错解剖析得真知10(三角图像性质)
初三数学三角函数图像特征分析
初三数学三角函数图像特征分析三角函数是数学中的重要概念之一，它在初三数学中占据了重要的位置。
在学习三角函数的过程中，了解和分析三角函数的图像特征是非常重要的。
本文将对初三数学中的三角函数的图像特征进行分析和介绍。
1. 正弦函数的图像特征分析正弦函数是初三数学中最常见的三角函数之一。
它的图像呈现周期性、连续、光滑等特点。
通过对正弦函数的图像进行观察和分析，我们可以得出以下几点特征：首先，正弦函数的图像在区间[-π/2, π/2]上是递增的。
也就是说，当x的取值在该区间内时，随着x的增大，正弦函数的取值也逐渐增大。
其次，正弦函数的图像在区间[π/2, 3π/2]上是递减的。
也就是说，当x的取值在该区间内时，随着x的增大，正弦函数的取值逐渐减小。
最后，正弦函数的图像在峰值点上取到最大值或最小值。
峰值点位于周期的中点，即x=0、x=π、x=2π等处。
在这些点上，正弦函数的取值为1或-1，代表函数的最大值或最小值。
2. 余弦函数的图像特征分析余弦函数也是初三数学中常见的三角函数之一。
与正弦函数类似，余弦函数的图像也呈现周期性、连续、光滑等特征。
通过对余弦函数的图像进行观察和分析，我们可以得出以下几点特征：首先，余弦函数的图像在区间[0, π]上是递减的。
也就是说，当x的取值在该区间内时，随着x的增大，余弦函数的取值逐渐减小。
其次，余弦函数的图像在区间[-π, 0]上是递增的。
也就是说，当x 的取值在该区间内时，随着x的增大，余弦函数的取值逐渐增大。
最后，余弦函数的图像在谷值点上取到最大值或最小值。
谷值点位于周期的中点，即x=π/2、x=3π/2、x=5π/2等处。
在这些点上，余弦函数的取值为1或-1，代表函数的最大值或最小值。
3. 正切函数的图像特征分析正切函数是初三数学中较为复杂的三角函数之一。
正切函数的图像呈现出周期性、连续性的特点，但与正弦函数和余弦函数不同，正切函数存在无解的点。
通过对正切函数的图像进行观察和分析，我们可以得出以下几点特征：首先，正切函数在x=nπ（n为整数）处的取值为无穷大或无穷小。
解析三角形知识点总结图
解析三角形知识点总结图一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的几何图形，它的特点是有三条边和三个角，三角形是平面几何中最基本的图形之一。
在三角形中，三条边和三个角互相联系，构成了三角形的基本性质。
二、三角形的性质1. 三角形内角和三角形的三个内角和为180度，即A + B + C = 180°。
2. 三角形的外角和三角形的外角和等于360度。
3. 三角形两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
4. 三角形的两角之和大于第三角三角形的两角之和大于第三角，任意两角之差小于第三角。
5. 等边三角形三边相等的三角形叫做等边三角形，它的三个内角相等，每个角都是60度。
6. 等腰三角形至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形，它的两个底角相等。
7. 直角三角形有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，直角三角形的两条边叫做直角边，斜边对直角三角形的三个角中最大的一个。
8. 锐角三角形三个内角都小于90度的三角形叫做锐角三角形。
9. 钝角三角形三角形中有一个内角大于90度的叫做钝角三角形。
三、三角形的周长和面积计算1. 三角形的周长三角形的周长等于三条边的长度之和，即周长= a + b + c。
2. 三角形的面积三角形的面积可以根据不同情况使用不同的公式计算，主要包括以下几种情况：a. 已知底和高，使用底乘以高再除以2的公式计算，即S = 1/2 * a * h。
b. 已知三边长，可使用海伦公式计算，即S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为半周长，即p = (a + b + c)/2。
四、三角形的相似1. 相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边比例相等，即a/b = c/d = e/f。
相似三角形的面积比等于对应边长的比的平方，即S1/S2 = (a/b)²。
3. 判断三角形相似的条件a. AA相似性质：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的图像与性质，并通过图像展示它们的特点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，常用符号为sin(x)。
它的图像是一条连续的曲线，表现出周期性的波动。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值会重复。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
这意味着它的图像关于原点对称。
3. 取值范围：正弦函数的值域在[-1, 1]之间，即函数的值不会超过这个范围。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个常见的三角函数，常用符号为cos(x)。
它的图像也是一条连续的曲线，与正弦函数的图像非常相似。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。
这意味着它的图像关于y轴对称。
3. 取值范围：余弦函数的值域也在[-1, 1]之间，与正弦函数相同。
三、正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的另一个重要概念，常用符号为tan(x)。
正切函数的图像也是一条连续的曲线，但与正弦和余弦函数有所不同。
正切函数的性质如下：1. 周期性：正切函数的周期为π，即在每个π的区间内，函数的值会重复。
2. 奇点：正切函数在π/2和-π/2处有奇点，即函数在这些点上无定义。
3. 取值范围：正切函数的值域为整个实数轴，即它可以取到任意的实数值。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数，还有许多衍生的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们的图像和性质与前面介绍的三角函数类似，只是在计算和应用中有一些特殊的情况。
五、图像展示为了更好地理解三角函数的图像与性质，下面是一些图像展示：（插入正弦函数、余弦函数和正切函数的图像）从图中可以清楚地看出正弦函数和余弦函数的周期性和对称性，以及正切函数的特殊性。
高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题18 三角函数的图像及性质
专题18 三角函数的图像及性质【标题01】三角函数线大小比较错误 【习题01】下列不等式成立的是______.A ．tan1cos1sin1<<B ．sin1tan1cos1<<C ．sin1cos1tan1<<D ．cos1sin1tan1<< 【经典错解】作出1弧度角的三角函数线，观察得选C .【详细正解】在单位圆中，作出1弧度角的正弦线、余弦线和正切线，观察可以得到cos1sin1tan1<<，故选D .【习题01针对训练】已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是______.A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ>；B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ>；C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ>；D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>.【标题02】正弦函数的图像和性质理解不清【习题02】有下列命题：①sin y x =的递增区间是[2,2]()2k k k Z πππ+∈；②sin y x =在第一象限是增函数； ③sin y x =在[,]22ππ-上是增函数，其中正确的个数是 . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【经典错解】由于②③是正确的，故选C . 【详细正解】由于sin y x =的递增区间是[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈，所以①是错误的；由于sin y x =在第一象限不是单调函数，所以②是错误的.③是正确的，故选B .【深度剖析】（1）经典错解错在正弦函数的图像和性质理解不清. （2）不能因为正弦函数在(0,)2π是增函数，就说正弦函数在第一象限是增函数，实际上正弦函数在第一象限是不单调的. 在提到第一象限的时候，不能只想到(0,)2π，因为高中角的定义进行了推广,第一象限的角用区间表示为[2,2]()2k k k Z πππ+∈.如0390和060 都是第一象限的角，且0039060>，但是00013sin 390sin 30sin 6022==<=. 【习题02针对训练】下列命题中，正确的是_______.A ．函数sin y x =在[0,]π内是单调函数；B ．在第二象限内，sin y x =是减函数，cos y x =也是减函数；C ．cos y x =的增区间为[0,]π；D ．sin y x =在区间[,]2ππ上是减函数.【标题03】对函数的结构分析不清对复合函数分析不到位【习题03】已知函数()2sin(2)3f x ax b π=-+的定义域为[0,]2π，值域为[5,1]-，求a 和b 的值．【经典错解】200222333x x x πππππ≤≤∴≤≤∴-≤-≤Q 3sin(2)13x π∴-≤-≤ 由题得2135a b a b ì+=ïíï-+=-î， 解得126323123a b ì=-ïíï=-+î.【详细正解】230022sin(2)123333x x x x ππππππ≤≤∴≤≤∴-≤-≤∴-≤-≤Q 当a ＞0时，则2135a b a b ì+=ïíï-+=-î，解得126323123a b ì=-ïíï=-+î；当a ＜0时，则2531a b a b ì+=-ïíï-+=î， 解得126319123a b ì=-ïíï=-î；当a =0时，显然不符合题意.∴a =12﹣63，b =﹣23+123或a =﹣12+63，b =19﹣123．【习题03针对训练】已知2()2sin 22sin f x a x a x a b =-++的定义域是[0,]2π，值域是[5,1]-，求a 和b 的值.【标题04】三角函数图像的左右平移没有理解透彻【习题04】将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 .【经典错解】将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到函数sin2-)4y x p =（的图象，再向上平移1个单位得函数sin(2)14y x p =-+的图象，故所得的函数对应的解析式为sin(2)14y x p=-+. 【详细正解】将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到函数x x x y 2cos )22sin()4(2sin -=-=-=ππ的图象，再向上平移1个单位得函数cos 21y x =-+的图象，故所得的函数对应的解析式为cos 21y x =-+.故填cos 21y x =-+.【习题04针对训练】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图像向右平移2π个单位后，与函数)32sin(π+=x y 的图像重合， 则ϕ= .【标题05】三角函数图像的伸缩变换理解不透彻【习题05】把函数sin()3y x p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为 .【经典错解】把函数sin()3y x p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为11sin ()sin()2326y x x p p =+=+.所以填1sin()26y x p=+.【详细正解】把函数sin()3y x p=+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为1sin()23y x p =+.故填1sin()23y x p=+.【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数图像的伸缩变换理解不透彻.（2）把函数y=f(x) 的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数为1()2y f x =，也就是说只是把函数的解析中有“x ”的地方换成“12x ”，其它的都不变，所以把函数sin()3y x p=+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为1sin()23y x p=+.【习题05针对训练】要得到函数2y =的图象，只需将函数2)4y x π=+的图象上所有的点的( ).A.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度【标题06】图像左右平移理解错误 【习题06】要得到()tan(2)3f x x π=-的图象，只须将()tan 2f x x =的图象( )A ．向右平移3π个单位B ．向左平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【经典错解】只须将函数()tan 2f x x =的图象向右平移3p 个单位就可以得到函数()tan(2)3f x x π=-的图象，故选A .【详细正解】由于tan 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=)6(2tan π-x ,只须将函数()tan 2f x x =的图象向右平移6π个单位就可以得到函数()tan(2)3f x x π=-的图象，故选D.【习题06针对训练】函数3sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可看成3sin 3y x =的图象按如下平移变换而得到的（ ）.A ．向左平移9π个单位B ．向右平移9π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位【标题07】求三角函数解析式时代点错误 【习题07】函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）.A ．)48sin(4π-π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C ．)48sin(4π+π=x yD ．)48sin(4π+π-=x y【经典错解】由图像得4,2(62)16A T ==⨯+=,8162ππω==∴,则4sin()8y x πφ=+ 代入(6,0)，得3sin()04p f +=，则33||442k k z k ππφπφππφ+=∈∴=-<Q4πφ∴= 4sin()84y x p p\=+，故选C .【详细正解】由图像得4,2(62)16A T ==⨯+=,8162ππω==∴,则4sin()8y x πφ=+代入(2,4)-，得1)4sin(-=+ϕπ，33224244k k z k ππππφπφπφ+=-∈∴=-∴=- 34sin()4sin()4sin()848484y x x x πππππππ∴=-=-++=-+.