实数与三角函数值的混合运算(1)
cos和差化积公式(一)
cos和差化积公式(一)Cos和差化积公式什么是Cos和差化积公式？Cos和差化积公式是高中数学中常用的一个公式，用于将两个余弦函数相加或相减转化为乘积形式。
它的公式形式为：cos(A)±cos(B)=2⋅cos(A±B2)⋅cos(A∓B2)其中，A和B为任意实数。
公式推导与解释1.推导我们可以从三角函数的和差角公式出发进行推导。
首先，我们利用和差角公式展开cos(A+B)和cos(A-B)：cos(A+B)=cosA⋅cosB−sinA⋅sinBcos(A−B)=cosA⋅cosB+sinA⋅sinB然后，我们通过上面两个公式可以得到：cos(A+B)+cos(A−B)=2⋅cosA⋅cosBcos(A+B)−cos(A−B)=−2⋅sinA⋅sinB因此，我们可以将上面两个公式进行整理得到Cos和差化积公式。
2.解释Cos和差化积公式的含义可以通过几何解释来理解。
假设在单位圆上有两个点P和Q，其对应的角分别为A和B。
那么，公式左边的cos(A)±cos(B)可以分别表示P点和Q点在x轴上的投影长度，而公式右边的2⋅cos(A±B2)⋅cos(A∓B2)可以分别表示P点和Q点在x和y轴上的投影长度。
由于在单位圆上，x 轴和y轴上的投影长度之和恒为1，因此这两个式子是相等的。
公式的应用Cos和差化积公式在数学中的应用非常广泛，尤其在解析几何和三角函数的计算中经常被使用。
下面是一些常见的公式和例子：•cos(A+B)=cosA⋅cosB−sinA⋅sinB例子：计算cos(30∘+45∘)的值。
•cos(A−B)=cosA⋅cosB+sinA⋅sinB例子：计算cos(60∘−45∘)的值。
•cos2(A)−cos2(B)=−sin2(B−A)例子：证明cos2(30∘)−cos2(15∘)=−sin2(15∘)。
•cosA−cosB=−2⋅sin(A+B2)⋅sin(A−B2)例子：计算cos(30∘)−cos(45∘)的值。
三角函数与代数式的运算
三角函数与代数式的运算在数学中，三角函数和代数式是两个常见的数学概念，它们在数学中有着广泛的应用和重要的地位。
本文将探讨三角函数与代数式的运算，并介绍它们之间的关系和相互作用。
一、三角函数的基本定义和性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，表示一个角对应的纵坐标值与正弦线的交点。
其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数的周期为2π，并且具有奇函数的性质，即sin(-x) = -sin(x)。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，表示一个角对应的横坐标值与余弦线的交点。
其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数的周期为2π，且具有偶函数的性质，即cos(-x) = cos(x)。
3. 正切函数（tan）正切函数表示一个角的正切值，其定义域为实数集，值域为全体实数。
正切函数的周期为π，它与正弦函数和余弦函数有如下关系：tan(x) = sin(x) / cos(x)。
二、代数式的基本运算1. 加法和减法在代数式中，加法和减法是最基本的运算，它们常常用于合并和简化代数式。
例如，将两个三角函数相加可得到一个新的代数式，而将两个三角函数相减则得到另一个代数式。
2. 乘法和除法乘法和除法是代数式中常见的运算方法。
在三角函数和代数式的运算中，乘法和除法常常用于改写和简化公式。
例如，将两个三角函数相乘可得到一个新的代数式，而将两个三角函数相除则可得到另一个代数式。
三、1. 三角函数的展开式三角函数的展开式是将一个三角函数表达式用其他三角函数表达的公式。
利用三角函数的展开式，可以简化和求解复杂的三角函数运算。
例如，使用正弦函数的展开式可以将一个复杂的三角函数表达式转化为正弦函数的和差形式。
2. 代数式和三角函数的混合运算在实际问题中，常常需要将代数式和三角函数进行复合运算。
例如，在求解三角方程时，需要使用代数式与三角函数相结合的运算方法。
通过代数式和三角函数的混合运算，可以解决一些复杂的数学问题。
关于实数及三角函数的计算题(原卷版)
2021年齐齐哈尔中考数学复习专题训练关于实数及三角函数的计算题一、主要考点：1．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．2．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．3．提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．4．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）5．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由a m÷a m＝1，a m÷a m＝a m﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．6．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．7．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．二、中考真题：1．（2018•齐齐哈尔）（1）计算：（）﹣2+（﹣）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|（2）分解因式：6（a﹣b）2+3（a﹣b）2．（2019•齐齐哈尔）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|（2）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）3．（2020•齐齐哈尔）（1）计算：sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|（2）因式分解：3a2﹣484．（2020•济南）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．5．（2020•德阳）计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°．6．（2020•呼伦贝尔）计算：（﹣）﹣1++2cos60°﹣（π﹣1）0．7．（2020•沈阳）计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．8．（2020•眉山）计算：（2﹣）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣．9．（2020•毕节市）计算：|﹣2|+（π+3）0+2cos30°﹣（）﹣1﹣．10．（2020•邵阳）计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．11．（2020•娄底）计算：|﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（）﹣1．12．（2020•青海）计算：（）﹣1+|1﹣tan45°|+（π﹣3.14）0﹣．13．（2020•孝感）计算：+|﹣1|﹣2sin60°+（）0．14．（2020•株洲）计算：（）﹣1+|﹣1|﹣tan60°．15．（2020•内江）计算：（﹣）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣+（π﹣3）0．16．（2020•怀化）计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．17．（2020•岳阳）计算：（）﹣1+2cos60°﹣（4﹣π）0+|﹣|．18．（2020•菏泽）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2020•（）2020．19．（2020•遂宁）计算：﹣2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．20．（2019•青海）计算：（﹣1）0+（﹣）﹣1+|﹣1|﹣2cos45°。
押安徽卷第15-16题(实数运算、整式分式化简求值、方程(组)综合)(原卷版)-备战24年中考数学
押安徽卷第15-16题押题方向一：实数的运算、分式化简求值、方程（组）不等式（组）3年安徽卷真题考点命题趋势2023年安徽卷第15题分式的化简求值从近年安徽中考来看，分式化简求值、实数的运算、方程(组）不等式（组）是近几年安徽的必考题，熟记分式的运算法则，扎实计算实数的运算及方程（组）不等式（组）的解法；预计2024年安徽卷还将继续重视分式化简求值、实数与整式的运算的考查。
2022年安徽卷第15题实数的运算2022年安徽卷第15题不等式的解法1．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中x ＝．2．（2022·安徽·中考真题）计算：()211622⎛⎫+- ⎪⎝⎭3.（2021·安徽·中考真题）解不等式：K13−1＞0主要考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．1.实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方、二次根式等，需要学生熟记相应的运算公式和值。
2.整式的混合运算主要考查单项式与多项式乘法法则，熟记平方差、完全平分公式是解题的关键。
3.分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入代入计算．4.方程（组）不等式（组）的解法，数显掌握一元一次方程，一元一次不等式及二元一次方程组。
二元一次方程的解法是突破此题的关键，在找解集时学会用数轴和口诀找解集。
1．计算：|﹣5|﹣﹣sin30°．2．计算：．3．先化简，再求值：，其中．4．先化简，再求值：（2a+b）2﹣（a﹣b）（b+a），其中a＝1，b＝2．5．先化简，再求值：（2a﹣1）2+6a（a+1）﹣（3a﹣2）（3a+2），其中a2+2a﹣2024＝0．6．先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝4．7．计算：．8．解不等式组，并写出其所有整数解．9．解方程组．10．解方程组：．11．解方程：+＝1．12．解方程：3x（x﹣2）＝6﹣3x．13．解方程：x2﹣6x+1＝4．押题方向二：方程、不等式的应用3年安徽真题考点命题趋势2023年安徽卷第16题二元一次方程组从近年安徽中考来看，二元一次方程组，分式方程和不等式，不等式组是考查是常考题型，也是考查重点，难度一般。
实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)【中考真题分析汇总】
一、选择题1. （2018四川绵阳，1，3分） 0)2018(-的值是 A.-2018 B.2018 C.0 D.1 【答案】D.【解析】解：0)2018(-=1.故选D.【知识点】零指数幂 2. 7．（2018山东烟台，7，3分）利用计算器求值时，小明将按键顺序为的显示结果记为a ，的显示结果记为b ．则a ，b 的大小关系为（ ）A. a<b B ．a>b C ．a=b D ．不能比较 【答案】B【解析】本题考查鲁教版课本中（大雁牌）计算器的使用方法，，，∴a>b ，故选B ．【知识点】锐角三角函数；负整数指数幂；计算器的使用；1. （2018内蒙古呼和浩特，9，3分）下列运算及判断正确的是（ ） A. 115()5155-⨯÷-⨯= B.方程 23(1)1x x x ++-=有四个整数解C.若3356710,a ⨯=310a b ÷= ， 则6310567a b ⨯=D.有序数对2(1,)m m +在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限 【答案】：B【解析】：对于A:1115()55(5)525555-⨯÷-⨯=-⨯⨯-⨯=,所以A 不正确；对于C:∵3356710a ⨯=，∴3310567a =，∵310a b ÷=，∴3331056710aa b ⨯=⨯ ,所以C 不正确； 对于D: ∵220,11,0.m m m ≥∴+≥≥所以D C 不正确；【知识点】实数的运算，零指数幂，幂的运算，平面直角坐标系的象限点的特征-44411(sin 30)=()1612()2a -=︒==26123b ==2. (2018山东菏泽，1，3分)下列各数：-2，0，13，0.020020002…，π ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C【解析】，则-2，0，130.020020002…，π是无理数，故选C ． 【知识点】无理数3. （2018山东省日照市，7，3分） 计算：（12）-1+tan 30°·sin 60°=（ ） A .-32B .2C .52D .72【答案】C【解析】因为原式=2+12=52，故选C 。
(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（ ）A ．4B ．5C ．163D ．83 2．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ）题目 测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图 相关数据 10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒=C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒5．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ． F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF ；④正方形对角线3中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．A ．3米B ．3米C ．2米D ．1米7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（ ）A ．6B ．3C ．32D ．62﹣6 8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为3B ′的坐标为（ ）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．21+B ．2﹣1C ．2D ．1211．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．35B ．59C ．512D ．4512．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45二、填空题13．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AH=__．14．计算：tan60°﹣cos30°=________；如果∠A 是锐角，且sinA=12，那么∠A=________゜．15．已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,3A ，且抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y -->；当120x x <<时，()()12120x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为______． 16．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，BC=23，则AB=_____．17．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC,AE=1，连接BE ，则tanE= .18．如图，在ABC 中,已知90,4,8C AC BC ∠=︒==，将ABC 绕着点C 逆时针旋转到''A B C 处，此时线段''A B 与BC 的交点D 为BC 的中点，那么'B D 的长度为_________．19．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4，点D的坐标是(6,0)，∠BDO＝15°，将△BDE 旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为__________．20．锐角α和锐角β互余，记f＝sinα+sinβ，则f的取值范围为_____．参考答案三、解答题21．如图，有一个半径为3cm球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形α=，的垫块把这个零件架起来，两个三角形与球的接触点分别是点P和Q，已知70β=，一侧接触点离地面距离PM是4cm40（≈≈≈≈≈≈sin700.94,cos700.34,tan70 2.75;sin400.64,cos400.77,tan400.84）（1）求圆心O距离地面的高度；∠与α、β的关系；（2）直接写出QOP（3）另一侧接触点离地面距离QN又是什么？22．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36a=︒，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin，360.80︒≈360.60tan≈）cos≈，360.7523．计算（1）cos 451-sin60︒︒ （2）（12）-2-（π-3.14）0-│tan60°-2│ 24．计算：()20120201232cos302π-⎛⎫----+︒ ⎪⎝⎭． 25．解答下列各题：（1）计算：()1012sin 6032202032-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． （2）解方程：21133x x x-=--． 26．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一动点，点F 是CD 上一点，,,CE DF AF DE =且相交于点G ．（1）求证：ADF DCE ∆≅∆；（2）若BG BC =，求tan DAG ∠的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ， 从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒，,FAG BCG ∴∠=∠,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽,AF FG EF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则,AB CD x DE ==+=AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()((2222,x x ∴=+235250,x x ∴--=55x ∴=5x = 55855DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,m m ∴=⎝⎭ 83m ∴=（负根舍去） 162.3EC EP ∴==故选：.C【点睛】 本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．C解析：C【分析】 根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】 解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．3．A解析：A【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°，∴DH ＝FH ＝x−10，∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，故选：A ．【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A 、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误；B 、222211sin 45 cos 4512222⎛⎫⎛︒+︒=+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，此项正确；C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确； 故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．A解析：A【分析】根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC ⊥EF ，然后分别求得AG 与CG 的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD= BC=DC ，∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB AD AE AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ，AE=AF ，∵BC=DC ，∴BC-BE=CD-DF ，∴CE=CF ，故①正确；∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于G 点，∵AE=AF ，CE=CF ，∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ，∵∠CAF≠∠DAF ，∴DF≠FG ，∴BE+DF≠EF ，故③错误；∵△AEF 是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC ⊥EF ，∴EG=FG=1，∴AG=AE•sin60°3232=⨯=CG=112EF =， ∴31；故④正确．综上，①②④正确故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．B解析：B【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，3tan PC AC x PAC ==∠， 在Rt BPC △中，3tan 3PC BC x PBC ==∠， 332x x -=， 解得，3x =)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得2AB AD '=，1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．【详解】解：6,AB AB AB AD AD ==='∴=', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=,又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,又2AB AD '= AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',D BE ∴'、、三点共线，在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,∴BE=BC-CE=6,故选D..【点睛】本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键． 8．A解析：A【分析】证明AC ∥DE ，再由条件CE ∥AD 可证明四边形ACED 是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB 可得△BCE 是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=出AB 长可得四边形ACEB 的周长是10+【详解】①∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC ∥DE ，∵CE ∥AD ，∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确；②∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，∴EC=EB ，∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=cos30AD ⋅︒=23， ∵四边形ACED 是平行四边形， ∴CE=AD=4， ∵CE=EB ，∴EB=4，DB=23，∴BC=43，∴AB=()2222243213AC BC +=+=，∴四边形ACEB 的周长是10213+，故③正确；综上，①②③均正确，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．9．D解析：D【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 3434an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．B解析：B【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值.【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ， ()22.5==211+2AC C tan ta D x n D =∠=-︒故选：B.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.11．