信号流图和梅森公式

前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘 积。一般用Gk来表示。
08:42
9
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘 积。一般用Gk来表示。
08:42
10
Mixed node
a53
a32
input node
a43
a44
(source) x1
1
a12 2
3
x2
a23 x3 a34 4 x4 a45
单独回路(7个)
a24 a25
1 Output node
5
x5
x6
x4 x4
x2 x3 x2
x3 x4 x3
不接触回路(2组) x2 x3 x2 和 x4 x4
x2 x4 x3 x2
x3 x4 x5 x3
2-7 信号流图和梅森公式
项目
内容
学习目的
掌握由信号流图利用梅森公式求取传递函数的方 法。
重 点 利用梅森公式求取传递函数
难 点 闭环系统有关传函的一些基本概念
08:42
1
本节内容
➢信号流图的组成和绘制 ➢MASON公式→求系统传递函 ➢闭环系统有关数传函的一些基本概念
08:42
2
一 信号流图的组成和绘制
x2 x5 x3 x2 和 x4 x4
x2 x5 x3 x2
x2 x4 x5 x3 x2
08:42
11
说明
1 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示， 两者一一对应。
x1 x1 x2 ax1 dx2 ex3 x3 bx2 fx5 x4 cx3 x5 x5
x1
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1 = G1G2G3G4G5
1 1
P2 = G1G6G4G5 P3 = G1G2G7
2 1 3 1 L1
08:42
31
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1 = G1G2G3G4G5
1 1
P2 = G1G6G4G5 P3 = G1G2G7
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
C(s)
abc d + e d (1 – bg)
08:42 R(s) = 1 – a f – bg – ch– eh g f + af c h 34
例3：求系统的传递函数
e
f
a
b
c
d
g
h
i
单独回路:L1 bg, L2 bci L3 ehg, L4 ei, L5 f , L6 ch 两两互不接触回路:L4 L5 eif 1 bg bci ehg ei f ch eif
08:42
16
画出系统的信流图。
R(s)
08:42
G6
G7
G1 a
G2 b
G3 c
G4
G5
d
-H1
-H2
C(s)
17
注意：引出点和比较点相邻的处理
08:42
18
例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。
08:42
19
解：1 将结构图的变量换成节
点，并按结构图的顺序分
布好；
a
bc
2 用标有传递函数的线段 (支路)代替结构图中的函 数方框。
08:42
40
求E(s)
G3(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
08:42
5
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
08:42
6
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
08:42
7
x1
a x2
x5
f
p
Δ
3
3
)
G1G2G3G4G5 G1G6G4G3 G1G2G7 (1 G4H1)
1 G4H1 G2G7H2 G6G4G5H2 G2G3G4G5H2 G4H1G2G7H2
08:42
33
例2：求系统传递函数。 e
g
R(s) 1
a
b
c
d
C(s)
f
h
四个单独回路，两个回路互不接触。
前向通路两条。
L1 = G4 H1
L2 = G2G7 H2
L3 = G6G4G5 H2
L4 = G2G3G4G5 H2
❖ 互不接触的回路L1 L2。所以，特征式
= 1 - (L1 + L2 + L3 + L4 )+ L1L2
08:42
C(s)
28
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
引出点 信号线
方框
输出量
信流图：输入节点 混合节点 支路 输出节点
信号流图包含了结构图所包含的全部信息， 在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是， 在图形结构上更简单方便。
08:42
15
由系统结构图绘制信号流图的步骤
1）将方框图的所有信号(变量)换成节点， 并按方框图的顺序分布好； 2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构 图中的方框。
G2 (s)
R(s)
1
G1(s)
a
b
1
G3 (s) c
C(s)
H (s)
G4 (s)
08:42
20
梅森公式
输入与输出两个节点间的传递函数可用梅森公
式来求取：
G
1 Δ
N
Σ
k 1
Gk
Δ
k
式中：Δ——信流图的特征式
1 Lm1 Lm2 Lm3 L L
m
m
m
=1-(所有单独回路增益之和)+(任意两个互不
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1 = G4 H1 L3 = G6G4G5 H2
L2 = G2G7 H2 L4 = G2G3G4G5 H2
08:42
27
G6
G7
R(s)
G1 a
用梅森公式
G2 b
G3 c
G4
G5
d
-H1
-H2
❖ 该系统中有四个独立的回路：
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1 = G1G2G3G4G5
1 1
08:42
29
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1 = G1G2G3G4G5
1 1
P2 = G1G6G4G5
2 1
08:42
30