故选D .位置的点.【习题07针对训练】函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,0A ωϕπ>><<）的图象如图所示，则(0)f 值为（ ）A ．1B ．0C ．2D ．3【标题08】解三角方程组时没有把解出的值代入每一个方程检验导致出现增解 【习题08】是否存在(,)22ππα∈-，(0,)βπ∈使等式sin(3)2cos()2ππαβ-=- 3cos()2cos()απβ-=-+同时成立？若存在，求出,αβ的值；若不存在，请说明理由．【经典错解】由条件得sin 2sin 13cos 2cos 2αβαβ⎧=⎪⎨=⎪⎩（）（）221+2（）（）得22sin 3cos 2αα+= ，∴21cos 2α= 即2cos 2α=±．(,)2244ππππαα∈-∴=Q 或- 将4πα=代入（2）得3cos 2β= 又(0,)βπ∈ 6πβ∴=，代入（1）可知，符合．将4πα=-代入（2）得6πβ=，综上可知4646ππππαβαβ===-=或 .【详细正解】（前面同上）将4πα=-代入（2）得6πβ=，把46ππαβ=-=代入（1）可知，不符合，所以舍去. 综上可知46ππαβ==．【习题08针对训练】是否存在锐角α与β ，使得（1）223αβπ+=，（2）tan tan 2αβ23=-同时成立．若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由．【标题09】把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R 上的单调区间了 【习题09】已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示．⑴ A 和ω的值；⑵ 函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；⑶ 函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值．【经典错解】（1）2,A =243124T πππω=-=，2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）令222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈ 得51212k x k ππππ-+≤≤+， 所以函数的单调增区间是5[,]1212k k k z ππππ-++∈.⑷ ()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，得512x k ππ=+或3()4x k k Z ππ=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以b a -最大值为217533T ππ+=． 【详细正解】1）2,A =243124T πππω=-=，2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）令222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈ 得51212k x k ππππ-+≤≤+，当0k = 时， 51212x ππ-≤≤ 当1k =时， 7131212x ππ≤≤.又因为x ∈[0,]π，所以函数()y f x =在[0,]π的单调增区间为[0,]12π和7[,]12ππ .（3）同上.【深度剖析】（1）经典错解错在把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R 上的单调区间了.（2）已知要求的是函数在区间[0,]π上的单调增区间，不是R 上的单调增区间，所以求出函数在R 上的单调增区间后，还要把增区间和[0,]π求交集.（3）解题时，一定要养成好的习惯，不要定势思维.【习题09针对训练】已知函数2()2cos 3cos ().f x x x x x R =+∈（1）当[0,]x π∈时，求函数f (x)的单调递增区间； （2）若方程()1f x t -=在[0,]2x π∈内恒有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．【标题10】三角函数的周期公式的使用情景没有理解清楚 【习题10】已知2()sin f x x ω=的最小正周期是4π，则_________ω=. 【经典错解】由题得284||T ππωω==∴=± ，故填8± . 【详细正解】21cos 2112()sin cos 242224|2|x f x x x ωππωωωω-===-+∴=∴=±【习题10针对训练】已知2()12cos ()4f x x πω=++的最小正周期是2π，则_________ω=.【标题11】不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式【习题11】已知α是ABC ∆的一个内角，则不等式3tan 1α<<的解集为 .【经典错解】由正切函数的图像得不等式的解集为2{|}43πααπ<< 【详细正解】当02πα<≤时，04πα<< ；当2παπ<<时，23παπ<<.所以不等式的解集为2{|0}43πααπαπ<<<<或.故填2{|0}43πααπαπ<<<<或【深度剖析】（1）经典错解错在不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式. （2）实际上本题可以直接画出正切函数在(0,)π 的图像，再画31y y ==和 两条直线，观察两条直线之间的部分图像的α的取值范围.(3)数学是严谨的自然科学，要讲究逻辑，不能感性. 【习题11针对训练】不等式tan(2)14x π+≥-的解集为___________________.【标题12】凭想象而不是利用三角函数的图像和性质解答【习题12】函数f （x)=tanx 在区间2[,]33ππ上的值域为 .【经典错解】由于2()3()333f f ππ==- 所以函数的值域为[3,3]-.【详细正解】作出函数f （x)=tanx 的图像，在截断到2[,]33ππ，观察得函数的值域为 [3,)(,3]+∞-∞-U ，故填[3,)(,3]+∞-∞-U .【标题13】三角函数的周期分析错误 【习题13】已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ） A ．35- B ．45- C ．35 D ．45【经典错解】相邻两条对称轴之间的距离等于2π,即周期242T ππωω==⇒=,又3sin 5ϕ=，所以()4f π3sin()sin 5πφφ=+=-=-，故选A. 【详细正解】相邻两条对称轴之间的距离等于2π,即周期222=⇒=⨯=ωππT ,又3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈，可求得54cos -=ϕ，所以()4f π54cos )2(sin -==+=ϕϕπ，故选B .【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数的周期分析错误. （2）错解把相邻两条对称轴的距离看作了一个周期，实际上是周期的一半，所以错误. 所以对于三角函数的图像要会识图,不要看错. 【习题13针对训练】若函数sin()y A x ωϕ=+(0A >，0ω>，||2πϕ<)在一个周期内的图象如图所示，,M N分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，则A ω⋅=（ ）A ．6πB ．7πC ．7πD ．7π【标题14】三角函数的周期和最值分析错误 【习题14】已知函数()2sin()6f x x πω=+中x 在任意的15个长度单位的距离内能同时取得最大值和最小 值，那么正实数ω的取值范围是__________.【经典错解】由题得211000105T πωπωωπω=≥∴≤>∴<≤Q 故填(0,10]π【详细正解】由题得21100105T πωπωωπω=≤∴≥>∴≥Q 故填[10,)π+∞.【习题14针对训练】已知函数tan y x ω= 在(,)22ππ-内是减函数，则（ ） A ．01ω<≤ B ．1ω≤- C ．1ω≥ D ．10ω-≤<【标题15】复合函数的单调性理解没有到位【习题15】函数()sin(2)f x x =-的单调增区间是 . 【经典错解】由题得2222244k x k k z k x k ππππππππ-≤-≤+∈∴--≤≤-+故填[,]44k k k z ππππ---+∈. 【详细正解】由题得332+222244k x k k z k x k ππππππππ≤-≤+∈∴--≤≤-- 故填3[,]44k k k z ππππ----∈.方法二：()sin(2)sin 2x f x x =-=-所以32+2222k x k k z ππππ≤≤+∈344k x k ππππ∴+≤≤+故填3[,]44k k k z ππππ++∈.【习题15针对训练】设函数()sin(2)f x x ϕ=-+（0πϕ-<<）的图象的一条对称轴 是直线8x π=.①求ϕ； ②求函数()y f x =的单调增区间.【标题16】三角函数的周期扩大了导致错误【习题16】为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是______.A ．98πB ．1972π C ．1992πD ．100π 【经典错解】由题得2150100πωπωπω≥∴≥∴g 的最小值是100. 故选D .【详细正解】由题得1121971971491494422Tπππωωω≥≥∴≥∴g的最小值是.故选B . 【深度剖析】（1）经典错解错在三角函数的周期扩大了导致错误. （2）错解认为区间[0,1]至少要包含50个周期，但是从三角函数的图像来看，只需要1494个周期就可以了. 【习题16针对训练】已知函数()cos (sin 3)(0)f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（ ） A ．14032π B ．12016π C ．14032 D ．12016【标题17】绝对值函数的图像理解不准确【习题17】函数|tan |y x =的最小正周期为 .【经典错解】函数tan y x =的最小正周期是π，所以函数|tan |y x =的最小正周期为122ππ⨯=.所以填2π .【详细正解】函数tan y x =的最小正周期是π，所以函数|tan |y x =的最小正周期为π.所以填π.【习题17针对训练】下列函数中，最小正周期为2π的是（ ） A ．|sin 2|y x = B. cos ||y x = C. 1|sin |2y x =+ D. |sin |4y x π=+（）【标题18】求函数的取值范围时忽略了三角函数的隐含范围【习题18】已知222sin cos 1x y +=，则22sin cos x y +的取值范围为________________.【经典错解】由已知得22cos 12sin y x =-，所以2222sin cos sin 12sin x y x x +=+-21sin x =- 2220sin 11sin 001sin 1x x x ≤≤∴-≤-≤∴≤-≤Q所以22sin cos x y +的取值范围为[0,1]【详细正解】由已知得2222211cos 12sin 0sin sin 00sin 22y x x x x =-≥∴≤≥∴≤≤Q 所以2222sin cos sin 12sin x y x x +=+-21sin x =-2221110sin sin 01sin 1222x x x ≤≤∴-≤-≤∴≤-≤Q 所以22sin cos x y +的取值范围为1[,1]2.【习题18针对训练】已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos x y -的最大值和最小值.【标题19】求函数的值域时忽略了分母不等于零【习题19】设函数()sin()f x A wx φ=+ (0,w 0,)A πφπ>>-<< 在6x π=处取得最大值2 ，其图像与x 轴的相邻两交点的距离为2π，（1）求()f x 的解析式；（2）求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+ 的值域.【经典错解】（1）由题设条件知()f x 的周期T π=，即2ππω=，解得2ω=因()f x 在6x π=处取得最大值2，所以2A = ，从而 sin(2)16πϕ⨯+= ，所以22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，又由πϕπ-<< 得6πϕ=故()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+（2）42426cos sin 16cos cos 2()2cos 22sin(2)2x x x x g x xx π--+-==+222(2cos 1)(3cos 2)2(2cos 1)x x x -+=-23cos 12x =+因为2cos [0,1]x ∈，所以5()[1,]2g x ∈ . 故()g x 的值域为5[1,]2【详细正解】（1）同上； （2）42426cos sin 16cos cos 2()2cos 22sin(2)2x x x x g x xx π--+-==+222(2cos 1)(3cos 2)2(2cos 1)x x x -+=-2231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈，且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]442U【深度剖析】（1）经典错解错在求函数的值域时忽略了分母不等于零.（2）错解忽略了分母22cos 10x -≠，所以导致函数的值域错误.（3）研究函数的问题，必须注意函数的定义域，即使题目没有要求求函数的定义域.【习题19针对训练】设函数()sin(2)f x A wx φ=+（其中(0,w 0,)A πφπ>>-<<）在6x π=处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）求()30f x -≥的解集；（3）求函数424cos 2sin ()()6x xg x f x π-=+的值域．【标题20】研究函数的问题时没有考虑函数的自变量的范围【习题20】已知锐角ABC ∆中，向量(22sin ,cos sin )p A A A →=-+与向量(sin cos ,1sin )q A A A →=-+共线.（1）求A ； （2）函数232sin cos2C By B -=+的值域.【详细正解】（1）同上；（2）202sin cos(260)B B =+- 01cos 2cos(260)B B =-+- 01sin(230)B =+-因为ABC ∆是锐角三角形 所以002226200322B B B B C πππππππ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪∴∴<<⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩所以5122sin(2)1366626B B B ππππππ<<∴<-<∴<-≤所以31sin(2)226B π<+-≤ 所以函数的值域为3(,2]2.【习题20针对训练】在ABC ∆中，(2sin sin ,cos )m B C C →=-，(sin ,cos )n A A →=，且//m n →→. （1）求角A 的值； （2）求2()2sin cos(2)3f x B B π=+-的最大值.