D解析：D【分析】如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．利用全等三角形的性质证明BM=CF=9，AB=BM ，利用勾股定理求出BC ，AC 即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．∵BD=DC ，∠BDM=∠CDF ，DM=DF ，∴△BDM ≌△CDF （SAS ），∴CF=BM=9，∠M=∠CFD ，∵CE ∥BM ，∴∠AFE=∠M ，∵EA=EF ，∴∠EAF=∠EFA ，∴∠BAM=∠M ，∴AB=BM=9，∵AE=4，∴BE=5，∵∠EBC=90°，∴BC=2222135EC BE -=-=12，∴AC=2222912AB BC +=+=15，∴cos ∠ACB=124155BC AC == ， 故选：D ．【点睛】此题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 12．C解析：C【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =， ．sin ∠3∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.二、填空题13．1【分析】连接BH 证明Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ）得出∠ABH=30°在Rt △ABH 中解直角三角形即可【详解】解：连接BH 如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1【分析】连接BH ，证明Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ），得出∠ABH =30°，在Rt △ABH 中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH ，如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB ，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt △ABH 和Rt △EBH 中，∵BH=BH ，AB=EB ，∴Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ），∴∠ABH=∠EBH=12∠ABE=30°， ∴AH=AB•tan ∠33， 故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt △ABH ≌△Rt △EBH ，从而求得∠ABH =30°是解题关键．14．30【分析】由特殊角三角函数值进行计算即可求出答案【详解】解：；∵∠A 是锐角∴；故答案为：；30【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题 解析：3330 【分析】由特殊角三角函数值进行计算，即可求出答案．【详解】 解：323tan 60tan 303︒-︒==； ∵1sin 2A =，∠A 是锐角， ∴30A ∠=︒； 23；30． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题． 15．【分析】由A 的坐标确定出c 的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y 轴且开口向下求出b 的值如图1所示可得三角形ABC 为等边三角形确定出B 的坐标代入抛物线解析式即 解析：2233=-+y x 【分析】由A 的坐标确定出c 的值，根据已知不等式判断出y 1-y 2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y 轴，且开口向下，求出b 的值，如图1所示，可得三角形ABC 为等边三角形，确定出B 的坐标，代入抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线过点A （0，3），∴c=3，当x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，由（x 1-x 2）（y 1-y 2）＞0，得到y 1-y 2＜0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，同理当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即b=0，∵以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，如图所示，∴△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 中有一个角为60°，∴△ABC 为等边三角形，且OC=OA=3，设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD=CD ，且∠OBD=30°，333cos30,sin 3022︒︒∴=⋅==⋅=BD OB OD OB ∵B 在C 的左侧， ∴B 的坐标为3332⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∵B 点在抛物线上，且c=3，b=0，327432∴+=-a解得：23a =- 则抛物线解析式为2233=-+y x 故答案为: 2233=-+y x ． 【点睛】 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．16．4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD 进而可得出∠ACE=∠DCE 由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB 结合∠ACB=90°可求出∠ACE ∠A 的度解析：4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD ，进而可得出∠ACE=∠DCE ，由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB ，结合∠ACB=90°可求出∠ACE 、∠A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB 的长度． 详解：∵CE 所在直线垂直平分线段AD ，∴CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=∠DCE ．∵CD 平分∠BCE ，∴∠DCE=∠DCB ．∵∠ACB=90°，∴∠ACE=13∠ACB=30°， ∴∠A=60°， ∴AB=60BC sin =︒=4．故答案为4．点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．17．【详解】如图延长CA 使AF=AE 连接BF 过B 点作BG ⊥AC 垂足为G ∵四边形ABCD 是正方形∴∠CAB=45°∴∠BAF=135°∵AE ⊥AC ∴∠BAE=135°∴∠BAF=∠BAE ∵在△BAF 和△B 解析：23【详解】如图，延长CA 使AF=AE ，连接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CAB=45°．∴∠BAF=135°．∵AE ⊥AC ，∴∠BAE=135°．∴∠BAF=∠BAE ．∵在△BAF 和△BAE 中，BA BA{BAF BAE AE AF∠∠＝＝＝，∴△BAF ≌△BAE （SAS ）．∴∠E=∠F ．∵四边形ABCD 是正方形，BG ⊥AC ，∴G 是AC 的中点．∴BG=AG=2．在Rt △BGF 中，BG 2tanF FG 3==，即tanE=23． 考点：正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，18．【分析】根据题意先考虑多种情况①与D 重合=AB ；②与D 不重合过点C 作CE 于点E 利用的余弦值求出由等腰三角形三线合一得求出再用减去得到【详解】①如图与D 重合②如图与D 不重合过点C 作CE 于点E ∵旋转∴在 解析：1255,【分析】根据题意，先考虑多种情况，①A '与D 重合，B D '=AB ；②A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，利用CA B ''∠的余弦值求出A E '，由等腰三角形三线合一得2A D A E ''=，求出A D '，再用A B ''减去A D '得到B D '．【详解】①如图，A '与D 重合，45B D AB '==．②如图，A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ， ∵旋转，∴4AC A C '==，8BC B C '==，在Rt A B C ''△中，由勾股定理，22224845A B A C B C ''''=+=+=， 5cos 545A C CA B A B '''∠==='， 在Rt A EC '中，5cos 4A E A E CA E A C '''∠==='， ∴45A E '=∵D 是BC 中点∴4CD CA '== 在等腰三角形ACD '中，由“三线合一”得852A D A E ''==， ∴851254555B D A B A D ''''=-=-=．故答案是：555． 【点睛】本题考查图形的旋转，等腰三角形三线合一，锐角三角函数，关键在于要画出对应的图象进行分类讨论，把情况考虑全面．19．【分析】根据旋转的性质AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P连接PD过P作PF⊥x轴于F再根据点C在BD上确定出∠PDB＝45°并求出PD的长然后求出∠PDO＝60°根据直角三角形两锐角互余求出解析：(62,6)-【分析】根据旋转的性质，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PF⊥x 轴于F，再根据点C在BD上确定出∠PDB＝45°并求出PD的长，然后求出∠PDO＝60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DPF＝30°，然后解直角三角形求出点P的坐标．【详解】如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PF⊥x轴于F，∵点C在BD上，∴点P到AB、BD的距离相等，都是12BD，即1422⨯=，∴∠PDB＝45°，22PD=，∵∠BDO＝15°，∴∠PDO＝45°+15°＝60°，∴∠DPF＝30°，∴DF＝12PD＝12222⨯=，3cos302262PF PD︒=⋅=⨯=，∵点D的坐标是(6,0)，∴OF＝OD﹣DF＝62-，∴旋转中心的坐标为(62,6)-，故答案为：(62,6)-．【点睛】本题考查坐标与图形变化－旋转，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置是解题的关键．20．1＜f≤【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【详解】∵α+β＝90°∴sinβ＝sin（90°−α）＝cosα∴f＝sinα＋cosα＝sin（α＋45°）∵α是锐角∴＜sin（α＋45°）≤解析：1＜f≤2【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】∵α+β＝90°，∴sinβ＝sin（90°−α）＝cosα，∴f＝sinα＋cosα＝2sin（α＋45°）∵α是锐角，∴2＜sin（α＋45°）≤1，∴1＜f≤2，故答案为：1＜f≤2．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．三、解答题∠=+；(3)2.7121．（1）5.02；（2）QOPαβ【分析】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，根据互余角的性质求得∠OPA=70°，再解直角三角形得AP，进而求AM；（2）根据切线的性质求出∠OPC和∠OQB的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB和∠QBC，最后根据五边形的内角和求得∠POQ；（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，仿（1）题方法求得DQ，再由圆心O距离地面的高度减去DQ便可得QN．【详解】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，连接OP，如图1，则OP =3cm ，∠OAP =90°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OPC =90°，∴∠PCM +∠MPC =90°，∠APO +∠MPC =90°，∴∠APO =∠PCM =70°，∴PA =OP •cos70°≈3×0.34=1.02（cm ），∴圆心O 距离地面的高度：AM =AP +PM =1.02+4=5.02（cm ）；（2）∵BQ 与CP 都是⊙O 的切线，∴∠OPC =∠OQB =90°，∵∠PCM=α，∠QBN=β，∴∠PCB=180α︒-，∠QBC=180β︒-，∴∠POQ =540°﹣90°﹣90°﹣(180α︒-)﹣(180β︒-)=αβ+，∴∠POQ =7040110αβ+=︒+︒=︒；（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，如图3，按（1）的方法得，∠OQD =∠NBQ =40°，∴DQ =OQ •cos40°≈3×0.77=2.31（cm ），由（1）知，圆心O 距离地面的高度5.02cm ，DN=5.02cm∴QN =DN -DQ =5.02﹣2.31=2.71（cm ）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线性质，多边形内角和定理，正确构造直角三角形是解题的关键所在．22．200mm【分析】求ABCD 的周长就是求AB 和AD 的长，可分别过B 、D 作垂线垂直于l ，通过构造直角三角形根据α=36°和ABCD 的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽12mm 等条件来求出AB 、AD 的长．【详解】作BE ⊥m 于点E ，DF ⊥m 于点F ，∵α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=α=36°，根据题意，得 BE=24mm ，DF=48mm ，在Rt △ABE 中，BE sin AB α=， ∴2440sin 360.60BE AB ===︒( mm)， 在Rt △ADF 中，DF cos ADF AD ∠=， ∴4860cos360.80DF AD ===︒( mm)， ∴矩形ABCD 的周长=2(40+60)=200( mm)．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．23．（1）26+2）3【分析】（1）代入特殊角的三角函数值计算即可；（2）根据负整数指数幂、零次幂、特殊角三角函数值化简然后计算即可.【详解】（1）cos 451-sin60︒===︒（2）（12）-2-（π-3.14）0-│tan60°-2│=4-1-（【点睛】本题考查实数的混合运算，需要熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键.24．6【分析】先计算负指数，零次幂，化去绝对值，与特殊三角函数再化简二次根式，合并同类项即可．【详解】()201202032cos302π-⎛⎫--+︒ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查实数混合运算问题，关键掌握负指数，会用负指数计算，掌握零次幂的性质，能进行化简，掌握绝对值的意义，会利用绝对值意义去绝对值符号，记住特殊三角函数，能转化为，会化简二次根式为最简二次根式，会判断同类项，能合并同类项使问题得以解决．25．（1）1；（2）4x =-【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数、绝对值的代数意义、负指数幂法则以及0指数幂的运算法则分别化简，即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，检验后即可得到分式方程的解的结果．【详解】解：（1）原式＝2221++＝1； （221133x x x-=-- 去分母得：()231x x --=-，去括号得：231x x -+=-，解得：4x =-，经检验4x =-是分式方程的解．【点睛】此题考查了实数的运算和解分式方程，实数运算的关键是掌握各运算类型的法则，解分式方程时把分式方程转化为整式方程求解，且一定注意要验根．26．（1）见解析；（2）12【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=DC ，90ADF DCE ∠=∠=︒，可以证明()ADF DCE SAS ≅；（2）过点B 作BM AG ⊥于点M ，先根据（1）证明90AGD ∠=︒，再证明()ABM DAG AAS ≅，可以求出1tan 2ABM ∠=，根据ABM DAG ∠=∠，则可以得到DAG ∠的正切值．【详解】解：（1）∵ABCD 是正方形，∴AD=DC ，90ADF DCE ∠=∠=︒在ADF 和DCE 中，AD DC ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADF DCE SAS ≅；（2）如图，过点B 作BM AG ⊥于点M ，∵ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∵BC=BG ，∴AB=BG ，∵BM AG ⊥， ∴12AM AG =， ∵ADF DCE ≅，∴DAF CDE ∠=∠， ∵90ADG CDE ADC ∠+∠=∠=︒，∴90ADG DAF ∠+∠=︒，∴90AGD ∠=︒，∵BM AG ⊥，∴90BMA ∠=︒，∴90BAM ABM ∠+∠=︒，∵90BAM DAG ∠+∠=︒，∴ABM DAG ∠=∠，在ABM 和DAG △中，ABM DAG AMB DGA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABM DAG AAS ≅，∴BM AG =， ∴112tan 2AG AM ABM BM AG ∠===， ∵ABM DAG ∠=∠，∴1tan 2DAG ∠=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，锐角三角函数的求解，解题的关键是掌握这些性质定理并结合题目条件进行证明求解．。
专题25 含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道(解析版)
专题25 含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道1．计算：()1013tan30132π-⎛⎫+︒--- ⎪⎝⎭；2()101 3.14tan 603π-⎛⎫---︒ ⎪⎝⎭．3．计算101(2)1tan602π-︒⎛⎫---- ⎪⎝⎭4．计算：1001()3tan 30(13π---+ 【答案】﹣55．计算：(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan 245°＋34tan 230°－cos60°.6114cos 45()|2|2-︒++-7．计算：101()2cos 451(3.14)4π-︒-+-+-.8．计算：201345(20171)--- ．45(2017-9．计算：201(24602sin π-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭．10．计算：2022cos6012( 3.14)π--+--．11．计算：2sin45°0(2019)π+-【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．计算：011)6sin30-︒－13．计算 101(12cos302-︒⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭14．计算：04sin 60|1|1)︒--+15．计算：0212tan 60( 3.14)()2π--︒--+-16．计算：（12）﹣1﹣2tan45°+4sin60°17．计算：101()(1)2cos6092π-++-+2cos609+18．计算：140111 1.414)2sin 602-︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭19101()2cos60(2π)2---︒+-．20．计算：0|3|(3)tan 45π-+-︒【答案】3.【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.【详解】原式31213=+-+=【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则.21．计算：1145tan 603-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭°°22．计算：021(2020)sin 45()2︒--+- 【答案】-2【分析】根据零次幂的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂分别化简后再相加减.12sin 45(2︒-【点睛】此题考查计算能力，掌握零次幂的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关23．计算：222cos602sin 45tan 60sin 303︒-︒+︒-︒．24．计算：0112sin 45(2)()3π-︒+--．2520112cos30()2-+︒+-．26．计算：1201tan 452cos60(2)2π-⎛⎫︒-︒+--- ⎪⎝⎭27．计算：（13）﹣2﹣（π02|+4tan60°．28．计算)2013460.2cos -⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭29．计算()01cot 3012sin 60cos60tan 30︒--︒+︒+︒．30．计算：2tan 452sin60cot 302cos 45︒-︒︒-︒．。
专题二 常见代数式运算考查类型-2023年中考二轮专题复习(解析版)(全国适用)