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
08:42
22
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
08:42
23
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1 = G4 H1
08:42
24
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
a x2
d
x5
f
b
c
x4
x3
e
08:42
12
2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。
3 混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。
x1
a
x5
1
b
x2
d
e
c
x4
x3
08:42
13
信号流图的绘制
❖由原理图绘制信号流图
P1=G1G2G3
P2= G4G3
L1= –G1 H1 L2= – G3 H3 L3= – G1G2G3H3H1 L4= – G4G3
L5 = – G1G2G3 L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
08:42
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
39
求C(s)
08:42
35
e
f
a
b
c
d
g
h
i
G1 abcd , 1 1 G2 ade, 2 1 f 由梅森公式，得传递函数
C(s)
abcd ade(1 f )
R(s) 1 bg bci ehg ei f ch eif
08:42
36
注意
千万小心！ 用梅森公式求系统的传递函数方法虽然简 单，但是不要漏掉任意一条单独回路、不接触 回路和前向通路，否则最终结果就是错的！
(1)列写系统原理图中各元件的原始微分方程式。 (2)将微分方程组取拉氏变换，并考虑初始条件， 转换成代数方程组。 (3)将每个方程式整理成因果关系形式。 (4)将变量用节点表示，并根据代数方程所确定 的关系，依次画出连接各节点的支路。
08:42
14
信号流图的绘制
❖由系统结构图绘制信号流图
比Байду номын сангаас点
结构图：输入量
R(s)
G3(s)
E(S) G1(s)
N(s)
C(s) G2(s)
H1(s)
H2(s)
H3(s)
L1= G1H1 L2= –G2H2 L3= –G1G2H3 L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 )
R(s)[G3G2(1-G1H1) +G1G2 ] + G2(1-G1H1)N(s)
C(s)=
1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用La
表示。
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8
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
对于复杂的控制系统，结构图的简化过程 仍较复杂，且易出错。
信号流图：对系统的结构和信号（变量）传
递过程的数学关系的图解描述。
优点：用梅森公式可以直接写出系统的传递函 数，无需对信号流图进行化简和变换。
08:42
3
基本组成： 由节点、支路组成
x
y
G
xG y
节点：节点表示信号。输入节点表示输入信号，输出 节点表示输出信号。
08:42
37
提高篇
由动态结构图直接利用Mason公式 求解，省去信号流图环节。
08:42
38
求传函
R(s)
G4(s) GG11((ss)) GG22((ss)) H1(s)
GG33((ss))
C(s)
H3(s)
△1=1
△2=1+G1H1
G4(s) GCR1((s(s)s))=? G2请(s你) 写出G答G33案((ss))，行吗？
08:42
1 - G1H1 + G2H2 + G1G2H3 -G1H1G2 H2
41
L1 = G4 H1
L2 = G2G7 H2
08:42
25
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1 = G4 H1 L3 = G6G4G5 H2
L2 = G2G7 H2
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26
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
接触回路增益乘积之和)–(任意三个互不接触回路增
益乘积之和)+¨¨¨
08:42
21
1N
G
Δ
Σ
k 1
Gk
Δk
Gk ——N条前向通路中第k条前向通路的增益； Δk——第k条前向通路余因式，即与第k条前向 通路不接触部分的Δ值（特征式）； 去掉第K条前向通路后剩余的流图的特征式。
N ——前向通路的总数。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向 表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边， 称支路增益。
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4
x5
x1
a x2
d
有关术语
f
b
c
x4
x3
e
输入节点：源节点。只有输出支路。
输出节点：阱节点。只有输入支路。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。相 当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信 号是所有输入支路引进信号的叠加。
2 1 3 1 L1
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32
Δ=1-(L1+L2+L3+L4)+L1L2
将 G1= G1G2G3G4G5
G2= G1G6G4G5
Δ1=1 Δ2=1
代入
G
1 Δ
N
Σ
k 1
Gk
Δ
k
G3= G1G2G7
Δ3=1-L1
得系统的传递函数C(s)/R(s)为
C(s) R(s)
G
1 Δ
(p1Δ1
p
Δ
2
2