高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第18讲：三角函数的图像性质参考答案【习题01针对训练答案】D【习题01针对训练解析】在单位圆中，根据sin sin αβ>画出αβ， ,再逐一利用三角函数线验证每一个选项，故选D .【习题02针对训练答案】D222()2222(2g t at at a b a t b ∴=-++=-+ 当a ＞0时，则51b a b ì=-ïí+=ïî；解之得a =6，b =﹣5；当a =0，不满足题意；当a ＜0时，则15b a b ì=ïí+=-ïî；解之得a =﹣6，b =1．综上所述：a =6，b =﹣5或a =﹣6，b =1． 【习题04针对训练答案】65π【习题04针对训练解析】函数向右平移得到cos[2()]cos(2x )2y x πϕπϕ=-+=-+5sin(2)sin(2)22236y x x πππππϕϕπϕπϕϕπ=+-+=+--≤≤∴-=∴=Q ，故填65π.【习题05针对训练答案】C【习题05针对训练解析】根据题意可知：22)244y x y x ππ=+−−−−−−−→=+横坐标伸长为原来的倍42sin()44y x πππ−−−−−−→=++向左平移个单位=2)=22x x π+.故选C .【习题06针对训练答案】A【习题06针对训练解析】因为3sin(3)3sin[3()]39y x x ππ=+=+，所以3sin 3y x =的图象向向左平移9π个单位即可得到函数3sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【习题07针对训练答案】A【习题08针对训练解析】由223αβπ+=得到123αβπ+=， 所以tantan 2tan()tan3231tan tan 2αβαπβαβ++===-g把tantan 232αβ=① 代入式子中得到：tantan 332αβ+=②， 把①②联立求得：tan1tan 232αβ==tan 23tan 12αβ==由题知锐角α ，当tan12α=时，2πα=矛盾，所以舍去；当tan 1β= 时，因为β 为锐角，所以4πβ=，根据223αβπ+=得到6πα=．综上所述64ππαβ==. 【习题09针对训练答案】（1）[0,]6π，2[,]3ππ ；（2）12t ≤<. 【习题09针对训练解析】(1) 2()2cos 32f x x x =+=cos 2321x x +=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得222233k x k ππππ-≤≤+ 即36k x k ππππ-≤≤+ ， k Z ∈【习题10针对训练解析】21cos(2)2()12cos ()1242x f x x πωπω++=++=+g sin 22x ω=-+22|2|2T ππωω∴==∴=±故填2±. 【习题11针对训练答案】{|+}2428k k x x k z ππππ-≤<∈【习题11针对训练解析】由题得2+442k x k k z πππππ-≤+<∈所以+2428k k x k z ππππ-≤<∈ 故填{|+}2428k k x x k z ππππ-≤<∈.【习题12针对训练答案】33,)(,]3+∞-∞-U [ 【习题12针对训练解析】25tan()3633666x x x ππππππ≤≤∴≤+≤∴+≥Q或 3tan()63x π+≤-33,)(,3∴+∞-∞-U 函数的值域为[ . 【习题13针对训练答案】C【习题13针对训练解析】由图得，4312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则2ω=，设M （12π，A ），则N （712π，-A ），∵0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，0A >，∴701212A A ππ⨯-⨯=，解得7A π=∴7A ωπ⋅=．【习题14针对训练答案】D【习题14针对训练解析】∵函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，且正切函数在(,)22ππ-内是增函数，由复合函数的单调性可知，x ω 在(,)22ππ-内是减函数，即0ω< 且||ππω≥，解得：10ω-≤<．故选D .【习题15针对训练答案】5[,]88k k k z ππππ++∈ 【习题15针对训练解析】31824k k z k πππϕπϕπ⨯+=+∈∴=+（）由题得-2 1=4k πϕ=--时， ，()sin(2)sin(2)44f x x x ππ=--=-+ 3222242k x k k z πππππ+≤+≤+∈解之得588k x k ππππ+≤≤+ 所以函数的增区间是5[,]88k k k z ππππ++∈.【习题16针对训练答案】C【习题18针对训练答案】411;.912-【习题18针对训练解析】11sin sin sin sin 33x y x y +=∴=-Q 21sin 1sin 13x y -≤≤∴-≤≤Q2222112sin cos sin cos sin (1sin )sin sin 333x y y y y y y y ∴-=--=---=--2111(sin )212y =--当1sin 2y =时，2sin cos x y -的最小值为1112-.当2sin 3y =-时，2sin cos x y -的最大值为49.【习题19针对训练答案】（1）()2sin(2)6f x xπ=+；（2）{|}124x k x k k z ππππ+≤≤+∈；（3）33[1,)(,2]22U .424222224cos 2sin 4cos 2cos 23()2cos 2()6(2cos 1)(2cos 2)cos 12(2cos 1)x xx x g x xf x x x x x π-+-==+-+==+-（）21cos 2x ≠Q 因2cos [0,1]x ∈且21cos 2x ≠ ，故()g x 的值域为33[1,)(,2]22U . 【习题20针对训练答案】（1）060A =；（2）2 .【习题20针对训练解析】（1）||(2sin sin )cos cos sin 0m n B C A C A ∴--=u r rQ2sin cos sin cos cos sin 02sin cos sin()sin()sin 1sin 0cos 602B AC A C A B A C A B B B A A ABC A π∴--=∴=+=-=≠∴=∴=Q Q 是△的内角21。
三角形的辨认与性质
三角形的辨认与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和变化。
本文将讨论如何辨认三角形，并介绍三角形的常见性质。
一、辨认三角形三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每两条线段之间的夹角不超过180度。
辨认三角形有以下几种方法：1. 根据线段连接：通过观察图形中的线段连接关系，可以确定是否构成一个三角形。
如果有任意三条线段连接且不共线，则可以肯定为三角形。
2. 根据角度关系：在一个图形中，如果存在三个非共线的点，且这三个点两两之间线段之间的夹角均小于180度，则可以判断为三角形。
3. 根据边长关系：如果给定了三个线段的边长，可以通过判断这三个边长是否满足三角不等式来确定是否为三角形。
三角不等式指出，对于三角形的三条边长a、b和c，有a + b > c，a + c > b和b + c > a。
二、三角形的性质1. 内角和性质：三角形的内角和等于180度。
即三个内角的度数之和为180度。
2. 外角性质：一个三角形的外角等于它的两个不相邻内角的和。
即，对于三角形ABC，如果A、B、C是按顺时针方向排列的顶点，那么∠DAB = ∠ABC + ∠ACB。
3. 等边三角形：三条边的边长相等的三角形称为等边三角形。
在等边三角形中，三个内角均为60度。
4. 等腰三角形：两条边的边长相等的三角形称为等腰三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边上的两个角）相等。
5. 直角三角形：一个内角为90度的三角形称为直角三角形。
在直角三角形中，一条边为直角边，其它两边为直角边的两条直角边。
6. 锐角三角形：三个内角均小于90度的三角形称为锐角三角形。
7. 钝角三角形：三个内角中至少有一个内角大于90度的三角形称为钝角三角形。
三、常见三角形的性质1. 等边三角形：等边三角形的三个边长相等，三个内角均为60度。
2. 等腰三角形：等腰三角形的两个底角相等。
3. 直角三角形：直角三角形的一个内角为90度。
4. 斜边：斜边指直角三角形的斜边，即直角三角形中最长的一条边。
三角函数像与性质解题技巧总结
三角函数像与性质解题技巧总结三角函数在数学中起着重要的作用，它涉及到角度、比率等概念，广泛应用于三角学、几何学、物理学、工程学等多个领域。
在解题过程中，熟练掌握三角函数像与性质的使用是至关重要的。
本文将总结一些三角函数像与性质的解题技巧，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 正弦函数的性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它在解决角度相关问题时经常被使用。
正弦函数的性质包括：- 在单位圆上，正弦函数的值范围在-1到1之间。
- 正弦函数的图像是一个周期为360°（或2π）的波形。
- 正弦函数的周期性使得我们可以通过求解等式sin(x) = sin(y)来找到与给定角度x相等的角度y，即sin(x) = sin(x + n×360°)。
- 正弦函数在0°、90°、180°、270°等角度上取得极值，即sin(0°) = 0、sin(90°) = 1、sin(180°) = 0、sin(270°) = -1。
2. 余弦函数的性质余弦函数也是常用的三角函数之一，它与正弦函数有很多相似的性质，但也有一些不同之处：- 在单位圆上，余弦函数的值范围也在-1到1之间。
- 余弦函数的图像同样是一个周期为360°（或2π）的波形。
- 余弦函数的周期性使得我们可以通过求解等式cos(x) = cos(y)来找到与给定角度x相等的角度y，即cos(x) = cos(x + n×360°)。
- 余弦函数在0°、180°、360°等角度上取得极值，即cos(0°) = 1、cos(180°) = -1、cos(360°) = 1。
3. 正切函数的性质正切函数是三角函数中常用的一个，在解决角度相关问题时也经常被使用。
正切函数的性质如下：- 正切函数的图像是一个周期为180°（或π）的波形。
错题集锦三角形的认识和性质
错题集锦三角形的认识和性质三角形是初中数学中重要的几何概念之一，它的认识和性质是学习几何学的基础。
在本篇文章中，我们将通过分析错题集锦的方式，深入探讨三角形的认识和性质。
一、三角形的定义与性质在开始讨论三角形的认识和性质之前，我们首先需要了解三角形的定义。
三角形是由三条线段组成的图形，其中每条线段相互连接成一个封闭的图形。
三角形的性质包括：1. 三边的和大于第三边：对于任意一个三角形，其任意两边的长度之和必须大于第三边的长度。
2. 两边之差小于第三边：对于任意一个三角形，其任意两边的长度之差必须小于第三边的长度。
3. 内角之和为180度：三角形的三个内角之和必须等于180度。
这是三角形最重要的性质之一，常常被用来解决三角形相关的问题。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度，我们可以将三角形分类为不同的类型，如下所示：1. 根据边长分类：a. 等边三角形：三边长度相等的三角形。
它的三个内角也相等，每个内角都等于60度。
b. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
这种三角形的两个底角也相等。
c. 普通三角形：除了不满足等边和等腰的条件之外，没有其他特殊性质的三角形。
2. 根据角度分类：a. 直角三角形：其中一个内角为90度的三角形。
直角三角形的斜边是其他两边的最长边。
b. 钝角三角形：其中一个内角大于90度的三角形。
c. 锐角三角形：其中所有内角都小于90度的三角形。
三、三角形性质的探究在初中数学中，我们经常需要利用三角形的性质来解决各种问题。
下面我们将通过分析一些典型的错题来深入探讨三角形性质的应用。
例1：已知三角形ABC中，∠B=60度，∠C=40度，求∠A的度数。
解析：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到∠A=180度-∠B-∠C=180度-60度-40度=80度。
例2：如果一个三角形的两个角分别为30度和150度，那么这个三角形的第三个角是什么度数？解析：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度-30度-150度=0度。
(完整版)三角形的性质及判定归纳
(完整版)三角形的性质及判定归纳1. 三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，相邻的两条边之间的交点称为三角形的顶点。
根据三角形的边的长度，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 三角形的性质2.1. 三角形的内角和对于任意一个三角形，三个内角的和始终为180度。
根据角度的大小，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
2.2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
等边三角形的三个内角的度数都为60度。
由于边长相等，所以等边三角形的三条高度、三条中线和三条角平分线也相等。
2.3. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角（非顶角）的度数相等。
等腰三角形的两条高度、两条中线和两条角平分线相等。
2.4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
直角三角形的边的长度满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为两条边的长度，c为斜边的长度。
2.5. 锐角三角形和钝角三角形除了等边三角形、等腰三角形和直角三角形之外，剩下的三角形都属于锐角三角形和钝角三角形。
锐角三角形指的是三个内角的度数都小于90度的三角形，钝角三角形指的是至少有一个内角大于90度的三角形。
3. 三角形的判定3.1. 等边三角形的判定当三个边的长度都相等时，该三角形为等边三角形。
3.2. 等腰三角形的判定当两个边的长度相等或两个底角（非顶角）的度数相等时，该三角形为等腰三角形。
3.3. 直角三角形的判定当三条边的长度满足勾股定理时，该三角形为直角三角形。
3.4. 锐角三角形和钝角三角形的判定当三个内角的度数都小于90度时，该三角形为锐角三角形；当至少有一个内角的度数大于90度时，该三角形为钝角三角形。
结论通过对三角形的性质及判定的归纳，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题，而且可以辅助我们进行三角形的分类和运用。
三角函数解三角形三角函数的图象与性质课件文ppt
对于任意角x，正弦函数sin(x)的值是角的对边与斜边的比，记为sin(x)=y/r，其中r是斜边长。
三角函数的正弦曲线ห้องสมุดไป่ตู้绘制
要点一
确定正弦函数的定义 域
正弦函数的定义域是所有实数，但在 绘制图像时通常只取一部分。
要点二
确定正弦函数的值域
正弦函数在[-π/2,π/2]区间内的值域 是[-1,1]，在其他区间类比得到。
$\tan x \in \mathbf{R}$。
三角函数的正切曲线的绘制
利用单位圆中的正切线进行绘制。 将正切线按照相同的比例映射到单位圆上。 通过旋转单位圆得到正切曲线。