专题二常见代数式运算考查类型一、（实数）有理数运算例题1（2021·河北兴隆·二模）小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数m 被污染了．计算：()3312m ÷+⨯-．（1）若2m =，计算：()33212÷+⨯-；（2）若()33132m ÷+⨯-=，求m 的值；（3）若要使()3312m ÷+⨯-的结果为最小正整数，求m 值．【答案】（1）0；（2）1m =-；（3）1m =．【解析】【分析】（1）先算乘除，再计算加法，即可求解；（2）解出一元一次方程，即可求解；（3）根据最小的正整数为1，可列出关于m 的方程，即可求解．【详解】解：（1）原式()232103=⨯+⨯-=；（2）∵()33132m ÷+⨯-=，∴解得：1m =-；（3）()33122m m ÷+⨯-=-，∵最小的正整数为1，即21m -=，解得：1m =．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．练习题1．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）计算：2202112cos60(1)2--︒+--．【答案】1+．【解析】【分析】根据负整指数幂的性质、60°角的余弦值、算术平方根、有理数的乘方性质解题：22021112cos601,4(1)2-︒====--．【详解】解：2202112cos60(1)2--︒-111=(1)422-⨯+-11=144-+1=．【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及负整数幂、余弦、算术平方根、有理数的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．2．（2021·广东·()2132cos30π20212-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭．【答案】-2【解析】【分析】根据实数的性质化简，故可求解．【详解】解：原式321431422=+--=--=-．【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．3．（2021·甘肃酒泉·()20214cos 451︒+-．【答案】-1【解析】【分析】按实数的混合运算顺序和法则计算即可．【详解】解：原式()412+-=1=--1=-．【点睛】本题考查了二次根式的化简、乘方、特殊角的三角函数值、实数的混合运算顺序和运算法则等知识点，熟知上述各知识点是解题的关键．4．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）计算：202121(1)()2--+︒-+-．【答案】72【解析】【分析】先根据零指数幂的意义、特殊角的三角函数值、负整指数幂的定义等进行化简计算即可.【详解】解：原式=114-++=31142-+-+=72.【点睛】此题考查了实数的运算，正确掌握负整指数幂的定义、特殊角的三角函数值、零指数幂的意义是解题的关键．5．（2021·河南省淮滨县第一中学模拟预测）（1）如果6a =，5b =且a b <，求b a -的值；（2）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则()cda b m m m++-的值是多少？（3）已知2142()025a b -++=，求ab 的值．【答案】（1）11或1；（2）0或2-；（3）2-【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质分别得出a ，b 可能的值，进而得出答案；（2）直接利用相反数以及倒数的定义求出即可；（3）利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a ，b 的值进而求出答案．【详解】（1）由6a =，5b =，解得：6a =±，5b =±，a b < ，∴①6a =-时，5b =，此时()565611b a -=--=+=，②6a =-时，5b =-，此时()56561b a -=---=-+=，因此b a -的值为11或1；（2）a 、b 互为相反数，0a b ∴+=，c 、d 互为倒数，1cd ∴=，m 的倒数等于它本身，1m ∴=±，1m ∴=时，()1010cda b m m m++-=+-=，1m =-时，()1012cda b m m m++-=-+-=-，因此()cda b m m m++-的值为0或2-；（3）2142()025a b -++= ，1202a ∴-=且405b +=，52a ∴=且45b =-，54225ab ⎛⎫∴=⨯-=- ⎪⎝⎭，因此ab 的值为2-．【点睛】此题主要考查了代数式求值、偶次方和绝对值非负的性质以及倒数、相反数的定义等知识，正确掌握相关性质是解题关键．6．（2021·浙江余杭·三模）下面是圆圆同学计算一道题的过程：()()1111232233434⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷-+⨯-=÷-+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()23324318246=⨯-⨯-+⨯⨯-=-=．圆圆同学这样算正确吗？如果正确请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程．【答案】不正确．正确的计算过程见解析．【解析】【分析】根据有理数的混合运算顺序计算即可．【详解】解：不正确()112334⎛⎫÷-+⨯- ⎪⎝⎭()12312⎛⎫=÷-⨯- ⎪⎝⎭2123=⨯⨯72=．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的乘除法法则是解决本题的关键．7．（2020·河北·模拟预测）利用运算律有时能进行简便计算．例198×12=（100-2）×12=1200-24=1176；例2-16×233+17×233=（-16+17）×233=233．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）()99915⨯-；（2）41399911899999918555⎛⎫⨯+⨯--⨯ ⎪⎝⎭【答案】（1）-14985；（2）99900【解析】【分析】（1）先将999写成（1000-1）的形式，再使用乘法分配律计算即可；（2）提取公因式999，先计算括号内的，再进行简便运算即可．【详解】（1）解：原式=（1000-1）×（-15）=-15000+15=-14985．（2）解：原式=999×41311818555⎡⎤⎛⎫+-- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦=999×100=99900．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，准确计算是解题的关键．8．（2021·河北路北·二模）老师课下给同学们留了一个式子：39⨯+- ，让同学自己出题，并写出答案．()1小光提出问题：若□代表1-，○代表5，则计算：()3195⨯-+-；()2小丽提出问题：若391⨯+-= ，当□代表3-时，求○所代表的有理数；()3小亮提出问题：若391⨯+-< 中，若□和○所代表的有理数互为相反数，直接写出□所代表的有理数的取值范围．【答案】（1）1；（2）1-；（3）□2<-．【解析】（1）直接根据有理数计算法则求值即可；（2）设○代表的有理数为x ，代入解方程即可；（3）设□代表的数为a ，则○代表的数为-a ，代入解不等式即可．【详解】解：()1()3195341⨯-+-=-+=；()2设○所代表的有理数为x ，则()3391x ⨯-+-=，解得：1x =-．∴○所代表的有理数为1-．()3设□代表的数为a ，则○代表的数为-a，则39()1a a ⨯+--<解得：2a <-．∴□所代表的有理数的取值范围为：2<- ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点的计算法则是解决本题的关键．9．（2021·河北邢台·二模）嘉淇准备完成题目：计算：22713骣÷ç´--÷ç÷ç桫()233¸+-．发现有一个数“”印刷不清楚，（1）他把“”猜成18，请你计算：()2227118333骣÷ç´--¸+-÷ç÷ç桫；（2）他妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是32-．”通过计算说明原题中“”是几？【答案】（1）-42；（2）-12【解析】【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减，然后得到结果；（2）设“”是x ，将x 看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出x 的值．【详解】解：（1）()2227118333骣÷ç´--¸+-÷ç÷ç桫952763骣ç=´--+çç桫42=-．（2）设为x ，依题意得，()22127133233x 骣÷ç´--+-=-÷ç÷ç桫．解之得，12x =-．【点睛】本题主要考查有理数的加减和解一元一次方程，熟悉相关解法是解题的关键．10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学一模）观察下列等式：①22416-＝2+12，②22526-＝3+12，③22636-＝4+12，④22746-＝5+12，…（1）请按以上规律写出第⑥个等式：；（2）猜想并写出第n 个等式：；并证明猜想的正确性．（3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果：222222224135236331009736666--------+++⋯+＝．【答案】（1）22961762-=+；（2）22(3)1(1)62+-=++n n n ，见解析；（3）4752【解析】【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；（2）根据发现的规律写出第n 个等式并计算可进行验证；（3）根据224136--=2，225236--＝3，226336--＝4…可得原式＝1+2+3……+97-1，进而可得答案．【详解】解：（1）第⑥个式子为：22961762-=+；故答案为：22961762-=+；（2）猜想第n 个等式为：22(3)1(1)62+-=++n n n ，证明：∵左边=22(3)3(23)1(1)662n n n n +-+==++＝右边，故答案为：22(3)1(1)62+-=++n n n ；（3）原式＝1+2+3+…+97-1＝97(197)2+-1＝4752．故答案为：4752．【点睛】此题考查有理数计算规律探究，有理数的四则混合运算，因式分解的应用，根据例子得到式子的构成规律并应用解决实际问题是解题的关键．二、整式运算与求值例题2（2021·上海·九年级专题练习）小刚在计算一个多项式A 减去多项式2235b b --的差时，因一时疏忽忘了把两个多项式用括号括起来，因此减式后面两项没有变号，结果得到的差是2232b b ++．（1）求这个多项式A ；（2）求出这两个多项式运算的正确结果；（3）当2b =-时，求（2）中结果的值．【答案】（1）2467b b A ++=；（2）22912b b ++；（3）当2b =-时，原式=2.【解析】【分析】（1）根据题意列得22235232A b b b b ---=++，即可求出A ；（2）将A 代入列式，根据整式的减法法则计算即可得到答案；（3）将b=-2代入计算即可.【详解】解：（1）22235232A b b b b ---=++，222322354672A b b b b b b +++++=++=.（2）()()222226735672424352912b b b b b b b b b b ++--++-++=++-=.（3）当2b =-时，原式()()2229212818122=⨯-+⨯-+=-+=.【点睛】此题考查整式的加减法计算法则，已知字母的值求代数式的值，正确理解题意求出A 的值是解题的关键.练习题1．（2021·河南·二模）先化简，再求值：()()()()22222x y y x x y x x y +--+-+，其中1x =-，2y =．【答案】2xy ，【解析】【分析】原式中括号里边利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，合并化简计算后，把1x =-与2y =代入计算即可求出值．【详解】解：()()()()22222x y y x x y x x y +--+-+()()()()22222x y x y x y x x y =++-+-+2222244422x xy y x y x xy=+++---2xy =，当1x =-，2y =时，原式)2212xy ===．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2021·四川凉山·二模）先化简，再求值：2(23)(32)(3)2(4)a b b a a b b a b -++-+-+，其中a b ==【答案】2138a ab --；-136【解析】【分析】先利用乘法公式和整式乘法法则进行化简，再代入求值即可．【详解】解：原式()22222949628b a a ab b ab b=--++--22222949628b a a ab b ab b =------2138a ab =--．把a b ==代入原式2138=-⨯-⨯10432=--136=-．【点睛】本题考查了整式的化简求值和二次根式计算，解题关键是熟练运用整式乘法法则和公式进行化简，代入数值后准确计算．3．（2021·浙江·杭州育才中学二模）已知多项式M ＝（2x 2+3xy+2y ）﹣2（x 2+x+yx+1）．（1）当x ＝1，y ＝2，求M 的值；（2）若多项式M 与字母x 的取值无关，求y 的值．【答案】（1）2；（2）2【解析】【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值；（2）M 化简的结果变形后，根据M 与字母x 的取值无关，确定出y 的值即可．【详解】解：（1）M ＝2x 2+3xy+2y ﹣2x 2-2x ﹣2yx -2＝xy -2x +2y -2，当x 1=，y ＝2时，原式22422=-+-=；（2）∵M ＝xy -2x +2y -2＝（y -2）x +2y -2，且M 与字母x 的取值无关，∴y -2＝0，解得：y ＝2．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）已知多项式()()2223221M x xy y x x yx =++-+++．（1）化简M ；（2）当1x =，2y =，求M 的值；【答案】（1）222x xy y -++-；（2）2M =【解析】【分析】（1）根据整式的加减计算法则化简即可得到答案；（2）根据（1）中的化简结果代值计算即可．【详解】解：（1）()()2223221M x xy y x x yx =++-+++222322222x xy y x x yx -=++---=222x xy y -++-；（2）当1x =，2y =时，=22221122222M x xy y -++-=-⨯+⨯+⨯-=．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·上海·九年级专题练习）代数式2323(324)(3)a a a a a a +--- 里的“W ”是“＋，－，×，÷”中某一种运算符号．（1）如果“W ”是“＋”，化简：2323(324)(3)a a a a a a +--- ；（2）当1a =-时，2323(324)(3)a a a a a a +--- 2=-，请推算“W ”所代表的运算符号．【答案】（1）322a a a -++；（2）-．【解析】【分析】（1）把“+”代入原式，去括号合并即可得到结果；（2）原式去括号后，把1a =-代入计算即可求出所求．【详解】解：（1）原式23233243a a a a a a =+---+322a a a =-++．（2）由题意得，2323(324)(3)2a a a a a a +---=- 2323324()32a a a a a a +--+=- 23232()2a a a a a +--=- 当1a =-时，代入上式得321[1(1)]2-++--=- ，即[1(1)]2-= ，∵1(1)2--=，∴“W ”所表示的运算符号是“-”．【点睛】此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2021·河北·石家庄市第四十二中学一模）对于四个整式，A ：2x 2；B ：mx +5；C ：﹣2x ；D ：n ．无论x 取何值，B +C +D 的值都为0．（1）求m 、n 的值；（2）计算A ﹣B +C ﹣D ；（3）若B D A C-的值是正数，直接写出x 的取值范围．【答案】（1）m ＝2，n ＝﹣5；（2）2x 2﹣4x ；（3）x ＜53且x ≠0【解析】【分析】（1）把B ，C ，D 代入0B C D ++=中，求出m 与n 的值即可；（2）把m 与n 的值代入确定出B 与D ，再将A ，B ，C ，D 代入A B C D -+-中计算即可得到结果；（3）把A ，B ，C ，D 代入B D AC -，使其值大于0求出x 的范围即可．【详解】解：（1）:5B mx + ；:2C x -；:D n ，52(2)(5)0B C D mx x n m x n ∴++=+-+=-++=，20m ∴-=，50n +=，解得：2m =，5n =-；（2）2:2A x ；:5B mx +；:2C x -；:D n ，且2m =，5n =-，2222522252524A B C D x mx x n x x x x x ∴-+-=----=---+=-；（3）2:2A x ；:5B mx +；:2C x -；:D n ，且2m =，5n =-，∴22222552553522222B D x x x x A C x x x x x +-+-+-=-=-=-， 0B D A C->，∴23502x x -+>，且0x ≠，即350x -+>，解得：53x <且0x ≠．【点睛】此题考查了分式的加减法，整式的加减，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（2020·河北衡水·模拟预测）请阅读以下步骤，完成问题：①任意写一个三位数，百位数字比个位数字大2；②交换百位数字与个位数字，得到一个三位数；③用上述的较大的三位数减去较小的三位数，所得的差为三位数；④交换这个差的百位数字与个位数字又得到一个三位数；⑤把③④中的两个三位数相加，得到最后结果．问题：（1）③中的三位数是；④中的三位数是；⑤中的结果是；（2）换一个数试试看，所得结果是否一样？如果一样，设这个三位数的百位数字为a 、十位数字为b ，用代数式表示这个三位数，并结合你所学的知识解释其中的原因．【答案】（1）198，891，1089；（2）所得结果一样；理由见解析【解析】【分析】（1）根据特例即可求解；（2）分析题意，列出相关算式计算加以证明．注意三位数的表示方法：每位上的数字乘位数再相加．【详解】解：（1）例如：①321；②123；③中的三位数是198；④中的三位数是891；⑤中的结果是1089．故答案为：198，891，1089；（2）所得结果一样．可以设①中的三位数为100a ＋10b ＋（a −2），所以②中的三位数为100（a −2）＋10b ＋a ，100a ＋10b ＋（a −2）−[100（a −2）＋10b ＋a ]＝198，这是一个常数，于是在交换百位数字与个位数字后得到891，198＋891＝1089．故所得结果一样．【点睛】本题考查了列代数式．认真读题，理解题意是关键．8．（2021·河北桥东·二模）甲、乙两人各持一张分别写有整式A 、B 的卡片．已知整式225C a a =--，下面是甲、乙二人的对话：甲：我的卡片上写着整式2410A a a =-+，加上整式C 后得到最简整式D ；乙：我用最简整式B 加上整式C 后得到整式2628E a a =-+．根据以上信息，解决下列问题：（1）求整式D 和B ；（2）请判断整式D 和整式E 的大小，并说明理由．【答案】（1）2265a a -+；2513a +；（2）E D >；答案见解析．【解析】【分析】（1）依题意可得D A C =+，B C E +=代入各式即可求解；（2）化简2443E a D a -+=+，根据配方法的应用即可求解．【详解】解：（1）D A C=+2241025a a a a =-++--2265a a =-+．∵B C E +=，∴()2262825B a a a a =-+---2513a =+．（2）E D >．理由：()22628265E D a a a a -=-+--+2443a a =++()2212a =++．∵()22120a ++>，∴E D >．【点睛】此题主要考查整式的加减及配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．9．（2021·河北兴隆·二模）解方程组老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求m 的值；（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求m 的值；②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求m 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）①2m =；②2m ≤．【解析】【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知20mx =，据此求解即可；（2）①根据题意列出算式()22222231322132(2)3x x mx x x mx x m x -+---=-+-++=-+，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；②根据题意列出不等式()2230m x -+≥，求解此不等式即可．【详解】解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式，则20mx =，∴0m =；（2）①()222222313223132(2)3x x mx x x x mx x m x -+---=-+-++=-+，∵结果为常数，∴20m -=，解得2m =；②由①知丙卡片上的代数式为()223m x -+，要使其为非负数，则()2230m x -+≥，则20m -≥，解得2m ≤．【点睛】本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式注意按照运算步骤进行即可．10．（2021·河北·三模）一般情况下2323a b a b ++=+不成立，但有些数可以使得它成立，例如：0a b ==．我们称使得2323a b a b ++=+成立的一对数,a b 为“相伴数对”，记为(),a b ．（1）填空：(4,9)-_________“相伴数对”（填是或否）；（2）若()1,b 是“相伴数对”，求b 的值；（3）若(),m n 是“相伴数对”，求代数式22[42(31)]3m n m n ----的值．【答案】（1）是；（2）94b =-；（3）-2【解析】【分析】（1）根据“相伴数对”的定义判断即可；（2）根据“相伴数对”的定义化简计算即可求出b 的值；（3）根据“相伴数对”的定义得到9m+4n=0，将原代数式化简后代入计算即可求解．【详解】解：（1）∵2432913+=-+=-，491235a b +-+==+，∴49492323--++=+，∴(4,9)-是“相伴数对”，故答案为：是；（2）(1,)b 是“相伴数对”，112323b b +∴+=+，解得：94b =-；（3）(,)m n 是“相伴数对”，2323m n m n +∴+=+，940m n ∴+=，4303m n ∴--=，22[42(31)]3m n m n ---- 224623m n m n =--+-4323m n =---∴当4303m n --=时，原式=4320223m n ---=-=-．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值、有理数加法运算、解一元一次方程，熟练掌握整式加减的运算法则，弄清楚新定义和整体代入思想求值是解答的关键．三、分式的计算与求值例题3（2021·广东英德·二模）先化简2211121x x x x x x +--÷--+，然后从0，1，1-，2中选取一个你认为合适的数作为x 的值带入求值．【答案】1x -，-1【解析】【分析】根据分式的混合运算法则和因式分解化简分式，再根据分式有意义条件选择x 值代入求解即可【详解】解：2211121x x x x x x +--÷--+21(1)1(1)(1)x x x x x x +-=-⋅-+-1x =-，(1)(1)0x x +-≠ ，x -1≠0，1x ∴≠±，0x ∴=或2，当0x =时，原式1=-．【点睛】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则，注意分式有意义的条件是解答的关键．练习题1．（2021·江苏·淮阴中学新城校区一模）先化简，再求值：221112---÷+a a a a a，其中2a =-【答案】11a -+，1【解析】【分析】首先根据分式化简的步骤进行化简，再把2a =-代入化简后的式子，即可求得．【详解】解：221112---÷+a a a a a()()()21111a a a a a a +-=-⋅+-211a a +=-+121a a a +--=+11a =-+．当2a =-时，原式1121=-=-+．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，准确地把分式化为最简分式是解决本题的关键．2．（2021·河南武陟·一模）先化简，再求值：2222(1244a a a a a a +--÷--+，其中a =【答案】−433##-433【解析】【分析】先计算括号内分式的减法，再将除式的分子、分母因式分解，将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将a 值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：()()22222222(1)244222a a a a a a a a a a a a a -+--+⎛⎫-÷=-÷ ⎪--+--⎝⎭-()()()()222222a a a a a a ⎡⎤--+-=⨯⎢⎥--⎣⎦2222a a a a a ----=⨯-422a a a -=-⨯-4a=-，当a =时，原式=-【点睛】本题考查分式的化简求值．此类题目的关键是在分式化简过程中熟练掌握相关的运算法则及运算顺序．3．（2021·广东连州·二模）先化简再求值22121()11x x x x x x x++-÷---，其中x 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的根．【答案】1x x +，32．【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程求出x 的值，继而根据分式有意义的条件确定x 的值，代入计算即可．【详解】22121()11x x x x x x x++-÷---21(1)()11(1)x x x x x x +=+÷---21(1)1(1)x x x x x +-=⋅-+1x x =+，∵2230x x +-=，∴(3)(1)0x x +-=，则30x +=或10x -=，解得3x =-或1x =，又∵1x ≠±且0x ≠，∴3x =-，则原式1x x =+33312-==-+．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解法解一元二次方程、分式有意义的条件．4．（2021·广东·桂林华侨初级中学二模）已知12A x =-，224B x =-，2x C x =+．当x =3时，对式子（A －B ）÷C 先化简，再求值．【答案】12x -，1【解析】【分析】先将A 、B 、C 代入()A B C -÷中，利用分式的混合运算法则、平方差公式进行化简，最后将x=3代入计算求解．【详解】（A －B ）÷C 212242x x x x ⎛⎫=-÷ ⎪--+⎝⎭()()()()2222222x x x x x x x ⎡⎤+=-÷⎢⎥+-+-+⎣⎦()()222x x x x x =÷+-+()()222x x x x x +=⨯+-12x =-当x ＝3时，原式1132==-【点睛】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，先利用分式的混合运算法则进行化简是解答关键．5．（2021·山东德城·二模）先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，请在﹣2≤m ≤1的范围内取一个自己喜欢的数代入求值．