 (s) + G2 (s)G7 (s)G9 (s) + G4 (s)G5 (s)G6 (s)G9 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 (s)G9 (s) + G2 (s)G4 (s)G7 (s)G8 (s)G9 (s)]
增益
x1
节点
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
a 21
支路
x2
节点
x2 = a21 x1
3
一、由线性方程组绘制信号流图
例2-12
设一线性系统由下列方程组描述
x 2 = a 21 x1 + a 23 x3 + a 24 x 4 + a 25 x5
x3 = a32 x 2
x 4 = a 43 x3 + a 44 x 4
∆(s) = 1 − N1 (s) + N 2 (s) − N 3 (s) + L
N 2 ( s) = L1 ( s) L2 ( s)
= 1 + G4 (s)G8 (s) + G2 (s)G7 (s)G9 (s) + G4 (s)G5 (s)G6 (s)G9 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 (s)G9 (s) + G2 (s)G4 (s)G7 (s)G8 (s)G9 (s)
11
L3 = G6 ( s )G4 ( s )G5 ( s )(−G9 ( s ))
J.Z. G7 G3 G4 －G8 G5
L2
C(s)
G1
G2
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d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1 = G1G2G3G4G5
1 1
P2 = G1G6G4G5 P3 = G1G2G7
2 1 3 1 L1
08:42
31
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1 = G1G2G3G4G5
1 1
P2 = G1G6G4G5 P3 = G1G2G7
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1 = G1G2G3G4G5
1 1
08:42
29
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1 = G1G2G3G4G5
1 1
P2 = G1G6G4G5
2 1
08:42
30
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
08:42
22
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
08:42
23
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1 = G4 H1
08:42
24
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
R(s)
G3(s)
E(S) G1(s)
N(s)
C(s) G2(s)
H1(s)
H2(s)
H3(s)
L1= G1H1 L2= –G2H2 L3= –G1G2H3 L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 )
R(s)[G3G2(1-G1H1) +G1G2 ] + G2(1-G1H1)N(s)
C(s)=
1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2
接触回路增益乘积之和)–(任意三个互不接触回路增
益乘积之和)+¨¨¨
08:42
21
1N
G
Δ
Σ
k 1
Gk
Δk
Gk ——N条前向通路中第k条前向通路的增益； Δk——第k条前向通路余因式，即与第k条前向 通路不接触部分的Δ值（特征式）； 去掉第K条前向通路后剩余的流图的特征式。
N ——前向通路的总数。
08:42
5
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
08:42
6
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
08:42
7
x1
a x2
x5
f
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向 表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边， 称支路增益。
08:42
4
x5
x1
a x2
d
有关术语
f
b
c
x4
x3
e
输入节点：源节点。只有输出支路。
输出节点：阱节点。只有输入支路。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。相 当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信 号是所有输入支路引进信号的叠加。
C(s)
abc d + e d (1 – bg)
08:42 R(s) = 1 – a f – bg – ch– eh g f + af c h 34
例3：求系统的传递函数
e
f
a
b
c
d
g
h
i
单独回路:L1 bg, L2 bci L3 ehg, L4 ei, L5 f , L6 ch 两两互不接触回路:L4 L5 eif 1 bg bci ehg ei f பைடு நூலகம்ch eif
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘 积。一般用Gk来表示。
08:42
9
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘 积。一般用Gk来表示。
08:42
10
Mixed node
a53
a32
input node
08:42
35
e
f
a
b
c
d
g
h
i
G1 abcd , 1 1 G2 ade, 2 1 f 由梅森公式，得传递函数
C(s)
abcd ade(1 f )
R(s) 1 bg bci ehg ei f ch eif
08:42
36
注意
千万小心！ 用梅森公式求系统的传递函数方法虽然简 单，但是不要漏掉任意一条单独回路、不接触 回路和前向通路，否则最终结果就是错的！
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用La
表示。
08:42
8
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
p
Δ
3
3
)
G1G2G3G4G5 G1G6G4G3 G1G2G7 (1 G4H1)
1 G4H1 G2G7H2 G6G4G5H2 G2G3G4G5H2 G4H1G2G7H2
08:42
33
例2：求系统传递函数。 e
g
R(s) 1
a
b
c
d
C(s)
f
h
四个单独回路，两个回路互不接触。
前向通路两条。
L1 = G4 H1
L2 = G2G7 H2
08:42
25
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1 = G4 H1 L3 = G6G4G5 H2
L2 = G2G7 H2
08:42
26
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
08:42
1 - G1H1 + G2H2 + G1G2H3 -G1H1G2 H2
41
2-7 信号流图和梅森公式
项目
内容
学习目的
掌握由信号流图利用梅森公式求取传递函数的方 法。
重 点 利用梅森公式求取传递函数
难 点 闭环系统有关传函的一些基本概念
08:42
1
本节内容
➢信号流图的组成和绘制 ➢MASON公式→求系统传递函 ➢闭环系统有关数传函的一些基本概念
08:42
2
一 信号流图的组成和绘制
08:42
37
提高篇
由动态结构图直接利用Mason公式 求解，省去信号流图环节。
08:42
38
求传函
R(s)
G4(s) GG11((ss)) GG22((ss)) H1(s)
GG33((ss))
C(s)
H3(s)
△1=1
△2=1+G1H1
G4(s) GCR1((s(s)s))=? G2请(s你) 写出G答G33案((ss))，行吗？
08:42
40
求E(s)
G3(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
a x2
d
x5
f
b
c
x4
x3
e
08:42