三角函数的变化趋势
01
在区间$(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi), k \in \mathbf{Z}$上，$\tan x$单调递增。
04
解三角形的应用
解三角形的定义
定义1
在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知角A、B、C和边a、 b、c中，至少有一个，则解三角形就是求角A、B、C和边a、b、c的数学过程。
定义2
解三角形也叫解直角三角形，是三角形中角和边关系的一种应用，包括解直角三 角形和斜三角形。
解三角形的方法
常见题型解析
三角函数的化简和求值
01
02
利用三角函数基本关系式进行化简和求值
利用三角函数图象求值域、最值等
03
04
解三角形问题的求解
利用正弦定理、余弦定理等求解三角形中的 边、角、高
05
06
利用解三角形的方法解决实际问题
THANKS
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解三角形的应用举例
应用1
错解剖析得真知(三)
错解剖析得真知（三）§2.2函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. （2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数. （3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图象：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图象.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3. 用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数的单调性.错解：是减函数错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.正解：令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，∴是增函数[例2]判断函数的奇偶性.错解：∵＝∴∴是偶函数错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：有意义时必须满足即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3] 判断的奇偶性.错解：∵∴且所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵＝＝＝－∴是奇函数方法二：∵＝∴是奇函数[例4]函数y=的单调增区间是_________.错解：因为函数的对称轴是，图象是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是[例5]已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x 的取值范围.错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)= f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3又f(x)是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x＜3错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.正解：由,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},[例6] 作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2).分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图)(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象.[例7]若f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围解：设由f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数得∴a＞点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.[例8]已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.四、典型习题导练1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )2. （05年高考重庆卷）若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是（）A. B. C. D.（－2，2）3. （05年高考江西卷）若函数是奇函数，则a= .4. （05年高考辽宁卷）已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则（）A. B. C. D..5.已知是定义在R上的奇函数，且当时，＝，求.6. 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.7.已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是高中数学中非常重要的一部分内容，它们在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们需要了解它们的图像与性质，以便更好地理解它们的含义和用法。
本文将介绍三角函数的图像与性质，帮助读者更好地掌握这一知识点。
正弦函数（sin）正弦函数是最常见的三角函数之一，它描述了一个周期性变化的曲线。
正弦函数的图像是一个连续的波浪线，它在区间[-1,1]之间取值，且呈现周期性。
具体来说，当自变量的取值为0时，正弦函数的值为0；当自变量的取值为90°（或π/2）时，正弦函数的值为1；当自变量的取值为180°（或π）时，正弦函数的值再次为0；以此类推。
正弦函数的图像可以帮助我们观察周期性变化的现象，并用于解决相关问题，如天体运动、声音传播等。
余弦函数（cos）余弦函数也是一种常见的三角函数，它与正弦函数非常相似，但在图像上有一定的差异。
余弦函数的图像也是一个周期性变化的曲线，它在区间[-1,1]之间取值。
与正弦函数不同的是，当自变量的取值为0时，余弦函数的值为1；当自变量的取值为90°（或π/2）时，余弦函数的值为0；当自变量的取值为180°（或π）时，余弦函数的值再次为-1。
余弦函数的图像可以帮助我们观察周期性的振动现象，如弹簧的伸缩、机械摆动等。
正切函数（tan）正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它描述了一个不断增大或减小的曲线。
正切函数的图像在某些点和正弦函数、余弦函数的图像相交，但在其他点上却有明显的区别。
正切函数的图像可以帮助我们观察角度的变化和斜率的变化，如坡度、天文观测等。
正切函数的自变量是角度的度数，因此它的取值范围没有限制。
需要注意的是，在某些角度上，正切函数的值会趋近于无穷大。
性质与应用除了图像之外，三角函数还有许多重要的性质和应用。
其中，周期性是最基本的特征之一。
正弦函数、余弦函数的周期均为360°（或2π），而正切函数的周期为180°（或π）。
专题04 三角函数与解三角形第九讲 三角函数的图象以及性质(解析版)
专题04 三角函数与解三角形 第九讲 三角函数的图象以及性质答案部分2019年1.【解析】因为21cos 411sin 2cos 4222x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2ππ42T ==． 2.D 【解析】当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π， 所以1229510ω<，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<，故③正确． 故选D ．3.C 【解析】因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =.若24g π⎛⎫=⎪⎝⎭，即2sin 2442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2015-2018年1．A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ，且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减，则由04ππ+≤≤x ，得344ππ-≤≤x ． 因为()f x 在[,]-a a 上是减函数，所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，解法二 因为()cos sin =-f x x x ，所以()sin cos '=--f x x x ， 则由题意，知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立， 即sin cos 0+≥x x)04π+≥x ，在[,]-a a 上恒成立，结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，所以04π<≤a ， 所以a 的最大值是4π，故选A ． 2．A 【解析】把函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度得函数 ()sin[2()]sin 2105g x x x ππ=-+=的图象，由22222k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )得44k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )，令1k =，得3544x ππ≤≤， 即函数()sin 2g x x =的一个单调递增区间为35[,]44ππ，故选A ． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=），∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 4．D 【解析】把2C 的解析式运用诱导公式变为余弦，2C ：22sin(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)32366y x x x x πππππ=+=-+=-+=+ 则由1C 图象横坐标缩短为原来的12，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C ．选D5．D 【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π，k ∈Z ，所以A 正确；∵8()cos313f ππ==-，所以B 正确； 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+，而3()cos 062g ππ==，C 正确；选D ．6．A 【解析】由题意5π8x =取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34T ，所以3T π=或T π=， 又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以223T πω==，排除C 、D ；由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+，即212k πϕπ=+，令0k =，12πϕ=．选A ．7．A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(2)3y x π=-的图象上，所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin 62π=，又1(,)42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π=-，则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+，k Z ∈，得6s k ππ=-+或 6s k ππ=--，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6π，故选A ．8．B 【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ． 9．B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，所以2π24kT T=+（k Z ∈，T 为周期），得221T k π=+（k Z ∈）．又()f x 在5(,)1836ππ单调，所以11,62T k π，又当5k =时，11,4πωϕ==-，()f x 在5(,)1836ππ不单调；当4k =时，9,4πωϕ==，()f x 在5(,)1836ππ单调，满足题意，故9ω=，即ω的最大值为9．10．B 【解析】函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()ππ26k x k =+∈Z ，所以所求对称轴的方程为()ππ26k x k =+∈Z ，故选B ． 11．B 【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位． 12．A 【解析】采用验证法，由cos(2)sin 22yxx π，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A ． 13．D 【解析】由图象可知242m ωπϕπ+=+，32425ωm πϕπ+=+，m Z ∈， 所以,2,4m m Z πωπϕπ==+∈，所以函数()cos(2)cos()44πππππ=++=+f x x m x 的单调递减区间为，224k x k πππππ<+<+，即132244k x k -<<+，k Z ∈．14．A 【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴． ∵12|2|66ππ--=，512|(2)|66πππ---=，|0|66ππ-=，∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<，2233πππ-<-<，2033ππ-<<，∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<．15．23【解析】由于对任意的实数都有π()()4f x f ≤成立，故当4x π=时，函数()f x 有最大值，故()14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )， 又0ω>，∴min 23ω=． 16．3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．17．π6-【解析】由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，因为22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<， 则232ππϕ+=，6πϕ=-．18．