【答案】22m m --+；当m =0时，原式为1，当m =-1时，原式为3【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件选取使分式有意义的m 的值，代入计算即可．【详解】解：原式=22()321 111m m m m m --÷----（）=2224 1()1m m m m --÷--=()221 •122()()m m m m m ----+-=22m m --+，∵m ≠±2且m ≠1，∴取m =0或m =-1，则原式=02102--=+；当m =-1时，原式=12312---=-+．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．6．（2021·山东惠民·二模）先化简，再求值211()122a a a a a a a a --÷-+++，其中a 2sin 45°－()02021-π【答案】2+1a -；【解析】【分析】先利用分式的乘除法运算法则和减法的运算法则进行化简，再利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则进行计算求解．【详解】解：211122a a a a a a a a -⎛⎫-÷- ⎪+++⎝⎭=2111(2)a a a a a a a ---÷++=11a a a a --+(2)(1)(1)a a a a +⨯+-=1a a -+21a a ++=2+1a -.a ()0245-2021sin π︒--=2当a 时，原式===【点睛】本题考查了分式的化简求值此，利用分式的除法和减法进行化简，再利用实数的运算法则进行计算求解是解答关键．7．（2021·湖北鹤峰·模拟预测）先化简，再求值：(1−1r2)÷(2+4r5r2−2)，其中m 为方程220m m +-=的一根．【答案】11m +；12【解析】【分析】先把分式运算中的括号里化简，再用括号外分式乘以其倒数，最后化简；解一元二次方程得到m 两个值，根据分式有意义的条件进行取舍后代入化简后的式子可求值．【详解】解：原式()2212112122211m m m m m m m m m m +++++=÷=⨯=+++++；220m m +-=，(2)(1)0m m +-=，20m ∴+=或10x -=，2m ∴=-或1，由题意可知，2m ≠-，将1m =代入原式得，原式12=．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，解决这类问题要注意在计算的过程中要使分式有意义的条件．8．（2021·湖北宜城·模拟预测）先化简，再求值：(2−2r1+−1)÷2−r1，从0，1-，1中选择一个适当的数作为x 值代入．【答案】1x x -；1【解析】【分析】先通分计算括号内的加减，再把除化为乘，计算分式的除法，化简后将x =案．【详解】解：原式=[2−2r1+(K1)(r1)r1]÷oK1)r1()2221111x x x x x x -+-+=⋅+-2(1)(1)x x x -=-1x x -=∵要使原式有意义，0x ≠、1x ≠±，x ∴=把x ==12=-．【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握运算顺序及分式计算的相关法则．9．（2021·山东乐陵·二模）已知：A ＝2244(2)11x x x x x -+-÷--．(1)化简A ．(2)若点(x ,-3)与点(-4,-3)关于y 轴对称，求A 的值．【答案】(1)12x x A +--=(2)52-【解析】【分析】(1)首先进行分式的加减运算，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式，最后把除法运算转化为乘法运算，约分即可化简；(2)根据关于y 轴对称的点的坐标特点，即可求得x 值，代入即可求得．(1)解：A ＝2244(2)11x x x x x -+-÷--()()()2222111x x x x x x --+=÷-+-()()()211212x x x x x +--+=⨯--12x x +=--；(2)解：∵点(x ,-3)与点(-4,-3)关于y 轴对称，∴x =-(-4)=4，把x =4代入12x x A +--=，得414252A =-=-+-．【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，关于y 轴对称的点的坐标特点，准确化简及求得x 的值是解决本题的关键．10．（2021·广东·一模）先化简，再求值：（53m -+13m -）÷2469m m m -+，其中m ＝【答案】3m m -，12【解析】【分析】分析：根据分式的混合运算法则把原式化简，把m 的值代入计算即可．【详解】解：（53m -+13m -）÷2469m m m -+＝（5133m m ---）⋅2(3)4m m-＝43m -⋅2(3)4m m-＝3m m-，当m ＝＝36＝12．【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分母有理化，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．四、与数轴有关的代数计算例题4（2020·河北·中考真题）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；（2）从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终．．停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；（3）从图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接．．写出k 的值．【答案】（1）14P=；（2）256m n=-；当4n=时，距离原点最近；（3）3k=或5【解析】【分析】（1）对题干中三种情况计算对应概率，分析出正确的概率即可；硬币朝上为正面、反面的概率均为12，甲和乙猜正反的情况也分为三种情况：①12，②甲猜正，乙猜反，概率为1 4，③甲猜反，乙猜正，概率为1 4，（2）根据题意可知乙答了10次，答对了n次，则打错了（10-n）次，再根据平移的规则推算出结果即可；（3）刚开始的距离是8，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到结果；【详解】（1）题干中对应的三种情况的概率为：①11111+=22222⨯⨯；②11111+=24244⨯⨯；③11111+=24244⨯⨯；甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况②，故P=14．（2）根据题意可知乙答了10次，答对了n 次，则打错了（10-n ）次，根据题意可得，n 次答对，向西移动4n ，10-n 次答错，向东移了2（10-n ），∴m=5-4n+2（10-n ）=25-6n ，∴当n=4时，距离原点最近．（3）起初，甲乙的距离是8，易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小2，当甲乙同时答对打错时，二者之间的距离缩小2，∴当甲乙位置相距2个单位时，共缩小了6个单位或10个单位，∴62=3÷或102=5÷，∴3k =或5k =．【点睛】本题主要考查了概率的求解，通过数轴的理解进行准确分析是解题的关键．练习题1．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点A 是数轴上表示实数a 的点．（1P ；（保留作图痕迹，不写作法）（2a 的大小，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）a >【解析】【分析】（1P ．（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．【详解】解：（1）如图所示，点P 即为所求．（2）如图所示，点A 在点P 的右侧，所以2a >【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．2．（2021·河北迁安·二模）如图，数轴上有A 、B 、C 三个点，它们所表示的数分别为a 、b 、c 三个数，其中0b <，且b 的倒数是它本身，且a 、c 满足()2430c a -++=．（1）计算：22a a c -（2）若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，求与点C 重合的点表示的数．【答案】（1）13；（2）-8【解析】【分析】（1）根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出a 和c 的值，再代入求解，即可；（2）根据倒数的定义，求出b 的值，再求出A ，B 中点所对应的数，进而即可求解．【详解】解：（1）∵2()430c a -++=，∴4030c a -=+=，，解得：34a c =-=，，则22()3()2324a a c -=--⨯-96213=+-=；（2）∵0b <，且b 的倒数是它本身，∴1b =-，∵3a =-，∴3-和1-重合，3-和1-的中点为2-，∵4c =，∴与点C 重合的点表示的数是8-．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握倒数，绝对值的意义，是解题的关键．3．（2021·河北·九年级专题练习）已知有理数-3，1．（1）在下列数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A ，B 表示；（2）若｜m ｜=2，在数轴上表示数m 的点，介于点A ，B 之间，在A 的右侧且到点B 距离为5的点表示为n ．①计算m+n-mn ；②解关于x 的不等式mx+4＜n ，并把解集表示在下列数轴上．【答案】（1）见解析；（2）①16；②x ＞-1；数轴表示见解析【解析】【分析】（1）直接在数轴上标出A 、B 即可；（2）①根据题意得出m 、n 的值，再代入计算即可；②将m 、n 代入不等式中，求出解，再在数轴上表示即可．【详解】解：（1）如图：．（2）∵｜m ｜=2，∴m=±2，∵在数轴上表示数m 的点，介于点A ，B 之间，∴m=-2，∵在A 的右侧且到点B 距离为5的点表示为n ，∴n=6，①m+n-mn=-2+6-（-2）×6=4-（-12）=4+12=16，②由-2x+4＜6，解得x ＞-1，表示在数轴上如图所示：．【点睛】本题考查了数轴，解不等式，按照题目要求进行即可．4．（2020·河北石家庄·一模）如图1，点A ，B ，C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为5-，b ，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A ，发现点B 对应刻度1.8cm ，点C 对齐刻度5.4cm ．（1）在图1的数轴上，AC =__________个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的_______cm ；（2）求数轴上点B 所对应的数b 为_________________；（3）在图1的数轴上，点Q 是直线AB 上一点，满足2AQ QB =，求点Q 所表示的数．【答案】（1）9；0.6；（2）2-；（3）3-或1【解析】【分析】（1）根据两点间的距离解答即可；（2）根据题意和对应关系可得方程求得数轴上点B 所对应的数b ；（3）可设点Q 所表示的数是x ，根据2AQ QB =，分两种情况，当点Q 在点,A B 之间时，得到关于x 的方程；当点Q 在点B 的右边时，得到关于x 的方程；再解方程即可求解．【详解】解：（1）4(5)9AC =--=（个长度单位），数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的5.490.6()cm ÷=．故答案为：9；0.6．（2）依题意有1.80.6(5)b =+，解得2b =-，即数轴上点B 所对应的数b 为2-；故答案为：2-．（3）设点Q 所表示的数是x ，依题意有当点Q 在点,A B 之间时，(5)2(2)x x --=--，解得3x =-．当点Q 在点B 的右边时，()()522x x --=+，524x x +=+，解得：1x=，故点Q所表示的数是3-或1．【点睛】本题考查了一元一次方程和数轴、绝对值的运用，解答的关键是根据等量关系和线段的和差建立方程．5．（2021·上海·九年级专题练习）在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为﹣2.5，点B 表示的数为4．（1）求AB的长度；（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化：①此时点A表示的数为，点B表示的数为；②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．【答案】（1）AB＝6.5；（2）①75，120；②﹣10或55【解析】【分析】（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可得到AB的长；（2）①点A、点B表示的数也扩大30倍即可得到结果；②根据点A、B表示的数得到线段AB的长，再由点M是线段AB的三等分点，分两种情况确定点M表示的数．【详解】解：（1）AB＝4－(－2.5)＝6.5；（2）①根据题意可知，数轴的单位长度扩大30倍，则点A表示的数为－2.5×30＝－75，点B表示的数为4×30＝120，故答案为：－75，120；②AB＝120－(－75)＝195，当点M靠近点A时，AM＝13AB＝65，∴点M表示的数为65－75＝－10，当点M靠近点B时，BM＝13AB＝65，∴点M表示的数为120－65＝55，综上所述，点M表示的数为－10或55．【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，利用距离确定点的坐标，以及三等分点，熟练掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键，做题时注意线段的三等分点有两个，当没有明确是哪一个点时要分两种情况解答，避免遗漏．。
知识点03 实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)2017(解答题)
三、解答题1. ．(2017四川广安，17，5分)计算：－16×cos 45°－20170+3－1．解：原式＝－1+2222⨯－1+31＝－1+2－1+31＝31． 2. （2017浙江丽水·17·6分）计算：(－2017)°－(31)－1＋9 思路分析：先根据零指数幂、负整数指数幂和算术平方根的概念分别求（－2017）0、（31）－1、9，再进行有理数的加减运算. 解：(－2017)°－(31)－1＋9＝1－3＋3＝1.3. ．(2017四川泸州，17，6分)计算：(－3)2+20170sin45°．思路分析：先计算：(－3)2、20170sin45sin45°的值，最后求和．解：原式＝9+1－3 2 ×22＝7． 4. 15．（本小题满分12分，每题6分）（1）（2017四川成都，62112sin 45()2-+12432-⨯+=.5. （2017浙江金华，17，6分）计算：2cos60°＋（－1）2017＋3-－（2－1）0．思路分析：分别根据特殊角的三角函数值、乘方的意义、绝对值的性质及零指数幂计算出各数，再根据实数混合运算的运算法则计算即可． 解：原式＝2×21－1＋3－1＝2．6. （2017安徽中考·15．8分）计算：11|2|cos603--⨯︒-（）思路分析：先根据绝对值的意义求得2-＝2，特殊角的三角函数值求得cos60°＝12，负整数指数幂的意义得11()3-＝3，然后再进行有理数的运算．解：11|2|cos603--⨯︒-（）＝1232⨯－＝1－3＝－2．7. （2017浙江衢州,17，6分）（本题满分6分）计算：π－1）0×|－2|－tan 60°．；②根据“除零以外的任何数的零次幂等于1”可得(Π－1)0＝1③根据负数的绝对值等于它的相反数得|－2|＝2④熟记特殊角的三角函数值可得tan601×22π－1）0×|－2|－tan60＝1×2－＝28.（2017山东菏泽，15,6分）（本题6分）计算：－13－3sin45°－01)思路分析：先按照乘方、绝对值、特殊角三角函数和零指数幂的法则进行运算，然后进行实数的加减运算即可.解：原式=－11=1.9.（2017年四川绵阳，19,8分）（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）计算：；（1）原式=………………………………………………4分=…………………………………………………………………6分=………………………………………………………………………………8分10.（2017四川自贡,19,8分）（本小题满分8分）计算：4sin45°＋|－2|0 13⎛⎫ ⎪⎝⎭.思路分析：先根据特殊锐角三角函数值、绝对值的意义、二次根式的化简、零指数幂的性质分别求值，再相加减.解：原式＝2－－1＝1．11.（2017浙江舟山，17（1），6分）计算：(3)2－2－1×(－4)；思路分析：根据二次根式及负指数幂的运算法则进行计算即可；解：原式＝3+2＝5；12.（2017江苏盐城，17，6分）101()20172--．11()2-、02017，然后再计算．解：原式＝2＋2－1＝3．13.（2017四川内江，17，7分）计算：－12017－0220)2017()21()2(60tan331π-+⨯-+--．思路分析：分别根据乘方的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质及零指数幂计算出各数，再根据实数混合运算的运算法则计算即可．解：原式＝－1－1423331+⨯+⨯-＝－1－0+8+1＝8．14.（2017山东临沂，20，7分）计算：1112cos452-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭.思路分析：先根据二次根式的化简、负整指数幂运算法则、绝对值的意义、特殊角的三角函数值分别求出1、8、1)21(-、cos45°的值，然后根据实数的加减运算法则进行计算．解：|1－2|＋2cos45°－8＋（21）1－=2－1＋2×22－22＋2=115. 17．（2017江苏连云港，17，6分）（本小题满分6分）计算：()()01 3.14p----.思路分析：根据实数的运算，结合立方根，零次幂的性质可求解，解：原式=1-2+1=0．16.（2017四川达州17，6分）计算：11201712cos453-⎛⎫-++︒⎪⎝⎭思路分析：先分别算出零指数幂，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，最后进行加减运算．，解：原式+3+22⨯=5．17. 18．（2017四川德阳，18，6分） 计算：0)252(-+|2－5|+2017)1(-－31×45 答案：－2，解析：本题考查基本的计算问题，属于简单题．原式＝1+5－2－1－5＝－218. 19．（2017江苏淮安，19（1）， 6分）（1）0211)(2)--+-；思路分析：（1）先分别计算出1-，01)，2(2)-的值，然后再进行加减运算； 解：（1）原式＝1－1＋4＝4．2017江苏淮安，19（2）， 6分）233(1)a a a--÷．思路分析：（2）先进行括号内的运算，再化除为乘求出最简结果．解：原式＝233a a a a --÷＝33a a a a 2-⋅-＝a ．19. 19．（2017江苏无锡，19（1），4分）计算：（1）｜－6｜＋（－2）3）0；思路分析：（1）先计算｜－6｜＝6，（－2）3＝－8，，）0＝1，再进行有理数的加减运算；解：（1）原式＝6－8＋1＝－1.（2017江苏无锡，19（2），4分）（2）（a ＋b ）（a －b ）－a （a －b ）． 思路分析：（2）先算整式乘法，后进行整式加减.解：（2）原式＝a 2－b 2－a 2＋ab ＝ab －b 2．20. 17．（2017浙江温州，17（1）， 5分） 计算：2×（－3）＋.（1）思路分析：实数的混合运算，解：原式＝－6＋1＋－5.21. （2017四川宜宾，17（1），4分）计算．101(2017)24π-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭解：原式＝1﹣4＋2＝﹣1．22. 17．（2017湖南岳阳，17，6分）计算：2sin 60°+ （π-2）0- -112⎛⎫ ⎪⎝⎭思路分析：sin 60°= ，a 0=1(a ≠0),a -p = 1p a解：原式=2112=223. （2017江苏苏州，19，5分）计算：()013π-+--．思路分析：根据“实数的运算法则”，计算绝对值、算数平方根、0次幂，即可得出答案. 解：．原式=1+2-1=2.24. 19．(2017江苏扬州)（本题满分4分）计算或化简： （1）()02220172sin 601π-+--+ ；解：（1）原式=41212-+-⨯+=-4 【思路分析】要注意222(2)-≠-；因为10<，所以11=25. 19．（2017甘肃酒泉，19，5o113tan 30(4)()2π-+--思路分析：会正确化简二次根式、零指数、负指数幂. 解：原式=312+-=12-1．26. 21.(2017甘肃兰州，本小题满分10分，每题5分）（1）计算：-3)0+(-12)-2-∣-2∣-2cos60° （2）解方程：2x 2-4x -1=0 【答案】（1）解：原式=1+4-2-2×12=2 （2）解：2x 2-4x -1=0 x 2-2x -12=0 (x -1)2=32x -1=x =1∴x 1，x 227. 17．（2017江苏泰州，17(1)，6分）计算：)20112-⎛⎫-- ⎪⎝⎭°；分析：根据任意不为0的数0次幂都等于1，得)1＝1；根据负指数的意义，得2142-⎛⎫-= ⎪⎝⎭；由t a n 30°=，°＝3. 解：原式＝1－4+1＝－2．28. 19．（2017江苏徐州，19（1），5分）1201(2)20172-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；思路分析：（1）先分别计算（－2）2，11()2-，20170的值，然后按有理数的运算法则进行计算； 解：．（1）原式＝4－2＋1＝329. （2017山西，16（1），5分）计算：()︒⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+--45sin 831223．思路分析：先分别计算乘方、负整指数幂、化简二次根式、特殊角的三角函数值，再进行实数的运算.解：()122229845sin 831223-=⨯-+-=︒⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+--．30. 17．（2017浙江义乌，17（1），4分）计算：0)4π+-解：（1）原式＝1＋4－3．31. 17.(2017湖北咸宁，17⑴，4分)计算：0201748|3|+--；思路分析：(1)首先利用绝对值的求法、二次根式的化简公式、0指数的意义将每一部分进行化简，然后再进行合并，即可得到结果；解：(1)0201748|3|+--1 …… 3分=- …… 4分32. 16．（2017湖北宜昌）（本小题满分6分）计算：31210.54⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭思路分析：根据有理数运算顺序及法则计算，先括号，再乘方，最后乘法． 解：原式=834⨯12⨯=3．33. 19．（2017湖南邵阳，19，8分）（本小题满8分）计算：4sin 60012-21-1-⎪⎭⎫⎝⎛思路分析：先把sin 600，22211-1-1-==）（）（，3212=分别计算或化简，最后合并同类项或同类二次根式即可. 解：原式＝4×23－2－23＝－2．34. 17．（2017呼和浩特）（1）（5分）计算：322-+⎭；－2+32－2－（12）+32＝35. 17．(2017湖北十堰，17，分)计算：2017|2|(1)--．思路分析：根据运算法则计算.解析：原式=2-2-(-1)=1．36. （2017湖北随州，17，5分）（本小题满分5分）计算：201()(2017)|2|3π----．思路分析：先根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根和绝对值的概念分别计算，再进行有理数的加减运算．解：原式＝9－1＋3－2＝9．37. 15．(湖南益阳，15，8分)计算：0242cos60(3)--︒+--思路分析：本题主要考查实数及其运算，实数的混合运算法则是：先算乘方，再算乘除，最后算加减。
专题3 实数的运算(考点讲练)(解析版)