32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π==-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到． 19．π、]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)【解析】23)42sin(22)(+-=πx x f ，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)． 20．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ， 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a ，所以=a故2()22cos =+f x x x ．则方程()1=-f x 222cos 1+=x x222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)62π+=-x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ， 即0=k 或1；0'=k 或1， 对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π．21．【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-． 又[0,]x π∈，所以56x π=．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-22．【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )2x x ωω=)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-． 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-． 23．【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．()4tan cos cos()3f x x x x π=--4sin cos()3x x π=--14sin (cos )22x x x =+-22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==． ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减．24．【解析】（Ⅰ）因为()cos )f x x x =-sin()42x π=+-所以()f x 的最小正周期为2π． （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤． 当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值．所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--． 25．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．。
错解剖析得真知
3.3三角函数的恒等变换一、知识导学1.两角和、差、倍、半公式（1）两角和与差的三角函数公式（2）二倍角公式（3）半角公式，，2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.二、疑难知识导析1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.4．三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、，等，注意到倍角的相对性.5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.三、典型例题导讲[例1]在∆ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则?C的大小应为( ) A． B． C．或 D．或错解：C错因：求角C有两解后未代入检验.正解：A[例2]已知tanα tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，若α，β?(-)，则α+β=（）A． B．或- C．-或 D．-错解：B.错因：未能准确限制角的范围.正解：D.[例3]若，则对任意实数的取值为（）A. 1B. 区间（0，1）C.D. 不能确定错解：C错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D.正解：解法一设点，则此点满足解得或即选A解法二：用赋值法，令同样有选A[例4]△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A. B. C.或 D.错解：C错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.正解：A[例5]已知，（），则（）A、 B、 C、 D、错解：A错因：是忽略，而解不出正解：C[例6]求值：=_______________解：答解法一原式解法二[例7]已知是第三象限的角，若等于（）A. B. C.D.解：选A.解析：[例8]分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少.观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.解法一：（复角→单角，从“角”入手）原式解法二：（从“名”入手，异名化同名）解法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）解法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.四、典型习题导练1.已知集合M=，N=则MUN等于（）A．M B.N C.ф D.2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=( )A.1B.2C.-1D.-23.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( )A.或-B.-C.D.以上都不对4.已知θ=,则= .5.计算sin sin= .6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（）A．B． C． D．7．求值：__________8.函数的最小值为（）A. B. C.0 D. 19．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定10.已知向量（1）求的值；（2）若的值.。
完整三角函数图像与性质知识点与题型归纳解读,文档.docx
●高考明方向1.能画出 y＝ sinx， y＝cosx， y＝ tanx 的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在 [0,2 π]上的性质 (如单调性、最大值和最小值，图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数π π在区间－2，2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014 课标全国Ⅱ 14、北京 14 等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法 .一、知识梳理《名师一号》 P55知识点1二、例题分析：（一）三角函数的定义域和值域例 1．（ 1）《名师一号》 P56对点自测3函数 y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为 ____________sinx>0，解析要使函数有意义必须有1cosx－2≥0，sinx>0，2kπ<x<π＋ 2kπ，即1解得ππcosx≥，－＋ 2kπ≤x≤＋2kπ233(k∈Z) ．π∴2kπ<x≤3＋ 2kπ， k∈ Z.π∴函数的定义域为 {x|2kπ<x≤3＋2kπ，k∈Z} ．例 1．（ 2）《名师一号》 P56高频考点例1(1)函数 y＝sinx－cosx的定义域为 ________．2解 :(1) 要使函数有意义，必须有 sinx － cosx ≥0，即sinx ≥cosx ，同一坐标系中作出 y ＝ sinx ，y ＝ cosx ，x ∈ [0,2 π] 的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，ππ＋ 5π，k ∈Z . 函数的定义域为 x 2k π＋≤x ≤2k 44注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法(1) 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组） ．一般可用 三角函数的图象或三角函数线 确定三角不等式的解．例 2．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 4πx π 函数 y ＝ 2sin 6 －3 (0≤ x ≤ 9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－ 1－ 33π ππ 7π解: ∵ 0≤x ≤9，∴－ 3≤ 6x －3≤ 6 .π π ∈ － 3，1 .∴sin x －3 6 2 ＋y ＝2－ 3.∴y ∈[ － 3， 2]，∴ ymin max注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之一：利用 sinx 和 cosx 的值域 (图像 )直接求；例 2．（ 2） 8 月月考第 17 题(1)17．（ 分 12 分）已知函数f (x) 3cos 2 x 2cos x sin x sin 2 x ．（ I ）当x [0,] ，求 f (x) 的 域；2f (x)3cos 2x2cos xsin xsin 2x1 2cos 2xsin 2x2 cos2 x sin 2x⋯⋯⋯ 2分2( 2 sin 2 x 2cos 2 x)2 2242 sin(2 x4 )2⋯⋯⋯⋯ 3 分,5]，⋯⋯4分x [0,] ， 2x4 [244sin(2 x) [2,1]， ⋯⋯5分4 2f (x) [1, 22] ，即 f ( x) 的 域 [1, 2 2] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分注意：《名师一号》P56高频考点 例 1规律方法2求三角函数的值域的常用方法之二：化为求 y Asin( x) b 的值域如：① y a sin x b cos x合一变换y A sin( x)② ya sin 2 xb sin x cos xc cos 2x降幂 y d sin 2 xecos2 xf合一变换 y A sin(2 x ) b注意弦函数的有界性！变式 : 《名师一号》 P58 特色专题典例 15π若函数 f(x)＝ asinx －bcosx 在 x ＝ 3处有最小值－ 2，则常数 a ， b 的值是 ( A ．a ＝－ 1， b ＝ 3C ．a ＝ 3，b ＝－ 1)B ． a ＝ 1， b ＝－3D ． a ＝－3，b ＝1解: 函数 f(x)＝asinx －bcosx 的最小值为－a 2 ＋b 2.f(x)＝ a 2＋b 2 －φsin(x )其中 cos φ＝ a 2，sin φ＝ b2 2 2 ，a ＋b a ＋b－ a 2＋b 2＝－ 2，a ＝－ 3，则 π 3 1解得f 3 ＝ 2 a －2b ＝－ 2，b ＝1.【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例 2．(3) 《名师一号》 P56 高频考点 例 1(2)π 7π当 x ∈ 6， 6 时，函数 y ＝3－sinx － 2cos 2x 的最小值是 ________，最大值是 ________．6π 7π1解 : ∵ x ∈ 6， 6 ，∴ sinx ∈ －2，1 .又 y ＝ 3－ sinx －2cos 2 ＝ － － －21x3 sinx 2(1 sin x)7＝2 sinx －4 2＋8.∴当 sinx ＝ 1时， y min ＝7； 4 8当 sinx ＝－12或 sinx ＝1 时， y max ＝ 2.注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之三：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转换成二次函数求值域．练习: ( 补充)（ 1）求函数 f ( x )tan 2x 1的值域 2x 1tan【答案】1,1（ 2）求函数 f ( x )2sin 2 x 1 x 0,的值域sin 2 x27【答案】3,2sin 2x 1 3sin 2 x cosxf ( x)sin 2 x2sin x cosx3tan2 x113tan x12tan x2tan xQ x0,tan x02Q f ( x ) 1 23tan x132tan x注意：求三角函数的值域的常用方法之三：求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域注意约束条件 ----三角函数自身的值域！例 2．（4）( 补充 )求函数 f ( x )sin x cos x sin x cos x的值域1【答案】2,128注意：求三角函数的值域的常用方法之四：《名师一号》 P56问题探究问题3如何求三角函数的值域或最值？③形如 y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可先设 t＝sinx±cosx，化为关于 t 的二次函数求值域 (或最值 )．利用 sin 2x cos2x1转化为二次函数在指定区间上的值域问题变式 :求函数 f ( x )sin x cos x sin x cos x的值域例 2．（ 5）详见第一章第二讲函数值域7．数形结合法：例 7(2)《名师一号》 P14 问题探究问题（ 6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．( 补充 ) 如两点间距离、直线斜率等等求函数y4sin x1 的值域2cos x494sin x1sin x144解 : y2g可视作单位圆外一点2cos x 2cosx2P 2,1与圆 x 2y21上的点cosx,sin x 所连线4段斜率的 2倍, 设过点P2,1的点的直线方程为141 k x2 即 kx y2ky04142k435令1解得 kk 2或 k1412答案： 3 , 526注意：求三角函数的值域的常用方法之五：数形结合法cosx1的值域练习：求函数y x 0,sin x210答案： 0,43cos x1,的值域变式：求函数y xsin x222答案： 0,12拓展: 8 月月考第 16题2 sin( x) 2 x2x函数 f (x)2x24的最大值是M ，最小值是cosxm ，则 M m 的值是.2 sin( x)2x2xsin x cosx 2 x 2x sin x xf ( x)2x412cosx2x2cosx 2 x2cos x，记g (x)sin x x，则 g ( x) 是奇函数且 f (x)1g ( x) ，2x2cos x所以 f ( x) 的最大值是 M1g(x)max，最小值是m1g( x) min，因为 g( x) 是奇函数，所以g (x)max g (x)min0，所以 M m1g( x)max1g( x)min 2 .11（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例 1．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 5设函数 f(x)＝sin 2x － π，x ∈R ，则 f(x)是( )2A. 最小正周期为 π的奇函数B.最小正周期为 π的偶函数π D.最小正周期为 πC.最小正周期为 2的奇函数2的偶函数答案B例 1．（ 2）《名师一号》P57高频考点例 3（2）(2014 新·课标全国卷Ⅰ )在函数① y ＝ cos|2x|，② y ＝ |cosx|，π π③ y ＝ cos 2x ＋ 6 ，④ y ＝ tan 2x － 4 中，最小正周期为 π的所 有函数为 (A ．①②③)B ．①③④C ．②④D ．①③解：由于 y ＝ cos|2x|＝ cos2x ，所以该函数的周期为2π2＝ π；由函数 y ＝ |cosx|的图象易知其周期为π；函数 y ＝ cos 2x ＋π的周期2π6为π ππ的函＝ π；函数 y ＝ tan的周期为，故最小正周期为22x － 42数是①②③，故选A.12注意：《名师一号》 P56问题探究问题1如何求三角函数的周期？(1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：2πy＝Asin(ωx＋φ)和 y＝ Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|，πy＝tan( ωx＋φ)的最小正周期为|ω|.例 1．（3）P58 特色专题典例 2《名师一号》π函数f(x) ＝ sin ωx＋3＋ sin ωx( ω>0)相邻两对称轴之间的距离为 2，则ω＝ ________【规范解答】相邻两对称轴之间的距离为2，即 T＝4.f(x) ＝ sin ωx＋π＋ sinωx＝1sinωx＋3cosωx＋ sinωx＝3 32223π，又因为 f(x)相邻两条对称轴之sin ωx＋2 cosωx＝ 3sin ωx＋6间的距离为 2，所以T ＝ 4，所以2ππ＝4，即ω＝.ω2注意：函数 f(x) ＝ A sin( ωx＋φ)，f(x) ＝ A cos( ωx 【名师点评】＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值13是函数的半周期|π，纵坐标之差的绝对值是ω|2A .在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．练习 : 《加加练》 P3第11题例 2．（ 1）《名师一号》P57高频考点例3（1）x＋φ(1)若函数 f(x)＝sin3(φ∈[0,2 π是])偶函数，则φ＝ ()π2π3π5πA. 2B. 3C. 2D. 3x＋φ解：(1)∵ f(x)＝ sin3是偶函数，∴f(0)＝±1.φφπ∴sin 3＝±1，∴ 3＝ kπ＋ 2(k∈Z) ．3π∴φ＝3kπ＋2 (k∈ Z) ．3π又∵φ∈ [0,2 π]，∴当 k＝0 时，φ＝2.故选 C.14x ＋φ变式：若函数 f(x)＝sin3(φ∈[0,2 π是])奇函数，则 φ＝？例 2．（ 2）《名师一号》 P57 高频考点例 3（ 3）4π(3)如果函数 y ＝3cos(2x ＋ φ)的图象关于点 3 ，0 中心对称，那么 |φ|的最小值为 ( )π π ππ A. 6 B. 4 C.3 D.2解： (3)由题意得4π2π3cos 2× 3 ＋ φ ＝ 3cos 3 ＋ φ＋ 2π＝ 3cos 2π 2π π＋ φ ＝ 0，∴ ＋ φ＝ k π＋ ， k ∈ Z.3 3 2ππ∴ φ＝ k π－ ， k ∈ Z ，取 k ＝ 0，得 |φ|的最小值为6.6注意：【规律方法】(1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x ＝0 时， f(x)取得最大或最小值，若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)为奇函数，则当 x ＝ 0 时， f(x)＝ 0.(2)对于函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点， 对称中心一定是函数的零点， 因此在 判断直线 x ＝ x 0 或点 (x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心15时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．《名师一号》 P56 问题探究问题 4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时， f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时， f(x)＝ 0.如果求 f(x)的对称轴，π只需令ωx＋φ＝2＋ kπ(k∈Z) ，求 x.( 补充 ) 结果写成直线方程！如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z) 即可．( 补充 ) 结果写点坐标！同理对于y＝Acos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于 y＝Atan( ωx＋φ)可求出对称中心．练习1：《名师一号》P58特色专题典例3已知f(x) ＝ sinx＋3cosx(x ∈ R)，函数y＝ f( x＋φ)π|φ|≤ 2 为偶函数，则φ的值为________．【规范解答】先求出 f(x＋φ)的解析式，然后求解．16π∵ f(x)＝ sinx ＋ 3cosx ＝ 2sin x ＋ 3 .π∴ f(x ＋ φ)＝ 2sin x ＋ φ＋ 3 .π π ∵函数 f (x ＋ φ)为偶函数，∴φ＋ ＝＋ k π， k ∈ Z ，3 2π即 φ＝ 6＋ k π(k ∈ Z) ．π 又∵ |φ|≤，∴ 2πφ＝ 6.练习 2：《计时双基练》 P247第 3 题（四）三角函数的单调性 例 1．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 6下列函数中，周期为 π，且在 π π， 上为减函数的是 ()4 2 A ． y ＝ sin 2x ＋πB ． y ＝ cos 2x ＋π2 2C ． y ＝ sin x ＋ πD ． y ＝ cos x ＋ π22解析由函数的周期为π，可排除 C ， D.π π上为减函数，排除 B ，故选 A.又函数在 ，4 2 练习 1：《计时双基练》 P247 第 7 题17函数 y cos2x 的单调递减区间为4练习 2: 《加加练》 P1第 11题（ 2）《名师一号》 P57 高频考点例 2π已知函数 f(x)＝ 4cos ωx·sin ωx＋ 4 (ω>0) 的最小正周期为 π.(1)求 ω的值；π (2)讨论 f(x)在区间0， 2 上的单调性．π解 ： (1)f(x) ＝ 4cos ωx·sin ωx＋ 4 ＝ 2 2 sin ωx·cos ωx＋ 2 2cos 2ωx＝ 2(sin2 ωx＋ cos2ωx )＋ 2＝2sin 2ωx＋ π ＋ 2.4 因为 f(x)的最小正周期为 π，且 ω>0.2π从而有 2ω＝ π，故 ω＝ 1.(2)由 (1) 知， f( x) ＝2sin 2x ＋π＋ 2.4πππ 5π若 0≤ x ≤ ，则 ≤ 2x ＋ ≤4 .2 4 4ππ ππ当 4≤ 2x ＋ 4≤2，即 0≤ x ≤ 8时， f(x)单调递增；ππ 5π π π当 2≤ 2x ＋ 4≤4，即 8≤ x ≤ 2时， f(x)单调递减．18π综上可知， f(x)在区间0，8上单调递增，π π在区间8，2上单调递减．注意：《名师一号》 P56 问题探究问题 2如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” ．(2)求形如 y＝ Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．例 2．《名师一号》 P58 特色专题典例4(2014 ·全国大纲卷 )若函数 f(x)＝ cos2x＋asinx 在区π π间6，2是减函数，则 a 的取值范围是 ________．【规范解答】先化简，再用换元法求解．219π π 令 t ＝ sinx ，∵ x ∈ 6 ，2 ，∴ t ∈ 1， 1 .21∴ g(t)＝ 1－ 2t 2＋ at ＝－ 2t 2＋ at ＋ 1 2<t<1 ， 由题意知－a≤ 1，∴ a ≤ 2.2× －2 2 ∴ a 的取值范围为 (－∞， 2]．课后作业一、计时双基练 P247 基础 1-11 、课本 P56 变式思考 1二、计时双基练 P247 培优 1-4课本 P56 变式思考 2、3预习 第五节练习：1、设函数 f(x)＝2sin(x ＋ )．若对任意 x ∈R ，都有25f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则 |x 1－ x 2 |的最小值为 ( )A ．4B ． 2C ． 11 D.分析： ∵ f(x)的最大值为 2，最小值为－ 2，220∴对? x∈ R，－ 2≤f(x)≤2.取到最值时 x＝＋ kπ， |x1－ x2|取最小值，即f(x )为最小值， f(x 2))， (x ， f(x))为)为最大值且 (x ， f(x121122相邻的最小 (大 )值点，即半个周期．解析： f(x)的周期 T＝ 4， |x －x |＝＝ 2.1 2 min T故选 B.22、为了使函数y sin x(0)在区间 [ 0,1] 上至少出现50次最大值，求的最小值。
三角函数解三角形三角函数的图像与性质课件理ppt
表达式
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
适用情况
已知两边及其中一边的对角
求解内容
根据已知条件，利用正弦定理可以求解出三角形的三个边 长
利用余弦定理求解三角形
总结词：余弦定理是求解三角形边长及角度的公式， 适用于已知三边的情况。
2023
三角函数解三角形三角函 数的图像与性质课件
目 录
• 引言 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角形解法及应用 • 习题及答案 • 总结回顾
01
引言
课程概述
课程背景
介绍三角函数在数学、物理、工程等学科中的应用背景，以 及在解三角形和解决实际问题中的重要性。
详细描述
正切函数的习题通常会涉及到一些高级的概念和计算方法，需要掌握一些较为复杂的技巧和方法，同时需要运用多个知识 点进行综合解题。
举例
例如求$y=tan(x+5)$的定义域、值域、单调区间、对称轴以及周期等，需要运用到一些三角函数的恒等变换和化简方法。
07
总结回顾
重要知识点回顾
正弦、余弦、正切等函数的定义及表达式； 三角函数的图像及特征，包括振幅、相位、频率等；
正弦函数的值域为[-1,1]，周期 为2π。
正弦函数是奇函数，图像关于原 点对称。
正弦函数在[π/2+2kπ,π/2+2kπ]区间内单调 递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ] 区间内单调递减，其中k为整数 。
三角函数的诱导公式
公式一
公式二
sin(x)=cos(π/2-x)。
sin(π/2-x)=cos(x)。
认识三角函数的图像与性质
认识三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
了解三角函数的图像和性质对于学习和应用三角函数至关重要。
在本文中，我们将深入探讨三角函数的图像以及它们的性质。
1. 正弦函数的图像与性质正弦函数是三角函数中最常见的一种。
它的图像是由一条波浪线所组成的，波浪线在数学坐标系中依次上升、下降。
正弦函数的性质如下：（1）定义域：正弦函数的定义域是整个实数集。
（2）值域：正弦函数的值域介于-1和1之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
（3）周期性：正弦函数的周期是2π，即sin(x+2π) = sin(x)。
2. 余弦函数的图像与性质余弦函数是另一种常见的三角函数。
它的图像也是由一条波浪线所组成的，但是与正弦函数的波形相位相差π/2，即余弦函数的图像是正弦函数的图像向右平移π/2个单位。
余弦函数的性质如下：（1）定义域：余弦函数的定义域是整个实数集。
（2）值域：余弦函数的值域介于-1和1之间，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
（3）周期性：余弦函数的周期也是2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
3. 正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要概念。
它的图像由一条以原点为渐进线的曲线组成，曲线在每个周期内不断交替地在渐进线的正负两侧摆动。
正切函数的性质如下：（1）定义域：正切函数的定义域是除了所有使得tan(x)不存在的实数之外的整个实数集。
（2）值域：正切函数的值域是由负无穷到正无穷的所有实数。
（3）周期性：正切函数的周期是π，即tan(x+π) = tan(x)。
4. 反三角函数的图像与性质除了正弦、余弦和正切函数外，我们还可以通过反函数得到反三角函数。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，它们的图像和性质如下：（1）反正弦函数：反正弦函数的图像是一条关于直线y = x对称的曲线，定义域是[-1,1]，值域是[-π/2, π/2]。
直角三角形的性质和判定方法,直角三角形的性质和判定教学反思
直角三角形的性质和判定方法，直角三角形的性质和判定教学反思直角三角形的性质和判定方法，直角三角形的性质和判定教学反思性质：直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，面对30度角的直角边是斜边的一半。
判定：有一个角为90°的三角形是直角三角形；一个三角形，如果这个三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形。
直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a²+b²=c²的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定四:有两个互补锐角的三角形是直角三角形。
判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。
定理:斜边和一个直角对应两个直角三角形的同余。
简称为HL）决定6:如果两条直线相交，并且它们的斜率的乘积是负倒数，那么这两条直线是垂直的。
判定7:如果三角形一边的中线等于中线所在边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定方法如下：直角三角形定义：有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。
直角三角形的性质：1、直角三角形两个锐角互余；2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3、在直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边指州的一半。
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a+b=c的平方，则以a、b、c为边庆逗友的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题18三角函数的图像及性质(2021年整理)
A． B. C. D.