专题3 实数的运算考点一：实数的大小比较1．（2022·四川成都·中考模拟）在实数 3.14−，－3，3−，π−中，最小的数是（ ） A ． 3.14− B ．－3C ．3−D ．π−【答案】D【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可． 【详解】解：∵ 3.14 3.14−=， ∴33 3.14p --<-<-＜，在实数 3.14−，－3，3−，π−中，最小的数是：π− ； 故选：D ．【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小．2．（2022·湖南益阳·21，2，3中，比0小的数是（ ）A 2B ．1C ．2D ．13【答案】A【分析】利用零大于一切负数来比较即可．【详解】解：根据负数都小于零可得，﹣2＜0，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．是（ ）A ．0a >B ．a b <C ．10b −<D ．0ab >【答案】B【分析】观察数轴得：2123a b −<<−<<<，再逐项判断即可求解．【详解】解：观察数轴得：2123a b −<<−<<<，故A 错误，不符合题意；B 正确，符合题意；∴10b−>，故C错误，不符合题意；∴0ab<，故D错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键．4．（2022·广东深圳·中考二模）下列数中，大于－1且小于0的是（）A．3B．32−C．23−D．23【答案】C【分析】根据各数的取值范围，即可一一判定．【详解】解：132<<Q，31∴−<−，故A不符合题意；312−<−，故B不符合题意；2103−<−<，故C符合题意；203>，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握和运用实数大小的比较方法是解决本题的关键．5．（2022·天津红桥·中考三模）估计17−的值在（）．A．5−和4−之间B．4−和3−之间C．3−和2−之间D．2−和1−之间【答案】A【分析】先估算4175<<，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大．【详解】解：161725<<Q4175∴<<4175∴−>−>−故选：A．【点睛】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．6．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：2______3（填写“>”或“<”或“＝”）．【答案】＞【分析】比较两者平方后的值即可． 【详解】解：221()22=Q ，231()33=，1123>Q ， ∴2323>．故答案为：>．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果． 7．（2022·海南·中考真题）写出一个比3大且比10小的整数是___________． 【答案】2或3【分析】先估算出3、10的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵32< ，310< ∴32310<<<即比3大且比10小的整数为2或3， 故答案为：2或3【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．考点二：实数的基本运算A ．1﹣2B ．﹣π＋3C ．（﹣3）×（﹣5）2D ．|5【答案】D【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A 、原式=﹣1，不符合题意； B 、原式＜0，不符合题意；C 、原式=﹣3×25＝﹣75，不符合题意；D 、原式=55，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了实数，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． A ．1332B 342=C 8220=D 2632=【答案】C【分析】根据实数的运算法则即可求解；【详解】解：A.1234332÷=≠，故错误； B.342≠，故错误；C.8220−=，故正确；D.262332⨯=≠，故错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键． A 31− B ．12−C 32D ．32【答案】B【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：sin30°−tan45° ＝12−1 ＝−12， 故选：B ．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 11．（2022·重庆中考二模）计算：122⎛⎫−+= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．4C ．-2D ．32【答案】B【分析】先求绝对值，负整指数幂，再进行实数的加法运算． 【详解】解：1122242−⎛⎫−+=+= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了实数的运算，正确理解实数的运算法则是解本题的关键．12．（2022·广东深圳·中考模拟预测）计算021(12)−+−的结果是（ ）A ．1B 2C ．22D ．221【答案】B【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值． 【详解】解：原式2112=−+=， 故选B ．【点睛】此题考查了实数的运算、去绝对值、零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y 的值是2，则输入x 的值是 _____．【答案】1【分析】根据程序分析即可求解． 【详解】解：∵输出y 的值是2， ∴上一步计算为121x=+或221x =− 解得1x =（经检验，1x =是原方程的解），或32x = 当10x =>符合程序判断条件，302x =>不符合程序判断条件 故答案为：1【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键． 14．（2022·陕西·中考真题）计算：325−=______． 【答案】2−【分析】先计算25=5，再计算3-5即可得到答案． 【详解】解：325352−=−=−． 故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了实数的运算，化简25=5是解答本题的关键． 15．（2022·四川攀枝花·中考真题）038(1)=−−−__________． 【答案】3−【分析】根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可． 【详解】解：原式213=−−=−． 故答案为：3−．【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．16．（2022·辽宁阜新·中考真题）计算：224−−=______．【答案】74−【分析】先计算22−、4，再算减法． 【详解】解：原式17244=−=−． 故答案为：74−．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键． 17．（2022·广东肇庆·中考二模）计算：31008÷=______________． 【答案】5【分析】根据算术平方根的定义及立方根的定义化简，再计算除法． 【详解】解：31008÷=5210=÷， 故答案为：5．【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握算术平方根的定义及立方根的定义是解题的关键．18．（2022·湖北黄石·中考真题）计算：20(2)(20223)−−−=____________． 【答案】3【分析】根据有理数的乘法与零次幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝413−=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂以及有理数的乘方运算是解题的关键．考点三：实数的混合运算19．（2022·广东·佛山市中考模拟）计算0312(2017)()2π−−−−+的结果为（ ）A ．3−B ．3C ．6D ．9【答案】D【分析】先化简绝对值，计算零次幂与负整数指数幂，再化简即可． 【详解】解：031|2|(2017)()2π−−−−+218=−+189=+=故选D【点睛】本题考查的是化简绝对值，零次幂，负整数指数幂的含义，掌握“零次幂与负整数指数幂：()()0110,0ppa a a a a −=≠=≠”是解本题的关键． 20．（2022·山东威海·中考模拟）计算3024(1)(1)2π−+−−−−的结果是（ ）A ．74B ．34C ．14D ．14−【答案】D【分析】根据二次根式的性质，零指数幂、负整数指数幂、乘方的运算法则先进行化简，然后再计算即可．【详解】解：原式()12114=+−−−12114=−−−14=−故选：D ．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，零指数幂、负整数指数幂、乘方的运算法则，是解题的关键． 21．（2022·江苏南京·中考模拟）计算2323的结果是（ ）A 23B ．23C ．23−D 23【答案】A【分析】把较高次幂拆分后逆用积的乘方法则，进行运算即可得解． 【详解】解：()()202120202323+− = ()()20202020=(23)2323++−()()2020=(23)[2323]++−222020=(23)[(2)(3)]+− 2020=(23)(1)+⨯−=23+故选：A【点睛】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则是关键．22．（2022·广东·东莞市中考三模）计算：|2|3sin 302(2022)−+−−−︒等于（） A ．2−B ．12−C ．2D ．0【答案】C【分析】先化简绝对值，求解特殊角的三角函数，负整数指数幂，零次幂，再进行加减运算即可．【详解】解：10|2|3sin 302(2022)π−−+−−−︒1123122=+?- 312122=+−− =2， 故选C ．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数，零次幂，负整数指数幂的含义，绝对值的含义，实数的混合运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．23．（2022·广东惠州·中考二模）01tan60|3|(3)122π︒⎛⎫−−−−+−= ⎪⎝⎭__________．【答案】-1【分析】根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简等计算法则求解即可．【详解】解：101tan60|3|(3)122π−⎛⎫−−−−+−⎪︒+ ⎝⎭=233123−−−++=1−故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键．24．（2022·山东泰安·中考三模）()02281212cos 45π−−+−−++−︒=________．【答案】74【分析】根据负整指数幂，二次根式的性质，化简绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【详解】解：原式＝()1222211242−+−−+−⨯1114=−++7=4故答案为：74【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整指数幂，二次根式的性质，化简绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．25．（2022·重庆长寿·中考模拟）计算：201131216012π12tan −−−+−︒+⋅−=−（）（）__________． 【答案】-4【分析】根据有理娄数的乘方、负整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式的化简、零指数幂、绝对值的概念计算即可．【详解】解：1213121tan 601212π−︒⎛⎫−⎛⎫−+−+⋅− ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭=241312331−+−+⨯−−=()()()231431233131+−+−+−−+=4313123−+−++− =-4【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有关运算法则．26．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）计算：0312cos30(3π)82︒⎛⎫−++−− ⎪⎝⎭．【答案】31+【分析】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运算即可．【详解】原式1321(2)122=+⨯+−−−2312=−+++31=+．【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基础．27．（2022·湖南·中考真题）计算：012cos 45( 3.14)12()2π−︒+−++．【答案】222+【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得【详解】解：原式2212122=⨯++−+ 222=+．【点晴】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质． 28．（2022·湖南郴州·中考真题）计算：()2022112cos30133⎛⎫−−︒++ ⎪⎝⎭．【答案】3【分析】根据特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的计算方法计算即可． 【详解】解：原式()3123132=−⨯+−+13313=−+−+ =3．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的运算法则等知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．29．（2022·广东中考三模）计算：()0120222sin 6032123π⎛⎫+−+︒ ⎪⎝⎭【答案】1223−【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，然后即可求解． 【详解】解：原式＝391223232++⨯+−− 9132323=+++−− 1223=−．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，掌握二次根式的性质是解题的关键． 30．（2022·湖南·0332cos60820222π+︒． 【答案】13−【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的运算法则进行计算，再相加减可得结果．【详解】解：原式=33−+211822⨯−⨯−1=33−+1﹣2﹣1 =13−．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的运算是解决本题的关键．31．（2022·四川德阳·中考真题）计算：()()0212 3.143tan 60132π−+−−︒+−+−． 【答案】14【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．【详解】解：0212 3.143tan 6013())2(π−+−−︒+−+−123133314=+−+−+ 14=． 【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．。
实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)
一、填空题1.（2019山东滨州，13，5分）计算：（－12）－2－=____________．【答案】243【解析】原式=4－+31218=4－=243．【知识点】负整数指数幂；绝对值；二次根式的乘除2.（2019重庆市B 卷，13，4分）计算：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-21113=【答案】3【解析】解题关键是理解零指数幂和负整数指数幂的意义．思路：利用“任意不为0的数的0次幂都等于1”，“任意不为零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数”，然后求和即可．故答案为3． 【知识点】零指数幂，负整数指数幂.3.（2019重庆A 卷，13，4）计算：=+1-0213-）（）（π．【答案】3．【解析】因为原式＝1＋2＝3，所以答案为3． 【知识点】实数的运算；0指数幂；负整数指数幂．二、解答题1.（2019重庆A 卷，19，10分）计算：（1）)2(2y x y y x +-+）（；（2）292492--÷--+a a a a a ）（．【思路分析】（1）按完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；（2）按分式的运算法则进行计算即可．【解题过程】（1）原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy －y 2＝x 2；（2）原式＝22294229a a a a a a -+--⋅--＝2(3)22(3)(3)a a a a a --⋅-+-＝33a a -+． 【知识点】整式的运算；分式的运算．2.(2019浙江台州, 18, 8分)先化简,再求值：22332121x x x x x --+-+,其中x ＝12. 【思路分析】先做减法,后约分,然后代入求值即可. 【解题过程】原式＝()()22313332111x x x x x x --==-+--,当x ＝时,原式＝31x -＝－6.【知识点】分式计算,因式分解3.（2019浙江衢州，17，6分）计算，|-3|+（π-3）0- 4+tan45°.【思路分析】根据绝对值、零次幂、算术平方根的意义，化简代数式，根据特殊三角函数值的概念得到tan45°的值，依据运算法则进行计算。
考点03 实数的运算(解析版)
考点三实数的运算知识点整合(1)实数的加减法则.注意异号两数相加时,取“绝对值较大”的数的“符号”.(2)实数的乘除法则.注意“异号”得“负”，除法中的除数不等于0.两数的积为0,则两数中至少有一个为0.(3)实数的乘方开方运算中,乘方时,注意底数相同,开平方时,被开方数为非负数.(4)实数的混合运算中,在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．(5)实数的运算律:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.(6)熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.考向一实数的综合运算典例引领(1)在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点(2)若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数；点左侧个单位长度，14．一个数值转换器，如图所示：(1)当输入的x为16时，输出的y值是______；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的(1)当输入的x值为2-时，求输出的y值；(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的(1)当输入的x值为16时，输出的y值是______；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的(1)请用含有(n n 为正整数)的等式n S (2)推算出10OA =______．(3)求出222212310S S S S +++⋯+的值．【答案】(1)n(1)A类正方形的边长是________；(2)求长方形邀请函的周长；(3)小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的C类长方形的长为D类长方形的长为∴阴影部分的周长为(1)当m=1时，输出的结果为(2)计算：()()5134i i i +-+；(3)计算：234i i i i ++++⋯+2023i ．【答案】(1)3i-(2)7(3)1-【分析】（1）3233i i i =⨯⨯，据此即可求解；（2）利用材料所给乘法运算和乘方运算法则即可求解；（3）23451,,,1,...i i i i i i i i ==-===-据此可找到规律求解．【详解】（1）解：()3213333i i i ii =⨯⨯=⨯-⨯=-故答案为：3i-（2）解：原式2223434i i i i i i=-+-+⨯⨯34i i=-++7=（3）解：由题意可得：23451,,,1,...i i i i i i i i ==-===-∵20234505 (3)÷=∴原式()()115051i i i i =--+⨯+--01=-1=-【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了学生举一反三以及抽象概括能力．9．【阅读】求值2341012222+++++…+2解：设23410122222S =++++++…①，将等式①的两边同时乘以2得：2345112222222S =+++++⋯+②由②－①得：11221S S -=-即：234101112222221S =+=+++⋯+=-【运用】仿照此法计算：2310015555+++++ ；【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为1S ，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形2S ，依次操完成下列问题：①小正方形的面积1S②求正方形1S、2S、10151-(1)当x为9时，y值为(2)如果输入0和1，(1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________(2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为6，求输入的x的值．(1)当输入的x值为4时，输出的y值为；当输入的x值为16时，输出的(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为3。
(完整word版)2019年中考专题复习第二讲实数的运算(含详细参考答案)
2019年中考专题复习 第二讲 实数的运算【基础知识回顾】一、实数的运算.1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算,按照 的顺序依次进行. 2、运算法则：加法：同号两数相加,取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号,并用较大的 减去较小的 ，任何数同零相加仍得 。
减法，减去一个数等于 。
乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ,并把 相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的 。
乘方：(-a ）2n +1= (—a ) 2n=3、运算定律：加法交换律：a+b= 加法结合律：（a+b ）+c= 乘法交换律:ab= 乘法结合律：（ab ）c= 分配律： （a+b ）c= 二、零指数、负整数指数幂。
0a = （a≠0) a -p= （a≠0)【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起,计算时要注意运算顺序和运算性质。
2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（31)-1= 】三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照的原则进行比较以外，，还有比较法、比较法等，两个负数大的反而小。
2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为。
【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。
22的大小，可以先确定10和65的取值范围，然后得结论：10+2 65—2。
】【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。
例1 （2018•福建）在实数|-3|，—2,0，π中,最小的数是（）A．｜-3| B．-2 C．0 D．π【思路分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．解：在实数｜—3｜，-2，0,π中，|—3｜=3,则-2＜0＜|-3|＜π，故最小的数是：—2．故选:B．【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．考点二:估算无理数的大小例2 （2018•南京)下列无理数中，与4最接近的是（）A B C D【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近4的无理数是解题关键． 考点三：实数与数轴例3（2018•北京）实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ) A ．|a ｜＞4 B ．c —b ＞0 C ．ac ＞0 D ．a+c ＞0【思路分析】本题由图可知，a 、b 、c 绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错． 解：∵—4＜a ＜-3,∴|a ｜＜4，∴A 不正确； 又∵a ＜0，c ＞0,∴ac ＜0，∴C 不正确; 又∵a ＜—3，c ＜3，∴a+c ＜0，∴D 不正确； 又∵c ＞0，b ＜0,∴c-b ＞0，∴B 正确; 故选：B ．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负． 考点四：实数的混合运算例4 （2018•怀化）计算：0112sin 3022|31|π-︒--+-+（）（）【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=1213122⨯-+-+ =1+3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 考点五：实数中的规律探索。
三角函数计算题期末复习(含答案)
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试题解析：
原式 = 2 1 2 2 2 2
2
2
= 1 2 2 2
= 1 2 .