【标题18】求函数的取值范围时忽略了三角函数的隐含范围
【习题18】已知 ，则 的取值范围为 。
【经典错解】由已知得 ,所以
所以 的取值范围为
【详细正解】由已知得
所以
所以 的取值范围为 。
【习题18针对训练】已知 ，求 的最大值和最小值。
【标题05】三角函数图像的伸缩变换理解不透彻
【习题05】把函数 的图像上的点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为.
【经典错解】把函数 的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为 .所以填 。
【详细正解】把函数 的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,得到的函数的解析式为 .故填 .
【习题09针对训练】已知函数
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
(2）若方程 在 内恒有两个不相等的实数解，求实数 的取值范围．
【标题10】三角函数的周期公式的使用情景没有理解清楚
【习题10】已知 的最小正周期是 ，则 。
【经典错解】由题得 ,故填 .
【详细正解】
【习题10针对训练】已知 的最小正周期是 ，则 .
【详细正解】由于 的递增区间是 ，所以①是错误的；由于 在第一象限不是单调函数,所以②是错误的。③是正确的，故选 。
【深度剖析】（1）经典错解错在正弦函数的图像和性质理解不清。 （2）不能因为正弦函数在 是增函数，就说正弦函数在第一象限是增函数，实际上正弦函数在第一象限是不单调的.
在提到第一象限的时候,不能只想到 ，因为高中角的定义进行了推广,第一象限的角用区间表示为 。如 和 都是第一象限的角,且 ，但是 .
三角函数的图象与性质解读
三角函数的图象与性质●知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.2.能综合利用性质，并能解有关问题. ●点击双基1.关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ①f （x ）是奇函数 ②当x ＞2003时，f （x ）＞21恒成立 ③f （x ）的最大值是23④f （x ）的最小值是－21A.1B.2C.3D.4解析：显然f （x ）为偶函数，结论①错.对于结论②，当x =1000π时，x ＞2003，sin 21000π=0，∴f （1000π）=21－（32）1000π＜21，因此结论②错. 又f （x ）=22cos 1x －（32）|x |+21=1－21cos2x －（32）|x |，－1≤cos2x ≤1， ∴－21≤1－21cos2x ≤23. 故1－21cos2x －（32）|x |＜23，即结论③错. 而cos2x ，（32）|x |在x =0时同时取得最大值，所以f （x ）=1－21cos2x －（32）|x |在x =0时可取得最小值－21，即结论④是正确的. 答案：A2.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，则f （3π5）的值为 A.－21B.21 C.－23 D.23 解析：f （3π5）=f （3π5－2π）=f （－3π）=f （3π）=sin 3π=23.答案：D3.函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数 A.（2π，2π3） B.（π，2π） C.（2π3，2π5）D.（2π，3π）解析：用排除法，可知B 正确. 答案：B4.函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为A.4π B.2π C.π D.2π解析：y =sin 4x +cos 2x =（22cos 1x -）2+22cos 1x+ =432cos 2+x =424cos 1x ++43=81cos4x +87.故最小正周期T =4π2=2π. 答案：B5.y =5sin （2x +θ）的图象关于y 轴对称，则θ=_______. 解析：y =f （x ）为偶函数. 答案：θ=k π+2π（k ∈Z ） ●典例剖析【例1】 判断下面函数的奇偶性： f （x ）=lg （sin x +x 2sin 1+）.剖析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f （x ）与f （－x ）的关系. 解：定义域为R ，又f （x ）+f （－x ）=lg1=0， 即f （－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数.评述： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件. 【例2】 求下列函数的单调区间： （1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜. 剖析：（1）要将原函数化为y =－21sin （32x －4π）再求之.（2）可画出y =－|sin （x +4π）|的图象.解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）. 故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间. ∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8π9］， 递增区间为［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）.（2）y =－|sin （x +4π）|的图象的增区间为［k π－4π，k π+4π］，减区间为［k π+4π，k π+4π3］.【例3】已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠2πk +4π（k ∈Z ）.所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2πk +4π，k ∈Z }. 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且 f （－x ）=）（－）（）（x x x 2cos 1cos 5cos 624+---=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=f （x ），所以f （x ）是偶函数.又当x ≠2πk +4π（k ∈Z ）时， f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=x x x 2cos 1cos 31cos 222））（（--=3cos 2x －1，所以f （x ）的值域为{y |－1≤y ＜21或21＜y ≤2}. 评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 【例4】 判断f （x ）=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+的奇偶性.正确解法：取x =2π，f （x ）有意义，取x =－2π，f （x ）没有意义，故定义域关于原点不对称.∴f （x ）是非奇非偶函数.常见错误及诊断：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变形，极易导致错误的结论.要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析f （x ）与f （－x ）的关系.【例5】 在△ABC 中，a 、b 、c 成等比数列，求函数y =sin B +cos B 的值域. 分析：b 2=ac 可转化为∠B 的取值范围.解：∵b 2=ac ，cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=ac c a 222+－21≥ac ac 22－21=21，∴B ∈（0，3π］.∴y =2sin （B +4π）∈（1，2］.拓展：如果a 、b 、c 成等差数列呢?●闯关训练1.函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数 A.（2π，2π3） B.（π，2π）C.（2π3，2π5） D.（2π，3π） 解析：仿前面第3小题依次排除A 、B 、D. 答案：C2.为了使y =sin ωx （ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是 A.98πB.2π197 C.2π199 D.100π解析：4941×T ≤1，即4197×π2≤1， ∴ω≥2π197. 答案：B思考：若条件改为在［x 0，x 0+1］上至少出现50次最大值呢？ 3.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则A.f （sin6π）＜f （cos 6π） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos3π2）＜f （sin 3π2） D.f （cos2）＞f （sin2）解析：由f （x ）=f （x +2）知T =2，又∵x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|， 可知当3≤x ≤4时，f （x ）=－2+x .当4＜x ≤5时，f （x ）=6－x .其图如下，故在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数.又由|cos2|＜|sin2|，∴f （cos2）＞f （sin2）. 答案：D4.若f （x ）具有性质：①f （x ）为偶函数，②对任意x ∈R ，都有f （4π－x ）=f （4π+x ），则f （x ）的解析式可以是_______.（只写一个即可）答案：f （x ）=a 或f （x ）=cos4x 或f （x ）=|sin2x |等. 5.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T）=0. 其中正确命题的序号是____________. 答案：④6.当α∈（0，π）时，求y =α2sin 1-－α2sin 1+.解：y =2cos sin ）（αα-－2cos sin ）（αα+=｜sin α－cos α｜－｜sin α+cos α｜.（1）当α∈（0，4π］时，有sin α＜cos α，sin α+cos α＞0， ∴y =cos α－sin α－sin α－cos α=－2sin α. （2）当α∈（4π，4π3）时，sin α＞cos α，sin α+cos α≥0， ∴y =sin α－cos α－sin α－cos α=－2cos α. （3）当α∈（4π3，π）时，有sin α＞cos α，sin α+cos α＜0，∴y =sin α－cos α+sin α+cos α=2sin α.7.设x ∈［0，2π］，f （x ）=sin （cos x ），g （x ）=cos （sin x ），求f （x ）、g （x ）的最大值. 解：∵在x ∈［0，2π］上，y =cos x 是单调递减的，且cos x ∈［0，1］，而y =sin x 是单调递增的，且sin x ∈［0，1］，∴f （x ）=sin （cos x ）∈［0，sin1］， g （x ）=cos （sin x ）∈［cos1，1］.∴f （x ）的最大值是sin1，g （x ）的最大值是1. 8.若｜log cos αsin α｜＞｜log sin αcos α｜（α为锐角），求α的取值范围. 解：∵α为锐角，0＜cos α＜1，0＜sin α＜1， ∴log cos αsin α＞0，log sin αcos α＞0. ∴原式就是log cos αsin α＞log sin αcos α ααααcos log sin log sin cos ⇒＞1⇒（log cos αsin α）2＞1 ⇒log cos αsin α＞1⇒sin α＜cos α⇒0＜α＜4π. 9.已知P （1，cos x ），Q （cos x ，1），x ∈［－4π，4π］. （1）求向量和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数f （x ）； （2）求θ的最值.解：（1）∵OP ·OQ =2cos x ， ||·|OQ |=1+cos 2x ，∴f （x ）=cos θ=xx 2cos 1cos 2+. （2）cos θ=xx 2cos 1cos 2+=xx cos 1cos 2+，x ∈［－4π，4π］，cos x ∈［22，1］.∴2≤cos x +xcos 1≤223，322≤f （x ）≤1，即322≤cos θ≤1.∴θmax =arccos322，θmin =0.三角函数的图象与性质●知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.2.能综合利用性质，并能解有关问题. ●点击双基1.关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ） ①f （x ）是奇函数 ②当x ＞2003时，f （x ）＞21恒成立 ③f （x ）的最大值是23④f （x ）的最小值是－21A.1B.2C.3D.42.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，则f （3π5）的值为（ ） A.－21 B.21C.－23D.233.函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）A.（2π，2π3） B.（π，2π）C.（2π3，2π5） D.（2π，3π） 4.函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为（ ）A.4π B.2π C.