10．（1）1；（2）
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【解析】试题分析：（1）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案．
试题解析：（1）原式=（）3（2） 1 2 =1；
1 2 3 3 1
4
2
5
=
4
8．2
【解析】试题分析：先进行绝对值、二次根式的化简，特殊角的三角函数值，然后再按运
算顺序进行计算即可.
试题解析：原式= 2 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 . 2
9． 1 2
【解析】试题分析： 代入 30°角的正弦函数值、45°角的余弦函数值，再按二次根式的相关运算法则计算即可.
word 完美格式
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试题解析：
解：原式＝ 2 2 1 1＋ 3 ， 2
＝ 3．
点睛：本题考查的是二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0 指数幂及绝对值的性质，
熟知以上运算法则是解答此题的关键．
5． 3 1 2
【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解即可．
试题解析：解：原式 2 1 3 1 1 3 1 ．
14．（1）sin230°+cos230°+tan30°tan60° （2） tan 45o sin 45o 2 sin 30o cos 45o
15．计算： ﹣4 ﹣tan60°+| ﹣2|．
16．计算：﹣2sin30°+（﹣ ）﹣1﹣3tan60°+（1﹣ ）0+ ．
关于实数及三角函数的计算题(解析版)
15．（2020•内江）计算：（﹣ ）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣ +（π﹣3）0． 【分析】先计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算 零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得． 【解答】解：原式＝﹣2﹣2+4× ﹣2 +1 ＝﹣2﹣2+2 ﹣2 +1 ＝﹣3． 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂和零指数幂的规定、 熟记三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质．
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＝2+1+ ﹣3﹣2 ＝﹣ ． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 10．（2020•邵阳）计算：（﹣1）2020+（ ）﹣1+|﹣1+ |﹣2sin60°． 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝1+2+（ ﹣1）﹣2× ＝1+2+ ﹣1﹣ ＝2． 【点评】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应 用记住它们的化简规则是解题关键． 11．（2020•娄底）计算：| ﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（ ）﹣1． 【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝ ﹣1﹣3× +1+2 ＝ ﹣1﹣ +1+2 ＝2． 【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2020•青海）计算：（ ）﹣1+|1﹣ tan45°|+（π﹣3.14）0﹣ ． 【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算法则运算即 可． 【解答】解：原式＝3+|1﹣ |+1﹣3 ＝3+ ＝． 【点评】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算 法则，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
1.1核心考点突破训练：与实数有关的计算-2023届中考数学一轮大单元复习(解析版)
1.1突破训练：与实数有关的计算类型体系（本专题共69题48页）类型1：实数的混合计算)―2+(2022+π)0．典例：（2022·广西·南宁十四中九年级期中）计算：12―|―1|+(121．（2022·重庆巴蜀中学九年级期中）|14―5|―(π―5)0+(―2)―2=______．（2）（2022·重庆八中九年级期中）计算：cos30°―|1―3|=___________．2．（2022·江苏·盐城市初级中学一模）计算：(π―1)0+12―2cos30°．3．（2022·四川乐山·九年级期中）计算：25+|1―3|+27．4．（2022·上海·青浦区实验中学九年级期中）计算：40+813―(2―1)―1+|1―2|．5．（2022·江苏·连云港市新海初级中学三模）计算：|―3|+3―8―(1―π)0．【答案】0【分析】根据绝对值的意义，求一个数的立方根以及零指数幂进行运算即可．【详解】解：原式=3―2―1=0．【点睛】本题考查了绝对值的意义，求一个数的立方根以及零指数幂等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键．6．（2022·江苏·射阳县第四中学二模）计算：8+(2010―3)0―17．（2022·广西·1+2cos45°―8+|1―2|．8．（2022·江苏·阳山中学九年级期中）计算：(1) 2tan45°―1―2sin260°sin30°(2) 12―4sin30°+|3―2|；9．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）计算：(1)cos60°+sin45°―tan45°；(2)6tan230°―3sin60°―2cos45°．典例：（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算：（1）当输入x=5时，输出的结果为______（2）若输入x的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的x的值是______1．（2022·浙江·杭州绿城育华学校一模）有一个数值转换器，原理如下：当输人的x=144时，输出的y等于()A．3B．8C．33D．232．（2022·河北·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为3，则最后输出的结果是（ ）A．3+3B．15+3C．3+33D．15+733．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（）A．输入值x为16时，输出y值为4B．输入任意整数，都能输出一个无理数C．输出值y为3时，输入值x为9D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值4．（2022·山东济宁·八年级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为5，则最后输出的结果是（）A．55B．5+5C．24D．35+1155．（2022·浙江·七年级专题练习）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）A．①②B．②④C．①④D．①③故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．6．（2022·全国·九年级专题练习）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是_____．7．（2022·北京海淀·九年级期末）给定二元数对（p，q），其中p=0或1，q=0或1．三种转换器A，B，C 对（p，q）的转换规则如下：（1）在图1所示的“A—B—C”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为________；（2）在图2所示的“①—C—②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“____—C—____”（写出一种组合即可）．【答案】 1 A A【分析】（1）利用转换器C的规则即可求出答案．（2）利用转换器A、B、C的规则，写出一组即可．【详解】（1）解：利用转换器C的规则可得：输出结果为1．（2）解：当输入(1,1)时，若①对应A，此时经过A、C输出结果为（1，0），②对应A，输出结果恰好为0．当输入(0,0)时，若①对应A，此时经过A、C输出结果为（0，1），②对应A，输出结果恰好为0．故答案为：1；A；A．【点睛】本题主要是新定义题目，利用题目所给规则，进行分析判断，即可解答出该题目．8．（2022·河北·廊坊市第十六中学七年级期末）一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为2时，输出的y值是______．（2）当输出的y值为3时，请写出两个满足条件的x的值为______和______．9．（2022·福建厦门·七年级期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为2时，输入值x为2或4；②当输入值x为9时，输出值y为3；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中正确的是________．④当x=1，1的算术平方根为1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值，故④符合题意；故答案为：②④．【点睛】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根，无理数的定义，理解题意是解题的关键．10．（2022·河北·邯郸市第二十三中学七年级期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．(1)当m=1时，输出的结果为________．(2)当实数m的一个平方根是﹣3时，求输出的结果．11．（2022·上海·七年级专题练习）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x为9时，y值为；(2)如果输入0和1，（填“能”或“不能”）输出y值；(3)当输出的y值是5时，请写出满足题意的x值：．（写出两个即可）典例：（2022·江苏宿迁·七年级期中）设a、b都表示有理数，规定一种新运算“※”：当a≥b时，a※b=b2，当a<b时，a※b=2×a．例如：1※2=2×1=2，3※(―2)=(―2)2=4．(1)(―1)※(―5)=_______________；(2)求(2※3)※(―1)的值；(3)若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，设：m=(1※x)※x；n=x※3，比较m、n的大小关系．解：（1）∵(―1)<(―5)，∴(―1)※(―5)=(―5)2=25；（2）(2※3)※(―1)=(2×2)※(―1)=(―1)2=1；（3）由数轴知1＜x＜2，∴(1※x)※x=(2×1)※x=2※x=x2，x※3=2x∵x2<2x，∴m<n．巩固练习1．（2022·陕西咸阳·八年级期中）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有x※y=x+y+3xy+1，则7※9的值为________．2．（2022·山东德州·九年级期中）给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n―1．例如：若函数y1=x4，则有y′1=4x3．若函数y2=x3，求方程y′2=12的解为___________．【答案】x1=2，x2=―2【分析】根据新定义的规定先计算y2′，再解方程．【详解】解：∵y2′=3x2，又∵y2′=12，∴3x2=12．∴x2=4．∴x1=2，x2=―2，故答案为：x1=2，x2=―2．【点睛】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法．掌握新定义规定的运算和一元二次方程的解法是解决本题的关键．3．（2022·山东潍坊·八年级期中）定义一种运算☆，规则为a☆b=1a +1b，根据这个规则，若x☆(x+1)=32x，则x=___________．4．（2022·山东烟台·期中）在有理数的原有运算法则中，补充新的运算法则“∗”如下：当a≥b时，a∗b= b2；当a<b时，a∗b=a．则当x=3时，(3∗x)·(―x)―(2∗x)=______．【答案】―29【分析】根据题意，当a≥b时，a∗b=b2；当a<b时，a∗b=a，当x=3时，3∗x=x2，x2·(―x)=―x3，2∗x=2，由此即可求解．【详解】解：当x=3时，3∗x=3∗3=32=9，9×(―x)=9×(―3)=―27，2∗x=2∗3=2(3∗x)·(―x)―(2∗x)=9×(―3)―2=―29，故答案为：―29．【点睛】本题主要考查有理数的定义新运算，掌握有理数的加法、减法、乘法运算法则是解题的关键．5．（2022·山东·商河县第三实验学校八年级期中）规定以下两种变换：①f(m,n)=(―m,n)，如f(2,1)=(―2,1)；②g(m,n)=(―n,―m)，如g(2,1)=(―1,―2)，按照以上变换有：f[g(3,4)]=f(―4,―3)=(4,―3)，那么g[f(―2,3)]等于_____．【答案】(―3,―2)【分析】直接利用新定义分别化简，进而得出答案．【详解】解：g[f(―2,3)]=g(2,3)=(―3,―2)故答案为：(―3,―2)【点睛】此题考查新定义的运用，仔细阅读题干，理解材料的含义是解题的关键．6．（2022·江苏无锡·七年级期中）定义一种新运算：x★y=x+y―xy，则计算(―3)★2=___________．【答案】5【分析】根据新运算的定义代入直接计算即可．【详解】解：∵x★y=x+y―xy，∴(―3)★2=―3+2―(―3)×2=―3+2+6=5，故答案为：5【点睛】本题考查了新运算和有理数的混合运算，理解新运算的定义是解题的关键．7．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）对于实数a、b，定义运算：a△b=a b(a>b,a≠0)a―b(a<b,a≠0)；如：2▲3= 2―3=1，4▲2=42=16．照此定义的运算方式计算[2Δ(―4)]×[(―4)Δ(―2)]=___________ ．88．（2022·贵州六盘水·七年级期末）规定一种新运算法则：a⊗b=a2―2ab―b，例如：3⊗2=32―2×3×2―2=―5．(1)求―2⊗1的值；3(2)若5⊗x=―5―x，求x的值．9．（2022·江西景德镇·八年级期中）定义：如果两个无理数的乘积等于一个有理数，即a⋅b=c，则称a和b 是关于c的共轭数例：2⋅8=4，则称2和8是关于4的共轭数．(1)已知3和b是关于6的共轭数，则b=______．(2)若(2―3)和(6+m3)是关于3的共轭数，求m的值．10．（2022·河北石家庄·九年级期中）定义新运算“¤”：对于任意实数a，b，都有a¤b=(a+2b)(a―2b)+3，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算．如，2¤3=(2+2×3)(2―2×3)+3=8×(―4)+3=―29．据此，解答下列问题：（1）1¤1=___________；（2）方程x¤1=0的解为____________；（3）若关于x的方程1¤x=2―k有一个解为x=1，则k的值为___________．【答案】 0 x=±1 2【分析】（1）根据题目定义运算法则进行代入计算；（2）由题意构造一元一次方程并求解；（3）根据定义和方程解的定义代入计算．【详解】解：（1）1¤1=(1+2×1)(1―2×1)+3=3×(―1)+3=―3+3=0，故答案为：0；（2）由题意得方程(x+2×1)(x―2×1)+3=0，整理得x2―4+3=0，解得x=1或x=―1，故答案为：x=1或x=―1；（3）由题意得方程(1+2x)(1―2x)+3=2―k，将x=1代入得(1+2×1)(1―2×1)+3=2―k，故答案为：2．【点睛】本题考查了实数运算和解一元二次方程及新定义问题的解决能力，解题的关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、代入并求解．11．（2022·江苏徐州·七年级期中）[概念学习]规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2．(―3)÷(―3)÷(―3)÷(―3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(―3)÷(―3)÷(―3)÷(―3)记作(―3)④，读作“−3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．n个a[初步探究]（1）直接写出计算结果：2③＝，（2）关于除方，下列说法错误的是A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；C．3④=4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照图中的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(―3)⑤＝；＝；―＝．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；（3）算一算：122÷×(―2)⑥――÷33．典例：（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心八年级期中）观察下列等式：x 1=1+112+122=32=1+11×2；x 2=1+122+132=76=1+12×3；x 3=1+132+142=1312=1+13×4；……(1)请写出第n 个等式：xn =____________；(2)根据以上规律，计算x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020―2021=____________．1．（2022·浙江·杭州市清河实验学校七年级期中）观察下列等式：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,···，试利用上述规律判断算式7+72+73+···+72020结果的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．7【答案】A【分析】先根据给出的已知条件得到尾数以7,9,3,1四次循环，再得到2020÷4=505，结合每组尾数的和，从未可得答案．【详解】解：∵71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,···∴尾数以7,9,3,1四次循环，而2020÷4=505，7+9+3+1=20，∴7+72+73+···+72020的末位数字为0，故选A ．【点睛】本题考查的是数字的规律探究，总结出尾数以7,9,3,1四次循环是解本题的关键．2．（2022·福建宁德·八年级期中）有一列数按如下规律排列：―22，34，―14，516，―632，764…则第10个数是（）A．―1029B．1029C．―11210D．112103．（2022·江苏·七年级专题练习）各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（）0325476c413631857a bA．9，10B．9，91C．10，91D．10，110【答案】C【分析】分析前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c 【详解】由前三个图形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，∴c=6+3=9∴a=6+4=10∴b=ac+1=10×9+1=91故选：C【点睛】本题考查规律中的数字变换，分析前面的图形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出给定的数之间的关系时解题关键．4．（2022·山东潍坊·七年级期中）观察下列各式：―1×12=―1+12，―12×13=―12+13，―13×14=―13+14，…试运用你发现的规律计算：(―1×12)+(―12×13)+(―13×14)+⋅⋅⋅+(―12020×12021)+(―12021×12022)=_____．5．（2022·辽宁鞍山·七年级期中）观察下列各式：（1）1×2×3×4+1=5；（2）2×3×4×5+1=11；（3）3×4×5×6+1=19；…，根据上述规律，则11×12×13×14+1=______．6．（2022·吉林·长春市实验中学七年级期末）a 是不为1的有理数，我们把11―a 称为a 的差倒数．如：2的差倒数是11―2=―1，-1的差倒数是11―(―1)=12．已知a 1=―13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差的倒数，…，依此类推，a2010的差倒数a2011=_____．7．（2022·山东·广饶县乐安街道乐安中学期末）2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的个位数字为_____【答案】1【分析】将2写成3-1，再采用平方差公式逐级计算，最终原式为364，再根据3的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，即可求解．【详解】解：原式＝(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(38-1)(38+1)(316+1)(332+1)+1＝(316-1)(316+1)(332+1)+1＝(332-1)(332+1)+1＝364-1+1＝364，∵31＝3，32＝9，33＝27，24＝81，25＝243，…∴3的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，∵64＝16×4，∴364的个位数字与34的个位数字相同，为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了平方差公式以及实数的运算等知识，将原式变为364是解答本题的关键．8．（2022·山东济南·期中）已知：13=1=1×12×22；4×22×32；13+23=9=1413+23+33=36=1×32×42；4×42×52…13+23+33+43=100=14(1)猜想填空：13+23+33+⋯+(n―1)3+n3=______．(2)计算：①13+23+33+⋯+1003；②23+43+63+⋯+983+1003．9．（2022·福建宁德·八年级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：OA22=(1)2+1=2，S1=12（S1是Rt△A1A2O的面积）；OA23=(2)2+1=3，S2=22（S2是Rt△A2A3O的面积）；OA24=(3)2+1=4，S3=32（S3是Rt△A3A4O的面积）；…(1)请你直接写出OA102=______，S10=______；(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：OA2n=______，S n=______；(3)在线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022中，长度为正整数的线段共有______条．(4)我们已经知道(13+3)(13―3)=4，因此将813―3分子、分母同时乘以(13+3)，分母就变成了4，请仿照这种方法求1S1+S2+1S2+S3+1S3+S4+⋅⋅⋅+1S99+S100的值；【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．10．（2022·福建·宁德市博雅培文学校九年级期中）阅读下列解题过程：12+1=2―1(2+1)(2―1)=2―113+2=3―2(3+2)(3―2)=3―214+3=4―3(4+3)(4―3)=4―3请你参考上面的化简方法，解决如下问题：(1)计算：110+9；(2)+13+2+14+3+⋅⋅⋅⋅(2022+1)．11．（2022·吉林白城·七年级期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=________，y=________；(2)从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知10≈3.16，则1000≈________；②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代数式表示b，则b=________；(3)试比较a与a的大小．当________时，a>a；当________时，a=a；当________时，a<a．典例：（2022·福建·厦门市杏南中学七年级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示―2，设点B所表示的数为m．(1)实数m的值是 ；(2)求|m+1|+|m―1|的值；(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与d2―16互为相反数，求2c﹣3d的平方根．1．（2022·河北石家庄·八年级期中）实数15在数轴上的大致位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）如图，四个实数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q．若点M，N表示的实数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据“点M，N表示的实数互为相反数”，可得原点在MN的中点处，从点在数轴上的位置即可判断．【详解】∵点M，N表示的实数互为相反数，∴原点在MN的中点处，从数轴上可以看出点M点在原点的左侧，为负数，P、N、Q点在原点的右侧，为正数，故选：C【点睛】考查数轴、相反数的意义，掌握相反数则是位于原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，并确定原点的位置是关键．3．（2022·广西·贺州市八步区教学研究室八年级期末）如图，AB⊥数轴于A，OA=AB=BC=1，BC⊥OB，以O为圆心，以OC长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（）A．3B．2C．5D．22【答案】A【分析】根据勾股定理分别求出OB、OC的长，再由作图可得答案．【详解】解：∵OA=AB=BC=1，AB⊥数轴于A，∴OB2=OA2+AB2=12+12=2，4．（2022·广东·育才三中七年级期中）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（ ）A．|a|<|c|B．b+c>0C．|a|<|d|D．―b<d【答案】D【分析】观察数轴，找出a，b，c，d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【详解】解：根据数轴，―5<a<―4，―2<b<―1，0<c<1，d=4，A．∵―5<a<―4，0<c<1，∴|a|>|c|，故此选项不符合题意；B．∵―2<b<―1，0<c<1，∴b+c<0，故此选项不符合题意；C．∵―5<a<―4，d=4，∴|a|>|d|，故此选项不符合题意；D．∵―2<b<―1，∴1<―b<2，又∵d=4，∴―b<d，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，实数的大小比较，数轴的特征．一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．观察数轴，利用所学知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．5．（2022·北京房山·八年级期中）如图，直径为1个单位长度的圆，在数轴上从表示﹣1的点A滚动一周到点B，则点B表示的无理数为_____．【答案】π―1##―1+π【分析】先计算圆的周长，根据题意再计算π+(―1)即可得出答案．【详解】根据题意可得，圆的周长为π，则点B表示的数是从﹣1向右移动π，∴点B表示的无理数为(―1)+π=π―1．故答案为：π―1．【点睛】本题主要考查了无理数及实数与数轴，熟练掌握无理数及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．6．（2022·福建三明·八年级期中）如图，数轴的正半轴上有A，B两点，表示1和2的对应点分别为A，B，点C，D在数轴上，点B到点A的距离与点C到点D的距离相等，设点C所表示的数为x．(1)当D所表示的数为0且C在D的右边时，求出x的值；(2)当D所表示的数为―22时，求出x的值．7．（2022·湖北省宜昌市渔峡口中学七年级期中）如图所示，数轴上点A表示2，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x，求|―x+3―1|+2(x―1)的值．8．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校八年级期中）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．(1)拼成的正方形的边长为______．(2)如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的―1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是______．(3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．9．（2022·北京房山·八年级期中）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为―2，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC=n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC=2+2=4，则称点C为点A，B的“4节点”(1)若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为―3，则n=___________；(2)若点D为点A，B的“43节点，请直接写出点D在数轴上表示的数为___________；(3)若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的2倍，且点E 为点A，B的“n节点”，求n的值．10．（2022·浙江杭州·七年级期中）如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成．(1)图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为，若这个正方形的边长为a，则a=；(2)请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上，若这个正方形的边长为b，则b=；(3)请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a，b和-a，-b，并将它们用“＜”号连接．11．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级期中）如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1．(1)求图（1）中正方形ABCD 的面积为 ；边长为(2)如图（2），若点A 在数轴上表示的数是―1，以A 为圆心，AD 长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E ，求点E 表示的数为典例：（2022·江西景德镇·七年级期中）材料一：对任意有理数a ，b 定义运算“⊗”，a ⊗b =a +b ―20232，如：1⊗2=1+2―20232，1⊗2⊗3=1+2―20232+3―20232=―2017．材料二：规定[a ]表示不超过a 的最大整数，如[3.1]=3，[―2]=―2，[―1.3]=―2．(1)2⊗6 =______，[―π][π]=______；(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：(3)若有理数m ，n 满足m =2[n ]=3[n +1]，请直接写出m ⊗[m +n ]的结果．1．（2022·山东烟台·期中）计算：(1)8+―5―(―0.25)；(2)(―1)÷―×13；(3)―16+34×(―48)；(4)―13―(1+0.5)×13÷(―4)．2．（2022·广西·南宁市第四十七中学七年级期中）出租车司机小李某段时间在东西走向的大街上进行营运，规定向东为正，向西为负，他所接送的六位乘客的里程如下：（单位：千米）―7.5，+6，―4.8，+3.5，―9，―12．(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李处在第一次出发时的什么位置？(2)若小李这段时间共耗油3升，则出租车的耗油量是每千米多少升？（精确到0.01升）(3)小李预计每月行驶里程为0.8万千米，若每升油的价格为8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？【答案】(1)小李处在第一次出发时的正西方向的23.8千米处(2)每千米的耗油量为0.07升(3)小李每月在耗油方面需要4760元【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据单位耗油量=耗油量÷行驶路程，可得答案．（3）单位耗油量×行驶里程×每升价格可得答案．【详解】（1）根据题意有：―7.5+6―4.8+3.5―9―12=―23.8（千米），根据向东为正，向西为负，可知小李处在第一次出发时的正西方向的23.8千米处；（2）行驶的总里程为：|―7.5|+6+|―4.8|+3.5+|―9|+|―12|=42.8（千米），则该车的耗油量为：3÷42.8≈0.07（升），答：每千米的耗油量为0.07升．（3）根据题意有：0.8×10000×0.07×8.5=4760（元），答：小李每月在耗油方面需要4760元．【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的运算等知识，解题的关键是利用单位耗油量乘以行驶路程等于耗油量．3．（2022·山东济南·七年级期中）为宣传健康知识，某社区居委会派车按照顺序为7个小区（分别记为A，B，C，D，E，F，G）分发防疫安全手册，社区工作人员乘车从服务点（原点）出发，沿东西向公路行驶，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：百米）：+10，―18，+14，―30，+6，+22，―6．(1)请你在数轴上标记出D，E，F这三个小区的位置（在相应位置标记字母即可）(2)服务车最后到达的地方距离服务点多远？若该车辆油耗为0.01升/百米，则这次分发工作共耗油多少升？(3)为方便附近居民进行核酸检测，现居委会计划在这七个小区中选一个作为临时核酸检测点，为使七个小区所有居民步行到监测点的路程总和最小，假设各小区人数相等，那么监测点的位置应设在______小区．【答案】(1)见解析(2)服务车最后到达的地方距离服务点200米,共耗油1.06升(3)G【分析】（1）由题意计算出D，E，F在数轴上对应的数即可；（2）服务车最后到达的地方为G小区，计处出G点到原点的距离即可；求出所给数据的绝对值的和，得到该车辆行驶的总路程，乘以单位距离的油耗即可；（3）根据数轴上两点间距离公式，以及绝对值的意义，可得检测点应设在最中间的小区．【详解】（1）解：由题意，D在数轴上对应的数为6―30=―24，E在数轴上对应的数为―24+6=―18，F在数轴上对应的数为―18+22=4，因此在数轴上表示为：（2）解：由题意知服务车最后到达的地方为G小区，G在数轴上对应的数为2，(|+10|+|―18|+|+14|+|―30|+|+6|+|+22|+|―6|)×0.01=(10+18+14+30+6+22+6)×0.01=106×0.01=1.06(升),因此服务车最后到达的地方距离服务点200米, 这次分发工作共耗油1.06升；（3）解：设检测点所设小区在数轴上对应的点为x,则七个小区到该检测点的距离之和为：|x+24|+|x+18|+|x+8|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+10|，由绝对值的意义可知，当x=―2时，上面式子取最小值，因此检测点应设在最中间的小区，即G小区．【点睛】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的应用，绝对值的应用等，第3问有一定难度，解题的关键是理解绝对值的意义．4．（2022·山东烟台·期中）一辆警车某日8:00从A地出发，在一条东西方向的公路上巡逻，警察张叔叔每隔20分钟记录警车巡逻的行程情况（向东为正方向，单位：千米）：+14，―15.7，+13.7，―15，―12.5，+13.5，10:00警车完成巡逻任务．(1)10:00时，警车在A地的什么方向？距离A地多远？(2)张叔叔记录行程的过程中，警车在何时距离A地最远？最远距离为多少？(3)警车巡逻前油箱中有14升油，若巡逻时警车每千米耗油0.2升，请问中途是否需要加油？【答案】(1)警车在A地的西边，距离A地2千米；(2)9:40距离A地最远，最远距离为15.5千米；(3)中途需要加油．【分析】（1）把巡逻所走路程相加，得到这辆警车司机所在的位置；（2）把巡逻所走路程相加，再依次比较绝对值大小即可求解；（3）巡逻各路程的绝对值与最后返回路程的绝对值的和是这辆警车行驶的总路程，根据：耗油量=行驶路程×每千米耗油量，计算这次巡逻耗油．【详解】（1）解：+14―15.7+13.7―15―12.5+13.5=―2（千米）；答：警车在A地的西边，距离A地2千米；（2）解：8:20，14，8:40，+14―15.7=―1.7，9:00，―1.7+13.7=12，9:20，12―15=―3，9:40，―3―12.5=―15.5，10:00，―15.5+13.5=―2，其中算式结果绝对值最大的是―15.5．故9:40距离A地最远，最远距离为15.5千米；（3）解：|+14|+|―15.7|+|+13.7|+|―15|+|―12.5|+|+13.5|=14+15.7+13.7+15+12.5+13.5=84.4（千米），0.2×84.4=16.88>14．答：中途需要加油．【点睛】本题考查了有理数的混合运算及绝对值的意义，理解题意掌握耗油量的计算公式是解决本题的关键．5．（2022·安徽芜湖·七年级期中）数学课上，李老师在黑板上写了一道题目：当n为正整数时，计算(―1)n+ (―1)n+1的结果．琪琪说：因为n的值不确定，所以(―1)n+(―1)n+1的结果也不能确定；聪聪说：(―1)n+(―1)n+1的结果是不变的，可以求出．你同意谁的说法？请给出你的答案并说明理由．【答案】同意聪聪的说法，(―1)n+(―1)n+1=0，理由见解析【分析】分类讨论，分别把当n为偶数时和当n为奇数时的两种情况列出来，代入式子求解即可．【详解】解：同意聪聪的说法，(―1)n+(―1)n+1=0，理由如下：∵n为正整数，∴n可能为偶数，也可能为奇数，当n为偶数时，n+1为奇数，此时(―1)n+(―1)n+1=1+(―1)=0，当n为奇数时，n+1为偶数，此时(―1)n+(―1)n+1=(―1)+1=0，∴(―1)n+(―1)n+1的结果是不变的，可以求出，∴聪聪的说法是正确的．【点睛】本题考查了有理数的乘方，对n进行分类讨论是解题的关键．6．（2022·山东烟台·期中）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p的值．(3)若原点O到A、C两点距离相等，A点对应的数为a，B点对应的数为b，求|a―b|的值．【答案】(1)若以B为原点，则C表示1，A表示―2，p=―1，若以C为原点，p=―4(2)―88(3)2【分析】（1）根据数轴的性质，求得A、B、C对应的数，求解即可；（2）根据题意，求得C表示―28，求出A、B表示的数，即可求解；（3）求得A、B表示的数，代入求解即可．【详解】（1）解：若以B为原点，则C表示1，A表示―2．∴p=1+0―2=―1．若以C为原点，则A表示―3，B表示―1，∴p=―3―1+0=―4．（2）解：若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28则C表示―28，B表示―29，A表示―31．∴p=―31―29―28=―88．（3）解：若原点O到A、C两点距离相等，AC=AB+BC=3，则C点表示数的为1.5，A点表示的数为―1.5，B点表示数的为0.5，则a=―1.5，b=0.5，∴|a―b|=2【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了绝对值的化简，数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式．7．（2022·广东·测试·编辑教研五七年级期中）广州市教育局倡导全民阅读行动，婷婷同学坚持阅读，她每天以阅读30分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她一周阅读情况的记录（单位：分钟）：星期一二三四五六日与标准的差（分钟）+9+10―10+15―20+6(1)星期五婷婷读了______分钟；(2)她读得最多的一天比最少的一天多了_____分钟；(3)求她这周平均每天读书的时间．【答案】(1)28(2)25(3)她这周平均每天读书的时间为34分钟．【分析】（1）列出算式，再求出即可；（2）用其中最大的正整数减去最小的负整数即可；（3）先求出读书的总时间，再除以7即可．【详解】（1）解：30―2=28（分钟），即星期五婷婷读了28分钟；故答案为：28；（2）解：15―(―10)=25（分钟），即她读得最多的一天比最少的一天多了25分钟；故答案为：25；（3）解：9+10―10+15―2+0+6=28（分钟），28÷7+30=34（分钟），答：她这周平均每天读书的时间为34分钟．【点睛】本题考查了正数与负数以及有理数的混合运算，正确理解正数与负数的意义是解题的关键．8．（2022·山东泰安·期中）如图，在一条不完整的数轴上一动点A向左移动5个单位长度到达点B，再向右移动9个单位长度到达点C．。
中考数学--数与式的有关代数计算(实数、整式、分式)大题押题30道【教师版】