πD.2π5.y =5sin （2x +θ）的图象关于y 轴对称，则θ=_______. ●典例剖析【例1】 判断下面函数的奇偶性： f （x ）=lg （sin x +x 2sin 1 ）.【例2】 求下列函数的单调区间： （1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜.【例3】已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.【例4】 判断f （x ）=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+的奇偶性.【例5】 在△ABC 中，a 、b 、c 成等比数列，求函数y =sin B +cos B 的值域.●闯关训练1.函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数（ ） A.（2π，2π3） B.（π，2π）C.（2π3，2π5） D.（2π，3π） 2.为了使y =sin ωx （ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）A.98πB.2π197 C.2π199 D.100π3.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则（ ）A.f （sin 6π）＜f （cos 6π） B.f （sin1）＞f （cos1）C.f （cos3π2）＜f （sin 3π2） D.f （cos2）＞f （sin2）4.若f （x ）具有性质：①f （x ）为偶函数，②对任意x ∈R ，都有f （4π－x ）=f （4π+x ），则f （x ）的解析式可以是_______.（只写一个即可）5.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T）=0. 其中正确命题的序号是____________.6.当α∈（0，π）时，求y =α2sin 1-－α2sin 1+.7.设x ∈［0，2π］，f （x ）=sin （cos x ），g （x ）=cos （sin x ），求f （x ）、g （x ）的最大值.8.若｜log cos αsin α｜＞｜log sin αcos α｜（α为锐角），求α的取值范围.9.已知P （1，cos x ），Q （cos x ，1），x ∈［－4π，4π］. （1）求向量OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f （x ）； （2）求θ的最值.。
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错解剖析得真知（十）3. 4三角函数的图象与性质一、知识导学1•三角函数线•设角Q的终边与单位圆交于点尸，过点P做PM丄兀轴于过点川1®）做单位圆的切线，与角Q的终边或终边的反向延长线相交于点T7,则有向线段MP9OM9AP分别叫做角◎的正弦线，余弦线，正切线.2.三角函数的图象（1）尹二sin 兀卩二cosj/= tan = cotx 四种图象（2）函数戸=4$山（物+釣的图象①“五点作图法”②图象变化规律3.三角函数的定义域、值域及周期4 •三角函数的奇偶性和单调性二、疑难知识导析1尹=虫$in（物+0）+E（4H 0,0 A0）中.及卩.对正弦函数，=sm乳图象的影响，应记住图象变换是对自变量而言..c —v = sin 2(J -—) y = sin( 2x +—)如：V = 向右平移6个单位，应得 6 ,而不是 62 •用“五点法”作产=虫泅（处+ 0（月工0©〉0）图时，将处+ ©看作整体，取‘2 ,2来求相应的兀值及对应的习值，再描点作图.3尹=sm x T y= cos兀尹二4sin（曲+©）的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形. 而p=tanx图象只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中P =虫$山（愿+◎）（虫壬°，Q > °）的各个参数.4•三角函数的左义域是研究其它一切性质的前提•求左义域实质上是解简单的三角不等式（组）•要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1,同时还要考虑到函数本身的左义域•可用三角函数图象或三角函数线 解不等式（组）.5•求三角函数的值域是常见题型•一类是尹= +处。
沐型，这要变形成y =+二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.6•尹=^sm （饭+ @）（月〉Og > 0）单调性的确泄，基本方法是将皈+ ©看作整体，数，通常先通过诱导公式处理.7•利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间 上的两个同需函数. 三. 典型例题导讲错解：A错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解:By= sm 1 + tan x ■ tan — ［例2］函数v2- 错解：A 错因：将函数解析式化为尹二阪兀后得到周期忽视了定义域的限制，导致岀错. 正解:B才才［例 3］ F 列四个函数 y=tan2x, y=cos2x, y=sin4x, y=cot （x+ 4）,其中以点（4,0）为中心对 称的三角函数有（ ）个.A ・1B ・2C・3D ・4错解：B错因：对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握.如求增区间可由2k7V^—(k e z)解出兀的范围•若x 的系数为负尹二 stn ［例1］为了得到函数2x--$丿的图象，可以将函数y=cos2入 的图象（ 7TA 向右平移§ 7F 7FB 向右平移3C 向左平移6 7FD 向左平移3的最小正周期为（7TC 2 3TTD 2正解:Dy = 2sm(—- 2x)(xe [0, TT])[例4]函数‘6为增函数的区间是(A.错解：B错因：不注意内函数的单调性.正解：C［例5］函数/W = 3sinxco S x-4co S2z的最大值为_______________= -sin2x-4 -sin(2x + ^)-2解： 2 2 2当sin(2x + e)二1时，/(x)取最大值彳-2二+［例6］函数y=7.cosx的部分图象是()解：选D.提示：显然卩二7COSX为奇画数，故排除A、C令◊0且兀T0,判断岀相应的八0,即当横坐标尤> 0且％T 0时，纵坐标X ' 0,故弃庞月-£<x<£ 时，函数y 二smx + V5cosx 的( ) ［例7］当2 2A.最大值为1,最小值为-1B.最大值为1,最小值为2C.最大值为2,最小值为-2D.最大值为2,最小值为-1解：选D尹二sin x +J5 cosx = 2sin(x+ —) < x < —解析：-而2 2［-幷［例8：已知定义在区间心了"上的函数y=f^的图象关于直线冗开26对称，当 6 3 时，函数 2 2 其图象如图所示.I d］（1）求函数KR在・心弓"的表达式;了（R _ 忑（2）求方程2的解.解：⑴当⑴一去討时,函数小必* （小，20，■号W电），观察图象易得：号,即时，函数畑=恥+号）,石对称得，兀€［一八一和时，鈕（和号）X€［-f,^］四.典型习题导练由函数V =蚀的图象关于直线"--函数/W=-sm x -sin A x€ ［一兀厂乎）⑵当E语荻］时,由沁卄专2%+丰罟或誓》=弋或"誇.■ 务］_ sin.乳=率“-时，由2得,A2得.X e - 7T , -当6.••方程=的解集为X=-誓或=-%% _ 3 _ X 、買 \V? 12 ?T2 zy= sin.（2x + —）1 •函数2的图象的一条对称轴方程是（D.2•已知点/（X ］丿1）』（勺J2）是函数尹二心（-兀5＜°）上的两个不同点,且勺 5.sin 九 ” sin 砌试根据图象特征判立下列四个不等式的正确性：①羽 勺：②池心＜沁七：③寺伽珂十辿兀尬呼：④令•其中正确不等式的序号 是 ・函数尹二sin(-^- 2x) + cos2xtfiJ 最小正周期是3. 3 -------C1 bgjr _4•若常数（】满足 开＜1,求使函数f （x ）=sin （x+ a ）+cos （x- a ）为偶函数的（】的值.y = —cos 2 x 十 一sin.x ・ cos 十 15.已知函数 2 2 ，応R（1） 当y 取最大值时，求自变量x 的集合；（2） 该函数的图象可由y=sinx.匕申的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？己知函数尹二sin 26.求函数的最小值.7T7. （06年髙考浙江卷）如图,函数y=2sin （"+e ）,xGR,（其中0 Wg2）的图象与y 轴交于点（0, 1）・ ⑴求e 的值；（2）设P 是图象上的最髙点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求尸M 与F 山的夹角A.B.C.且a < 0)7T7TX =—3.5解三角形及三角函数的应用一、知识导学1.解三角形的的常用定理：（1）内角和泄理：* +必+ ° =兀结合诱导公式可减少角的个数.厶二丄二丄二2R⑵ 正弦泄理：如虫血B smC（氏指AABC外接圆的半径）（& 二—abzvci C = sin A = —ac sin 3）2 2 2⑶ 余弦定理: /+夕一2妙cosC之2及其变形.⑷ 勾股定理：砥WC中/ +戸=e22.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得貝他的边角的问题.三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题. 他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形. （2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些立理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路：苴次, 寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题：再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.二、疑难知识导析1.对各类左理的应用要注意使用其变形逆用•同时充分利用方程的思想知道英中的部分量可求出其他量.2.三角函数的应用主要是图象和性质的应用.3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.三、经典例题导讲［例1］已知方程* + 4的+3a+l = 0 （a 为大于1的常数）的两根为tan 轨tang,（7T TV } G + 0q 一 H K tan --------------且⑵、2、2）、贝ij 2 的值是 ______________________________ ・ 错解：V tan 必tan 卩是方程/ +4的+ % +1 = 0的两个根tan or + tan /3 = -4a , tan ◎・ tan. 0 二 3a +1tan 盘 + tan 0 -Aa 4由 tan (& + Q)= l - tan 0 tan 0 = 1-(3a+ 1) = 3 可得 错因：忽略了隐含限制t 血2曲0是方程只+ 4窗+ 3幺+1 = 0的两个负根，从而导致错 误. 正解.•/（2 > 1 二 tan ◎ + tan 0 二-4a < Q tan ◎・ tan 0 二 3a +1 > o・tan 代tan 戸是方程x 2+ 4ax + 3a +1 = 0的两个负根4 仙 G + 0 一2 由 tan9+g) = l-tana ・tan0 =l-(3a + l) = 3 可得 2答案：・2・ ［例2］在i^ABC 中，已知a, b, c 是角A 、B 、C 的对应边，则 ① 若Q.则= （$垃月_sin E ） f 在R 上是增函数:② 若/_沪=（<2COS 5+^COS ^）\ 则 A A BC 是❻△； ③ cos C + sin C 的最小值为一 V2 ； ④ 若cos ^4 = cos 25 ,则人=8；A+B = -7T则4 ,其中错误命题的序号是错因：④中未检验.正解：错误命题③®・= ±2.7T 7TI 2'lJ皿处（-号,0丿\ 2丿即2tan 盘 + tan 0 — Aa ⑤若(1 + tan &(1 + tan E) = 2错解:中未考虑0 S <兀.i a >i Osin J ! > sin 5?sin. J 4- sin 5 > 0 :.f(x) = (sin J 4 - sin B)兀在R 上是増函数。
2/ -於二/卫2 =沪+护,则Mpc 是心△sin c + cost = \}2 sin.( c + —)，当sin(c + —) = -1, 厂4 A 时最小值为- J2.显然° <c<兀•得不到最小值为-庞.④2A = cos 2B ^i> 2A = 25 9A = B或2A= 2TT - 25,^4 = TT - B 7A^B = n (舍)，・・.乂 二 B 5；l + tan J ! + tan 5 + tan J 4• tan -S = 2?1 一 tan J 4• tan. = tan 月 + tan Btan 4+“ 口口 ”，川 r d n 71-------------- 二 1, 目卩 tan(j4 +-5) = 1,.*.卫 + 3 二一 1 - tan • tan 4 ・•・错误命题是③⑤.srn A cos x［例3］函数f(x)= 1 + sin x+cosx 的值域为.错解:g® = —^-1 令f = sin x + co$ /后忽视f h T,从而 2错因: 正解:［例4］ (06 年高考江苏卷)cot 20° cosl 0^ + sin 10^ tan70^ - 2 cos40^ =【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 解：cot 20° cosl 02+ sin 10^ tan70^ - 2 cos4(T 沁0S10。