数与式的有关代数计算(实数、整式、分式最新模拟题30道)类型一、实数的混合运算1.(2023•坪山区一模)计算：tan60°+2sin30°+|2-1|-2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】tan60°+2sin30°+|2-1|-2cos45°=3+2×12+(2-1)-2×22=3+1+2-1-2=3．【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．2.(2023•喀什地区模拟)计算：(3.14-π)0+16-|-1|+(-3)2．【分析】先算零次幂、平方和开平方，再化简绝对值，最后算加减．【详解】(3.14-π)0+16-|-1|+(-3)2=1+4-1+9=13．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握零次幂、乘方、开方及绝对值的意义是解决本题的关键．3.(2023•昭阳区校级模拟)计算：8+(π-3.14)0-3cos60°+|1-2|+(-2)-2．【分析】分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】原式=22+1-3×12+2-1+14=22+1-32+2-1+14=32-54．【点睛】本题考查的是实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的计算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．4.(2023•海淀区校级模拟)计算：-13-1-8-(5-π)0+4cos45°．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】-1 3-1-8-(5-π)0+4cos45°=-3-22-1+4×22=-3-22-1+22=-4．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．5.(2023•青秀区校级模拟)计算：π20+2cos60°+4+12 -1+(-4)÷2．【分析】原式分别化简π2 0=1，12 -1=2，cos60°=12，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可得到答案．【详解】π2 0+2cos60°+4+12 -1+(-4)÷2=1+2×12+4+2+(-4)÷2=1+1+4+2-2=6．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，正确化简π2 0=1，12 -1=2，cos60°=12是解答本题的关键．6.(2023•市中区校级一模)计算：-13 -2+2sin45°+|2-2|-(π+2022)0．【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及零指数幂，最后运算即可．【详解】原式=9+2×22+2-2-1=9+2+2-2-1=10．【点睛】本题是实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．7.(2023•晋州市模拟)计算：-13-2-|3-2|+3tan30°-613+(2023-π)0．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】-13 -2-|3-2|+3tan30°-613+(2023-π)0=9-(2-3)+3×33-23+1=9-2+3+3-23+1=7+23-23+1=8．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．8.(2023•南充模拟)计算：2cos45°+|1-2|-38+(-1)2023．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】2cos45°+|1-2|-38+(-1)2023=2×22+2-1-2+(-1)=2+2-1-2-1=22-4．【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．9.(2023春•崇川区校级月考)计算：(1)(23-2)-(2-23)．(2)|3-π|+25-327+(-1)2022．【分析】(1)去括号、合并同类二次根式即可得出结果；(2)根据绝对值的意义、算术平方根的性质、立方根的意义、乘方的意义进行计算即可得出结果．【详解】(1)(23-2)-(2-23)=23-2-2+23=43-22；(2)|3-π|+25-327+(-1)2022=π-3+5-3+1=π．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义、算术平方根的性质、立方根的意义、乘方的意义及同类二次根式的定义是解题的关键．10.(2023春•长沙月考)计算：-12023+|3-2|-3-27+(-3)2．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】原式=-1+2-3-(-3)+3=-1+2-3+3+3=7-3．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．类型二、整式的混合运算11.(2023•温州模拟)(1)计算：(-2023)0+12+2×-12；(2)化简：(2m+1)(2m-1)-4m(m-1)．【分析】(1)直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；(2)根据平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．【详解】(1)原式=1+23-1=23；(2)原式=4m2-1-4m2+4m=4m-1．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及平方差公式和单项式乘多项式法则等，正确化简各数和掌握运算法则是解题关键．12.(2023春•佛山月考)计算：(1)(π-3)0-32+12-2；(2)(-3a4)2-a•a3•a4-a10÷a2．【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；(2)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【详解】(1)(π-3)0-32+12 -2=1-9+4=-8+4=-4；(2)(-3a4)2-a•a3•a4-a10÷a2=9a8-a8-a8=7a8．【点睛】本题考查了整式的混合运算，有理数的加减混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．13.(2023春•薛城区月考)计算：(1)(-1)2012+-12-2-(3.14-π)0；(2)(2x3y)2•(-2xy)+(-2x3y)3÷(2x2)；(3)(x+1)(x-3)-(x+1)2；(4)(a-b-3)(a-b+3)．【分析】(1)先算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再算加减即可；(2)先算积的乘方，再算整式的除法与单项式乘单项式，最后合并同类项即可；(3)先算多项式乘多项式，完全平方，再算加减即可；(4)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便．【详解】(1)(-1)2012+-1 2-2-(3.14-π)0=1+4-1=4；(2)(2x3y)2•(-2xy)+(-2x3y)3÷(2x2)=4x6y2•(-2xy)+(-8x9y3)÷(2x2)=-8x7y3-4x7y3=-12x7y3；(3)(x+1)(x-3)-(x+1)2=x2-3x+x-3-(x2+2x+1)=x2-3x+x-3-x2-2x-1=-4x-4；(4)(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-9=a2-2ab+b2-9．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．14.(2023春•沙坪坝区校级月考)计算：(1)-12-2-(-1)2023+(π-2023)0；(2)(2m+n)2-(2m-n)2；(3)(a+3b)(3a-b)-(a+b)(-a-b)；(4)(3x-2y+1)(2y-3x+1)．【分析】(1)先分别计算负整数次幂、乘方、零次幂，再进行加减运算；(2)利用平方差公式计算即可；(3)先计算多项式的乘法，再合并同类项即可；(4)先变形，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】(1)-1 2-2-(-1)2023+(π-2023)0=4-(-1)+1=4+1+1=6；(2)(2m+n)2-(2m-n)2=[(2m+n)+(2m-n)][(2m+n)-(2m-n)]=(2m+n+2m-n)(2m+n-2m+n)=4m•2n=8mn；(3)(a+3b)(3a-b)-(a+b)(-a-b)=(a+3b)(3a-b)+(a+b)2=3a2-ab+9ab-3b2+a2+2ab+b2=4a2+10ab-2b2；(4)(3x-2y+1)(2y-3x+1)=[1+(3x-2y)][1-(3x-2y)]=1-(3x-2y)2=1-9x2+12xy-4y2．【点睛】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．15.(2023春•杏花岭区校级月考)计算：(1)(-1)2020+-12-2-(3.14-π)0；(2)2x•(3x2-4x+1)；(3)23a4b7-19a2b6÷-13ab3；(4)(x-2y)(x+2y)-(2x-y)2．【分析】(1)先化简各式，再进行计算；(2)利用单项式乘多项式的法则，进行计算即可；(3)利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可；(4)先进行平方差公式和完全平方公式的计算，再合并同类项即可．【详解】(1)原式=1+4-1=4；(2)原式=6x3-8x2+2x；(3)原式=23a4b7÷-13ab3-19a2b6÷-13ab3=-2a3b4+13ab3；(4)原式=x2-4y2-(4x2-4xy+y2)=x2-4y2-4x2+4xy-y2=-3x2+4xy-5y2．【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，单项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．16.(2023春•沙坪坝区校级月考)化简求值：[(2x-y)2-2(x+2y)(2x-y)]÷5y，其中：x=2，y=-3．【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算，得到答案．【详解】原式=[4x2-4xy+y2-2(2x2-xy+4xy-2y2)]÷5y=(4x2-4xy+y2-4x2+2xy-8xy+4y2)÷5y=(-10xy+5y2)÷5y=-2x+y，当x=2，y=-3时，原式=-2×2-3=-7．【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．17.(2023春•平遥县月考)(1)化简：(3x2y2+4x3y-4x2y)÷xy-(2x-1)2．(2)先化简，再求值：(2x+y)2-4x(x+2y)-3y2，其中x=-4，y=12．【分析】(1)首先进行多项式除以单项式及完全平方公式运算，再合并同类项，即可求得结果；(2)首先进行整式的混合运算，进行化简，再把x、y的值代入化简后的式子即可求解．【详解】(1)(3x2y2+4x3y-4x2y)÷xy-(2x-1)2=3xy+4x2-4x-(4x2-4x+1)=3xy+4x2-4x-4x2+4x-1=3xy-1．(2)(2x+y)2-4x(x+2y)-3y2=4x2+4xy+y2-4x2-8xy-3y2=-4xy-2y2，当x=-4，y=12时，原式=-4×(-4)×12-2×122=8-12=152．【点睛】本题考查了整式的混合运算及化简求值，掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．18.(2023春•海淀区校级月考)已知x2+3x-4=0．求代数式(x+1)(2x-1)-(x-1)2的值．【分析】根据完全平方公式，多项式乘多项式法则进行乘法运算，再合并同类项，然后根据x2+3x-4 =0可以得到x2+3x=4，再把x2+3x=4代入化简后的式子计算即可．【解答】解(x+1)(2x-1)-(x-1)2=2x2-x+2x-1-x2+2x-1=x2+3x-2，∵x2+3x-4=0，∴x2+3x=4，当x2+3x=4时，原式=4-2=2．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解答本题的关键．19.(2023春•新城区校级月考)先化简，再求值：[(-2x+y)2-(2x-y)(y+2x)-6y]÷2y，其中x=-1，y=2．【分析】原式括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】原式=(4x 2+y 2-4xy -4x 2+y 2-6y )÷2y=(2y 2-4xy -6y )÷2y=y -2x -3，当x =-1，y =2时，原式=2-2×(-1)-3=1．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．20.(2023春•碑林区校级月考)先化简再求值：[(3a +b )2-(3a +b )(3a -b )]÷2b ，其中a =-13，b =-2．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【详解】[(3a +b )2-(3a +b )(3a -b )]÷2b=(9a 2+6ab +b 2-9a 2+b 2)÷2b=(6ab +2b 2)÷2b=3a +b ，当a =-13，b =-2时，原式=3×-13+(-2)=-1+(-2)=-3．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．类型三、分式的混合运算21.(2023•九龙坡区模拟)计算：(1)(x +y )2-x (2y -x )；(2)a -1+4a a -1 ÷2a 2-2a 2-2a +1．【分析】(1)根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；(2)先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【详解】(1)(x +y )2-x (2y -x )=x 2+2xy +y 2-2xy +x 2=2x 2+y 2；(2)a -1+4a a -1 ÷2a 2-2a 2-2a +1=(a -1)2+4a a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=a 2-2a +1+4a a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=(a +1)2a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=a +12．【点睛】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．22.(2023春•泸县校级月考)化简x +1x 2-2x +1÷1-21-x ．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【详解】x +1x 2-2x +1÷1-21-x =x +1(x -1)2÷1-x -21-x =x +1(x -1)2•1-x -1-x=x +1(x -1)2•-(x -1)-(x +1)=1x -1．【点睛】本题考查了分式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．23.(2023春•海陵区校级月考)计算：(1)a 2a -b -b 2a -b；(2)a +1-4a -5a -1 ÷1a -1-2a 2-a．【分析】(1)根据同分母分式相减，然后对分子分解因式，再约分即可；(2)先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【详解】(1)a 2a -b -b 2a -b=a 2-b 2a -b=(a +b )(a -b )a -b=a +b ；(2)a +1-4a -5a -1 ÷1a -1-2a 2-a=(a +1)(a -1)-(4a -5)a -1÷a -2a (a -1)=a 2-1-4a +5a -1•a (a -1)a -2=(a -2)2a -1•a (a -1)a -2=a (a -2)=a 2-2a ．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．24.(2023春•沙坪坝区校级月考)计算：(1)(x +1)(4x -3)-(2x -1)2；(2)2x -1x +1-x +1 ÷x -2x 2+2x +1．【分析】(1)首先根据多项式乘多项式法则、完全平方公式进行运算，然后合并同类项即可；(2)根据分式的混合运算法则和运算顺序进行化简计算即可．【详解】(1)原式=4x 2-3x +4x -3-(4x 2-4x +1)=4x 2-3x +4x -3-4x 2+4x -1=5x -4；(2)原式=2x -1x +1-(x -1)(x +1)x +1 ÷x -2(x +1)2=2x -1-(x 2-1)x +1×(x +1)2x -2=2x -x 2x +1×(x +1)2x -2=-x 2-x ．【点睛】本题主要考查了整式运算和分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．25.(2023•宾阳县一模)先化简，再求值：x +1x -2 ×2x -4x -1，其中x =2+1．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x 的值代入原式即可求出答案．【详解】原式=x 2-2x +1x -2×2(x -2)x -1=(x -1)2x -2•2(x -2)x -1=2(x -1)=2x -2，当x =2+1时，原式=2(2+1)-2=22+2-2=22．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算以及加减运算法则，本题属于基础题型．26.(2023•秦都区校级二模)先化简，再求值：2m m +1-1 ÷m 2-m m +1，其中m =3．【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．【详解】=2m m +1-m +1m +1 ÷m (m -1)m +1=m -1m +1⋅m +1m (m -1)=1m ．当m =3时，原式=13．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．27.(2023•喀什地区模拟)先化简，再求值：x 2-1x 2-2x +1+x +1x -1⋅1-x 1+x ，其中x =-2．【分析】先算乘法，然后再算加法，最后代入求值．【详解】原式=(x +1)(x -1)(x -1)2+(-1)=x +1x -1-1=x +1x -1-x -1x -1=2x -1，当x =-2时，原式=2-2-1=-23．【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．28.(2023•福田区模拟)先化简：3x x -2-x x +2 ⋅x 2-4x ，并在-2，0，1，2中选一个合适的数求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可．【详解】原式=3x (x +2)(x +2)(x -2)-x (x -2)(x -2)(x +2)⋅(x -2)(x +2)x =3x 2+6x -x 2+2x (x -2)(x +2)•(x -2)(x +2)x =2x 2+8x (x -2)(x +2)•(x -2)(x +2)x =2x (x +4)(x -2)(x +2)•(x +2)(x -2)x =2(x +4)=2x +8；又分母不能为0，∴x 不能取-2，0，2，当x =1时，原式=2×1+8=10．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．29.(2023春•平城区校级月考)(1)计算：(1-tan60°)2+-230+6×2；(2)先化简，再求值：1-x x +2 ÷x +2x -2-8x x 2-4，其中x =2+2．【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、零次幂、二次根式的乘法法则计算，即可求解；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】(1)(1-tan60°)2+-230+6×2=|1-3|+1+12=3-1+1+23=33；(2)1-x x +2 ÷x +2x -2-8x x 2-4=x +2x +2-x x +2 ÷(x +2)2(x +2)(x -2)-8x (x +2)(x -2)=2 x+2÷x2+4x+4(x+2)(x-2)-8x(x+2)(x-2)=2 x+2÷x2-4x+4 (x+2)(x-2)=2 x+2÷(x-2)2 (x+2)(x-2)=2 x+2÷x-2 x+2=2 x+2⋅x+2 x-2=2x-2，当x=2+2时，原式=22+2-2=22=2．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．也考查了二次根式的乘法运算，特殊角的三角函数值．30.(2023春•东营区校级月考)(1)计算：(-1)2017-27+(4-π)0+|3-3|+(sin60°)-1．(2)先化简分式：x2-2x+4x-1+2-x÷x2-41-x，然后在0，1，2中选一个合适的代入求值．【分析】(1)根据二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂、绝对值的性质计算；(2)根据分式的混合运算法则把化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算，得到答案．【详解】(1)原式=-1-33+1+3-3+32 -1=3-43+233=3-1033；(2)原式=x2-2x+4x-1+2x-2-x2+xx-1•1-x(x+2)(x-2)=x+2 x-1•1-x (x+2)(x-2)=12-x，由题意得：x≠1和±2，当x=0时，原式=12-0=12．【点睛】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则、实数的混合运算法则是解题的关键．。